08 08 - (Lista - Determinantes)

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Prof. Hiroshi 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Determinantes 
 
1. (Fuvest 2019) A multiplicação de matrizes permite codificar 
mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do 
alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um 
espaço). 
 
 
 
Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja 
FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam 
 e respectivamente. A matriz em que se 
escreve a mensagem é que, numericamente, 
corresponde a Para fazer a codificação da 
mensagem, é feito o produto de matrizes 
 
 
 
O destinatário, para decifrar a mensagem, deve fazer o produto da 
matriz decodificadora com a matriz codificada recebida: 
 
a) Se a matriz codificadora é e a mensagem a ser 
transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o 
destinatário recebe? 
b) Se a matriz codificadora é e o destinatário recebe a 
matriz codificada qual foi a mensagem 
enviada? 
c) Nem toda matriz é uma matriz eficaz para enviar mensagens. 
Por exemplo, se encontre sequências de letras 
de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre 
iguais a 
 
2. PUC-PR 2010 Considere as seguintes desigualdades: 
 
I. # 2 2−1 4# > #
3 4
1 5# 
II. #3 −65 −2# < #
4 7
−1 5# 
III. # 8 1−2 −6# > #
9 2
−1 −7# 
 
É correto afirmar que: 
a) são verdadeiras apenas as desigualdades I e II. 
b) são verdadeiras apenas as desigualdades II e III. 
c) são verdadeiras apenas as desigualdades I e III. 
d) as três desigualdades são verdadeiras. 
e) as três desigualdades são falsas. 
 
3. Unicamp 2014 Considere a matriz M = 2
1 a 1
b 1 a
1 b 1
5 , onde a e b 
e são números reais distintos. Podemos afirmar que: 
 
a) a matriz M não é invertível. 
b) o determinante de M é positivo. 
c) o determinante de M é igual a a2 – b2. 
d) a matriz M é igual à sua transposta. 
 
4. Seja 𝐴 =	85 x3 3:. Determine o valor de x, tal que 
det	(𝐴?@) =
1
x − 1 
 
5. Seja A uma matriz. Se AC = 2
1 0 0
0 6 14
0 14 34
5, 
o determinante de A é: 
 
a) 8 b) 2√2 c) 2 d) √2F e) 1 
 
 
6. UFF Determine os valores de x para que a matriz	M =
2
x 0 1
1 0 x
0 −x 1
5 não admita inversa. 
 
 
7. FUVEST Obtenha determinante da inversa da matriz 
A= G
1 0 1
−1 −2 0
@
H
4 3
I 
 
 
8. Unicamp 2016 Considere a matriz quadrada de ordem 3, A =
2
cosx 0 −senx
0 1 0
senx 0 cosx
5 , onde x é um número real. 
 
Podemos afirmar que: 
a) A não é invertível para nenhum valor de x. 
b) A é invertível para um único valor de x. 
c) A é invertível para exatamente dois valores de x. 
d) A é invertível para todos os valores de x. 
 
 
9. Duas matrizes quadradas, A e B, de terceira ordem são tais que 
det(AB) = det(2A). Se ambas as matrizes são invertíveis, então o 
determinante da matriz B é igual a: 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 
 
 
10. PUC-MG M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu 
determinante é det(M) = 2. O valor da expressão det(M) + det(2M) + 
det(3M) é: 
 
a) 12 b) 15 c) 36 d) 54 e) 72 
 
 
11. Seja A uma matriz de ordem 3, tal que det(A) = 9. Sabendo que 
det(kA) = 72, obtenha os valores reais de k. 
 
 
12. Seja A uma matriz de ordem 3, tal que A2 = 5A. Calcule det(A). 
 
13. Se Na bx yN = 2, N
b c
y zN = 3 e Q
a b c
x y z
1 1 1
Q = 10, podemos concluir 
que #a cx z# é igual a: 
 
a) 0 b) 5 c) 15 d) −5 
 
3 2
A
1 1
æ ö
= ç ÷
è ø
1 2
B ,
1 3
-æ ö
= ç ÷-è ø
F U V
M ,
E S T
æ ö
= ç ÷
è ø
6 21 22
M .
5 19 20
æ ö
= ç ÷
è ø
3 2 6 21 22 28 101 106
N A M .
1 1 5 19 20 11 40 42
æ ö æ ö æ ö
= × = × =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
6 21 22
M B N .
5 19 20
æ ö
= × = ç ÷
è ø
1 1
A ,
1 2
æ ö
= ç ÷
è ø
1 1
A ,
1 2
æ ö
= ç ÷
è ø
33 9 8 48
N ,
47 13 9 75
æ ö
= ç ÷
è ø
A
2 7
A ,
4 14
-æ ö
= ç ÷-è ø
4 4
0 0
.
0 0
æ ö
ç ÷
è ø
 
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14. (PUC-MG) O valor do determinante da matriz 
 
G
0
1
−1
3
−2
2
2
0
0
3
0
4
0
0
−1
1
I é: 
 
a) −4 b) −3 c) −1 d) 2 e) 3 
 
 
15. (FGV 2010) Uma matriz 4×4 que admite inversa é: 
 
a) G
1
4
2
5
2
3
4
6
3
2
6
7
4
1
8
8
I 
 
b) G
1
1
2
5
2
4
6
6
3
5
8
11
4
16
20
8
I 
 
c) G
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
I 
 
d) G
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15
4
8
12
16
I 
 
e) G
−1
5
9
13
2
−6
10
14
3
7
−11
15
4
8
12
−16
I 
 
 
16. Calcular o valor de RR
2 4
0 3
6 3 8
1 4 2
0 0
0 1
0 2
0 3 0
2 1 3
1 5 1
RR 
 
 
17. Resolva a equação S
x 1
x x
1 1
1 1
x x
x x
x 1
x x
S = 0. 
 
18. (Espcex (Aman) 2018) Uma matriz quadrada de ordem 
é definida por 
Então é igual a 
a) b) c) d) e) 
 
19. (Epcar (Afa) 2018) Sejam e números positivos tais que o 
determinante da matriz vale 
 
Dessa forma o determinante da matriz é igual a 
a) b) c) d) 
 
 
20. (Ifsc 2017) Considere as afirmações a seguir e assinale a soma 
da(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
 
01) Se a matriz tem determinante igual a então o 
determinante da matriz é igual a 20. 
02) O sistema de equações lineares admite uma 
infinidade de soluções. 
 
04) Se é uma matriz dada por então o 
elemento da matriz é um número quadrado 
perfeito. 
 
08) A equação tem soluções no intervalo 
 
16) A matriz é a inversa da matriz 
 
32) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n e 
 então A.B = B.A 
 
21. (Uem 2017) Considere as matrizes 
 
 e 
 
A partir delas, é correto afirmar que: 
01) A matriz é uma matriz invertível. 
02) A primeira e a última linhas de são iguais. 
04) É possível calcular o determinante da matriz 
08) O determinante da inversa de é 
16) 
 
Gabarito: 
 
1. a) b) 
c) e 
 
2. B 3. B 4. x = 4 5. C 
6. {-1, 0, 1} 7 − HTU 
8. D 9. E 10. E 11. k = 2 
12. 0 ou 125 13. D 14. A 
15. E 16. 24 17. S = {0 ,1} 
18. D 19. D 20. 01 + 08 = 09 
21. 01 + 02 = 03. 
A, 3,
ij i j
i j, se i j
a .
( 1) , se i j+
- >ìï= í
- £ïî
1det(A )-
4. 1. 0. 1.
4
1.
2
a b
1 0 0 1
2 a 0 1
1 1 b 1
0 0 0 1
-é ù
ê ú
ê ú
ê ú-
ê ú
ë û
24.
b 2
3 a
é ù
ê ú
ê úë û
0 6 6- 6
a b c
A d e f
g h i
é ù
ê ú= ê ú
ê úë û
10,
a b c
B 2g 2h 2i
d e f
é ù
ê ú= - - -ê ú
ê úë û
x 2y z 1
2x 4y 2z 2
3x 6y 3z 0
+ - =ì
ï + - =í
ï + - =î
A 3 2´
ij
3i j, se i j
a ,
i j, se i j
+ ¹ì
= í - =î
23b
tB A A= ×
21 log 2 cos
22 sen(2x)
πæ ö= ç ÷
è ø
2
[0, ].π
2 1 0
A 1 2 1
0 1 0
é ù
ê ú= ê ú
ê ú-ë û
1 0 1
B 1 0 2 .
2 1 3
é ù
ê ú= - -ê ú
ê úë û
det(A B) det(B A),× = ×
2 1 0
A 3 2 5
0 1 2
æ ö
ç ÷= ç ÷
ç ÷
è ø
1 2 3 4
B 1 2 3 4 .
1 2 3 4
æ ö
ç ÷= ç ÷
ç ÷
è ø
A
A B×
B.
A 1 .
10
-
A B B A.× = ×
= ×
æ ö æ ö
= ×ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ ö
= ç ÷
è ø
N A M
1 1 5 19 3
1 2 15 12 1
20 31 4
.
35 43 5
æ ö
= ç ÷*è ø
S E G U
M
N D A
GGBB, GNBD, GUBF UNFD.