12 Lista de Exercícios de GAAL - Transformações lineares parte 2

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Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
12ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Transformações Lineares - Parte 2
Questão 1. Considere a transformação linear T : P2(R) → P2(R) definida por
T (ax2 + bx+ c) = cx2 + (a− b)x− c.
a) Determine o KerT , sua base e dimensão.
b) Determine o ImT , sua base e dimensão.
c) T é um isomorfismo? Justifique sua resposta.
Questão 2. Seja T : R2 → R2 tal que [T ] =
(
−1 −2
0 1
)
. Obtenha os vetores u e v tais que:
a) T (u) = u
b) T (v) = v
Questão 3. Considere a transformação linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
a) Determine uma base do núcleo de T
b) Qual é a dimensão da imagem de T?
c) T é sobrejetora? Justifique.
d) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem de T.
Questão 4. Considere a transformação linear T : R2 → R3 sabendo que:
T (1, 1) = (1,−2, 0) e T (3, 4) = (0, 1, 2).
a) Determine a lei de formação da transformação linear T(x,y)
b) Determine uma base e a dimensão da imagem de T?
c) Use o Teorema da dimensão para determinar se T é injetiva.
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12ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Transformações Lineares - Parte 2
Questão 5. Sejam {v1, v2, ..., vn} vetores em um espaço vetorial V e seja T : V → W uma
transformação linear.
a) {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} é linearmente independente em W , prove que {v1, v2, ..., vn} é linear-
mente independente em V
b) Prove que a rećıproca do ı́tem (a) é falsa. Isto é se {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente em
V não necessariamente {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} é linearmente independente em W . Ilustre
essa afirmação com um exemplo de uma transformação T : R2 → R2.
c) T é um isomorfismo? Justifique sua resposta.
Questão 6. Seja T : V → V um operador linear
a) Mostre que kerT = {0}, se, e somente se, T é injetora.
b) Se λ = 0 é autovalor de T , mostre que T não é injetora
c) O operador derivação D : P3(R) → P3(R) é injetivo? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.