Aula_16_-_Geometria_Analítica_-_Extensivo_2024 (1)

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Professor Andrew Cazé 
EXTENSIVO 
VESTIBULARES 
Exasiu 
2024 
Exasi
u 
Aula 16 – Geometria Analítica. 
vestibulares.estrategia.com 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 1 
 
Sumário 
1. CONCEITOS INICIAIS 4 
1.1. Lugar geométrico (LG) 4 
1.2. Plano cartesiano 4 
1.3. Distância entre dois pontos 6 
1.4. Condição de alinhamento de pontos 7 
1.5. Método prático 8 
1.6. Razão de secção 10 
1.7. Ponto médio 11 
1.8. Baricentro de um triângulo 13 
2. EQUAÇÃO DA RETA 16 
2.1. Formas da equação da reta 16 
2.2. Esboço do gráfico da reta 20 
2.3. Intersecção entre retas 22 
2.4. Ângulo entre retas 22 
2.5. Condição de perpendicularidade 23 
2.6. Condição de paralelismo 24 
2.7. Posição relativa entre duas retas 24 
2.8. Distância de ponto à reta 25 
2.9. Distância entre retas paralelas 25 
2.10. Retas bissetrizes 26 
3. CÁLCULO DE ÁREAS 27 
3.1 Área de um triângulo 27 
3.2 Área de polígonos 28 
4. CIRCUNFERÊNCIAS 37 
4.1. Equações da circunferência 37 
05 DE OUTUBRO DE 2021 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 2 
4.2. Posições relativas entre ponto e circunferência 39 
4.3. Posições relativas entre retas e circunferência 40 
4.4. Posições relativas entre duas circunferências 42 
5.0 QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES 44 
6.0 GABARITO 67 
7.0 QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 68 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 135 
VERSÕES DAS AULAS 135 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 3 
INTRODUÇÃO 
 
Nesta aula, estudaremos de maneira mais profunda alguns lugares geométricos. Alguns desses 
lugares já foram visitados no estudo das funções, como no caso de parábolas e hipérboles. 
Aprenderemos os principais conceitos básicos da Geometria Analítica e veremos as equações das 
principais figuras geométricas e suas propriedades. 
O que há de diferente na Geometria Analítica é que não precisamos, aqui, obedecer àquelas duas 
regras para que uma relação seja função, está lembrado? Não há necessidade de todos os elementos do 
conjunto Domínio estarem relacionados e não é preciso que um elemento do domínio se limite a estar 
relacionado a apenas um elemento do conjunto imagem. 
No mais, as regras da álgebra continuam valendo, mas só essas mudanças já são o suficiente para 
abrir nosso leque de objetos de estudo para muitos outros lugares geométricos que não seriam possíveis 
somente com o conceito de função. Vamos lá? 
Faremos uma pequena retomada de conceitos e, após isso, você verá muitos conceitos. 
Enquanto estuda a teoria, foque na interpretação e entendimento. Nos exercícios, foque nas 
ferramentas utilizadas. 
Se as dúvidas aparecerem, poste-as no fórum, estamos aqui para ajudar você. 
Grande abraço e bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 4 
1. Conceitos Iniciais 
1.1. Lugar geométrico (LG) 
A definição de lugar geométrico é a figura formada pelos pontos que compartilham de uma 
mesma propriedade. 
A circunferência, por exemplo, é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de determinado 
ponto (denominado centro da circunferência) e sua equação é da forma (𝑥 − 𝑥0)
2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 = 𝑅2, 
onde (𝑥0, 𝑦0) é o centro da circunferência. 
 
1.2. Plano cartesiano 
Para começar o estudo da geometria analítica, vamos entender o que é o plano cartesiano. Esse 
plano é definido por dois eixos reais e, por isso, dizemos que ele é o plano ℝ2. Denominamos o eixo 
horizontal como o eixo das abcissas (eixo 𝑂𝑥 ou, simplesmente, eixo 𝑥) e o eixo vertical como o eixo das 
ordenadas (eixo 𝑂𝑦 ou eixo 𝑦), eles são ortogonais entre si. Esses eixos se interceptam em um único ponto 
chamado de origem (0,0). 
O eixo 𝑥 possui uma seta à extremidade direita e o eixo 𝑦 possui uma seta para cima. Essas setas 
representam a ordenação dos números no eixo. Tomando a origem como referência, todos os pontos 
acima da origem possuem ordenada positiva (eixo 𝑦) e todos os pontos à direita da origem possuem 
abcissa positiva (eixo 𝑥). Desse modo, o sentido contrário àqueles serão os pontos que possuem ordenada 
e abcissa negativas. 
O plano cartesiano possui dois eixos perpendiculares entre si. O eixo 
horizontal é chamado de eixo das abscissas (𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒙). O eixo vertical é chamado 
de eixo das ordenadas (𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒚). 
Vamos representar alguns pontos no plano. Preliminarmente, devemos entender que pontos são 
pares ordenados no plano ℝ2, também podemos entender esses pares ordenados como coordenadas. 
Sejam os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 tais que 𝐴 = (−1, 1), 𝐵 = (1, 1) e 𝐶 = (1, 3). 
 
O que são coordenadas? 
• Quando queremos posicionar um ponto em um gráfico, precisamos saber seu endereço; 
• Se o eixo horizontal é rotulado como x e o eixo vertical é rotulado como y, então as 
coordenadas (𝑥, 𝑦) são o quão longe nós vamos ao longo dos eixos x e y para posicionar o ponto. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 5 
Para representar esses pontos no gráfico, devemos lembrar que o primeiro número do par 
ordenado é a abcissa do ponto e o segundo número é a sua ordenada. Então, para o ponto 𝐴(−1, 1), 
temos 𝑥𝑎 = −1 e 𝑦𝑎 = 1. Como 𝑥𝑎 é negativo, ele está à esquerda da origem e como 𝑦𝑎 é positivo, ele 
está acima da origem. Assim, 𝐴, 𝐵, 𝐶 estão localizados do seguinte modo: 
 
Dividindo o plano cartesiano em quatro quadrantes, estes são definidos de acordo com o sinal das 
coordenadas. 
1° 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝑥 > 0 𝑒 𝑦 > 0 
2° 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝑥 < 0 𝑒 𝑦 > 0 
3° 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝑥 < 0 𝑒 𝑦 < 0 
4° 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝑥 > 0 𝑒 𝑦 < 0 
 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 6 
Perceba que os pontos que estão localizados nos eixos coordenados não pertencem a nenhum 
quadrante. Por esse fato, dizemos que o plano cartesiano é formado pelos quatro quadrantes e pelos 
eixos coordenados. 
Todo ponto sobre o 𝑥 terá 𝑦 = 0, ou seja, será do tipo (𝑥, 0) 
Todo ponto sobre o 𝑦 terá 𝑥 = 0, ou seja, será do tipo (0, 𝑦) 
Ainda falando de plano, não podemos esquecer das bissetrizes que dividem seus quadrantes ao 
meio. 
A reta formada por todos os pontos onde 𝑥 = 𝑦 é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares. 
A bissetriz dos quadrantes pares é a reta formada por todos os pontos nos 𝑥 = −𝑦. 
 
 
1.3. Distância entre dois pontos 
Sejam 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝) e 𝑄(𝑥𝑞 , 𝑦𝑞) dois pontos quaisquer representados de acordo com a figura abaixo: 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 7 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ao lado, obtemos 
𝑑𝑃𝑄
2 = (𝑥𝑝 − 𝑥𝑞)
2
+ (𝑦𝑝 − 𝑦𝑞)
2
 
 
 Essa é a fórmula geral para calcular a distância entre dois pontos quaisquer no plano. 
 Como a ordem dos termos nas diferenças das abcissas e das ordenadas não alteram o 
resultado, também podemos escrever: 
 
 Onde Δ𝑥 e Δ𝑦 podem ser: 
Δ𝑥 = 𝑥𝑝 − 𝑥𝑞 𝑜𝑢 Δ𝑥 = 𝑥𝑞 − 𝑥𝑝 
Δ𝑦 = 𝑦𝑝 − 𝑦𝑞 𝑜𝑢 Δ𝑦 = 𝑦𝑞 − 𝑦𝑝 
 
1.4. Condição de alinhamento de pontos 
 Para saber se três pontos são colineares, basta calcular o determinante de suas 
coordenadas e verificar se ele é nulo! 
𝒅𝑷𝑸 = √(𝒙𝒑 − 𝒙𝒒)
2
+ (𝒚𝒑 − 𝒚𝒒)
2
 
𝒅𝑷𝑸 = √(𝜟𝒙)
𝟐 + (𝜟𝒚)𝟐 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 8 
 
Vamos inserir as coordenadas dos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 em uma matriz e completar a última coluna com 
1. 
(
𝑥𝑎 𝑦𝑎 1
𝑥𝑏 𝑦𝑏1
𝑥𝑐 𝑦𝑐 1
) 
Agora, calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero: 
 
𝑥𝑎𝑦𝑏 + 𝑥𝑐𝑦𝑎 + 𝑥𝑏𝑦𝑐 − 𝑥𝑐𝑦𝑏 − 𝑥𝑎𝑦𝑐 − 𝑥𝑏𝑦𝑎 = 0 
⇒ 𝑥𝑎𝑦𝑏 + 𝑥𝑏𝑦𝑐 + 𝑥𝑐𝑦𝑎 − 𝑥𝑎𝑦𝑐 − 𝑥𝑏𝑦𝑎 − 𝑥𝑐𝑦𝑏 = 0 
Esse resultado é a mesma equação resultante da aplicação do teorema de Tales na figura analisada 
com os três pontos. 
 
1.5. Método prático 
 Podemos também verificar a condição de alinhamento de outro modo. Vamos analisar a 
equação 𝑥𝑎𝑦𝑏 + 𝑥𝑏𝑦𝑐 + 𝑥𝑐𝑦𝑎 − 𝑥𝑎𝑦𝑐 − 𝑥𝑏𝑦𝑎 − 𝑥𝑐𝑦𝑏 = 0. 
 Organizando os termos, obtemos: 
(𝑥𝑎𝑦𝑏 − 𝑥𝑏𝑦𝑎) + (𝑥𝑏𝑦𝑐 − 𝑥𝑐𝑦𝑏) + (𝑥𝑐𝑦𝑎 − 𝑥𝑎𝑦𝑐) = 0 
 Perceba que podemos reescrever a equação acima usando determinantes de ordem 2. 
|
𝒙𝒂 𝒚𝒂 1
𝒙𝒃 𝒚𝒃 1
𝒙𝒄 𝒚𝒄 1
| = 0 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 9 
|
𝑥𝑎 𝑦𝑎
𝑥𝑏 𝑦𝑏
| + |
𝑥𝑏 𝑦𝑏
𝑥𝑐 𝑦𝑐
| + |
𝑥𝑐 𝑦𝑐
𝑥𝑎 𝑦𝑎
| = 0 
 Para facilitar a memorização, podemos representar essa soma de determinantes como: 
|
𝑥𝑎 𝑦𝑎
𝑥𝑏 𝑦𝑏
| + |
𝑥𝑏 𝑦𝑏
𝑥𝑐 𝑦𝑐
| + |
𝑥𝑐 𝑦𝑐
𝑥𝑎 𝑦𝑎
| = |
𝑥𝑎 𝑦𝑎
𝑥𝑏 𝑦𝑏
𝑥𝑐 𝑦𝑐
𝑥𝑎 𝑦𝑎
| 
 
|
𝑥𝑎 𝑦𝑎
𝑥𝑏 𝑦𝑏
𝑥𝑐 𝑦𝑐
𝑥𝑎 𝑦𝑎
| não é o determinante de uma matriz 4𝑥2, ele é apenas uma 
representação que usaremos para calcular a soma dos três determinantes de ordem 
2. 
Lembre-se que só podemos calcular determinante de matrizes quadradas! 
Assim, ao invés de calcularmos cada determinante, organizamos os termos em uma fileira, 
inserindo as coordenadas um embaixo do outro e repetindo o primeiro termo no final da sequência, e 
fazemos as contas do seguinte modo: multiplicamos os termos no sentido das setas, tornando o lado 
direito positivo e o lado esquerdo negativo, e por fim somamos os dois resultados. 
Veja: 
 
 
 
 
−𝑥𝑏 ⋅ 𝑦𝑎 
−𝑥𝑐 ⋅ 𝑦𝑏 
−𝑥𝑎 ⋅ 𝑦𝑐 
−𝑥𝑏𝑦𝑎 − 𝑥𝑐𝑦𝑏 − 𝑥𝑎𝑦𝑐 
|
𝑥𝑎 𝑦𝑎
𝑥𝑏 𝑦𝑏
𝑥𝑐 𝑦𝑐
𝑥𝑎 𝑦𝑎
| 
 
 
 
 
 𝑥𝑎 ⋅ 𝑦𝑏
 𝑥𝑏 ⋅ 𝑦𝑐
 𝑥𝑐 ⋅ 𝑦𝑎
 𝑥𝑎𝑦𝑏 + 𝑥𝑏𝑦𝑐 + 𝑥𝑐𝑦𝑎
 
⇒ −𝑥𝑏𝑦𝑎 − 𝑥𝑐𝑦𝑏 − 𝑥𝑎𝑦𝑐 + 𝑥𝑎𝑦𝑏 + 𝑥𝑏𝑦𝑐 + 𝑥𝑐𝑦𝑎 = 0 
|
𝑥𝑎 𝑦𝑎
𝑥𝑏 𝑦𝑏
𝑥𝑐 𝑦𝑐
𝑥𝑎 𝑦𝑎
| = 𝑥𝑎𝑦𝑏 + 𝑥𝑏𝑦𝑐 + 𝑥𝑐𝑦𝑎 − 𝑥𝑏𝑦𝑎 − 𝑥𝑐𝑦𝑏 − 𝑥𝑎𝑦𝑐 = 0 
 Perceba que o mecanismo é o mesmo que calcular cada determinante isoladamente e 
somar os resultados. Mas essa representação é mais fácil de memorizar e, por isso, usaremos ela ao longo 
do curso. Grave esse método, pois veremos que ela será bastante útil no tópico de área de polígonos. 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 10 
 Vamos ver na prática como se aplica essa ferramenta. Colocamos todos os pontos um 
embaixo do outro e repetimos o primeiro termo no final. Considerando 𝐴(1, 2), 𝐵(2, 3) e 𝐶(3, 4), vamos 
iniciar com o ponto 𝐴 e seguir com 𝐵 e 𝐶 (tanto faz a ordem dos pontos, o importante é repetir o primeiro 
ponto e inseri-lo no final): 
|
1 2
| ⇒ |
1 2
2 3
3 4
| ⇒ |
1 2
2 3
3 4
1 2
| 
 Agora, multiplicamos os termos no sentido das setas, lembrando que o lado direito é o lado 
positivo e o lado esquerdo é o lado negativo, e por fim somamos os dois resultados. Veja: 
 
 
 
 
−2 ⋅ 2 
−3 ⋅ 3 
−4 ⋅ 1 
−17 
|
1 2
2 3
3 4
1 2
| 
 
 
 
 
 1 ⋅ 3
 2 ⋅ 4
 3 ⋅ 2
 17
 
⇒ −17 + 17 = 0 
 Portanto, verificamos que os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são colineares! 
 Use as setas apenas para guiá-lo nas multiplicações, mas, com o tempo, acostume-se a 
fazer diretamente do seguinte modo: 
|
𝑥𝑎 𝑦𝑎
𝑥𝑏 𝑦𝑏
𝑥𝑐 𝑦𝑐
𝑥𝑎 𝑦𝑎
| = 𝑥𝑎𝑦𝑏 + 𝑥𝑏𝑦𝑐 + 𝑥𝑐𝑦𝑎 − 𝑥𝑏𝑦𝑎 − 𝑥𝑐𝑦𝑏 − 𝑥𝑎𝑦𝑐 
 
1.6. Razão de secção 
Esse assunto possui baixa taxa de incidência na prova e já estudamos ela na aula de Geometria 
Plana I. O conceito é o mesmo, vamos apenas adaptá-lo à Geometria Analítica. 
Dado um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ de extremos 𝐴(𝑥𝑎, 𝑦𝑎) e 𝐵(𝑥𝑏 , 𝑦𝑏), dizemos que 𝑋(𝑥𝑥, 𝑦𝑥) divide o 
segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ internamente na razão 𝑟 quando 
𝐴𝑋̅̅ ̅̅
𝑋𝐵̅̅ ̅̅
= 𝑟 
Ou 
𝐴𝑋̅̅ ̅̅ = 𝑟 ⋅ 𝑋𝐵̅̅ ̅̅ 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 11 
A equação acima diz que o segmento 𝐴𝑋̅̅ ̅̅ é 𝑟 vezes maior que o segmento 𝑋𝐶̅̅ ̅̅ , no qual 𝑟 é um 
número real. 
Na Geometria Analítica, pelo fato de 𝑟 poder assumir valores negativos, devemos considerar que 
os segmentos são orientados, isto é, 
𝑟 < 0 → 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝑋𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 
𝑟 > 0 → 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝑋𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 
 Segmentos orientados podem ser considerados como vetores. Como você deve ter 
estudado no material de Física, podemos explorar o conceito de vetor na Geometria Analítica. 
 Os vetores 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑋𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ podem ser escritos como 
𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑋 − 𝐴 𝑒 𝑋𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = �⃗� − 𝑋 
 Assim, se 𝐴𝑋̅̅ ̅̅ = 𝑟 ⋅ 𝑋𝐵̅̅ ̅̅ , temos 
𝑋 − 𝐴 = 𝑟 ⋅ (�⃗� − 𝑋 ) 
 Isolando 𝑋 : 
𝑋 + 𝑟 ⋅ 𝑋 = 𝐴 + 𝑟 ⋅ �⃗� ⇒ 𝑋 = (
1
1 + 𝑟
)𝐴 + (
𝑟
1 + 𝑟
) �⃗� 
 Portanto, igualando-se as componentes dos vetores, obtemos: 
𝑥𝑥 = (
1
1 + 𝑟
) 𝑥𝑎 + (
𝑟
1 + 𝑟
) 𝑥𝑏 
𝑦𝑥 = (
1
1 + 𝑟
) 𝑦𝑎 + (
𝑟
1 + 𝑟
)𝑦𝑏 
 Com essas fórmulas, podemos calcular as coordenadas de um ponto 𝑋 interno ao segmento 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ cuja razão de secção é 𝑟. 
 
1.7. Ponto médio 
Sejam 𝐴 e 𝐵 dois pontos localizados no plano cartesiano, se 𝑀 é o ponto médio entre 𝐴 e 𝐵, então 
𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 ⇒
𝐴𝑀
𝑀𝐵
= 1⏟
𝑟
 
Como vimos no tópico anterior, podemos substituir 𝑟 = 1 na fórmula para obter as coordenadas 
do ponto médio 𝑀: 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 12 
𝑥𝑚 = (
1
1 + 𝑟
) 𝑥𝑎 + (
𝑟
1 + 𝑟
) 𝑥𝑏 e 𝑦𝑚 = (
1
1 + 𝑟
) 𝑦𝑎 + (
𝑟
1 + 𝑟
)𝑦𝑏 
𝑟 = 1 ⇒ 𝑥𝑚 = (
1
1 + 1
) 𝑥𝑎 + (
1
1 + 1
) 𝑥𝑏 e 𝑦𝑚 = (
1
1 + 1
)𝑦𝑎 + (
1
1 + 1
)𝑦𝑏 
 
 
Observando a fórmula acima, podemos ver que para encontrar o ponto médio entre dois pontos, 
basta calcular a média aritmética entre as abcissas e as ordenadas dos pontos envolvidos. 
Vejamos um exemplo: 
Vamos calcular o ponto médio entre 𝐴(2, 3) e 𝐵(−2, 2). Aplicando diretamente a definição de 
ponto médio, temos: 
𝑥𝑚 =
𝑥𝑎 + 𝑥𝑏
2
=
2 + (−2)
2
= 0 
𝑦𝑚 =
𝑦𝑎 + 𝑦𝑏
2
=
3 + 2
2
=
5
2
 
Graficamente, podemos ver que o ponto 𝑀 equidista das extremidades 𝐴 e 𝐵. 
 
 
𝑥𝑚 =
𝑥𝑎 + 𝑥𝑏
2
 
𝑦𝑏 =
𝑦𝑎 + 𝑦𝑏
2
 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 13 
1.8. Baricentro de um triângulo 
Também podemos calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo diretamente. Sejam três 
pontos não colineares 𝐴, 𝐵, 𝐶, se 𝐺 é o baricentro do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶, então: 
𝑥𝑔 =
𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 + 𝑥𝑐
3
 𝑒 𝑦𝑔 =
𝑦𝑎 + 𝑦𝑏 + 𝑦𝑐
3
 
Note que as coordenadas do baricentro são a média aritmética entre as respectivas coordenadas 
dos pontos envolvidos! Como são três pontos, dividimos por três! 
 
01) Calcule as coordenadas do baricentro do triângulo 𝐴𝐵𝐶, sabendo que 𝐴 = (1, 3), 𝐵 =
(−2, 4) e 𝐶 = (4, 6). 
Comentários: 
Como temos todas as coordenadas dos pontos do triângulo, podemos aplicar diretamente 
a fórmula para encontrar as coordenadas do seu baricentro. Desse modo, temos: 
𝑥𝑔 =
𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 + 𝑥𝑐
3
=
1 + (−2) + 4
3
=
5
3
 
𝑦𝑔 =
𝑦𝑎 + 𝑦𝑏 + 𝑦𝑐
3
=
3 + 4 + 6
3
=
13
3
 
Portanto, as coordenadas do baricentro são 
𝐺 = (
5
3
,
13
3
) 
 
02) Verifique se os pontos abaixo estão alinhados. 
a) 𝐴(1, −1); 𝐵(2,−2) e 𝐶(5, −5) 
b) 𝐴(3, 0); 𝐵(−2, 0) e 𝐶(1, 2) 
c) 𝐴(10,−3); 𝐵(3, 1) e 𝐶(2, 1) 
d) 𝐴(3,−1); 𝐵(2, 2) e 𝐶(−2,−10) 
Comentários: 
a) 𝐴(1, −1); 𝐵(2,−2) e 𝐶(5, −5) 
Vamos usar o método do determinante: 
|
1 −1 1
2 −2 1
5 −5 1
| 
Pelo Teorema de Jacobi, podemos somar a primeira coluna à segunda e obter uma matriz 
equivalente. 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 14 
|
1 −1 1
2 −2 1
5 −5 1
| = |
1 0 1
2 0 1
5 0 1
| = 0 
Como o determinante da matriz das coordenadas é nulo, os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 estão alinhados. 
 
b) 𝐴(3, 0); 𝐵(−2, 0) e 𝐶(1, 2) 
 Vamos usar o método prático: 
|
3 0
−2 0
1 2
3 0
| = 3 ⋅ 0 + (−2) ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 − (−2) ⋅ 0 − 1 ⋅ 0 − 3 ⋅ 2 = −10 ≠ 0 
Portanto, como |
3 0
−2 0
1 2
3 0
| ≠ 0, os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 não estão alinhados. 
 
c) 𝐴(10,−3); 𝐵(3, 1) e 𝐶(2, 1) 
Calculando o determinante: 
|
10 −3 1
3 1 1
2 1 1
| = 10 − 6 + 3 − 2 − 10 + 9 = 4 ≠ 0 
Como o determinante não é nulo, os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 não são colineares. 
 
d) 𝐴(1,−1); 𝐵(2, 2) e 𝐶(−2,−10) 
Verificando pelo método prático: 
|
1 −1
2 2
−2 −10
1 −1
| = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ (−10) + (−2) ⋅ (−1) − 2 ⋅ (−1) − (−2) ⋅ 2 − 1 ⋅ (−10) = 0 
Como |
1 −1
2 2
−2 −10
1 −1
| = 0, temos que 𝐴, 𝐵, 𝐶 são colineares. 
Gabarito: 
a) alinhados 
b) não alinhados 
c) não alinhados 
d) alinhados 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 15 
 
03) Calcule o perímetro do triângulo 𝐴𝐵𝐶, sabendo que 𝐴 = (0, 1), 𝐵 = (−2, 3) e 𝐶 =
(3, 4). 
Comentários: 
Para calcular o perímetro, devemos calcular os lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶. Pelos dados do 
enunciado, temos: 
𝐴 = (0, 1) ⇒ 𝑥𝑎 = 0 𝑒 𝑦𝑎 = 1 
𝐵 = (−2, 3) ⇒ 𝑥𝑏 = −2 𝑒 𝑦𝑏 = 3 
𝐶 = (3, 4) ⇒ 𝑥𝑐 = 3 𝑒 𝑦𝑐 = 4 
𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)
2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)
2 = √((−2) − 0)
2
+ (3 − 1)2 = 2√2 
𝑑𝐴𝐶 = √(𝑥𝑐 − 𝑥𝑎)
2 + (𝑦𝑐 − 𝑦𝑎)
2 = √(3 − 0)2 + (4 − 1)2 = 3√2 
𝑑𝐵𝐶 = √(𝑥𝑐 − 𝑥𝑏)
2 + (𝑦𝑐 − 𝑦𝑏)
2 = √(3 − (−2))
2
+ (4 − 3)2 = √26 
Assim, o perímetro é dado por 
𝑝Δ𝐴𝐵𝐶 = 2𝑝 = 𝑑𝐴𝐵 + 𝑑𝐴𝐶 + 𝑑𝐵𝐶 = 2√2 + 3√2 + √26 
Gabarito: 𝟐𝒑 = 𝟐√𝟐 + 𝟑√𝟐 + √𝟐𝟔 
 
04) Seja o triângulo formado pelos pontos 𝐴(1, 2), 𝐵(3, 4) e 𝐶(2, 6). Calcule o seu 
perímetro, as coordenadas da base média de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e as coordenadas do seu baricentro. 
Comentários: 
Para calcular o perímetro, devemos calcular os valores dos lados do triângulo. 
𝑑𝐴𝐵 = √(3 − 1)
2 + (4 − 2)2 = 2√2 
𝑑𝐴𝐶 = √(2 − 1)
2 + (6 − 2)2 = √17 
𝑑𝐵𝐶 = √(2 − 3)
2 + (6 − 4)2 = √5 
∴ 𝑝Δ𝐴𝐵𝐶 = 2𝑝 = 2√2 + √17 + √5 
 A base média do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é o ponto 𝑀: 
𝑥𝑚 =
(𝑥𝑎 + 𝑥𝑏)
2
=
1 + 3
2
= 2 
𝑦𝑚 =
𝑦𝑎 + 𝑦𝑏
2
=
2 + 4
2
= 3 
∴ 𝑀 = (2, 3) 
 O baricentro do triângulo é o ponto 𝐺 dado por: 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 16 
𝑥𝑔 =
1 + 3 + 2
3
= 2 
𝑦𝑔 =
2 + 4 + 6
3
= 4 
∴ 𝐺 = (2, 4) 
Gabarito: 𝟐𝒑 = 𝟐√𝟐 + √𝟏𝟕 + √𝟓;𝑴 = (𝟐, 𝟑) 𝐞 𝑮 = (𝟐, 𝟒) 
 
2. Equação da Reta 
2.1. Formas da equação da reta 
Sendo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, temos a equação geral da reta: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 
Note que ela é uma equação linear. Logo, qualquer par ordenado (𝑥, 𝑦) que torna verdadeira a 
equação da reta acima é um ponto que pertence à reta. 
Assim, se tivermos dois pontos e quisermos descobrir a equação da reta que passa por eles, basta 
usar o método do determinante e igualá-lo a zero (condição de alinhamento de três pontos). 
Sejam 𝐴 e 𝐵 pontos distintos. Esses pontos determinam uma reta, sendo assim, se 𝑃(𝑥, 𝑦) é um 
ponto dessa reta, temos que o determinante da matriz de suas coordenadas deve ser nulo: 
|
𝑥 𝑦 1
𝑥𝑎 𝑦𝑎 1
𝑥𝑏 𝑦𝑏 1
| = 0 
 
05) Encontre a equação da reta que passa por 𝐴(2, 4) e 𝐵(1, 3). 
Comentários: 
|
𝑥 𝑦 1
2 4 1
1 3 1
| = 0 ⇒ 4𝑥 + 𝑦 + 6 − 4 − 3𝑥 − 2𝑦 = 0 
∴ 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 
Além disso, podemos isolar o 𝑦, na equação geral, assim encontraremos dois coeficientes novos, 
quais sejam 𝑚 e 𝑛. Assim obtemos a equação reduzida da reta: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 17 
Denominamos 𝑚 como o coeficiente angular da reta e 𝑛 como o coeficiente linear. O motivo 
desses coeficientes receberem esses nomes não é por acaso. Vamos desenhar uma reta genérica 𝑟 e 
analisar os pontos 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑟. 
 
Podemos construir o triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶 com o prolongamento dos segmentos que formam 
os pontos 𝐴 e 𝐵. A reta 𝑟 forma um ângulo 𝛼 com o eixo das abcissas, pois 𝐴𝐶//𝑂𝑥 e 𝐵�̂�𝐶 = 𝛼. Como 
podemos ver na figura ao lado, 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 é o cateto oposto a 𝛼 e 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 é o cateto adjacente. Assim, 
podemos calcular a tangente de 𝛼: 
𝒕𝒈𝜶 =
𝒚𝒃 − 𝒚𝒂
𝒙𝒃 − 𝒙𝒂
= 𝒎 
 Perceba que 𝑡𝑔𝛼 é numericamente igual ao coeficiente 𝑚 definido na equação reduzida da 
reta. Como 𝛼 é o ângulo que a reta forma com o eixo horizontal, 𝒎 recebeu o nome de coeficiente angular 
da reta. 
 Além disso, substituindo 𝑥 = 0 na equação da reta reduzida, obtemos 𝑦 = 𝑛, ou seja, 𝒏 é 
o ponto em que a reta corta o eixo 𝑦 e, por isso, é chamado de coeficiente linear da reta. 
 Desse modo, conhecendo-se o coeficiente angular da reta e um ponto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) 
pertencente à reta, podemos deduzir sua equação da seguinte forma: 
𝑡𝑔𝛼 = 𝑚 =
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
⇒ 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥0 = 𝑦 − 𝑦0 ⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦0 − 𝑚𝑥0 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 18 
 
O que podemos fazer com dois pontos conhecidos? 
• Se tivermos dois pontos com coordenadas (𝑥1, 𝑦1) e (𝑥2, 𝑦2), então somos capazes de 
encontrar: 
➔ O coeficiente angular “𝑚” da reta que passa por eles: 
Coeficiente Angular =
Variação vertical
Variação Horizontal
=
y2 − y1
x2 − x1
 
➔ O ponto médio "𝑀(𝑥𝑚 , 𝑦𝑚)" entre eles: 
(𝑥𝑚 , 𝑦𝑚) = (
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
) 
➔ A distância "𝑑" entre eles: 
 Distância = √(𝑥2 − 𝑥1)
2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2 
• Não se intimide com a notação assustadora (𝑥1, 𝑦1), pois é apenas a representação de um 
"ponto 1". Nas questões, encontraremos números legais, prometo! 
• Vale ressaltar que se três pontos A, B e C só estão sob a mesma RETA se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ (ou 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ) 
têm o mesmo coeficiente angular. 
 
06) Encontre a equação da reta cujo coeficiente angular é 2 e passa pelo ponto 𝑃(1, 3). 
Comentários: 
O enunciado diz que 𝑚 = 2 (𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟), desse modo: 
𝑚 =
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
⇒ 2 =
𝑦 − 3
𝑥 − 1
⇒ 2𝑥 − 2 = 𝑦 − 3 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 + 1 
A equação geral e a equação reduzida não são as únicas formas da reta, mas elas são as mais 
cobradas no vestibular. 
 
Como encontramos a equação de uma reta? 
• A equação reduzida de uma reta é 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, onde 𝑚 é o coeficiente angular e 𝑛 é a 
interceptação do eixo y, chamado de coeficiente linear da reta. 
• Para encontrar a equação de uma reta, você precisa de duas coisas: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 19 
1) o coeficiente,m; 
2) qualquer ponto pertrecente à reta. 
 
Além dessas, temos a equação segmentária da reta. Tomando-se a equação geral da reta e 
supondo 𝑐 ≠ 0, podemos deduzi-la: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = −𝑐 
Dividindo a equação por −𝑐, obtemos 
(−
𝑎
𝑐
) 𝑥 + (−
𝑏
𝑐
) 𝑦 = 1 
𝑥
(−
𝑐
𝑎)
+
𝑦
(−
𝑐
𝑏
)
= 1 
Fazendo 𝑝 = −𝑐/𝑎 e 𝑞 = −𝑐/𝑏, obtemos a equação segmentária da reta. 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
= 1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡á𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 
Essas são as principais formas que podem ser cobradas na prova. Veremos adiante que a forma 
reduzida resolve a maioria dos problemas dos vestibulares. 
 
 
 Vamos analisar a equação reduzida da reta. 
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 
 Note que nessa forma, não estão incluídas as retas que são perpendiculares ao eixo 𝑥, pois 
não existe a tangente de 90°. Nesse caso, essas retas são da seguinte forma: 
𝑥 = 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ 
 
 Outro ponto a se notar é que se 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 20 
 
𝑚 < 0 ⇒
𝜋
2
< 𝛼 < 𝜋 
 
 
 
𝑚 ≥ 0 ⇒ 0 ≤ 𝛼 <
𝜋
2
 
 
 
 
2.2. Esboçodo gráfico da reta 
Para esboçar o esquema de uma equação de reta, precisamos conhecer as coordenadas de pelo 
menos dois pontos da reta e traçar uma reta que passa por eles. O modo mais simples é encontrar as 
coordenadas dos pontos (𝑥, 0) e (0, 𝑦), ou seja, calcular os pontos em que a reta cruza o eixo 𝑥 e o eixo 
𝑦. Vejamos um exemplo. 
Vamos esboçar o gráfico da equação 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0, para isso, substituímos 𝑦 = 0 para 
encontrar o ponto em que a reta cruza o eixo 𝑥: 
𝑦 = 0 ⇒ 2𝑥 + 3 ⋅ 0 + 6 = 0 ⇒ 2𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = −3 
Agora, substituímos 𝑥 = 0 para calcular o ponto em que a reta cruza o eixo 𝑦: 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 21 
𝑥 = 0 ⇒ 2 ⋅ 0 + 3𝑦 + 6 = 0 ⇒ 3𝑦 + 6 = 0 ⇒ 𝑦 = −2 
Assim, representamos os dois pontos encontrados no plano cartesiano e traçamos uma reta que 
passa por eles: 
 
 Esse é o esboço da equação 2𝑥 + 3𝑦 + 6. Note que ela é a equação geral da reta, 
poderíamos ter isolado o 𝑦 para analisar os coeficientes angular e linear da equação: 
2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 ⇒ 𝑦 = −
2
3
𝑥 − 2 
 Como o coeficiente angular da reta é negativo (𝑚 = −2/3), a reta possui inclinação maior 
que 90° e como o coeficiente linear é −2, ele cruza o eixo 𝑦 nesse ponto. 
 
 
Bizu de prova! 
Em caso de dúvida, ESBOCE O GRÁFICO! 
Um esboço rápido e razoavelmente preciso pode tornar as coisas muito mais claras e 
simples. 
 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 22 
2.3. Intersecção entre retas 
Sabemos que duas retas não paralelas e nem coincidentes se interceptam uma única vez. Essas 
retas são ditas concorrentes. Para encontrar o ponto de intersecção das retas, devemos resolver um 
sistema linear com a equação das retas envolvidas. Vamos ver um exemplo. 
Sejam as retas 𝑟: 2𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0 e 𝑠: 𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0, o ponto comum às retas é a solução do 
sistema linear formado por essas retas: 
{
2𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0
 
Como estudamos na aula de Sistemas Lineares, podemos resolver esse sistema de diversos modos. 
Vamos subtrair a primeira equação da segunda: 
{
2𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0
⇒ {𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = 4 
Substituindo o valor encontrado em qualquer uma das equações, obtemos 𝑦 = −3. 
Portanto, (4, −3) é o ponto onde as retas 𝑟 e 𝑠 se interceptam. 
 
2.4. Ângulo entre retas 
 Nesse tópico, vamos encontrar uma fórmula para calcular o menor ângulo formado entre 
duas retas concorrentes. Sejam as retas 𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑟𝑥 + 𝑛𝑟 e 𝑠: 𝑦 = 𝑚𝑠𝑥 + 𝑛𝑠 representadas de acordo 
com a figura a seguir: 
 
Aqui, 𝛼 e 𝛽 são os ângulos que as retas 𝑟 e 𝑠 formam com o eixo 𝑥, respectivamente. Desse modo, 
temos 𝑚𝑟 = 𝑡𝑔𝛼 e 𝑚𝑠 = 𝑡𝑔𝛽. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 23 
A fórmula para calcular o menor ângulo entre duas retas concorrentes será dada por 
 
 
2.5. Condição de perpendicularidade 
Se as retas forem perpendiculares, temos 𝜃 = 90° e 𝑡𝑔(90°) → ∞. A única maneira disso ocorrer 
é o denominador da expressão encontrada ser nulo, desse modo: 
𝑟 ⊥ 𝑠 ⇒ 1 + 𝑚𝑟 ⋅ 𝑚𝑠 = 0 ⇒ 𝑚𝑟 ⋅ 𝑚𝑠 = −1 
Assim, duas retas são perpendiculares se, e somente se, 
𝑚𝑟 ⋅ 𝑚𝑠 = −1 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
Ou seja, se a reta 𝑠 é perpendicular à reta 𝑟, então seu coeficiente angular é 
𝑚𝑠 = −
1
𝑚𝑟
 
 
O que são retas perpendiculares? 
• Retas perpendiculares se cruzam e, onde se cruzam, as duas retas formam um ângulo reto, 
ou seja, elas se interceptam a 90°. 
• Duas retas são perpendiculares quando o produto entre seus coeficientes angulares é igual 
a -1. 
𝑚𝑟 ⋅ 𝑚𝑠 = −1 
• Um bizu para encontrar o coeficiente de uma reta, conhecendo o coeficiente da sua 
perpendicular utilizar o inverso do oposto do número do coeficiente conhecido. 
Exemplo, se temos a reta 𝑟: 𝑦 = 2𝑥 = 3, o coeficiente 𝑚𝑟 = 2 e o coeficiente de uma reta 
perpendicular 𝑚𝑠 será dado por −
1
2
 (basta invertermos a fração 
2
1
 e trocarmos o sinal). 
 
𝒕𝒈𝜽 = |
𝒎𝒓 − 𝒎𝒔
𝟏 + 𝒎𝒓 ⋅ 𝒎𝒔
| 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 24 
2.6. Condição de paralelismo 
Sejam as retas 𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑟𝑥 + 𝑛𝑟 e 𝑠: 𝑦 = 𝑚𝑠𝑥 + 𝑛𝑠, podemos afirmar que 𝑟 e 𝑠 são paralelas se, e 
somente se, 
𝑚𝑟 = 𝑚𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑖𝑠𝑚𝑜 
Isto é, a condição de paralelismo entre retas é ambas possuírem o mesmo coeficiente angular. 
Exemplo: 
𝑟: 𝑦 = 2𝑥 + 3 
𝑠: 𝑦 = 2𝑥 + 5 
𝑟 e 𝑠 são paralelas entre si, pois 𝑚𝑟 = 2 = 𝑚𝑠. 
Se 𝑛𝑟 = 𝑛𝑠, além de paralelas, as retas são coincidentes. 
 
O que são retas paralelas? 
• Você já deve ter deduzido que as retas paralelas têm coeficientes angulares iguais; 
• As retas paralelas se nunca se cruzam, logo possuem o mesmo ângulo com relação ao eixo 
das abcissas. 
• Dessa forma: 
𝒎𝒓 = 𝒎𝒔 
 
2.7. Posição relativa entre duas retas 
Podemos analisar a posição relativa entre duas retas através da equação geral da reta. Nesse caso, 
devemos verificar a relação entre seus coeficientes 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐. 
Sejam 𝑟: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 = 0 e 𝑠: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 = 0, se 
• 𝒓 ∩ 𝒔 = ∅ 
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
≠
𝑐1
𝑐2
⇒ 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 
• 𝒓 = 𝒔 
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
⇒ 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 25 
• 𝒓 ∩ 𝒔 = 𝑷 
𝑎1
𝑎2
≠
𝑏1
𝑏2
⇒ 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
Podemos ainda analisar a posição relativa entre duas retas através da equação reduzida da reta. 
Nesse caso, devemos verificar a relação entre seus coeficientes angulares e lineares. 
 
 
2.8. Distância de ponto à reta 
Dado um ponto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) e uma reta 𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 tal que 𝑃 ∉ 𝑟, a distância do ponto 𝑃 a 𝑟 
é dada pela seguinte expressão: 
𝑑𝑃,𝑟 = |
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐
√𝑎2 + 𝑏2
| 
Note que tomando o ponto 𝑃 como a origem, temos: 
𝑑𝑃,𝑟 = |
𝑐
√𝑎2 + 𝑏2
| 
 
2.9. Distância entre retas paralelas 
Qual a distância entre duas retas paralelas? 
Para calcular a distância entre duas retas paralelas, basta tomar um ponto qualquer pertencente 
a uma das retas e aplicar diretamente a fórmula da distância de ponto à reta. 
Sejam as retas 𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑟 = 0 e 𝑠: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑠 = 0. Se 𝑃(𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑟, temos: 
Retas 𝑟 e 𝑠
Paralelas
𝒎𝒓 = 𝒎𝒔
Coincidentes
𝒏𝒓 = 𝒏𝒔
Distintas
𝒏𝒓 ≠ 𝒏𝒔
Concorrentes
𝒎𝒓 ≠ 𝒎𝒔
Perpendiculares
𝒎𝒓 ⋅ 𝒎𝒔 = −𝟏
Não perpendiculares
𝒎𝒓 ⋅ 𝒎𝒔 ≠ −𝟏
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 26 
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑟 = 0 ⇒ 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = −𝑐𝑟 
Usando a fórmula da distância de 𝑃 à 𝑠, obtemos: 
𝑑𝑃,𝑠 = |
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑠
√𝑎2 + 𝑏2
| 
Substituindo 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = −𝑐𝑟 na equação acima, obtemos a expressão para a distância de duas 
retas paralelas: 
𝑑𝑃,𝑠 = |
𝑐𝑠 − 𝑐𝑟
√𝑎2 + 𝑏2
| 
Note que se 𝑐𝑠 = 𝑐𝑟, a distância é nula, o que confirma que as retas são coincidentes nesse caso. 
 
2.10. Retas bissetrizes 
Vimos na Geometria Plana que a bissetriz é a reta que divide um ângulo em duas partes iguais. 
Desse modo, duas retas concorrentes determinam duas bissetrizes, uma interna e outra externa. 
Podemos entender a bissetriz como o lugar geométrico dos pontos que equidistam das retas concorrentes 
que a formam. Tendo isso em mente, vamos aprender a determinar as equações das retas bissetrizes de 
duas retas concorrentes. 
Sejam as retas concorrentes 𝑟: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 = 0 e 𝑠: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 = 0. Tomando-se um 
ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) qualquer pertencente à reta bissetriz de 𝑟 e 𝑠, temos: 
 
𝑑𝑃,𝑟 = 𝑑𝑃,𝑠 
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 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 27 
|
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1
√𝑎1
2 + 𝑏1
2
|= |
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2
√𝑎2
2 + 𝑏2
2
| 
 Resolvendo essa equação, obtemos duas equações (uma é a bissetriz interna e a outra é a 
bissetriz externa): 
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1
√𝑎1
2 + 𝑏1
2
= ±
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2
√𝑎2
2 + 𝑏2
2
 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑖𝑠𝑠𝑒𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 
Vejamos um exemplo. 
07) Determine as equações das retas bissetrizes às retas 𝑟: 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 e 𝑠: 2𝑥 + 3𝑦 + 6 =
0. 
Comentários: 
Vamos aplicar diretamente a fórmula das bissetrizes: 
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1
√𝑎1
2 + 𝑏1
2
= ±
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2
√𝑎2
2 + 𝑏2
2
 
Substituindo os coeficientes das retas 𝑟 e 𝑠, obtemos: 
𝑥 + 𝑦 + 1
√12 + 12
= ±(
2𝑥 + 3𝑦 + 6
√22 + 32
) 
√13(𝑥 + 𝑦 + 1) = ±√2(2𝑥 + 3𝑦 + 6) 
 Logo, as equações das bissetrizes são dadas por 𝑡1 e 𝑡2: 
⇒ √13(𝑥 + 𝑦 + 1) = √2(2𝑥 + 3𝑦 + 6) 
𝑡1: (√13 − 2√2)𝑥 + (√13 − 3√2) + √13 − 6√2 = 0 
⇒ √13(𝑥 + 𝑦 + 1) = −√2(2𝑥 + 3𝑦 + 6) 
𝑡2: (√13 + 2√2)𝑥 + (√13 + 3√2) + √13 + 6√2 = 0 
 
3. Cálculo de áreas 
3.1 Área de um triângulo 
Caso três pontos não estejam alinhados, podemos afirmar que esses pontos formam um triângulo. 
Além disso, a metade do módulo do determinante resultante dos três pontos é numericamente 
igual à área do triângulo formado por esses pontos. 
Portanto, a área do triângulo formado por esses pontos é dada por 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 28 
𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 =
1
2
|𝐷𝐴𝐵𝐶| 
Interessante não? Esse é um método para calcular a área de um triângulo conhecendo-se as 
coordenadas dos três vértices que a formam. Além desse método, vimos no início da aula que podemos 
calcular 𝐷𝐴𝐵𝐶 do seguinte modo: 
𝐷𝐴𝐵𝐶 = |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| + |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
| + |
𝑥3 𝑦3
𝑥1 𝑦1
| 
Representando essa soma de outro modo, temos 
|
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| + |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
| + |
𝑥3 𝑦3
𝑥1 𝑦1
| = |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
𝑥1 𝑦1
| 
Portanto: 
𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 =
1
2
||
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| + |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
| + |
𝑥3 𝑦3
𝑥1 𝑦1
|| =
1
2 |
||
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
𝑥1 𝑦1
||| 
 
3.2 Área de polígonos 
Para finalizar o capítulo de retas, vamos aprender a calcular área de polígonos. 
Seja o polígono formado pelos pontos 𝐴1(𝑥1, 𝑦1), 𝐴2(𝑥2, 𝑦2), 𝐴3(𝑥3, 𝑦3), … , 𝐴𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 29 
 
O polígono acima pode ser dividido em diversos triângulos internos. Usando o método do 
determinante para calcular a área de cada triângulo e somando os resultados, podemos provar que a área 
do polígono é dada por 
𝑆 =
1
2
||
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| + |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
| + |
𝑥3 𝑦3
𝑥4 𝑦4
| + |
𝑥4 𝑦4
𝑥5 𝑦5
| + ⋯+ |
𝑥𝑛 𝑦𝑛
𝑥1 𝑦1
|| 
Aqui também podemos usar a outra representação, lembrando que devemos repetir o primeiro 
termo na última linha: 
𝑆 =
1
2 |
|
|
|
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
⋮ ⋮
𝑥𝑛 𝑦𝑛
𝑥1 𝑦1
|
|
|
|
 
Perceba que ao usar essa fórmula para calcular a área do polígono, devemos respeitar a ordem 
dos pontos. Escolhemos um ponto como ponto de partida e seguimos a sequência no sentido horário ou 
no sentido anti-horário. Seria como se estivéssemos desenhando o polígono e, por isso, finalizamos a 
sequência com o primeiro termo (fechando a figura). Partindo de 𝐴1, temos: 
𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖 − ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 → 𝐴1𝐴2𝐴3 …𝐴𝑛𝐴1 
𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 → 𝐴1𝐴𝑛𝐴𝑛−1 …𝐴2𝐴1 
Essa fórmula é válida para qualquer polígono. 
Vamos ver na prática como usamos esse método. 
Veja o exemplo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 30 
 
08) Calcule a área do polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, sabendo que 
𝐴(1, 1), 𝐵(3, 2), 𝐶(4, 5), 𝐷(1, 6) e 𝐸(0, 2). 
Comentários: 
Podemos resolver essa questão de dois modos: 
I) Podemos desenhar a figura representada pelos pontos e dividir a figura obtida em figuras 
geométricas conhecidas, e calculamos a área de cada figura e somamos os resultados. 
II) Podemos usar o método do determinante e calcular diretamente a área. 
Vamos usar o método mais simples, do determinante. 
O primeiro passo é escolher um ponto para iniciar a sequência, vamos escolher o ponto 𝐴. 
Agora, escolhemos o sentido em que listaremos os pontos, vamos seguir a sequência 
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐴. 
Desse modo, a área do polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 é dada por 
𝑆 =
1
2
|
|
|
|
1 1
3 2
4 5
1 6
0 2
1 1
|
|
|
|
=
1
2
|2 + 15 + 24 + 2 + 0 − 3 − 8 − 5 − 0 − 2| =
1
2
|43 − 18| =
25
2
 
09) Escreva as seguintes equações gerais das retas na forma reduzida. 
a) 2𝑥 + 3𝑦 + 8 = 0 
b) −4𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 
Comentários: 
a) 2𝑥 + 3𝑦 + 8 = 0 ⇒ 3𝑦 = −2𝑥 − 8 ⇒ 𝑦 = −
2
3
𝑥 −
8
3
 
b) −4𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 ⇒ 2𝑦 = 4𝑥 + 6 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 + 3 
Gabarito: 
a) 𝒚 = −
𝟐
𝟑
𝒙 −
𝟖
𝟑
 
b) 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑 
 
10) Determine a equação da reta que passa pelos seguintes pontos: 
a) 𝐴(1,−1) e 𝐵(3, 0) 
b) 𝐴(2, 5) e 𝐵(1, −4) 
c) 𝐴(−10, 2) e 𝐵(3, 7) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 31 
d) 𝐴(3, 4) e 𝐵(1, 1) 
Comentários: 
Como vimos nesse capítulo, podemos encontrar a equação da reta de diversos modos, 
você deve escolher o que mais lhe agrada. 
a) Pelo método do determinante: 
|
𝑥 𝑦 1
1 −1 1
3 0 1
| = 0 ⇒ −𝑥 + 3𝑦 + 3 − 𝑦 = 0 ⇒ −𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 
b) Pela forma reduzida, podemos substituir os pontos dados para encontrar um sistema 
linear: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ⇒ {
5 = 2𝑚 + 𝑛 (𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐴)
−4 = 𝑚 + 𝑛 (𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐵)
 
 Resolvendo o sistema, encontramos: 
𝑚 = 9 𝑒 𝑛 = 13 
∴ 𝑦 = 9𝑥 + 13 
c) Pela forma 𝑚 =
𝑦−𝑦0
𝑥−𝑥0
. 
 Para calcular 𝑚, podemos usar os dois pontos dados: 
𝑚 =
𝑦𝑎 − 𝑦𝑏
𝑥𝑎 − 𝑥𝑏
=
2 − 7
−10 − 3
=
−5
−13
=
5
13
 
 Escolhendo-se o ponto 𝐴, temos: 
𝑚 =
𝑦 − 𝑦𝑎
𝑥 − 𝑥𝑎
⇒
5
13
=
𝑦 − 2
𝑥 − (−10)
⇒ 5𝑥 − 13𝑦 + 76 = 0 
d) Pelo método prático: 
|
3 4
1 1
𝑥 𝑦
3 4
| = 0 ⇒ 3 + 𝑦 + 4𝑥 − 4 − 𝑥 − 3𝑦 = 0 ⇒ 3𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 
Gabarito: 
a) −𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎 
b) 𝒚 = 𝟗𝒙 + 𝟏𝟑 
c) 𝟓𝒙 − 𝟏𝟑𝒚 + 𝟕𝟔 = 𝟎 
d) 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝟎 
 
11) Sabendo que os vértices do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 são 𝐴(0, 0), 𝐵(−1, 5) e 𝐶(−5, 1), 
determine: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 32 
a) A equação da reta que passa pelo ponto médio da base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e pelo ponto 𝑃(2, 0). 
b) A medida da mediana relativa ao vértice 𝐵. 
c) A equação da reta que passa pelo baricentro do triângulo e pelo vértice 𝐴. 
d) A área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶. 
Comentários: 
a) O ponto médio da base 𝑩𝑪 é dado por 𝑴: 
𝑥𝑚 =
𝑥𝑏 + 𝑥𝑐
2
=
−1 − 5
2
= −3 
𝑦𝑚 =
𝑦𝑏 + 𝑦𝑐
2
=
5 + 1
2
= 3 
∴ 𝑀 = (−3, 3) 
 A equação da reta que passa por 𝑀 e por 𝑃 é dada por: 
|
2 0
−3 3
𝑥 𝑦
2 0
| = 0 ⇒ 6 − 3𝑦 − 3𝑥 − 2𝑦 = 0 ⇒ −3𝑥 − 5𝑦 + 6 = 0 
b) A medida da mediana relativa ao vértice 𝑩 é a dada pela distância de 𝑩 até o ponto 
médio da base 𝑨𝑪. Assim, temos: 
𝑀𝐴𝐶 = (
𝑥𝑎 + 𝑥𝑐
2
,
𝑦𝑎 + 𝑦𝑐
2
) = (
0 + (−5)
2
,
0 + 1
2
) = (−
5
2
,
1
2
) 
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, encontramos o valor pedido: 
𝑀𝑏 = √((−
5
2
) − (−1))
2
+ (
1
2
− 5)
2
= √
9
4
+
81
4
 
𝑀𝑏 =
3√10
2
 
c) O baricentro é dado por: 
𝐺 = (
𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 + 𝑥𝑐
3
,
𝑦𝑎 + 𝑦𝑏 + 𝑦𝑐
3
) = (
0 − 1 − 5
3
,
0 + 5 + 1
3
) = (−2, 2) 
𝐺 = (−2, 2) 
 A equação da reta é 
|
0 0
−2 2
𝑥 𝑦
0 0
| = 0 ⇒ −2𝑦 − 2𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = −𝑥 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 33 
d) Usando o método prático para calcular a área, temos: 
𝑆 =
1
2 |
||
0 0
−1 5
−5 1
0 0
||| =
1
2
|−1 + 25| = 12 
𝐴 = 12 
Gabarito: 
a) 𝑴 = (−𝟑, 𝟑) 𝒆 − 𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟔 = 𝟎 b) 𝑴𝒃 =
𝟑√𝟏𝟎
𝟐
 
c) 𝑮 = (−𝟐, 𝟐) e 𝒚 = −𝒙 d) 𝑺 = 𝟏𝟐 
 
12) Determine a equação da reta que passa pela origem e é perpendicular à reta que 
contém os pontos𝐴(0, 5) e 𝐵(4, 0). 
Comentários: 
 Para encontrar essa reta, devemos calcular o coeficiente angular da reta que contém 
𝐴 e 𝐵. Seja 𝑟 essa reta, então: 
𝑚𝑟 =
𝑦𝑏 − 𝑦𝑎
𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
=
0 − 5
4 − 0
= −
5
4
 
 Seja 𝑠 a reta perpendicular à 𝑟 que passa pela origem, assim, temos: 
𝑚𝑠 = −
1
𝑚𝑟
= −
1
−
5
4
=
4
5
 
 A reta 𝑠 é: 
𝑠: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) ⇒ 𝑠: 𝑦 − 0 =
4
5
(𝑥 − 0) ⇒ 𝑦 =
4
5
𝑥 
Gabarito: 𝒚 =
𝟒
𝟓
𝒙 
 
13) Classifique as retas abaixo em paralelas, coincidentes ou concorrentes. Caso sejam 
concorrentes, determine o ponto de intersecção. 
a) {
𝑟: 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0
𝑠: 3𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0
 
b) {
𝑟: 2𝑥 + 5𝑦 + 4 = 0
𝑠:−2𝑥 + 𝑦 + 6 = 0
 
c) {
𝑟: 𝑥 + 2𝑦 + 2 = 0
𝑠: 2𝑥 + 4𝑦 + 6 = 0
 
Comentários: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 34 
a) 𝒓 e 𝒔 são coincidentes, pois: 
{
𝑟: 1𝑥 + 1𝑦 + 2 = 0
𝑠: 3𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0
 
1
3
=
1
3
=
2
6
 
b) 𝒓 e 𝒔 são concorrentes, pois os coeficientes angulares das retas são diferentes: 
2
−2
≠
5
1
 
Resolvendo-se o sistema, encontramos o ponto de intersecção das retas. 
Somando a equação de 𝑟 com a equação de 𝑠: 
6𝑦 + 10 = 0 ⇒ 𝑦 = −
5
3
 
Usando a equação de 𝑠: 
−2𝑥 + 𝑦 + 6 = 0 ⇒ −2𝑥 −
5
3
+ 6 = 0 ⇒ 𝑥 =
13
6
 
Portanto, o ponto de intersecção é 𝑃 = (
13
6
, −
5
3
). 
c) 𝒓 e 𝒔 são paralelas, pois: 
1
2
=
2
4
≠
2
6
 
Gabarito: 
a) coincidentes 
b) concorrentes, 𝑷 = (
𝟏𝟑
𝟔
, −
𝟓
𝟑
) 
c) paralelas 
 
14) Seja o triângulo formado pelos pontos 𝐴(−2, 0), 𝐵(1, 2) e 𝐶(−4, 3), calcule: 
a) A altura relativa à base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 
b) O ângulo interno relativo ao vértice 𝐴. 
Comentários: 
a) Calculemos a reta que contém a base 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ : 
|
1 2
−4 3
1 2
𝑥 𝑦
| = 0 ⇒ 3 − 8 + 𝑦 + 8 − 3 − 2𝑥 = 0 ⇒ 𝑟:−2𝑥 + 𝑦 = 0 
 A altura relativa à base é dada pela distância do vértice 𝐴 à reta 𝑟: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 35 
ℎ𝑎 = 𝑑𝐴,𝑟 = |
−2𝑥𝑎 + 𝑦𝑎
√(−2)2 + 12
| = |
−2(−2) + 0
√(−2)2 + 12
| = |
4
√5
| =
4√5
5
 
ℎ𝑎 =
4√5
5
 
 
b) Veja a figura: 
 
 Seja 𝑠 e 𝑡 as retas que contém os segmentos 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶, respectivamente. Vamos 
calcular o coeficiente angular dessas retas: 
𝑚𝑠 =
𝑦𝑎 − 𝑦𝑏
𝑥𝑎 − 𝑥𝑏
=
0 − 2
−2 − 1
=
2
3
⇒ 𝑚𝑠 =
2
3
 
𝑚𝑡 =
𝑦𝑎 − 𝑦𝑐
𝑥𝑎 − 𝑥𝑐
=
0 − 3
−2 − (−4)
= −
3
2
⇒ 𝑚𝑡 = −
3
2
 
 Perceba que 
𝑚𝑠 ⋅ 𝑚𝑡 =
2
3
⋅ (−
3
2
) = −1 
 Portanto, 𝑠 e 𝑡 são perpendiculares, logo, 𝜃 = 90° . 
 Caso não fossem perpendiculares, poderíamos calcular 𝜃 pela fórmula: 
𝑡𝑔𝜃 = |
𝑚𝑠 − 𝑚𝑡
1 + 𝑚𝑠 ⋅ 𝑚𝑡
| 
Gabarito: 
a) 𝒉𝒂 =
𝟒√𝟓
𝟓
 
b) 𝜽 = 𝟗𝟎° 
 
15) Determine as equações das retas bissetrizes às seguintes retas: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 36 
{
−2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0
 
Comentários: 
Para encontrar as retas bissetrizes, usamos a definição da reta bissetriz ser equidistante 
das retas que a formam: 
|
−2𝑥 + 𝑦 + 3
√(−2)2 + 12
| = |
𝑥 + 2𝑦 + 1
√12 + 22
| 
|
−2𝑥 + 𝑦 + 3
√5
| = |
𝑥 + 2𝑦 + 1
√5
| 
−2𝑥 + 𝑦 + 3 = ±(𝑥 + 2𝑦 + 1) 
Portanto, as retas bissetrizes são: 
𝑏1: −3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 
𝑏2: −𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0 
Gabarito: 𝒃𝟏: −𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟐 = 𝟎 e 𝒃𝟐: −𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟒 = 𝟎 
 
16) Calcule a área do polígono formado pelos pontos 
𝐴(0, 0), 𝐵(2, 1), 𝐶(4, 2), 𝐷(3, 4), 𝐸(0, 5) e 𝐹(−2, 3). 
Comentários: 
 Seguindo a ordem 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 𝐷 → 𝐸 → 𝐹 → 𝐴: 
𝑆 =
1
2
|
|
|
|
0 0
2 1
4 2
3 4
0 5
−2 3
0 0
|
|
|
|
=
1
2
|4 + 16 + 15 − 4 − 6 + 10| =
1
2
|35| =
35
2
 
𝑆 =
35
2
 
Gabarito: 𝑺 =
𝟑𝟓
𝟐
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 37 
4. Circunferências 
 
Vamos iniciar o estudo das cônicas. Essas figuras são lugares geométricos obtidos pela intersecção 
de um plano com cones retos duplos opostos pelo vértice. 
Vejas as figuras abaixo: 
 
Perceba que a elipse é formada pela intersecção de um plano inclinado em relação às bases dos 
cones. Se esse plano for paralelo às bases, obtemos a figura de uma circunferência, e esse é um caso 
particular de elipse. Se o plano for paralelo à geratriz de um dos cones, obtemos uma parábola (dessa 
forma não formamos uma elipse). Por fim, a hipérbole é obtida passando-se um plano paralelo ao eixo 
de simetria dos cones. Além desses, temos as cônicas degeneradas: um ponto (elipse degenerada), uma 
reta (parábola degenerada), para de retas (hipérbole degenerada) ou o conjunto vazio. 
Nessa aula estudaremos a principal cônica cobrada em vestibulares: a circunferência. 
 
4.1. Equações da circunferência 
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo. Esse 
ponto é chamado de centro da circunferência. 
Seja 𝜆 a circunferência de centro 𝐶(𝑥0, 𝑦0) e 𝑟 o seu raio. Se 𝑃 ∈ 𝜆, então, pela definição desse 
L.G., temos 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 38 
 
a equação reduzida da circunferência: 
(𝒙 − 𝒙𝟎)
𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎)
𝟐 = 𝒓𝟐 
Desenvolvendo-se a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência: 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝟎𝒙 − 𝟐𝒚𝟎𝒚 + (𝒙𝟎
𝟐 + 𝒚𝟎
𝟐 − 𝒓𝟐) = 𝟎 
Usando a equação da circunferência, podemos escrever duas equações de semicircunferências. 
Vamos tomar a circunferência centrada na origem. 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
Isolando 𝑦: 
𝑦2 = 𝑟2 − 𝑥2 ⇒ 𝑦 = ±√𝑟2 − 𝑥2 
Representando as curvas no gráfico, temos: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 39 
4.2. Posições relativas entre ponto e circunferência 
Dados um ponto 𝑃(𝑥1, 𝑦1) e uma circunferência 𝜆: (𝑥 − 𝑥0)
2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 = 𝑟2, para saber a 
posição relativa do ponto em relação à 𝜆, basta substituir as coordenadas de 𝑃 na expressão (𝑥 − 𝑥0)
2 +
(𝑦 − 𝑦0)
2 e analisar o número encontrado com o raio ao quadrado. Desse modo: 
(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎)
𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚𝟎)
𝟐 < 𝒓𝟐 → P é interior à λ 
(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎)
𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚𝟎)
𝟐 = 𝒓𝟐 → P ∈ λ 
(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎)
𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚𝟎)
𝟐 > 𝒓𝟐 → P é exterior à λ 
Exemplo: 
18) Seja a circunferência 𝜆: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 9, qual a posição relativa do ponto 
𝑃(0, 3) em relação à 𝜆? 
Comentários: 
Substituindo as coordenadas de 𝑃 na circunferência: 
(0 − 2)2 + (3 − 1)2 = 4 + 4 = 8 < 9 
Gabarito: o ponto é interior à circunferência. 
 
 
• Se uma circunferência com centro na origem com raio 𝑟 tem a equação 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
1. Um ponto (𝑎, 𝑏) pertence à circunferência se 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑟2; 
2. Se 𝑎2 + 𝑏2 < 𝑟2 então (𝑎, 𝑏) está dentro do círculo; 
3. Se 𝑎2 + 𝑏2 > 𝑟2 então (𝑎, 𝑏) está fora do círculo; 
4. A circunferência corta os eixos 𝑥 𝑒 𝑦 em ±𝑟 ("𝑟 positivo ou negativo") 
3. Não se esqueça: 
Diâmetro = 2r 
Circunferência = 2πr 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 40 
4.3. Posições relativas entre retas e circunferência 
Dadas as equações de uma reta 𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 e de uma circunferência 𝜆: (𝑥 − 𝑥0)
2 +
(𝑦 − 𝑦0)
2 = 𝑟2, para saber a posição relativa da reta em relação à 𝜆, basta isolar uma das variáveis da 
reta (𝑥 𝑜𝑢 𝑦) na equação da circunferência e verificar o valor do discriminante 𝚫 da equação resultante. 
Assim: 
• 𝑟 ∩ 𝜆 = ∅ ⇔ Δ < 0 (𝑟 é 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) 
 
• 𝑟 ∩ 𝜆 = {𝑃} ⇔ Δ = 0 (𝑟 é 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒) 
 
• 𝑟 ∩ 𝜆 = {𝑃1, 𝑃2} ⇔ Δ > 0 (𝑟 é 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 41 
Exemplo: 
19) Qual a posição relativa da reta 𝑟: 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 em relação à 𝜆: (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 = 9? 
Comentários: 
Da reta 𝑟, temos 𝑦 = 1 − 2𝑥. Substituindo na equação de 𝜆: 
(𝑥 − 1)2 + (1 − 2𝑥)2= 9 ⇒ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 1 − 4𝑥 + 4𝑥2 = 9 
⇒ 5𝑥2 − 6𝑥 − 7 = 0 
Analisando o discriminante dessa equação, temos: 
Δ = 36 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−7) = 176 > 0 
Temos duas soluções, logo, a reta intercepta a circunferência em dois pontos. Assim, 𝑟 é 
secante a 𝜆. 
 
 
Como encontramos a equação de uma reta tangente à uma circunferência? 
• Primeiro, certifique-se de estar familiarizado com as equações das retas, coeficientes e 
condição de perpendicularidade; 
1. Uma reta TANGENTE toca em apenas um ponto da circunferência de origem O (mas não 
a cruza); 
2. O coeficiente angular da tangente no ponto A é PERPENDICULAR ao coeficiente angular 
do raio 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ (lembre-se, o produto entre coeficientes perpendiculares resulta em −1); 
3. Use 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 para encontrar a equação da tangente. 
 
Bizu de prova 
Resolver equações simultâneas (sistema) de circunferência e tangente retorna UMA UNÍCA 
SOLUÇÃO. 
Portanto, se for dado que uma reta é uma tangente à circunferência, resolva as equações 
simultâneas e encontre o ponto de encontro. 
SEMPRE faça um esboço para ajudar! 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 42 
 
 
4.4. Posições relativas entre duas circunferências 
Dadas as circunferências 𝜆1: (𝑥 − 𝑥1)
2 + (𝑦 − 𝑦1)
2 = 𝑟1
2 e 𝜆2: (𝑥 − 𝑥2)
2 + (𝑦 − 𝑦2)
2 = 𝑟2
2, para 
analisar a posição relativa entre as circunferências, devemos calcular a distância entre seus centros e 
fazer as seguintes comparações: 
Seja 𝑂1 o centro da circunferência 𝜆1 e 𝑂2 o centro da circunferência 𝜆2. 
• 𝑶𝟏𝑶𝟐 = 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 (𝝀𝟏 𝒆 𝝀𝟐 𝒔ã𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆) 
 
• 𝑶𝟏𝑶𝟐 = |𝒓𝟏 − 𝒓𝟐| (𝝀𝟏 𝒆 𝝀𝟐 𝒔ã𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 43 
 
• |𝒓𝟏 − 𝒓𝟐| < 𝑶𝟏𝑶𝟐 < 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 (𝝀𝟏 𝒆 𝝀𝟐 𝒔ã𝒐 𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔) 
 
 
• 𝑶𝟏𝑶𝟐 > 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 (𝒂𝒔 𝒅𝒖𝒂𝒔 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓ê𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 𝒔ã𝒐 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂𝒔 𝒖𝒎𝒂 à 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒂) 
 
 
 
 
• 𝑶𝟏𝑶𝟐 < |𝒓𝟏 − 𝒓𝟐| (𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒂𝒔 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓ê𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 é 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂 à 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒂) 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 44 
5.0 QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES 
 
 
1. (ENEM – 2020) 
Uma fatura mensal de água é composta por uma taxa fixa, independentemente do gasto, mais uma 
parte relativa ao consumo de água, em metro cúbico. O gráfico relaciona o valor da fatura com o volume 
de água gasto em uma residência no mês de novembro, representando uma semirreta. 
 
Observa-se que, nesse mês, houve um consumo de 𝟕 𝒎³ de água. Sabe-se que, em dezembro, o 
consumo de água nessa residência, em metro cúbico, dobrou em relação ao mês anterior. 
O valor da fatura referente ao consumo no mês de dezembro nessa residência foi 
A) superior a R$ 65,00 e inferior a R$ 70,00. 
B) superior a R$ 80,00 e inferior a R$ 85,00. 
C) superior a R$ 90,00 e inferior a R$ 95,00. 
D) superior a R$ 95,00. 
E) inferior a R$ 55,00. 
 
2. (ENEM / 2019) 
Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de 
segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador 
que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar 
equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 45 
um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições 
das câmeras 1 e 2, conforme a figura. 
 
cinco relações entre as coordenadas (𝒙 ; 𝒚) da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada. 
𝒊) 𝑹𝟏: 𝒚 = 𝒙 
𝒊𝒊) 𝑹𝟐: 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟓 
𝒊𝒊𝒊) 𝑹𝟑: 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 
𝒊𝒗) 𝑹𝟒: 𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒙 +
𝟓
𝟑
 
𝒗) 𝑹𝟓: 𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒙 +
𝟏
𝟏𝟎
 
O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações 
apresentadas para instalar a terceira câmera. A relação escolhida pelo instalador foi a 
a) R1. 
b) R2. 
c) R3. 
d) R4. 
e) R5. 
 
3. (ENEM / 2018) 
Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos 
devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar 
pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação 
cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de 
coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem 
que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto 
diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam 
os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), B(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0; 2). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 46 
 
Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação? 
𝒂) 𝒙 = 𝟎 
𝒃) 𝒚 = 𝟎 
𝒄) 𝒙² + 𝒚² = 𝟏𝟔 
𝒅) 𝒙² + (𝒚 − 𝟐)² = 𝟒 
𝒆) (𝒙 − 𝟐 )² + ( 𝒚 − 𝟐 )² = 𝟖 
 
4. (ENEM / 2016) 
Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível 
são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível 
tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a 
quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo 
automóvel é indicada no eixo x (horizontal). 
 
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no taque e a distância percorrida pelo 
automóvel é 
a) 𝒚 = −𝟏𝟎𝒙 + 𝟓𝟎𝟎 
b) 𝒚 = −
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 47 
c) 𝒚 =
−𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎𝟎 
d) 𝒚 =
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎 
e) 𝒚 =
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎𝟎 
 
 
5. (ENEM / 2016) 
Observou-se que todas as formigas de um formigueiro trabalham de maneira ordeira e organizada. Foi 
feito um experimento com duas formigas e os resultados obtidos foram esboçados em um plano 
cartesiano no qual os eixos estão graduados em quilômetros. As duas formigas partiram juntas do ponto 
O, origem do plano cartesiano 𝒙𝑶𝒚. Uma delas caminhou horizontalmente para o lado direito, a uma 
velocidade de 𝟒 𝒌𝒎/𝒉. A outra caminhou verticalmente para cima, à velocidade de 𝟑 𝒌𝒎/𝒉. 
Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das posições de cada formiga? 
a) (8;0) e (0;6). 
b) (4;0) e (0;6). 
c) (4;0) e (0;3). 
d) (0;8) e (6;0). 
e) (0;4) e (3;0). 
 
6. (ENEM / 2016) 
Na figura, estão representadas, em um plano cartesiano, duas circunferências: 𝑪𝟏 (de raio 3 e centro 
𝑶𝟏) e 𝑪𝟐 (de raio 1 e centro 𝑶𝟐), tangentes entre si, e uma reta t tangente às duas circunferências nos 
pontos P e Q. 
 
Nessas condições, a equação da reta t é 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 48 
𝒂) 𝒚 = −√𝟑𝒙 + 𝟑√𝟑 
𝒃) 𝒚 = −
√𝟑
𝟑
𝒙 + 𝟑√𝟑 
𝒄) 𝒚 = −𝒙 + 𝟒 
𝒅) 𝒚 = −
𝟐
𝟑
𝒙 + 𝟒 
𝒆) 𝒚 = −
𝟒
𝟓
𝒙 + 𝟒 
 
7. (ENEM / 2015) 
Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma 
que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 (𝒙), conforme a 
figura. 
 
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo 𝒙 sempre divida ao meio a altura 𝒉 do vidro e a 
base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma 
expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida 𝒏 de sua base, em metros. 
A expressão algébrica quedetermina a altura do vidro é 
𝒂) 𝒍𝒐𝒈(
𝒏 + √𝒏𝟐 + 𝟒
𝟐
) − 𝒍𝒐𝒈(
𝒏 − √𝒏𝟐 + 𝟒
𝟐
) 
𝒃) 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 +
𝒏
𝟐
) − 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 −
𝒏
𝟐
) 
𝒄) 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 +
𝒏
𝟐
) + 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 −
𝒏
𝟐
) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 49 
𝒅) 𝒍𝒐𝒈(
𝒏 + √𝒏𝟐 + 𝟒
𝟐
) 
𝒆) 𝟐 𝒍𝒐𝒈(
𝒏 + √𝒏𝟐 + 𝟒
𝟐
) 
 
8. (ENEM / 2015) 
Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo 
estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o 
percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais 
pontos de parada, representados por P e Q. 
 
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já 
existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os 
pontos T e Q sejam iguais. 
De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são 
a) (𝟐𝟗𝟎 ; 𝟐𝟎). 
b) (𝟒𝟏𝟎 ; 𝟎). 
c) (𝟒𝟏𝟎 ; 𝟐𝟎). 
d) (𝟒𝟒𝟎 ; 𝟎). 
e) (𝟒𝟒𝟎 ; 𝟐𝟎). 
 
9. (ENEM / 2014) 
A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do 
balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então 
se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 50 
 
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem 
está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem 
orientação positiva para cima. 
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função 
𝒂) 𝒇(𝒙) = −√𝟐 − 𝒙𝟐 
𝒃) 𝒇(𝒙) = √𝟐 − 𝒙𝟐 
𝒄) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐 
𝒅) 𝒇(𝒙) = −√𝟒 − 𝒙𝟐 
𝒆) 𝒇(𝒙) = √𝟒 − 𝒙𝟐 
 
10. (ENEM / 2014) 
O número de pessoas que morrem nas ruas e estradas brasileiras nunca foi tão alto. As últimas 
mudanças na legislação mostraram-se incapazes de frear o aumento dos acidentes. O número de 
mortes em 2004 foi de 35 100 pessoas e 38 300, em 2008. Admita que o número de mortes, no período 
de 2004 a 2008, tenha apresentado um crescimento anual constante. 
Veja. 2 nov. 2011 (adaptado) 
A expressão algébrica que fornece o número de mortes N, no ano x (𝒄𝒐𝒎 𝟐𝟎𝟎𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟎𝟎𝟖), é dada 
por 
a) 𝑵 = 𝟖𝟎𝟎𝒙 + 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟎 
b) 𝑵 = 𝟖𝟎𝟎(𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝟒) + 𝟑𝟓𝟏𝟎𝟎 
c) 𝑵 = 𝟖𝟎𝟎(𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝟒) 
d) 𝑵 = 𝟑𝟐𝟎𝟎(𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝟒) + 𝟑𝟓𝟏𝟎𝟎 
e) 𝑵 = 𝟑𝟐𝟎𝟎𝒙 + 𝟑𝟓𝟏𝟎𝟎 
 
11. (FUVEST/2021) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 51 
 
A figura ilustra graficamente uma região de um bairro, com ruas ortogonais entre si. O ponto X indica 
um condomínio residencial, e o ponto Y indica a entrada de um parque. Três moradores realizam 
caminhos diferentes para chegar ao ponto Y, partindo do ponto X, ilustrados com cores diferentes. Se 
a, b e c representam as distâncias percorridas por esses moradores nesses caminhos, é correto afirmar 
que 
(A) 𝒂 = 𝒃 = 𝒄. 
(B) 𝒃 = 𝒄 < 𝒂. 
(C) 𝒄 < 𝒃 < 𝒂. 
(D) 𝒃 < 𝒄 = 𝒂. 
(E) 𝒄 < 𝒂 = 𝒃. 
 
12. (FUVEST/2021) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 52 
A região hachurada do plano cartesiano 𝒙𝑶𝒚 contida no círculo de centro na origem O e raio 1, 
mostrada na figura, pode ser descrita por 
 
(A) {(𝒙, 𝒚); 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟏 𝒆 𝒚 − 𝒙 ≤ 𝟏}. 
(8) {(𝒙, 𝒚); 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≥ 𝟏 𝒆 𝒚 + 𝒙 ≥ 𝟏}. 
(C) {(𝒙, 𝒚); 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟏 𝒆 𝒚 − 𝒙 ≥ 𝟏}. 
(D) {(𝒙, 𝒚); 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟏 𝒆 𝒚 + 𝒙 ≥ 𝟏}. 
(E) {(𝒙, 𝒚); 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≥ 𝟏 𝒆 𝒚 + 𝒙 ≤ 𝟏}. 
 
 
13. (Fuvest/2015) 
A equação 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝒎𝒚 = 𝒏, em que 𝒎 e 𝒏 são constantes, representa uma circunferência no 
plano cartesiano. Sabe-se que a reta 𝒚 = −𝒙 + 𝟏 contém o centro da circunferência e a intersecta no 
ponto (−𝟑, 𝟒). Os valores de 𝒎 e 𝒏 são, respectivamente, 
a) −𝟒 e 𝟑 b) 𝟒 e 𝟓 c) −𝟒 e 𝟐 d) −𝟐 e 𝟒 e) 𝟐 e 𝟑 
 
14. (Fuvest/2012) 
No plano cartesiano 𝟎𝒙𝒚, a circunferência 𝑪 é tangente ao eixo 𝟎𝒙 no ponto de abscissa 5 e contém o 
ponto (𝟏, 𝟐). Nessas condições, o raio de 𝑪 vale: 
a) √𝟓 
b) 𝟐√𝟓 
c) 𝟓 
d) 𝟑√𝟓 
e) 𝟏𝟎 
 
15. (Fuvest/2009) 
Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟒 e sejam P 
e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. 
Seja PQR o triângulo isóscele inscrito em C, de base , e com o maior perímetro possível. 
Então, a área de PQR é igual a 
a) 𝟐√𝟐 − 𝟐 
b) 𝟐√𝟐 − 𝟏 
PQ
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 53 
c) 𝟐√𝟐 
d) 𝟐√𝟐 + 𝟐 
e) 𝟐√𝟐 + 𝟒 
 
16. (Fuvest/2006) 
O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem 𝒕𝟐 − 𝒕 − 𝟔 = 𝟎, onde 𝒕 = |𝒙 − 𝒚|, 
consiste de 
a) uma reta. 
b) duas retas. 
c) quatro retas. 
d) uma parábola. 
e) duas parábolas. 
 
17. (Fuvest/2003) 
Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes 
angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo 
dos x e pelas retas s e t é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
18. (Fuvest/2000) 
Uma circunferência passa pelos pontos (2, 0) (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa 
circunferência à origem é: 
a) √𝟐 
b) √𝟑 
c) √𝟒 
d) √𝟓 
e) √𝟔 
 
19. (Fuvest/2000) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 54 
Sejam 𝒂, 𝒃, 𝒄 três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo 
𝑨𝑩𝑪, cujos vértices são 𝑨 = (−𝒂, 𝟎), 𝑩 = (𝟎, 𝒃) e 𝑪 = (𝒄, 𝟎), é igual a 𝒃, então o valor de 𝒃 é: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
20. (Fuvest/2000) 
Das regiões hachuradas na sequência, a que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do plano 
cartesiano, satisfazendo ao conjunto de desigualdades 𝒙  𝟎; 𝒚  𝟎; 𝒙 – 𝒚 + 𝟏  𝟎; 𝒙² + 𝒚²  𝟗, é: 
 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 55 
21. (Unicamp 2020) 
Sabendo que c é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação 𝒙𝟐 +
𝒚𝟐 = 𝟐𝒄𝒙. Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟑, então seu raio é 
igual a 
a) √𝟐 
b) √𝟑 
c) 𝟐 
d) 𝟑 
 
22. (Fuvest/1997) 
As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (𝟐, 𝟒). A reta s passa pelo ponto (𝟎, 𝟓). 
Uma equação da reta r é 
a) 𝟐𝒚 + 𝒙 = 𝟏𝟎 
b) 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 
c) 𝟐𝒚 – 𝒙 = 𝟔 
d) 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟖 
e) 𝒚 = 𝟐𝒙 
 
23. (UNICAMP/2018) 
No plano cartesiano, sejam 𝐶 a circunferência de centro na origem e raio 𝒓 > 𝟎 e 𝑠 a reta de equação 
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎. A reta 𝑠 intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos se e somente se 
a) 𝒓 > 𝟐. 
b) 𝒓 > √𝟓. 
c) 𝒓 > 𝟑. 
d) 𝒓 > √𝟏𝟎. 
 
24. (UNICAMP/2015) 
No plano cartesiano, a equação |𝒙 − 𝒚| = |𝒙 + 𝒚|representa 
a) um ponto. 
b) uma reta. 
c) um par de retas paralelas. 
d) um par de retas concorrentes. 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 56 
25. (UNICAMP/2012) 
A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é 
 
a) 21/4. 
b) 23/4. 
c) 25/4. 
d) 27/4. 
 
26. (UNESP/2018) 
Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de rodagem de veículos são o concreto e o asfalto. 
Uma pista nova de concreto reflete mais os raios solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com 
osanos de uso, ambas tendem a refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os 
segmentos de retas nos gráficos. 
 
Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas pistas novas, uma 
de concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma porcentagem de reflexão dos raios 
solares após 
a) 8,225 anos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 57 
b) 9,375 anos. 
c) 10,025 anos. 
d) 10,175 anos. 
e) 9,625 anos. 
 
27. (UNESP/2009) 
Dentre as regiões sombreadas, aquela que representa no plano cartesiano o conjunto 𝑼 =
{(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹𝟐|𝒚 ≥ 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒆 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟒} é: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 58 
 
28. (UNESP/2006) 
Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta 
que passa pelos pontos P e Q, sendo 𝑷(𝟐, 𝟏) e Q o simétrico, em relação ao eixo 𝒚, do ponto 𝑸′(𝟏, 𝟐) 
são, respectivamente: 
a) 
𝟏
𝟑
; 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟓 = 𝟎 
b) 
𝟐
𝟑
; 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏 = 𝟎 
c) –
𝟏
𝟑
; 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓 = 𝟎 
d) 
𝟏
𝟑
; 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓 = 𝟎 
e) –
𝟏
𝟑
; 𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟓 = 𝟎 
 
29. (UNESP/2003) 
O triângulo 𝑷𝑸𝑹, no plano cartesiano, de vértices 𝑷 = (𝟎, 𝟎), 𝑸 = (𝟔, 𝟎) 𝒆 𝑹 = (𝟑, 𝟓), é 
a) equilátero. 
b) isósceles, mas não equilátero. 
c) escaleno. 
d) retângulo. 
e) obtusângulo. 
 
30. (UERJ/2016) 
Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa 
por A (0, 4) e B (2, 0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto 𝑷 (𝒙𝒐, 𝟎), sendo 𝟎 ≤ 𝒙𝒐 ≤ 𝟐. 
 
Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C (0, 0), A e B, o valor de 𝒙𝟎 deve ser 
igual a: 
a) 𝟐 − √𝟐 
b) 𝟑 − √𝟐 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 59 
c) 𝟒 − 𝟐√𝟐 
d) 𝟓 − 𝟐√𝟐 
 
31. (UEA/2018) 
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a reta r, de equação 𝟑𝒙–𝟒𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎, 
intersecta o eixo das ordenadas no ponto C, que é o centro de duas circunferências concêntricas C1 e 
C2. Sabe-se que C1 tangencia o eixo das abscissas na origem do sistema e que o raio de C2 é igual a AC, 
conforme figura. 
 
Nessas condições, a área da coroa circular em destaque é igual a 
(A) 9π. 
(B) 12π. 
(C) 18π. 
(D) 7π. 
(E) 16π. 
 
32. (UEA/2018) 
O gráfico da reta 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, em que 𝒎 e 𝒃 são constantes reais, está representado em um sistema 
de coordenadas cartesianas ortogonais. 
 
Desse modo, o gráfico da reta 𝒚 =–𝟑𝒎𝒙 + 𝒃 está corretamente representado na alternativa 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 60 
 
 
 
 
 
 
 
33. (UEA/2015) 
Os vértices P e Q do triângulo PQR estão sobre o eixo 𝑶𝒙 de um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais. A equação da reta suporte do segmento PR é – 𝟐𝒙–𝒚 + 𝟔 = 𝟎, e a reta suporte do segmento 
QR é a bissetriz dos quadrantes ímpares. Nessas condições, a área do triângulo PQR é igual a 
(A) 3,0. 
(B) 3,25. 
(C) 2,25. 
(D) 2,0. 
(E) 1,5. 
 
 
34. (UEA/2015) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 61 
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sejam V(– 3,0) e A(0,k) pontos do gráfico da 
parábola descrita por 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒎(𝒙) + (𝟏𝟓–𝒎), conforme mostra a figura. 
 
A equação da reta r, que passa pelos pontos V e A, é corretamente expressa pela equação 
(A) 3𝒙–𝒚 + 𝟗 = 𝟎. 
(B) 𝟓𝒙–𝟑𝒚 + 𝟏𝟓 = 𝟎. 
(C) – 𝟓𝒙 + 𝟑𝒚–𝟏𝟓 = 𝟎. 
(D) 𝟒𝒙 – 𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎. 
(E) 𝟏𝟎𝒙–𝟑𝒚 + 𝟑𝟎 = 𝟎. 
 
35. (UEA/2012) 
Em um plano cartesiano, os pontos A (-3, -2), B (5,10) e C (x,4) são colineares. Desse modo, a distância 
entre os pontos B e C é igual a 
(A) 𝟐√𝟏𝟑. (B) 𝟔√𝟐. (C) 𝟏𝟐. (D) 𝟒√𝟏𝟑 (E) 10. 
 
36. (UEA/2009) 
Uma determinada região foi reservada para pesquisas arqueológicas. Essa região está representada por 
U no sistema de coordenadas cartesianas, em que a unidade é o quilômetro. 
 
A área dessa região em km², admitindo que o terreno seja plano, é 
(A) 10. (B) 12. (C) 25/2. (D) 13. (E) 31/2. 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 62 
37. (UEA/2003) 
O ponto R pertence ao segmento de extremidades P(1, 4) e Q(−5, 40). A distância de R a P é o dobro da 
distância de R a Q. Quais são as coordenadas de R? 
(A) (−3, 28) 
(B) (−3, 22) 
(C) (−2, 22) 
(D) (−2, 16) 
(E) (−1, 16) 
 
38. (UFPR/2020) 
Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é 𝒙² + 𝒚² − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟎. Qual 
das equações abaixo descreve uma circunferência que tangencia B? 
a) (𝒙 + 𝟏)² + (𝒚 − 𝟐)² = 𝟏𝟓. 
b) (𝒙 + 𝟐)² + (𝒚 + 𝟐)² = 𝟓. 
c) (𝒙 − 𝟑)² + (𝒚 − 𝟏)² = 𝟑. 
d) (𝒙 − 𝟕)² + (𝒚 − 𝟐)² = 𝟏𝟎. 
e) (𝒙 + 𝟑)² + (𝒚 + 𝟐)² = 𝟗. 
 
39. 25. (UFPR/2016) 
Considere o gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒙 e a reta 𝒓 que passa pelos pontos A e B, como indicado 
na figura ao lado, sendo 𝒌 a abscissa do ponto em que a reta 𝒓 intersecta o eixo 𝑶𝒙. Qual é o valor de 
𝒌? 
 
a) 17/12. 
b) 14/11. 
c) 12/7. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 63 
d) 11/9. 
e) 7/4. 
 
40. (UFPR/2014) 
A figura ao lado apresenta o gráfico da reta 𝒓: 𝟐𝒚–𝒙 + 𝟐 = 𝟎 no plano cartesiano. As coordenadas 
cartesianas do ponto P, indicado nessa figura, são: 
 
a) (3,6). 
b) (4,3). 
c) (8,3). 
d) (6,3). 
e) (3,8). 
 
41. (UFPR/2012) 
Na figura ao lado estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza 
de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa por um vértice de 
cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 64 
a) 𝒙–𝟐𝒚 =–𝟒 
b) 𝟒𝒙–𝟗𝒚 = 𝟎 
c) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 =–𝟏 
d) 𝒙 + 𝒚 = 𝟑 
e) 𝟐𝒙–𝒚 = 𝟑 
 
42. (UFPR 2008) 
Sabe-se que a reta 𝒓 passa pelos pontos 𝑨(−𝟐, 𝟎) e 𝑷(𝟎, 𝟏) e que a reta 𝒔 é paralela ao eixo das 
ordenadas e passa pelo ponto 𝑸(𝟒, 𝟐). Se B é o ponto comum em que a reta 𝒔 intercepta o eixo das 
abscissas e C é o ponto de intersecção das retas 𝒓 e 𝒔, então o perímetro do triângulo ABC é: 
a) 𝟑(𝟑 + √𝟓) 
b) 𝟑(𝟓 + √𝟑) 
c) 𝟓(𝟑 + √𝟓) 
d) 𝟑(𝟑 + √𝟑) 
e) 𝟓(𝟓 + √𝟑) 
 
43. (UFPR 2006) 
Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices 𝑨(𝟎, 𝟎), 𝑩(𝟑, 𝟏) e 𝑪(𝟏, 𝟐) e avalie as afirmativas 
a seguir. 
O triângulo ABC é isósceles. 
O ponto 𝑫(𝟐,
𝟏
𝟐
) pertence ao segmento AB. 
A equação da reta que passa pelos pontos B e C é 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟓. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
 
44. (UFU/2018) 
Considere a função definida por 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒌 ⋅ |𝒙 − 𝟑|, em que 𝒌 é um número natural constante, 𝒙 
uma variável assumindo valores reais e │𝒂│ representa o módulo do número real 𝒂. Representando, 
no sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico de 𝒚 = 𝒇(𝒙), tem-se que esse gráfico e os eixos 
coordenados delimitam um triângulo de área igual a 𝟕𝟐𝒄𝒎². 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 65 
Nas condições apresentadas, o valor de 𝒌, em cm, é um número 
a) quadrado perfeito. 
b) ímpar. 
c) múltiplo de 3. 
d) divisível por 5. 
 
45. (UFU/2015) 
Em relaçãoa um sistema de coordenadas 𝒙𝟎𝒚 (𝒙 e 𝒚 em metros), o triângulo 𝑷𝑸𝑹 tem ângulo reto no 
vértice 𝑹 = (𝟑, 𝟓), base paralela ao eixo 𝒙 e está inscrito no círculo de centro 𝑪 = (𝟏, 𝟏). A área desse 
triângulo, em metros quadrados, é igual a 
a) 40. 
b) 𝟖√𝟐𝟎. 
c) 𝟒√𝟐𝟎. 
d) 𝟖𝟎. 
 
46. (UFU/2018 - Questão 37 – 2º dia) 
Uma guilhotina deve ser regulada de forma a recortar cantos de uma chapa plana retangular de metal 
para a fabricação de calhas (Figura 1). Introduzindo um sistema de coordenadas cartesianas 𝒙𝑶𝒚, 
representando um referencial de localização, conforme indica a Figura 2, tem-se que a área de OAB é 
igual a 18 (unidades de área), e o ângulo em B é 45º (graus). 
Nessas condições, somando o coeficiente linear e o angular da reta passando por A e B, obtêm-se 
 
a) 7 
b) 5 
c) 6 
d) 4 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 66 
47. UFU/2018 
Sejam 𝑷 = (𝒂, 𝒃) um ponto do plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem as desigualdades 𝒃 <
𝟐 + 𝟐𝒂 e 𝑸 = (𝒄, 𝒅) e , e o ponto de interseção das retas descritas pelas equações 𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝟐 e 𝒙 +
𝒚 = 𝟎. Se 𝒎 é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P e Q, então, pode-se afirmar que 
a) −𝟐 < 𝒎 < −𝟏 
b) −𝟏 < 𝒎 < 𝟐 
c) 𝒎 > 𝟐 
d) 𝒎 < −𝟐 
 
48. (UEPG/2021) Considerando os pontos A(0,0), B(5,–2), C(5,8) e D(0,4), assinale o que for correto. 
01) A medida da área do quadrilátero ABCD é 35 u.a. 
02) A distância do ponto médio de 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ até o 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ é maior do que 4. 
04) O valor de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ é um número irracional. 
08) A área do triângulo ABC mede 25 u.a. 
16) Se C e D são pontos de uma reta r, então a equação da reta, paralela à reta r e que passa pelo 
ponto E(8,2), é dada por 4𝑥 − 5𝑦 = 48. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 67 
6.0 GABARITO 
 
1 A 11 B 21 E 31 E 41 A 
2 D 12 C 22 E 32 D 42 A 
3 E 13 A 23 D 33 A 43 A 
4 B 14 C 24 D 34 A 44 A 
5 A 15 D 25 C 35 A 45 C 
6 B 16 B 26 B 36 D 46 B 
7 E 17 B 27 A 37 A 47 B 
8 E 18 D 28 C 38 B 48 13 
9 D 19 E 29 B 39 A 
10 B 20 A 30 A 40 C 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 68 
7.0 QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 
 
1. (ENEM – 2020) 
Uma fatura mensal de água é composta por uma taxa fixa, independentemente do gasto, mais uma 
parte relativa ao consumo de água, em metro cúbico. O gráfico relaciona o valor da fatura com o volume 
de água gasto em uma residência no mês de novembro, representando uma semirreta. 
 
Observa-se que, nesse mês, houve um consumo de 𝟕 𝒎³ de água. Sabe-se que, em dezembro, o 
consumo de água nessa residência, em metro cúbico, dobrou em relação ao mês anterior. 
O valor da fatura referente ao consumo no mês de dezembro nessa residência foi 
A) superior a R$ 65,00 e inferior a R$ 70,00. 
B) superior a R$ 80,00 e inferior a R$ 85,00. 
C) superior a R$ 90,00 e inferior a R$ 95,00. 
D) superior a R$ 95,00. 
E) inferior a R$ 55,00. 
Comentários 
O gráfico apresenta uma reta, cuja forma algébrica é do tipo: 
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛 
O coeficiente angular 𝑚 pode ser determinado pela razão entre as variações das coordenadas 
entre dois pontos. 
𝑚 =
𝛥𝑦
𝛥𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
O coeficiente linear 𝑛 corresponde ao 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 − 𝑦, qual seja 17. 
Dessa forma: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 69 
𝑦 =
𝛥𝑦
𝛥𝑥
⋅ 𝑥 + 17 
𝑦 = (
42,2 − 17
7
) ⋅ 𝑥 + 17 
𝑦 = (
25,2
7
) ⋅ 𝑥 + 17 
𝑦 = 3,6 ⋅ 𝑥 + 17 
Assim, o valor da fatura referente ao consumo no mês de dezembro, cujo volume consumido 
foi de 14𝑚³, pode ser calculado substituindo o ponto (14, 𝑦) na equação da reta: 
𝑦 = 3,6 ⋅ 𝑥 + 17 
𝑦 = 3,6 ⋅ 14 + 17 
𝑦 = 67,4 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Gabarito: A 
 
2. (ENEM / 2019) 
Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de 
segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador 
que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar 
equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações: 
um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições 
das câmeras 1 e 2, conforme a figura. 
 
cinco relações entre as coordenadas (𝒙 ; 𝒚) da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada. 
𝒊) 𝑹𝟏: 𝒚 = 𝒙 
𝒊𝒊) 𝑹𝟐: 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟓 
𝒊𝒊𝒊) 𝑹𝟑: 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 70 
𝒊𝒗) 𝑹𝟒: 𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒙 +
𝟓
𝟑
 
𝒗) 𝑹𝟓: 𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒙 +
𝟏
𝟏𝟎
 
O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações 
apresentadas para instalar a terceira câmera. A relação escolhida pelo instalador foi a 
a) R1. 
b) R2. 
c) R3. 
d) R4. 
e) R5. 
Comentários 
Precisamos calcular o ponto que seja equidistante aos pontos das câmeras já existentes, C1 
(3,1) e C2 (2,4). Assim, teremos: 
𝐷𝐶3,𝐶1 = 𝐷𝐶2,𝐶1 
√(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = √(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 
𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 
−6𝑥 + 9 − 2𝑦 + 1 = −4𝑥 + 4 − 8𝑦 + 16 
−2𝑥 + 6𝑦 − 10 = 0 (: 2) 
−𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 
Isolando o y, temos: 
𝑦 =
𝑥 + 5
3
 
Ou 
𝑦 =
𝑥
3
+
5
3
 
 
O que é equivalente a 𝑅4: 𝑦 =
1
3
𝑥 +
5
3
. 
Gabarito: D. 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 71 
3. (ENEM / 2018) 
Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos 
devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar 
pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação 
cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de 
coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem 
que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto 
diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam 
os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), B(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0; 2). 
 
Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação? 
𝒂) 𝒙 = 𝟎 
𝒃) 𝒚 = 𝟎 
𝒄) 𝒙² + 𝒚² = 𝟏𝟔 
𝒅) 𝒙² + (𝒚 − 𝟐)² = 𝟒 
𝒆) (𝒙 − 𝟐 )² + ( 𝒚 − 𝟐 )² = 𝟖 
Comentários 
Podemos analisar as alternativas, uma a uma. 
𝑎) 𝑥 = 0 
Será o próprio eixo y, de forma a passar pelos pontos A e. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 72 
 
𝑏) 𝑦 = 0 
Será o próprio eixo x, de forma a passar pelo ponto C. 
 
 
 
𝑐) 𝑥² + 𝑦² = 16 
Será uma circunferência de centro na origem e raio igual a 4, de forma a passar pelos pontos A 
e C. 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 73 
 
𝑑) 𝑥² + (𝑦 − 2)² = 4 
Será uma circunferência de centro O (0, 2) e raio igual a 2, de forma a passar pelos pontos C e 
D. 
 
 
𝑒) (𝑥 − 2 )² + ( 𝑦 − 2 )² = 8 
Será uma circunferência de centro O (2, 2) e raio igual a 2√2, de forma a passar pelos pontos A, 
B e C. Assim será a maior pontuação possível, dentre as alternativas. 
 
 
Gabarito: E. 
 
 
4. (ENEM / 2016) 
Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível 
são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível 
tenha sido consumido. O segmento de reta no gráficomostra o resultado desse teste, no qual a 
quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo 
automóvel é indicada no eixo x (horizontal). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 74 
 
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no taque e a distância percorrida pelo 
automóvel é 
a) 𝒚 = −𝟏𝟎𝒙 + 𝟓𝟎𝟎 
b) 𝒚 = −
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎 
c) 𝒚 =
−𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎𝟎 
d) 𝒚 =
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎 
e) 𝒚 =
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎𝟎 
Comentários 
Pelo gráfico, observamos que se trata de uma reta cujo coeficiente linear é igual a 50 ⟶ ponto 
em que a reta toca no eixo y. 
Na análise gráfica, percebemos que a reta passa pelos pontos (0, 50) e (500, 0). 
No cálculo do coeficiente angular dessa reta, temos: 
𝑚 =
50 − 0
0 − 500
=
50
−500
= −
1
10
 
Portanto a equação da reta é dada por 
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 
𝑦 = −
𝑥
10
+ 50 
Gabarito: B. 
 
 
5. (ENEM / 2016) 
Observou-se que todas as formigas de um formigueiro trabalham de maneira ordeira e organizada. Foi 
feito um experimento com duas formigas e os resultados obtidos foram esboçados em um plano 
cartesiano no qual os eixos estão graduados em quilômetros. As duas formigas partiram juntas do ponto 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 75 
O, origem do plano cartesiano 𝒙𝑶𝒚. Uma delas caminhou horizontalmente para o lado direito, a uma 
velocidade de 𝟒 𝒌𝒎/𝒉. A outra caminhou verticalmente para cima, à velocidade de 𝟑 𝒌𝒎/𝒉. 
Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das posições de cada formiga? 
a) (8;0) e (0;6). 
b) (4;0) e (0;6). 
c) (4;0) e (0;3). 
d) (0;8) e (6;0). 
e) (0;4) e (3;0). 
Comentários: 
A primeira formiga andou 8𝑘𝑚, saindo da origem, ao longo do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥, logo estará no ponto (8; 0). 
A segunda formiga andou 6𝑘𝑚, saindo da origem, ao longo do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦, logo estará no ponto (0; 6). 
Gabarito: A 
 
 
6. (ENEM / 2016) 
Na figura, estão representadas, em um plano cartesiano, duas circunferências: 𝑪𝟏 (de raio 3 e centro 
𝑶𝟏) e 𝑪𝟐 (de raio 1 e centro 𝑶𝟐), tangentes entre si, e uma reta t tangente às duas circunferências nos 
pontos P e Q. 
 
Nessas condições, a equação da reta t é 
𝒂) 𝒚 = −√𝟑𝒙 + 𝟑√𝟑 
𝒃) 𝒚 = −
√𝟑
𝟑
𝒙 + 𝟑√𝟑 
𝒄) 𝒚 = −𝒙 + 𝟒 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 76 
𝒅) 𝒚 = −
𝟐
𝟑
𝒙 + 𝟒 
𝒆) 𝒚 = −
𝟒
𝟓
𝒙 + 𝟒 
Comentários: 
Podemos calcular a equação da reta conhecendo um ponto e o coeficiente angular. 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
Chamando 𝑂𝑅 de distância 𝑑, temos o seguinte esquema: 
 
3
1
=
4 + 𝑑
𝑑
 
𝑑 = 2 
Dessa forma o ponto R terá coordenadas (9,0) 
Agora precisamos calcular o coeficiente angular: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 77 
 
Pitágoras no triângulo vermelho: 
2² = 12 + 𝑥2 
𝑥 = √3 
 
𝑡𝑔 𝜃 =
1
√3
 
Ângulos suplementares possuem tangentes com sinais opostos, mas mesmo valores em 
módulo: 
Então: 
𝑚𝑡 = 𝑡𝑔(180
0 − 𝜃) = −
√3
3
 
Assim, 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 = −
√3
3
(𝑥 − 9) 
𝑦 = −
√3
3
𝑥 + 3√3 
 Gabarito: B 
 
7. (ENEM / 2015) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 78 
Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma 
que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 (𝒙), conforme a 
figura. 
 
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo 𝒙 sempre divida ao meio a altura 𝒉 do vidro e a 
base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma 
expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida 𝒏 de sua base, em metros. 
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é 
𝒂) 𝒍𝒐𝒈(
𝒏 + √𝒏𝟐 + 𝟒
𝟐
) − 𝒍𝒐𝒈(
𝒏 − √𝒏𝟐 + 𝟒
𝟐
) 
𝒃) 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 +
𝒏
𝟐
) − 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 −
𝒏
𝟐
) 
𝒄) 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 +
𝒏
𝟐
) + 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 −
𝒏
𝟐
) 
𝒅) 𝒍𝒐𝒈(
𝒏 + √𝒏𝟐 + 𝟒
𝟐
) 
𝒆) 𝟐 𝒍𝒐𝒈(
𝒏 + √𝒏𝟐 + 𝟒
𝟐
) 
Comentários: 
Dada a função, 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥), iremos encontrar dois pontos no esboço abaixo: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 79 
 
Utilizando 𝑘 como a abscissa do ponto 𝐴, temos os pontos: 
(𝑛 + 𝑘;
ℎ
2
) 𝑒 (𝑘;−ℎ 2⁄ ) 
Substituindo os pontos na função, temos: 
(𝑛 + 𝑘;
ℎ
2
) 
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) 
ℎ
2
= log(𝑛 + 𝑘) (𝑖) 
 
(𝑘;−ℎ 2⁄ ) 
−
ℎ
2
= log 𝑘 (𝑖𝑖) 
Substituindo (𝑖) em (𝑖𝑖): 
− log(𝑛 + 𝑘) = log 𝑘 
𝑙𝑜𝑔(𝑛 + 𝑘)−1 = 𝑙𝑜𝑔 𝑘 
(𝑛 + 𝑘)−1 = 𝑘 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 80 
1
𝑛 + 𝑘
= 𝑘 
1 = 𝑘2 + 𝑛 ⋅ 𝑘 
𝑘2 + 𝑛 ⋅ 𝑘 − 1 = 0 
𝑘 =
−𝑛 ± √𝑛2 + 4
2
 
𝑘 =
−𝑛 + √𝑛2 + 4
2
 
Assim, podemos substituir o valor de 𝑘, de modo a encontrarmos o valor de ℎ em função de 𝑛: 
ℎ
2
= log(𝑛 + 𝑘) 
ℎ = 2log (𝑛 +
−𝑛 + √𝑛2 + 4
2
) 
ℎ = 2𝑙𝑜𝑔 (
𝑛 + √𝑛2 + 4
2
) 
Gabarito: E 
 
8. (ENEM / 2015) 
Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo 
estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o 
percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais 
pontos de parada, representados por P e Q. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 81 
 
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já 
existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os 
pontos T e Q sejam iguais. 
De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são 
a) (𝟐𝟗𝟎 ; 𝟐𝟎). 
b) (𝟒𝟏𝟎 ; 𝟎). 
c) (𝟒𝟏𝟎 ; 𝟐𝟎). 
d) (𝟒𝟒𝟎 ; 𝟎). 
e) (𝟒𝟒𝟎 ; 𝟐𝟎). 
Comentários: 
Conhecemos os pontos: 𝑃(30, 20) e 𝑄(550, 320). 
A distância percorrida pelo ônibus pode ser calculada por: 
𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = (550– 30) = 520 
𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 = (320 – 20) = 300 
Logo, andou um total de 820. 
O ponto T deve dividir a trajetória ao meio, então a distância entre P e T será 410. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 82 
 
Temos então as coordenadas de T 
(30 + 410, 20) = 𝑇(440, 20) 
Gabarito: E 
 
9. (ENEM / 2014) 
A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do 
balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então 
se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal. 
 
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem 
está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem 
orientação positiva para cima. 
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 83 
𝒂) 𝒇(𝒙) = −√𝟐 − 𝒙𝟐 
𝒃) 𝒇(𝒙) = √𝟐 − 𝒙𝟐 
𝒄) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐 
𝒅) 𝒇(𝒙) = −√𝟒 − 𝒙𝟐 
𝒆) 𝒇(𝒙) = √𝟒 − 𝒙𝟐 
Comentários: 
A trajetória do balanço forma uma semicircunferência com centro na origem e raio 2 (tamanho 
da corda = 2 𝑚). 
 
Assim temos que: 
𝒚 < 𝟎 
e 
−𝟐 < 𝒙 < 𝟐 
Substituindo na equação reduzida da circunferência, temos: 
𝑥² + 𝑦² = 2² 
𝑦2 = 4 − 𝑥2 
𝑦 = ±√(4 – 𝑥²) 
Como 𝑦 < 0, então teremos apenas a parte negativa da expressão: 
𝑦 = −√(4 – 𝑥²) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 84Gabarito: D 
 
10. (ENEM / 2014) 
O número de pessoas que morrem nas ruas e estradas brasileiras nunca foi tão alto. As últimas 
mudanças na legislação mostraram-se incapazes de frear o aumento dos acidentes. O número de 
mortes em 2004 foi de 35 100 pessoas e 38 300, em 2008. Admita que o número de mortes, no período 
de 2004 a 2008, tenha apresentado um crescimento anual constante. 
Veja. 2 nov. 2011 (adaptado) 
A expressão algébrica que fornece o número de mortes N, no ano x (𝒄𝒐𝒎 𝟐𝟎𝟎𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟎𝟎𝟖), é dada 
por 
a) 𝑵 = 𝟖𝟎𝟎𝒙 + 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟎 
b) 𝑵 = 𝟖𝟎𝟎(𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝟒) + 𝟑𝟓𝟏𝟎𝟎 
c) 𝑵 = 𝟖𝟎𝟎(𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝟒) 
d) 𝑵 = 𝟑𝟐𝟎𝟎(𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝟒) + 𝟑𝟓𝟏𝟎𝟎 
e) 𝑵 = 𝟑𝟐𝟎𝟎𝒙 + 𝟑𝟓𝟏𝟎𝟎 
Comentários: 
Como temos um crescimento linear, podemos considerar o eixo y como o número de mortes e 
o eixo 𝑥 como o tempo, para o gráfico de uma reta. 
Podemos encontrar o coeficiente angular da reta que representa essa função, através da 
seguinte fórmula: 
𝒎 =
𝜟𝒚
𝜟𝒙
 
𝑚 =
(38300 − 35100)
2008 − 2004
 
𝑚 = 800 
Assim, a reta será do tipo: 
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝑦 − 𝑦0 = 800(𝑥 − 𝑥0) 
Substituindo o primeiro ponto conhecido (2004, 31500), teremos: 
𝑦 − 31500 = 800(𝑥 − 2004) 
𝑦 = 800(𝑥 − 2004) + 31500 
Gabarito: B 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 85 
 
11. (FUVEST/2021) 
 
A figura ilustra graficamente uma região de um bairro, com ruas ortogonais entre si. O ponto X indica 
um condomínio residencial, e o ponto Y indica a entrada de um parque. Três moradores realizam 
caminhos diferentes para chegar ao ponto Y, partindo do ponto X, ilustrados com cores diferentes. Se 
a, b e c representam as distâncias percorridas por esses moradores nesses caminhos, é correto afirmar 
que 
(A) 𝒂 = 𝒃 = 𝒄. 
(B) 𝒃 = 𝒄 < 𝒂. 
(C) 𝒄 < 𝒃 < 𝒂. 
(D) 𝒃 < 𝒄 = 𝒂. 
(E) 𝒄 < 𝒂 = 𝒃. 
Comentários: 
Para resolver essa questão, precisamos apenas contar os lados de cada quadradinho percorrido 
em cada um dos três caminhos. 
Dessa forma: 
𝑎 = 18 
𝑏 = 16 
𝑐 = 16 
Logo, temos: 
𝑏 = 𝑐 < 𝑎 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 86 
Gabarito: “b” 
 
12. (FUVEST/2021) 
 
A região hachurada do plano cartesiano 𝒙𝑶𝒚 contida no círculo de centro na origem O e raio 1, 
mostrada na figura, pode ser descrita por 
 
(A) {(𝒙, 𝒚); 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟏 𝒆 𝒚 − 𝒙 ≤ 𝟏}. 
(8) {(𝒙, 𝒚); 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≥ 𝟏 𝒆 𝒚 + 𝒙 ≥ 𝟏}. 
(C) {(𝒙, 𝒚); 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟏 𝒆 𝒚 − 𝒙 ≥ 𝟏}. 
(D) {(𝒙, 𝒚); 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟏 𝒆 𝒚 + 𝒙 ≥ 𝟏}. 
(E) {(𝒙, 𝒚); 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≥ 𝟏 𝒆 𝒚 + 𝒙 ≤ 𝟏}. 
Comentários: 
Para o conjunto de pontos internos à circunferência temos: 
(𝑥 − 𝑥0)
2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 ≤ 1 
Sendo o centro a origem do plano cartesiano, teremos: 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟏 
Para a parte acima da reta que liga os pontos (0; 1) e (−1,0), temos a seguinte formula: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 87 
𝒚 − 𝒚𝟎 ≥ 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎) 
O coeficiente angular pode ser obtido pela expressão: 
𝑚 =
𝛥𝑥
𝛥𝑥
 
𝑚 =
0 − 1
−1 − 0
 
𝑚 = 1 
Substituindo o coeficiente angular e o ponto (−1,0): 
𝒚 − 𝒚𝟎 ≥ 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝒚 ≥ 𝒙 + 𝟏 
O que equivale a: 
𝒚 − 𝒙 ≥ 𝟏 
A alternativa C contempla as duas soluções. 
Gabarito: “c” 
 
 
13. (Fuvest/2015) 
A equação 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝒎𝒚 = 𝒏, em que 𝒎 e 𝒏 são constantes, representa uma circunferência no 
plano cartesiano. Sabe-se que a reta 𝒚 = −𝒙 + 𝟏 contém o centro da circunferência e a intersecta no 
ponto (−𝟑, 𝟒). Os valores de 𝒎 e 𝒏 são, respectivamente, 
a) −𝟒 e 𝟑 b) 𝟒 e 𝟓 c) −𝟒 e 𝟐 d) −𝟐 e 𝟒 e) 𝟐 e 𝟑 
Comentários: 
Como a equação 𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 + 𝑚𝑦 = 𝑛 representa uma circunferência, vamos escrevê-la de 
modo a explicitar as coordenadas do centro. 
𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 + 𝑚𝑦 = 𝑛 
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 𝑚𝑦 +
𝑚2
4
= 𝑛 + 1 +
𝑚2
4
 
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 +
𝑚
2
)
2
= 𝑛 + 1 +
𝑚2
4
 
Dessa forma, sabemos que o centro da circunferência é um ponto tal que 
𝐶 = (−1;−
𝑚
2
) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 88 
Como o centro pertence à reta de equação 𝑦 = −𝑥 + 1, podemos descobrir o valor de 𝑚, 
acompanhe. 
𝐶 = (−1;−
𝑚
2
) 
𝑦 = −𝑥 + 1 
−
𝑚
2
= −(−1) + 1 
−
𝑚
2
= 1 + 1 
−
𝑚
2
= 2 
𝑚 = −4 
Além disso, sabemos que a reta intersecta a circunferência no ponto (−3,4). Portanto, este 
ponto deve satisfazer tanto a equação da reta quanto a da circunferência. 
Como na reta não temos incógnitas, daremos preferência à equação da circunferência para 
descobrir 𝑛. 
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 +
𝑚
2
)
2
= 𝑛 + 1 +
𝑚2
4
 
(−3 + 1)2 + (4 +
−4
2
)
2
= 𝑛 + 1 +
(−4)2
4
 
(−2)2 + (4 − 2)2 = 𝑛 + 1 +
16
4
 
4 + 4 = 𝑛 + 1 + 4 
4 = 𝑛 + 1 
3 = 𝑛 
Gabarito: a) 
 
 
14. (Fuvest/2012) 
No plano cartesiano 𝟎𝒙𝒚, a circunferência 𝑪 é tangente ao eixo 𝟎𝒙 no ponto de abscissa 5 e contém o 
ponto (𝟏, 𝟐). Nessas condições, o raio de 𝑪 vale: 
a) √𝟓 
b) 𝟐√𝟓 
c) 𝟓 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 89 
d) 𝟑√𝟓 
e) 𝟏𝟎 
 
Comentários 
 
O centro da circunferência pode ser representado por 𝐶(𝑥, 𝑦). 
Como os pontos 𝐴(1, 2) e 𝐵(5, 0) pertencem à circunferência, temos que: 
𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 
√(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = √(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 0)2 
𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25 + 𝑦2 
−2𝑥 − 4𝑦 + 5 = −10𝑥 + 25 
8𝑥 − 4𝑦 − 20 = 0 
2𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 
Como a circunferência tangencia o eixo 0𝑥 no ponto 5, a abscissa do seu centro é igual a 5. 
2.5 − 𝑦 − 5 = 0 
10 − 𝑦 − 5 = 0 
5 − 𝑦 = 0 
𝑦 = 5 
𝐶(5, 5) 
O raio é a distância 𝐴𝐶 ou 𝐵𝐶. 
𝑟 = √(5 − 1)2 + (5 − 2)2 
𝑟 = √16 + 9 
𝑟 = √25 = 5 𝑢𝑐 
Gabarito: c) 
 
 
15. (Fuvest/2009) 
Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟒 e sejam P 
e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 90 
Seja PQR o triângulo isóscele inscrito em C, de base , e com o maior perímetro possível. 
Então, a área de PQR é igual a 
a) 𝟐√𝟐 − 𝟐 
b) 𝟐√𝟐 − 𝟏 
c) 𝟐√𝟐 
d) 𝟐√𝟐 + 𝟐 
e) 𝟐√𝟐 + 𝟒 
Comentários 
Vamos começar pela análise da equação da circunferência: 
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 = 4 
Centro (2,2) e Raio = √4 = 2. 
Podemos esboçar o desenho da circunferência, com seus pontos Q e P, bem como o triângulo 
PQR: 
 
Queremos calcular a área de PQR, então precisamos descobrir sua base e sua altura: 
Como temos um triângulo retângulo, com dois lados iguais a 2, podemos descobrir a base PQ, 
através de Pitágoras: 
 
(𝑃𝑄)2 = 22 + 22 
𝑃𝑄 = 2√2 
PQ
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 91 
Para encontrar a altura, precisamos encontrar o segmento que vai do ângulo reto até a base do 
triângulo PQR. O raio vale 2 e já faz parte da altura, acompanhe: 
 
Aplicando Pitágoras, temos que: 
𝑥2 + (√2)
2
= 22 
𝑥2 + 2 = 4 
𝑥2 = 2 
𝑥 = √2 
Logo a altura será 2 + √2. 
Por fim, podemos calcular a área: 
𝐴 =
𝑏ℎ
2
 
𝐴 =
2√2 ⋅ (2 + √2)
2
 
𝐴 = 2√2 + 2 
Gabarito: d) 
 
16. (Fuvest/2006) 
O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem 𝒕𝟐 − 𝒕 − 𝟔 = 𝟎, onde 𝒕 = |𝒙 − 𝒚|, 
consiste de 
a) uma reta. 
b) duas retas. 
c) quatro retas. 
d) uma parábola. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 92 
e) duas parábolas. 
Comentários 
Vamos começar calculando os valores de 𝑡 na equação quadrática dada: 
𝑡2 − 𝑡 − 6 = 0 
𝛥 = (1)2 − 4 ⋅ (−6) = 25 
𝑡 =
1 ± 5
2
 
𝑡′ = 3 
𝑡′′ = −2 
Se 𝑡 = 3, então teremos: 
𝑡 = |𝑥 − 𝑦| 
𝑥 − 𝑦 = ±3 
Para 𝑥 − 𝑦 ≥ 0, temos 
𝑥 − 𝑦 =3 (𝑟𝑒𝑡𝑎) 
Para 𝑥 − 𝑦 < 0, temos 
x − y = −3 (𝑟𝑒𝑡𝑎) 
Logo, teremos como solução duas retas. 
Gabarito: B 
 
17. (Fuvest/2003) 
Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes 
angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo 
dos x e pelas retas s e t é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
Comentários 
Esboçando o gráfico da questão, temos as coordenadas dos três pontos que delimitam o 
triângulo, veja: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 93 
 
Da reta 𝑠 são conhecidos dois pontos, o que nos permite calcular sua equação: 
|
0 3 1
2 2 1
𝑥 𝑦 1
| = 0 
2𝑦 + 𝑥 − 6 = 0 
s: 𝑦 = −
𝑥
2
+ 3 
Assim podemos calcular a abscissa do ponto onde a reta 𝑠 intercepta o eixo 𝑥: 
𝑦 = −
𝑥
2
+ 3 
0 = −
𝑥𝑠
2
+ 3 
𝑥𝑠 = 6 
Sabendo que o produto entre os coeficientes angulares da reta será igual a 1, então: 
𝑚𝑡 ⋅ 𝑚𝑠 = 1 
𝑚𝑡 = −2 
Com o coeficiente angular da reta 𝑡 e conhecendo um ponto pertencente a ela, podemos 
calcular sua equação da seguinte forma: 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 2 = −2(𝑥 − 2) 
𝑡: 𝑦 = −2𝑥 + 6 
Assim podemos calcular a abscissa do ponto onde a reta 𝑡 intercepta o eixo 𝑥: 
𝑦 = −2𝑥 + 6 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 94 
0 = −2𝑥t + 6 
𝑥t = 3 
Agora podemos calcular a área do triângulo: 
 
𝐴 =
𝑏 ⋅ ℎ
2
 
𝐴 =
3 ⋅ 2
2
= 3 
Gabarito: B 
 
 
18. (Fuvest/2000) 
Uma circunferência passa pelos pontos (2, 0) (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa 
circunferência à origem é: 
a) √𝟐 
b) √𝟑 
c) √𝟒 
d) √𝟓 
e) √𝟔 
Comentários 
Sabendo que a circunferência passa pelos pontos dados, então iremos substituir os respectivos 
pontos na equação reduzida do tipo (𝑥 − 𝑥0)
2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 = 𝑟2. 
Dessa forma: 
(2 − 𝑥0)
2 + (0 − 𝑦0)
2 = 𝑟2 (i) 
(2 − 𝑥0)
2 + (4 − 𝑦0)
2 = 𝑟2 (𝑖𝑖) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 95 
(0 − 𝑥0)
2 + (4 − 𝑦0)
2 = 𝑟2 (𝑖𝑖𝑖) 
Igualando as equações (i) e (ii): 
(2 − 𝑥0)
2 + (0 − 𝑦0)
2 = (2 − 𝑥0)
2 + (4 − 𝑦0)
2 
𝑦0
2 = 𝑦0
2 − 8𝑦0 + 16 
𝑦0 = 2 
Igualando as equações (ii) e (iii): 
(2 − 𝑥0)
2 + (4 − 𝑦0)
2 = (0 − 𝑥0)
2 + (4 − 𝑦0)
2 
4 − 4𝑥0 + 𝑥0
2 = 𝑥0
2 
𝑥0 = 1 
Assim, temos que o centro da circunferência é (1,2). A distância entre o centro e a origem será 
dada por: 
𝐷A,𝐵 = √(xA − xB)2 + (yA − yB)2 
𝐷𝐶,𝑂 = √(1 − 0)2 + (2 − 0)2 
𝐷𝐶,𝑂 = √12 + 22 = √5 
Gabarito: D 
 
19. (Fuvest/2000) 
Sejam 𝒂, 𝒃, 𝒄 três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo 
𝑨𝑩𝑪, cujos vértices são 𝑨 = (−𝒂, 𝟎), 𝑩 = (𝟎, 𝒃) e 𝑪 = (𝒄, 𝟎), é igual a 𝒃, então o valor de 𝒃 é: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
Comentários 
Para o cálculo da área, precisamos do determinante entre as coordenadas dos três pontos 
dados: 
‖
−𝑎 0
0 𝑏
𝑐 0
−𝑎 0
‖ = −𝑎𝑏 − (𝑏𝑐) = −𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 96 
Assim, a área do triângulo será dada por: 
𝑨 =
|𝑫|
𝟐
 
𝐴 = 𝑏 
|−𝑎𝑏 − 𝑏𝑐|
2
= 𝑏 
|−𝑏(𝑎 + 𝑐)| = 2𝑏 
|−𝑏| ⋅ |𝑎 + 𝑐| = 2𝑏 (𝑖) 
Sendo 𝑎, 𝑏, 𝑐 três números estritamente positivos em progressão aritmética, podemos aplicar a 
propriedade da média aritmética. Veja: 
(𝑎, 𝑏, 𝑐) 
2𝑏 = 𝑎 + 𝑐 (𝑖𝑖) 
Substituindo o valor de (ii) em (i), temos: 
|−𝑏| ⋅ |𝑎 + 𝑐| = 2𝑏 
|−𝑏| ⋅ 2𝑏 = 2𝑏 
𝑏 = 1 
Gabarito: E 
 
20. (Fuvest/2000) 
Das regiões hachuradas na sequência, a que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do plano 
cartesiano, satisfazendo ao conjunto de desigualdades 𝒙  𝟎; 𝒚  𝟎; 𝒙 – 𝒚 + 𝟏  𝟎; 𝒙² + 𝒚²  𝟗, é: 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 97 
 
 
 
Comentários 
Veja a análise de cada inequação: 
𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑦 ≥ 0(1º𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒) 
 
𝑥 − 𝑦 + 1 ≥ 0 (𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒) 
𝑦 ≤ 𝑥 + 1 (𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒) 
𝑚 = 1 (â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 45º) 
𝑛 = 1 
 
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 (𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 − 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎) 
𝐶(0,0) 
𝑅 = 3 
Dessa forma, juntando as quatro informações, teremos um gráfico parecido com o seguinte 
esboço: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 98 
 
A alternativa que mais se assemelha é a alternativa A. 
Gabarito: A 
 
21. (Unicamp 2020) 
Sabendo que c é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação 𝒙𝟐 +
𝒚𝟐 = 𝟐𝒄𝒙. Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟑, então seu raio é 
igual a 
a) √𝟐 
b) √𝟑 
c) 𝟐 
d) 𝟑 
Comentários: 
Organizando a equação da circunferência dada, temos: 
𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑐𝑥 
𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑦2 = 0 
𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 0 + 𝑐2 
(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑐2 
Dessa forma, o centro e o raio serão: 
𝑐 = 𝑟𝑎𝑖𝑜 
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = (𝑐, 0) 
Como o centro dessa circunferência pertence à reta de equação 𝑥 + 2𝑦 = 3, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 
𝑥 + 2𝑦 = 3 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 99 
𝑐 + 2 ⋅ 0 = 3 
𝑐 = 3 
𝑟𝑎𝑖𝑜 = 3 
Gabarito: E 
 
22. (Fuvest/1997) 
As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (𝟐, 𝟒). A reta s passa pelo ponto (𝟎, 𝟓). 
Uma equação da reta r é 
a) 𝟐𝒚 + 𝒙 = 𝟏𝟎 
b) 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 
c) 𝟐𝒚 – 𝒙 = 𝟔 
d) 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟖 
e) 𝒚 = 𝟐𝒙 
Comentários 
Como conhecemos dois pontos da reta 𝑠, então podemos obter sua equação através de um 
determinante: 
|
2 4 1
0 5 1
𝑥 𝑦 1
| = 0 
𝑦 = −
𝑥
2
+ 5 
Assim o coeficiente angular de 𝑠 será: 
𝑚s = −
1
2
 
Sabendo que as retas são perpendiculares, teremos a seguinte configuração: 
𝒎𝒓 ∙ 𝒎𝒔 = −𝟏 
𝑚𝑟 ∙ (−
1
2
) = −1 
𝑚r = 2 
Agora temos um ponto de r e o seu coeficiente angular. Podemos encontrar sua equação 
através da seguinte fórmula: 
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝑦 − 4 = 2(𝑥 − 2) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 100 
𝑦 = 2𝑥 
Gabarito: E 
 
23. (UNICAMP/2018) 
No plano cartesiano, sejam 𝐶 a circunferência de centro na origem e raio 𝒓 > 𝟎 e 𝑠 a reta de equação 
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎. A reta 𝑠 intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos se e somente se 
a) 𝒓 > 𝟐. 
b) 𝒓 > √𝟓. 
c) 𝒓 > 𝟑. 
d) 𝒓 > √𝟏𝟎. 
Comentários 
Da equação da circunferência, temos: 
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 𝑟2 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
Da na equação reduzida da reta, temos 
𝑥 + 3𝑦 = 10 
3𝑦 = 10 − 𝑥 
𝑦 =
10 − 𝑥
3
 
Substituindo: 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
𝑥2 + (
10 − 𝑥
3
)
2
= 𝑟2 
𝑥2 +
100 − 20𝑥 + 𝑥2
9
= 𝑟2 
9𝑥2 + 100 − 20𝑥 + 𝑥2 = 9𝑟2 
10𝑥2 − 20𝑥 + 100 − 9𝑟2 = 0 
 
Assim, para que a reta seja secante à circunferência, temos que ter Δ > 0. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 101 
Δ > 0 
(−20)2 − 4 ⋅ 10 ⋅ (100 − 9r2) > 0 
400 − 4000 + 360r2 > 0 
−3600 + 360r2 > 0 
 
360r2 > 3600 
𝑟2 > 10 
𝑟 > √10 
Gabarito: d) 
 
 
24. (UNICAMP/2015) 
No plano cartesiano, a equação |𝒙 − 𝒚| = |𝒙 + 𝒚|representa 
a) um ponto. 
b) uma reta. 
c) um par de retas paralelas. 
d) um par de retas concorrentes. 
Comentários 
Resolvendo a equação modular: 
|𝑥 − 𝑦| = |𝑥 + 𝑦| 
𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 
𝑥 − 𝑥 = 𝑦 + 𝑦 
0 = 2𝑦 
𝑦 = 0 
Ou 
𝑥 − 𝑦 = −𝑥 − 𝑦 
2𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
Dessa forma, teremos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 102 
➔ Para 𝑥 = 0, a reta contém todos os pontos sobre o eixo y. 
➔ Para 𝑦 = 0, a reta contém todos os pontos sobre o eixo x.As retas dos eixos são concorrentes. 
Gabarito: d) 
 
 
25. (UNICAMP/2012) 
A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é 
 
a) 21/4. 
b) 23/4. 
c) 25/4. 
d) 27/4. 
Comentários 
Podemos calcular a equação da reta (r) suporte que contém os pontos A e B. 
Para isso, devemos notar que a reta 𝑟 é perpendicular à reta que passa pela origem e pelo 
ponto (1, 2). Chamaremos de s: 
|
0 0 1
1 2 1
𝑥 𝑦 1
| = 0 
𝑦 − 2𝑥 = 0 
𝑦 = 2𝑥 
𝑚𝑠 = 2 
Calculando o coeficiente angular de 𝑟: 
𝑚𝑠 ⋅ 𝑚𝑟 = −1 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 103 
𝑚𝑟 = −
1
2
 
Calculando a equação de 𝑟: 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 2 = −
1
2
(𝑥 − 1) 
2𝑦 − 4 = −𝑥 + 1 
2𝑦 + 𝑥 − 5 = 0 
Substituindo os pontos 𝐴(𝑥, 0) e 𝐵(0, 𝑦) , temos: 
2.0 + 𝑥 − 5 = 0 
𝑥 = 5 
𝐴(5,0) 
 
2𝑦 + 0 − 5 = 0 
𝑦 =
5
2
 
𝐴 (
5
2
, 0) 
Podemos calcular a área do triângulo OAB: 
𝐷 = |
5
2
0 1
0 5 1
0 0 1
| 
𝐷 =
25
2
 
 
𝑆 =
|𝐷|
2
 
𝑆 =
25
2
2
=
25
4
 
Gabarito: c) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 104 
26. (UNESP/2018) 
Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de rodagem de veículos são o concreto e o asfalto. 
Uma pista nova de concreto reflete mais os raios solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com 
os anos de uso, ambas tendem a refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os 
segmentos de retas nos gráficos. 
 
Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas pistas novas, uma 
de concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma porcentagem de reflexão dos raios 
solares após 
a) 8,225 anos. 
b) 9,375 anos. 
c) 10,025 anos. 
d) 10,175 anos. 
e) 9,625 anos. 
Comentários 
Utilizando o eixo x como o tempo em anos, e y a reflexão dos raios solares, em percentual, 
temos como calcular a equação das retas, da seguinte forma: 
➔ Pista de concreto: 
𝑚𝑐 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥2
=
25 − 35
6 − 0
= −
5
3
 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 35 = −
5
3
(𝑥 − 0) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 105 
𝑦 = −
5
3
𝑥 + 35 
 
➔ Pista de asfalto: 
𝑚𝑎 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥2
=
16 − 10
6 − 0
= 1 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 10 = 1(𝑥 − 0) 
𝑦 = 𝑥 + 10 
Agora podemos igualar as equações para descobrir em quanto tempo (eixo x) as duas pistas 
terão a mesma porcentagem de reflexão: 
−
5
3
𝑥 + 35 = 𝑥 + 10 
−5𝑥 + 105 = 3𝑥 + 30 
−5𝑥 − 3𝑥 = 30 − 105 
−8𝑥 = −75 
𝑥 = 9,375 𝑎𝑛𝑜𝑠 
Gabarito: b) 
 
 
27. (UNESP/2009) 
Dentre as regiões sombreadas, aquela que representa no plano cartesiano o conjunto 𝑼 =
{(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹𝟐|𝒚 ≥ 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒆 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟒} é: 
a) 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 106 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
Comentários: 
A equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒 representa uma circunferência cujo raio é igual a 2 unidades de 
comprimento e centro na origem. Com isso, essa circunferência passa pelos pontos (𝟐, 𝟎), 
(𝟎, 𝟐), (−𝟐, 𝟎) e (𝟎,−𝟐). 
A reta 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 passa pelos pontos (𝟎, 𝟏) e (−𝟏,−𝟏). Dado que a inequação engloba os 
valores maiores ou iguais ao eixo das abscissas, o gráfico que representa corretamente o 
conjunto é a primeira alternativa. 
Gabarito: A 
 
28. (UNESP/2006) 
Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta 
que passa pelos pontos P e Q, sendo 𝑷(𝟐, 𝟏) e Q o simétrico, em relação ao eixo 𝒚, do ponto 𝑸′(𝟏, 𝟐) 
são, respectivamente: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 107 
a) 
𝟏
𝟑
; 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟓 = 𝟎 
b) 
𝟐
𝟑
; 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏 = 𝟎 
c) –
𝟏
𝟑
; 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓 = 𝟎 
d) 
𝟏
𝟑
; 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓 = 𝟎 
e) –
𝟏
𝟑
; 𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟓 = 𝟎 
Comentários: 
O ponto Q, simétrico ao ponto 𝑸′(𝟏, 𝟐) em relação ao eixo 𝒚, tem coordenadas (−𝟏, 𝟐). 
O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por 𝒎 =
𝟏−𝟐
𝟐+𝟏
= −
𝟏
𝟑
. 
A equação da reta pode ser encontrada por: 
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝒚 − 𝟏 = −
𝟏
𝟑
(𝒙 − 𝟐) 
𝟑𝒚 − 𝟑 = −𝒙 + 𝟐 
𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓 = 𝟎 
Gabarito: C 
 
29. (UNESP/2003) 
O triângulo 𝑷𝑸𝑹, no plano cartesiano, de vértices 𝑷 = (𝟎, 𝟎), 𝑸 = (𝟔, 𝟎) 𝒆 𝑹 = (𝟑, 𝟓), é 
a) equilátero. 
b) isósceles, mas não equilátero. 
c) escaleno. 
d) retângulo. 
e) obtusângulo. 
Comentários: 
Colocando os pontos no plano cartesiano, temos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 108 
 
Podemos perceber que: 
𝑃𝑅 = 𝑄𝑅 = √34 (𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠) 
𝑃𝑄 = 6 
Como 𝑃𝑅 = 𝑄𝑅 ≠ 𝑃𝑄, então o triângulo 𝑃𝑅𝑄 é isósceles, mas não equilátero. 
Gabarito: B 
 
30. (UERJ/2016) 
Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa 
por A (0, 4) e B (2, 0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto 𝑷 (𝒙𝒐, 𝟎), sendo 𝟎 ≤ 𝒙𝒐 ≤ 𝟐. 
 
Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C (0, 0), A e B, o valor de 𝒙𝟎 deve ser 
igual a: 
a) 𝟐 − √𝟐 
b) 𝟑 − √𝟐 
c) 𝟒 − 𝟐√𝟐 
d) 𝟓 − 𝟐√𝟐 
Comentários: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 109 
O triângulo ABC tem área igual a 
𝟐.𝟒
𝟐
= 𝟒 unidades de área. 
Logo, a área S deve ter 2 unidades de área. 
A equação da reta que passa por A e B pode ser dada por: 
|
𝟎 𝟒 𝟏
𝟐 𝟎 𝟏
𝒙 𝒚 𝟏
| = 𝟎 
𝟎 + 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟎 − 𝟖 − 𝟎 = 𝟎 
𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟖 = 𝟎 
𝟐𝒚 = −𝟒𝒙 + 𝟖 ⟶ 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟒 
A área S é um trapézio, cujo vértice que é a intersecção entre a reta r e a perpendicular ao 
ponto P tem coordenadas (𝒙, 𝒚), ou (𝒙,−𝟐𝒙 + 𝟒). Sua base maior mede 4 unidades de 
comprimento, sua altura mede 𝒙 e sua base menor mede −𝟐𝒙 + 𝟒. 
𝑨 =
(𝑩 + 𝒃). 𝒉
𝟐
=
(𝟒 − 𝟐𝒙 + 𝟒). 𝒙
𝟐
=
(𝟖 − 𝟐𝒙). 𝒙
𝟐
=
𝟖𝒙 − 𝟐𝒙𝟐
𝟐
= 𝟐 
𝟖𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 = 𝟒 ⟶ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟒 = 𝟎 ⟶ 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐 = 𝟎 
∆= (−𝟒)𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟐 = 𝟏𝟔 − 𝟖 = 𝟖 
𝒙 =
𝟒 ± √𝟖
𝟐
=
𝟒 ± 𝟐√𝟐
𝟐
= 𝟐 ± √𝟐 
Como 𝒙 < 𝟐, temos que 𝒙 = 𝟐 − √𝟐 
Gabarito: A 
 
31. (UEA/2018) 
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a reta r, de equação 𝟑𝒙–𝟒𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎, 
intersecta o eixo das ordenadas no ponto C, que é o centro de duas circunferências concêntricas C1 e 
C2. Sabe-se que C1 tangencia o eixo das abscissas na origem do sistema e que o raio de C2 é igual a AC, 
conforme figura. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 110 
 
Nessas condições, a área da coroa circular em destaque é igual a 
(A) 9π. 
(B) 12π. 
(C) 18π. 
(D) 7π. 
(E) 16π. 
Comentários 
Como o centro das circunferências pertence à reta 𝑟, podemos substituir esse ponto 𝑪(𝟎, 𝒚) na 
equação da reta: 
3𝑥– 4𝑦 + 12 = 0 
3 ∙ 𝟎 – 4𝒚 + 12 = 0 
– 4𝑦 + 12 = 0 
– 4𝑦 + 12 = 0 
𝑦 = 3 
𝐶(0; 3) 
De igual forma, podemos encontrar as coordenadas do ponto 𝑨(𝒙, 𝟎), substituindo-o na 
equação de 𝑟: 
3𝒙– 4 ∙ 𝟎 + 12 = 0 
3𝑥 + 12 = 0 
𝑥 = −4 
𝐴(−4; 0) 
Podemos perceber que o triângulo formado tem catetos 3 e 4, logo sua hipotenusa será igual a 
5. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 111 
Note que essa hipotenusa equivale ao raio da circunferência C2, enquanto o cateto igual a 3 
equivale ao raio da circunferência C1. 
Dessa forma a área da coroa circular será dada por: 
𝐴𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎 = 𝐴𝐶2 − 𝐴𝐶1 
𝐴𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎 = 𝜋𝑅2
2 − 𝜋𝑅1
2 
𝐴𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎 = 𝜋 ∙ 5
2 − 𝜋 ∙ 32 
𝐴𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎 = 16𝜋 
Gabarito: e) 
 
32. (UEA/2018) 
O gráfico da reta 𝒚 = 𝒎𝒙+ 𝒃, em que 𝒎 e 𝒃 são constantes reais, está representado em um sistema 
de coordenadas cartesianas ortogonais. 
 
Desse modo, o gráfico da reta 𝒚 =–𝟑𝒎𝒙 + 𝒃 está corretamente representado na alternativa 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 112 
 
 
Comentários 
Substituindo o ponto 𝐴(−3; 0) na reta dada: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
0 = −3𝑚 + 𝑏 (𝑖) 
Substituindo o ponto 𝐵(0;−1) na reta dada: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
−1 = 0 + 𝑏 
𝑏 = −1 (ii) 
Substituindo o valor de 𝑏 na primeira equação: 
0 = −3𝑚 − 1 
𝑚 = −
1
3
 
Com o coeficiente angular e o valor de 𝑏 podemos montar a equação da reta: 
𝑦 =–3𝑚𝑥 + 𝑏 
𝑦 =– 3 (−
1
3
) 𝑥 − 1 
𝑦 = 𝑥 − 1 
Assim, temos o gráfico da reta 𝑦 = 𝑥 transladado uma unidade para baixo na vertical. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 113 
Gabarito: d) 
 
33. (UEA/2015) 
Os vértices P e Q do triângulo PQR estão sobre o eixo 𝑶𝒙 de um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais. A equação da reta suporte do segmento PR é – 𝟐𝒙–𝒚 + 𝟔 = 𝟎, e a reta suporte do segmento 
QR é a bissetriz dos quadrantes ímpares. Nessas condições, a área do triângulo PQR é igual a 
(A) 3,0. 
(B) 3,25. 
(C) 2,25. 
(D) 2,0. 
(E) 1,5. 
Comentários 
O esboço da questão: 
 
Os gráficos das retas −2𝑥 − 𝑦 + 6 = 0 e 𝑦 = 𝑥 (bissetriz dos quadrantes ímpares) se 
interceptam no ponto R, logo podemos igualar suas fórmulas: 
Ponto 𝑅(𝑥, 𝑦) 
−2𝑥 + 6 = 𝑥 
−𝑥 = −6 
𝑥 = 6 
𝑦 = 6 
𝑅(2,2) 
O ponto 𝑃(𝑥, 0) pertence à reta de equação −2𝑥 − 𝑦 + 6 = 0. Substituindo: 
−2𝑥 − 0 + 6 = 0 
𝑥 = 3 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 114 
𝑃(3,0) 
O ponto 𝑄(𝑥, 0) pertence à reta de equação 𝑦 = 𝑥. Substituindo: 
𝑦 = 0 
𝑄(0,0) 
Assim, podemos calcular a área, através do determinante das coordenadas dos três vértices do 
triângulo: 
𝑆 =
|𝐷|
2
 
𝑆 =
|
3 0 1
0 0 1
2 2 1
|
2
 
𝑆 =
6
2
= 3 
Gabarito: a) 
 
34. (UEA/2015) 
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sejam V(– 3,0) e A(0,k) pontos do gráfico da 
parábola descrita por 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒎(𝒙) + (𝟏𝟓–𝒎), conforme mostra a figura. 
 
A equação da reta r, que passa pelos pontos V e A, é corretamente expressa pela equação 
(A) 3𝒙–𝒚 + 𝟗 = 𝟎. 
(B) 𝟓𝒙–𝟑𝒚 + 𝟏𝟓 = 𝟎. 
(C) – 𝟓𝒙 + 𝟑𝒚–𝟏𝟓 = 𝟎. 
(D) 𝟒𝒙 – 𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎. 
(E) 𝟏𝟎𝒙–𝟑𝒚 + 𝟑𝟎 = 𝟎. 
Comentários 
Note que o ponto V é o vértice da parábola. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 115 
Podemos calcular o valor de m utilizando a fórmula do 𝑥 do vértice: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
−3 = −
𝑚
2 ∙ 1
 
−3 = −
𝑚
2
 
𝑚 = 6 
 
Substituindo o valor de m na função 𝑓(𝑥), temos: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑚(𝑥) + (15–𝑚) 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
 
Substituindo o ponto 𝐴(0, 𝑘): 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
𝑘 = 02 + 3 ∙ 0 + 9 
𝑘 = 9 
Assim, temos três pontos que nos possibilitam calcular a equação da reta 𝑟, através de um 
determinante: 
|
−3 0 1
0 9 1
𝑥 𝑦 1
| = 0 
−27 − 9𝑥 + 3𝑦 = 0 
−9 − 3𝑥 + 𝑦 = 0 
3𝑥 − 𝑦 + 9 = 0 
Gabarito: a) 
 
35. (UEA/2012) 
Em um plano cartesiano, os pontos A (-3, -2), B (5,10) e C (x,4) são colineares. Desse modo, a distância 
entre os pontos B e C é igual a 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 116 
(A) 𝟐√𝟏𝟑. (B) 𝟔√𝟐. (C) 𝟏𝟐. (D) 𝟒√𝟏𝟑 (E) 10. 
Comentários 
Se os pontos A, B e C são colineares, o determinante entre eles é nulo. 
𝐷 = |
−3 −2 1
5 10 1
𝑥 4 1
| = 0 
−30 − 2𝑥 + 20 − 10𝑥 + 10 + 12 = 0 
−12𝑥 + 12 = 0 
−12𝑥 = −12 
𝑥 = 1 
A distância entre os pontos 𝐵(5, 10) e 𝐶(1, 4) é: 
𝑑 = √(5 − 1)2 + (10 − 4)2 
𝑑 = √42 + 62 = √16 + 36 
𝑑 = √52 = 2√13 𝑢𝑐 
Gabarito: A) 
 
36. (UEA/2009) 
Uma determinada região foi reservada para pesquisas arqueológicas. Essa região está representada por 
U no sistema de coordenadas cartesianas, em que a unidade é o quilômetro. 
 
A área dessa região em km², admitindo que o terreno seja plano, é 
(A) 10. (B) 12. (C) 25/2. (D) 13. (E) 31/2. 
Comentários 
Sempre que possível, podemos aplicar os conceitos da Geometria Plana ao plano cartesiano. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 117 
Dividimos a figura em três partes: I, II e III. 
 
Área I: 
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
=
1.3
2
=
3
2
= 1,5 𝑘𝑚2 
Área II: 
𝐴 = 𝑙2 = 12 = 1 𝑘𝑚2 
Área III: 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏). ℎ
2
=
(4 + 3). 3
2
=
7.3
2
=
21
2
= 10,5 𝑘𝑚2 
Área Total: 1,5 + 1 + 10,5 = 13 𝑘𝑚2 
Gabarito: D) 
 
37. (UEA/2003) 
O ponto R pertence ao segmento de extremidades P(1, 4) e Q(−5, 40). A distância de R a P é o dobro da 
distância de R a Q. Quais são as coordenadas de R? 
(A) (−3, 28) 
(B) (−3, 22) 
(C) (−2, 22) 
(D) (−2, 16) 
(E) (−1, 16) 
Comentários 
Como R é um ponto que se encontra entre P e Q, conclui-se que a abscissa de R deve estar 
entre 1 e -5 e a ordenada de R deve estar entre 4 e 40. 
Sabemos que esses três pontos pertencem à mesma reta. Portanto: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 118 
|
1 4 1
−5 40 1
𝑥 𝑦 1
| = 0 
40 + 4𝑥 − 5𝑦 − 40𝑥 + 20 − 𝑦 = 0 
−36𝑥 − 6𝑦 + 60 = 0 . (−1) 
36𝑥 + 6𝑦 − 60 = 0 ∶ 6 
6𝑥 + 𝑦 − 10 = 0 
𝑦 = −6𝑥 + 10 
Como a distância entre R e P é igual ao dobro da distância entre R e Q, temos que: 
2𝑑𝑅,𝑄 = 𝑑𝑅,𝑃 
2.√(𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 40)2 = √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 
4. ((𝑥 + 5)2 + (−6𝑥 + 10 − 40)2) = (𝑥 − 1)2 + (−6𝑥 + 10 − 4)2 
4. ((𝑥 + 5)2 + (−6𝑥 − 30)2) = (𝑥 − 1)2 + (−6𝑥 + 6)2 
4. (𝑥2 + 10𝑥 + 25 + 36𝑥2 + 360𝑥 + 900) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 36𝑥2 − 72𝑥 + 36 
4. (37𝑥2 + 370𝑥 + 925) = 37𝑥2 − 74𝑥 + 37 
148𝑥2 + 1480𝑥 + 3700 = 37𝑥2 − 74𝑥 + 37 
111𝑥2 + 1554𝑥 + 3663 = 0 ∶ 111 
𝑥2 + 14𝑥 + 33 = 0 
∆= 142 − 4.1.33 = 196 − 132 = 64 
𝑥 =
−14 ± 8
2
 
𝑥′ =
−6
2
= −3 
𝑥" =
−22
2
= −11 (descartado) 
Como 𝑥 = 3, temos que: 
𝑦 = −6𝑥 + 10 
𝑦 = (−6)(−3) + 10 
𝑦 = 18 + 10 = 28 
Portanto as coordenadas são 𝑅(−3, 28) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 119 
Gabarito: A) 
 
38. (UFPR/2020) 
Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é 𝒙² + 𝒚² − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟎. Qual 
das equações abaixo descreve uma circunferência que tangencia B? 
a) (𝒙 + 𝟏)² + (𝒚 − 𝟐)² = 𝟏𝟓. 
b) (𝒙 + 𝟐)² + (𝒚 + 𝟐)² = 𝟓. 
c) (𝒙 − 𝟑)² + (𝒚 − 𝟏)² = 𝟑. 
d) (𝒙 − 𝟕)² + (𝒚 − 𝟐)² = 𝟏𝟎. 
e) (𝒙 + 𝟑)² + (𝒚 + 𝟐)² = 𝟗. 
Comentários 
Coordenadas do centro da circunferência B 
𝑿𝒄 =
𝟖
𝟐
= 𝟒 
𝒀𝒄 = −
𝟏𝟎
𝟐
= −𝟓 
Logo, 𝑪(𝟒, − 𝟓) 
Comprimento do Raio 
𝑿𝒄
𝟐 + 𝒀𝒄
𝟐 − 𝑹𝟐 = 𝟐𝟏 
𝟏𝟔 + 𝟐𝟓 − 𝑹𝟐 = 𝟐𝟏 
𝟒𝟏 − 𝑹𝟐 = 𝟐𝟏 
𝑹𝟐 = 𝟐𝟎 
𝑹 = 𝟐√𝟓 𝒖𝒄 
A circunferência tangente à B será aquela em que a distância entre os centros for igual à soma 
dos raios. Por tentativas, determinamos que a resposta é a alternativa B. 
Nessa alternativa, o centro é o ponto 𝑪(−𝟐,−𝟐) e o raio é igual a √𝟓 𝒖𝒄. 
Distância entre os centros: 
𝒅 = √(−𝟐 − 𝟒)𝟐 + (−𝟐 + 𝟓)𝟐 = √(−𝟔)𝟐 + 𝟑𝟐 = √𝟑𝟔 + 𝟗 
𝒅 = √𝟒𝟓 = 𝟑√𝟓 𝒖𝒄 
Soma dos Raios das Duas Circunferências: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 120 
𝟐√𝟓 + √𝟓 = 𝟑√𝟓 𝒖𝒄 
Comprovando, assim, que as circunferências são tangentes. 
Gabarito: b) 
 
39. (UFPR/2016) 
Considere o gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒙 e a reta 𝒓 que passa pelos pontos A e B, como indicado 
na figura ao lado, sendo 𝒌 a abscissa do ponto em que a reta 𝒓 intersecta o eixo 𝑶𝒙. Qual é o valor de 
𝒌? 
 
a) 17/12. 
b) 14/11. 
c) 12/7. 
d) 11/9. 
e) 7/4. 
Comentários 
Os pontos Ae B pertencem simultaneamente à função 𝒇(𝒙) e à reta 𝒓. 
O ponto A tem abscissa 2. Portanto: 
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟐 = 𝟏 ⟶ 𝑨(𝟐, 𝟏) 
O ponto B tem abscissa 0,25. Portanto: 
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝐥𝐨𝐠𝟐
𝟏
𝟒
= −𝟐 ⟶ 𝑩(𝟎, 𝟐𝟓, − 𝟐) 
Como os pontos A e B pertencem à reta 𝒓, a equação dessa reta é dada por: 
|
𝟐 𝟏 𝟏
𝟎, 𝟐𝟓 −𝟐 𝟏
𝒙 𝒚 𝟏
| = 𝟎 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 121 
−𝟒 + 𝒙 + 𝟎, 𝟐𝟓𝒚 + 𝟐𝒙 − 𝟎, 𝟐𝟓 − 𝟐𝒚 = 𝟎 
𝟑𝒙 − 𝟏, 𝟕𝟓𝒚 − 𝟒, 𝟐𝟓 = 𝟎 
Como 𝒌 é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo Ox, ou seja, 𝒚 = 𝟎, temos: 
𝟑. 𝒌 − 𝟏, 𝟕𝟓. 𝟎 − 𝟒, 𝟐𝟓 = 𝟎 
𝟑𝒌 = 𝟒, 𝟐𝟓 
𝒌 =
𝟒, 𝟐𝟓
𝟑
=
𝟒𝟐𝟓
𝟑𝟎𝟎
=
𝟖𝟓
𝟔𝟎
=
𝟏𝟕
𝟏𝟐
 
Gabarito: A 
 
40. (UFPR/2014) 
A figura ao lado apresenta o gráfico da reta 𝒓: 𝟐𝒚–𝒙 + 𝟐 = 𝟎 no plano cartesiano. As coordenadas 
cartesianas do ponto P, indicado nessa figura, são: 
 
a) (3,6). 
b) (4,3). 
c) (8,3). 
d) (6,3). 
e) (3,8). 
Comentários 
O ponto 𝑷(𝒙, 𝟑) pertence à reta. Logo, se substituirmos as coordenadas desse ponto na 
equação da reta, o resultado deve ser igual a zero. 
𝟐. 𝟑 − 𝒙 + 𝟐 = 𝟎 
𝟔 − 𝒙 + 𝟐 = 𝟎 
−𝒙 + 𝟖 = 𝟎 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 122 
𝒙 = 𝟖 ⟶ Portanto, as coordenadas são 𝑷(𝟖, 𝟑). 
Gabarito: C 
 
41. (UFPR/2012) 
Na figura ao lado estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza 
de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa por um vértice de 
cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é: 
 
a) 𝒙–𝟐𝒚 =–𝟒 
b) 𝟒𝒙–𝟗𝒚 = 𝟎 
c) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 =–𝟏 
d) 𝒙 + 𝒚 = 𝟑 
e) 𝟐𝒙–𝒚 = 𝟑 
Comentários 
Como o quadrado cinza tem área igual a 4 unidades, seu lado mede 2 unidades. Logo, a reta 
passa pelo ponto (𝟎, 𝟐). 
Como o quadrado hachurado tem área igual a 9 unidades, seu lado mede 3 unidades. Logo, a 
reta passa pelo ponto (𝟐, 𝟑). 
Para encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos, podemos utilizar 
determinantes: 
|
𝟎 𝟐 𝟏
𝟐 𝟑 𝟏
𝒙 𝒚 𝟏
| = 𝟎 
𝟎 + 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒙 − 𝟒 − 𝟎 = 𝟎 
−𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟒 = 𝟎 
𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟒 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 123 
Gabarito: A 
 
42. (UFPR 2008) 
Sabe-se que a reta 𝒓 passa pelos pontos 𝑨(−𝟐, 𝟎) e 𝑷(𝟎, 𝟏) e que a reta 𝒔 é paralela ao eixo das 
ordenadas e passa pelo ponto 𝑸(𝟒, 𝟐). Se B é o ponto comum em que a reta 𝒔 intercepta o eixo das 
abscissas e C é o ponto de intersecção das retas 𝒓 e 𝒔, então o perímetro do triângulo ABC é: 
a) 𝟑(𝟑 + √𝟓) 
b) 𝟑(𝟓 + √𝟑) 
c) 𝟓(𝟑 + √𝟓) 
d) 𝟑(𝟑 + √𝟑) 
e) 𝟓(𝟓 + √𝟑) 
Comentários: 
A reta 𝒓 passa pelos pontos A e B. Sua equação é dada por: 
|
−𝟐 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 𝟏
𝒙 𝒚 𝟏
| = 𝟎 
−𝟐 + 𝟎 + 𝟎 − 𝒙 − 𝟎 + 𝟐𝒚 = 𝟎 
−𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐 = 𝟎 . (−𝟏) 
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟐 = 𝟎 
Como a reta 𝒔 é paralela ao eixo 𝑶𝒚 e passa pelo ponto 𝑸(𝟒, 𝟐), deduz-se que sua equação é 
dada por 𝒙 = 𝟒. 
A intersecção das retas 𝒓 e 𝒔 também deve ter abscissa igual a 4. Logo: 
𝟒 − 𝟐𝒚 + 𝟐 = 𝟎 
−𝟐𝒚 + 𝟔 = 𝟎 
𝟐𝒚 = 𝟔 
𝒚 = 𝟑 ⟶ 𝑪(𝟒, 𝟑) 
O ponto B, intersecção da reta 𝒔 com o eixo das abscissas, é 𝑩(𝟒, 𝟎). 
A representação do triângulo ABC no plano cartesiano é dada por: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 124 
 
𝑨𝑩 = 𝟔 𝒖𝒄 
𝑩𝑪 = 𝟑 𝒖𝒄 
(𝑨𝑪)𝟐 = 𝟔𝟐 + 𝟑𝟐 
(𝑨𝑪)𝟐 = 𝟑𝟔 + 𝟗 = 𝟒𝟓 
𝑨𝑪 = 𝟑√𝟓 𝒖𝒄 
Perímetro: 𝟔 + 𝟑 + 𝟑√𝟓 = 𝟗 + 𝟑√𝟓 = 𝟑(𝟑 + √𝟓) 𝒖𝒄 
Gabarito: A 
 
43. (UFPR 2006) 
Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices 𝑨(𝟎, 𝟎), 𝑩(𝟑, 𝟏) e 𝑪(𝟏, 𝟐) e avalie as afirmativas 
a seguir. 
O triângulo ABC é isósceles. 
O ponto 𝑫(𝟐,
𝟏
𝟐
) pertence ao segmento AB. 
A equação da reta que passa pelos pontos B e C é 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟓. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
Comentários: 
Calculando as medidas dos lados do triângulo ABC: 
𝑨𝑩 = √(𝟎 − 𝟑)𝟐 + (𝟎 − 𝟏)𝟐 = √(−𝟑)𝟐 + (−𝟏)𝟐 = √𝟗 + 𝟏 = √𝟏𝟎 𝒖𝒄 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 125 
𝑨𝑪 = √(𝟎 − 𝟏)𝟐 + (𝟎 − 𝟐)𝟐 = √(−𝟏)𝟐 + (−𝟐)𝟐 = √𝟏 + 𝟒 = √𝟓 𝒖𝒄 
𝑩𝑪 = √(𝟑 − 𝟏)𝟐 + (𝟏 − 𝟐)𝟐 = √𝟐𝟐 + (−𝟏)𝟐 = √𝟒 + 𝟏 = √𝟓 𝒖𝒄 
O triângulo ABC tem dois lados com medidas iguais, sendo então, isósceles. Portanto, a 
afirmativa I é verdadeira. 
Os pontos A, B e D são colineares se 𝑫 = 𝟎. Logo: 
𝑫 = |
𝟎 𝟎 𝟏
𝟑 𝟏 𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
| 
𝑫 = 𝟎 + 𝟎 +
𝟑
𝟐
− 𝟐 − 𝟎 − 𝟎 
𝑫 = −
𝟏
𝟐
 
Logo, a afirmativa II é falsa. 
A equação da reta que passa por B e C é dada por: 
|
𝟑 𝟏 𝟏
𝟏 𝟐 𝟏
𝒙 𝒚 𝟏
| = 𝟎 
𝟔 + 𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝟑𝒚 = 𝟎 ⟶ −𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟓 = 𝟎 
Portanto a afirmativa III é falsa. 
Gabarito: A 
 
44. (UFU/2018) 
Considere a função definida por 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒌 ⋅ |𝒙 − 𝟑|, em que 𝒌 é um número natural constante, 𝒙 
uma variável assumindo valores reais e │𝒂│ representa o módulo do número real 𝒂. Representando, 
no sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico de 𝒚 = 𝒇(𝒙), tem-se que esse gráfico e os eixos 
coordenados delimitam um triângulo de área igual a 𝟕𝟐𝒄𝒎². 
Nas condições apresentadas, o valor de 𝒌, em cm, é um número 
a) quadrado perfeito. 
b) ímpar. 
c) múltiplo de 3. 
d) divisível por 5. 
Comentários 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 126 
Como o gráfico forma um triângulo com os eixos, temos que o gráfico de 𝑦 intercepta os eixos 
nos pontos (𝑥, 0) e (0, 𝑦). 
Substituindo (𝑥, 0): 
𝑓(𝑥) = 𝑘 ⋅ |𝑥 − 3| 
0 = 𝑘 ⋅ |𝑥 − 3| 
Se 𝑥 − 3 > 0, temos: 
0 = 𝑘 ⋅ (𝑥 − 3) 
𝑘 = 0 
(𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒, 𝑝𝑜𝑠 𝑘 é 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙) 
 
𝑥 − 3 = 0 
𝑥 = 3 
Se 𝑥 − 3 < 0, temos: 
0 = 𝑘 ⋅ (−𝑥 + 3) 
𝑘 = 0 
(𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒, 𝑝𝑜𝑠 𝑘 é 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙) 
 
(−𝑥 + 3) = 0 
−𝑥 = −3 
𝑥 = 3 
Assim, concluímos que um dos pontos é (3,0). 
Vamos substituir o ponto (0, 𝑦).: 
𝑓(𝑥) = 𝑘 ⋅ |𝑥 − 3| 
𝑦 = 𝑘 ⋅ |0 − 3| 
𝑦 = 𝑘 ⋅ |−3| 
𝑦 = 3𝑘 
Assim, concluímos que o outro ponto é pontos é (0, 3𝑘). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 127 
Agora podemos usar a fórmula da área do triângulo: 
𝑠 =
|𝐷|
2
 
72 =
|
0 3𝑘 1
3 0 1
0 0 1
|
2
 
72 =
9𝑘
2
 
9𝑘 = 144 
𝑘 = 16 
Assim, concluímos que 𝑘 é um quadrado perfeito. 
Gabarito: a) 
 
45. (UFU/2015) 
Em relação a um sistema de coordenadas 𝒙𝟎𝒚 (𝒙 e 𝒚 em metros), o triângulo 𝑷𝑸𝑹 tem ângulo reto no 
vértice 𝑹 = (𝟑, 𝟓), base paralela ao eixo 𝒙 e está inscrito no círculo de centro 𝑪 = (𝟏, 𝟏). A área desse 
triângulo, em metros quadrados, é igual a 
a) 40. 
b) 𝟖√𝟐𝟎. 
c) 𝟒√𝟐𝟎. 
d) 𝟖𝟎. 
Comentários 
A representação gráfica da imagem descrita no enunciado pode ser dada por: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 128 
 
Pelas propriedades da Geometria Plana, sabe-se que um triângulo retângulo inscrito na 
circunferência tem sua hipotenusa coincidindo com o diâmetro desta. 
Também se observa que a distância entre os pontos R e C é o raio da circunferência. 
𝑑 = √(3 − 1)2 + (5 − 1)2 
𝑑 = √22 + 42 = √4 + 16 
𝑑 = √20 
A base do triângulo é o diâmetro da circunferência, ou seja, o dobro do raio. 
𝑏 = 2√20 
A altura ℎ do triângulo pode ser analisada graficamente, sendo igual a 4 m. 
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
=
2√20. 4
2
=
8√20
2
= 4√20 𝑚² 
Gabarito: c) 
 
46. (UFU/2018 - Questão37 – 2º dia) 
Uma guilhotina deve ser regulada de forma a recortar cantos de uma chapa plana retangular de metal 
para a fabricação de calhas (Figura 1). Introduzindo um sistema de coordenadas cartesianas 𝒙𝑶𝒚, 
representando um referencial de localização, conforme indica a Figura 2, tem-se que a área de OAB é 
igual a 18 (unidades de área), e o ângulo em B é 45º (graus). 
Nessas condições, somando o coeficiente linear e o angular da reta passando por A e B, obtêm-se 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 129 
 
a) 7 
b) 5 
c) 6 
d) 4 
Comentários 
O coeficiente angular da reta que passa por A e B é dado pela tangente do ângulo 𝛼 = 180° −
45° = 135°, que é igual a −1. 
Identificando os pontos 𝐴(0, 𝑎) e 𝐵(𝑏, 0), temos que: 
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑎 − 0
0 − 𝑏
=
𝑎
−𝑏
= −
𝑎
𝑏
= −1 
𝑎 = 𝑏 
 
Sabendo que a área do triângulo AOB é igual a 18 unidades de área, temos que: 
𝐴 = 18 
𝑎. 𝑏
2
= 18 
𝑎. 𝑎 = 36 
 
𝑎 = 6 ⟶ Valor do coeficiente linear, que é a intersecção da reta com o eixo das ordenadas. 
Soma do coeficiente angular com o linear: −1 + 6 = 5 
Gabarito: b) 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 130 
47. UFU/2018 
Sejam 𝑷 = (𝒂, 𝒃) um ponto do plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem as desigualdades 𝒃 <
𝟐 + 𝟐𝒂 e 𝑸 = (𝒄, 𝒅) e , e o ponto de interseção das retas descritas pelas equações 𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝟐 e 𝒙 +
𝒚 = 𝟎. Se 𝒎 é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P e Q, então, pode-se afirmar que 
a) −𝟐 < 𝒎 < −𝟏 
b) −𝟏 < 𝒎 < 𝟐 
c) 𝒎 > 𝟐 
d) 𝒎 < −𝟐 
Comentários 
As coordenadas do ponto 𝑄 são dadas pela intersecção das retas 
{
2𝑥 − 𝑦 = −2
𝑥 + 𝑦 = 0
 
 
𝟑𝒙 = −𝟐 
𝑥 = −
2
3
 
 
𝒙 + 𝒚 = 𝟎 
𝑦 = −𝑥 
𝑦 =
2
3
 
 
𝑄 (−
2
3
,
2
3
) 
O ponto P varia de (𝑎, 2 + 2𝑎) a (𝑎, −𝑎). 
Coeficiente angular entre P e Q: 
𝑚 =
2 + 2𝑎 −
2
3
𝑎 +
2
3
=
6 + 6𝑎 − 2
3
3𝑎 + 2
3
=
4 + 6𝑎
3𝑎 + 2
=
2(2 + 3𝑎)
3𝑎 + 2
= 2 (𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 131 
𝑚 =
−𝑎 −
2
3
𝑎 +
2
3
=
−3𝑎 − 2
3
3𝑎 + 2
3
=
−3𝑎 − 2
3𝑎 + 2
=
−(3𝑎 + 2)
3𝑎 + 2
= −1 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟) 
Logo, −1 < 𝑚 < 2. 
Gabarito: b) 
 
48. (UEPG/2021) Considerando os pontos A(0,0), B(5,–2), C(5,8) e D(0,4), assinale o que for correto. 
01) A medida da área do quadrilátero ABCD é 35 u.a. 
02) A distância do ponto médio de 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ até o 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ é maior do que 4. 
04) O valor de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ é um número irracional. 
08) A área do triângulo ABC mede 25 u.a. 
16) Se C e D são pontos de uma reta r, então a equação da reta, paralela à reta r e que passa pelo 
ponto E(8,2), é dada por 4𝑥 − 5𝑦 = 48. 
Comentários: 
01) A medida da área do quadrilátero ABCD é 35 u.a. (V) 
 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏) ⋅ ℎ
2
=
(10 + 4) ⋅ 5
2
=
70
2
= 35 𝑢. 𝑎. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 132 
02) A distância do ponto médio de 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ até o 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ é maior do que 4. (F) 
Ponto médio 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ : 
𝑥𝑀 =
5 + 0
2
= 2,5
𝑦𝑀 =
8 + 4
2
= 6
𝑀(2,5; 6)
 
Equação suporte ao lado 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ : 
|
5 −2 1
5 8 1
𝑥 𝑦 1
| = 0 
40 − 2𝑥 + 5𝑦 − 8𝑥 − 5𝑦 + 10 = 0
−10𝑥 + 50 = 0
𝑥 = 5
(𝑑 = 3,5)
 
Podemos ver que a distância é 3,5. 
03) O valor de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ é um número irracional. (V) 
𝐷𝐴𝐵 = √(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2 
𝐷𝐴𝐵 = √(0 − 5)2 + (0 + 2)2 
𝑎2 = 52 + 22
𝑑 = √29
 
08) A área do triângulo ABC mede 25 u.a. (V) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 133 
 
𝐴𝛥 =
𝑏 ⋅ ℎ
2
 
𝐴𝛥 =
10 ⋅ 5
2
= 25 𝑢. 𝑎. 
 
16) Se C e D são pontos de uma reta r, então a equação da reta, paralela à reta r e que passa 
pelo ponto E(8,2), é dada por 4𝑥 − 5𝑦 = 48. (F) 
• Equação da reta r: 
|
𝟓 𝟖 𝟏
𝟎 𝟒 𝟏
𝒙 𝒚 𝟏
| = 𝟎
𝟐𝟎 + 𝟎 + 𝟖𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟒𝒙 = 𝟎
𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎
𝟓𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝟎
𝒚 =
𝟒𝒙
𝟓
+ 𝟒
 
𝒎𝒓 = 𝒎𝒔 =
𝟒
𝟓
 
• Equação da reta s: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 134 
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎)
𝒚 − 𝟐 =
𝟒
𝟓
(𝒙 − 𝟖)
𝟓𝒚 − 𝟏𝟎 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟔
𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟔 = 𝟎
 
Gabarito: 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 AULA 16 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 135 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 
Muito do que vimos nesta aula já tinha sido visto em aulas anteriores, como as equações de retas 
e de parábolas. 
No entanto, o enfoque é diferente. Enquanto, no início, estávamos estudando as funções e, neste 
contexto, havia a função linear, aqui temos apenas o lugar geométrico. Digo apenas, pois não há, na 
Geometria Analítica, as condições para que seja uma função, está lembrado? Aqui podemos, sem 
problemas, ter dois valores de 𝑦 para o mesmo 𝑥, o que acontece na circunferência por exemplo. 
Uma circunferência completa não se encaixa no conceito de função, mas a equação da 
circunferência define um lugar geométrico específico na Geometria Analítica. 
No mais, podemos até cruzar os limites de um e de outro tópico, misturando Geometria Analítica 
e Funções, ou até mesmo outros campos como probabilidade, Geometria Espacial ou Plana. 
Lembre-se de que a prática é fundamental para que você guarde tantos conceitos diferentes. 
Se surgir aquela dúvida, já sabe, é só perguntar no fórum, ok? 
Grande abraço e bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VERSÕES DAS AULAS 
 
Caro aluno! Para garantir que o curso esteja atualizado, sempre que alguma mudança no conteúdo 
for necessária, uma nova versão da aula será disponibilizada. 
19/05/2022: Versão original 
 
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