cp-07-cisalhamento

Prévia do material em texto

RESISTÊNCIA I
CP 07 – CISALHAMENTO 
TRANSVERSAL
Prof. Eng. MSc Fabiano Moreira
jfam.91@outlook.com
2
OBJETIVOS
• Desenvolveremos um método para determinar a tensão de
cisalhamento em uma vigas com seção transversal
prismática e feita de material homogênio que se comporta
de uma maneira linear elástica;
• Limitado a casos especiais de geometria da seção
transversal;
• Apesar disso, é amplamente aplicado em projeto e análise
de engenharia.
3
CONTEUDO:
1. Cisalhamento em elementos retos;
2. A fórmula do cisalhamento;
3. Tensões de cisalhamento em vigas.
4
CISALHAMENTO EM ELEMENTOS RETOS
Em geral, as vigas suportam cargas de cisalhamento e também
de momento fletor.
O cisalhamento é o resultado de uma distribuição de tensão de
cisalhamento transversal que age na seção transversal da viga.
5
CISALHAMENTO EM ELEMENTOS RETOS
Explicação física do por que a tensão a tensão de cisalhamento
se desenvolve nos planos longitudinais de uma viga.
6
CISALHAMENTO EM ELEMENTOS RETOS
Como resultado da tensão de cisalhamento, serão
desenvolvidas tensões de deformação que tenderão a distorcer
a seção transversal de uma maneira bastante complexa.
7
CISALHAMENTO EM ELEMENTOS RETOS
Quando a viga é submetida a cisalhamento e também a
flexão, de modo geral, podemos considerar que a distorção da
seção transversal descrita anteriormente é pequena o suficiente
para ser desprezada.
Essa consideração é particularmente verdadeira para o
caso mais comum como de uma viga esbelta.
A distribuição da deformação ao longo da largura de uma
viga não pode ser expressa facilmente em termos matemáticos.
Não é uniforme nem linear.
Desenvolveremos uma fórmula para a tensão de
cisalhamento indiretamente.
8
A FÓRMULA DO CISALHAMENTO
9
A FÓRMULA DO CISALHAMENTO
𝜎
𝜎 𝜎 𝜎′
𝜎 = −
𝑀. 𝑦
𝐼
𝜎′ = −
(𝑀 + 𝑑𝑀). 𝑦
𝐼
10
A FÓRMULA DO CISALHAMENTO
𝐹! + 𝐹" = 𝐹!# ∴ /
$#
𝜎𝑑𝐴′ + 𝜏. 𝑡. 𝑑𝑥 = /
$#
𝜎′𝑑𝐴′
/
$#
𝑀. 𝑦
𝐼
𝑑𝐴′ + 𝜏. 𝑡. 𝑑𝑥 = /
$#
(𝑀 + 𝑑𝑀). 𝑦
𝐼
𝑑𝐴′
𝑀
𝐼 /
$#
𝑦𝑑𝐴′ + 𝜏. 𝑡. 𝑑𝑥 =
(𝑀 + 𝑑𝑀)
𝐼 /
$#
𝑦𝑑𝐴′
𝑑𝑀
𝑑𝑥 = 𝑉(𝑥)
𝑄 = /
$#
𝑦𝑑𝐴′
𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
𝑀
𝐼 𝑄 + 𝜏. 𝑡. 𝑑𝑥 =
(𝑀 + 𝑑𝑀)
𝐼 𝑄
𝜏 =
𝑀 + 𝑑𝑀 −𝑀 𝑄
𝐼 𝑡. 𝑑𝑥
𝜏 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
𝑄
𝐼 𝑡
𝑄 = /
$#
𝑦𝑑𝐴′ = 𝑦%&#𝐴′
11
A FÓRMULA DO CISALHAMENTO
A fórmula do cisalhamento será:
𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
com
𝑄 = '
67
𝑦𝑑𝐴′ = ,𝑦𝐴7
𝐴7 = é a porção superior (ou inferior) da área da seção
transversal do elemento, definida pela seção onde t é medida.
,𝑦 = é a distância até o centroide de 𝐴7, medida em relação ao
eixo neutro.
𝑦%& =
∫$ 𝑦𝑑𝐴
∫$ 𝑑𝐴
=
𝐴#𝑦# + 𝐴"𝑦"
𝐴# + 𝐴" = 0 ⇒ 𝐴
#𝑦# = −𝐴"y"
𝑧
𝑦
12
A FÓRMULA DO CISALHAMENTO
A fórmula do cisalhamento será:
𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼 𝑡
e
𝜏 = tensão de cisalhamento no elemento no ponto localizado à
distância y’ do eixo neutro, considerada constante por toda a
largura do elemeto.
𝑉 = força de cisalhamento interna resultante.
𝐼 = Momento de inércia da área da seção transversal inteira,
calculada em torno do eixo neutro.
13
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS
Seção transversal retangular: Considere a viga abaixo. A
distribuição de tensão de cisalhamento pela seção transversal
pode ser determinada pelo cálculo da tensão de cisalhamento a
uma altura y.
𝜏(𝑦) =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
𝑄 = '
67
𝑦𝑑𝐴′
14
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS
Determinando o valor de Q (modo 1):
𝑄 = /
$#
𝑦𝑑𝐴′ 𝑄 = /
'
(/*
𝑦𝑏𝑑𝑦
𝑑𝐴′
𝑄 =
𝑏 ℎ/2 *
2
−
𝑏𝑦*
2
𝑄 =
𝑏ℎ*
8
−
𝑏𝑦*
2
𝑄 =
𝑏
2
ℎ*
4 − 𝑦
*
𝑄 =
𝑦*𝑏
2 '
(/*
15
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS
Determinando o valor de Q (modo 2):
𝑄 =
𝑏
2
ℎ*
4 − 𝑦
*
𝑄 = D𝑦𝐴′
!𝑦 =
∫!! 𝑦𝑑𝐴
"
∫!! 𝑑𝐴
" =
𝑄
𝐴′
𝑄 = 𝑦 +
ℎ
2 − 𝑦
2 𝑏
ℎ
2 − 𝑦
𝑄 =
𝑏
2
ℎ
2 + 𝑦
ℎ
2 − 𝑦
16
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS
Substituindo os valores:
𝜏(𝑦) =
𝑉
𝑏ℎ#
12 𝑏
𝑏
2
ℎ$
4
− 𝑦$
𝜏(𝑦) =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
𝜏 𝑦
𝑑𝑦
= −2𝑦
6𝑉
𝑏ℎ#
A função acima é do segundo grau. Portanto o gráfico
resultante deve ser uma parábola.
𝜏 0 =
6𝑉
𝑏ℎ#
ℎ$
4
= 1,5
𝑉
𝐴
𝜏(+ℎ/2) = 0
𝜏(−ℎ/2) = 0
𝜏(𝑦) =
6𝑉
𝑏ℎ#
ℎ$
4
− 𝑦$
17
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS
Seção transversal retangular:
𝜏 =
6𝑉
𝑏ℎE
ℎF
4
− 𝑦F
18
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS
Seção transversal retangular:
𝜏GáI é 50% maior que a tensão de cisalhamento média (𝜏 =
𝑉/𝐴).
Para cada 𝜏 que age na área da seção transversal há uma 𝜏
correspondente que age na direção longitudinal.
19
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS
Limitações do uso da fórmula do cisalhamento:
Para b/h = 0.5, 𝜏′GáI é somente 3% maior que a tensão de
cisalhamento calculada pela fórmula do cisalhamento.
Contudo para seção achatadas, para as quais b/h = 2, 𝜏′GáI é
aproximadamente 40% maior que 𝜏GáI.
20
EXEMPLO 1
21
Resolução do item a):
𝑦
𝜏(𝑦) =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
𝑉 = 3𝑘𝑁
𝑡 = 100𝑚𝑚
𝐼 =
100 . 125#
12
𝑚𝑚% ⇒ 𝐼 = 16,276,041𝑚𝑚%
𝑄 = 𝐴". 𝑦" = 50.100𝑚𝑚$ . 62,5 − 25 𝑚𝑚
𝐴#
𝑄 = 𝐴". 𝑦" = 0,1875(10&)𝑚𝑚#
𝜏' =
3𝑘𝑁 .0,1875(10&)𝑚𝑚#
16,276,041𝑚𝑚%. 100𝑚𝑚
⇒ 𝜏 12,5𝑚𝑚 = 0,35𝑁/𝑚𝑚$
𝜏' = 0,35𝑀𝑃𝑎
62,5𝑚𝑚
22
Resolução do item b):
𝜏(𝑦) =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
𝑉 = 3𝑘𝑁
𝑡 = 100𝑚𝑚
𝐼 =
100 . 125#
12
𝑚𝑚% ⇒ 𝐼 = 16,276,041𝑚𝑚%
𝑄 = 𝐴". 𝑦" = 62,5.100𝑚𝑚$ .
62,5
2
𝑚𝑚
𝐴#
𝑄 = 𝐴". 𝑦" = 195312,5𝑚𝑚#
𝜏 0 =
3𝑘𝑁 .195312,5𝑚𝑚#
16,276,041𝑚𝑚%. 100𝑚𝑚
⇒ 𝜏 12,5𝑚𝑚 = 0,36𝑘𝑁/𝑚𝑚$
𝜏 12,5𝑚𝑚 = 0,36𝑀𝑃𝑎
62,5𝑚𝑚
23
EXERCÍCIO 2
24
EXERCÍCIO 2
𝜏GNI ≤ 𝜏NOG
𝜏()* = 1,5.
𝑉
𝐴 ⇒ 𝜏()* = 1,5
20 𝑘𝑁
1,5𝑎$
20 𝑘𝑁
𝑎$
≤ 11,2𝑀𝑃𝑎 ⇒
20 𝑘𝑁
11,2𝑀𝑃𝑎
≤ 𝑎$
𝜏()* =
20 𝑘𝑁
𝑎$
𝑎$ ≥
20 𝑘𝑁
11,2𝑀𝑃𝑎
⇒ 𝑎 ≥
20 (10#)𝑁
11,2𝑁/𝑚𝑚$
𝑎 ≥ 42,3 𝑚𝑚𝑎* =
12 . 20000𝑁
11,2𝑁/𝑚𝑚* 1,5 . 8
25
EXEMPLO 3
26
RESOLUÇÃO
Calculo da inercia em torno do eixo neutro (NA)
300𝑚𝑚
20𝑚𝑚
20𝑚𝑚
20
0𝑚
𝑚
15𝑚𝑚
𝐼(+,) = 300 .
20#
12
= 43200mm%
𝑑(+,) = 110𝑚𝑚 𝑑)-() = 0
𝐴(+,) = 6000𝑚𝑚$
𝐴)-() = 3000𝑚𝑚$
𝐼 = 2 𝐼(+,) + 𝑑(+,)$ . 𝐴(+,) + 𝐼)-() + 𝑑)-()$ . 𝐴)-()
𝐼 = 2 43200 + 110$. 6000 + 10. + 0$ . 3000 𝑚𝑚%
𝐼 = 155,3(10&)𝑚𝑚%
𝐼)-() = 15 .
200#
12
= 10.mm%
27
RESOLUÇÃO ITEM A
Analisando as tensões de cisalhamento no ponto 1 e 7:
𝜏T =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
𝑄T = ,𝑦𝐴′
𝑄T = 120𝑚𝑚. 0
𝑄T = 0
𝜏T = 0
1
2
3
4
6
7
5
𝜏V = 0
28
RESOLUÇÃO ITEM A 
Analisando as tensões de cisalhamento no ponto 2 e 6:
𝜏$ =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
𝑄$ = !𝑦𝐴′
𝑄$ = 110 . 20 . 300𝑚𝑚#
𝑄$ = 660000𝑚𝑚#
𝜏$ =
80000𝑁 . 660000𝑚𝑚#
155,3(10&)𝑚𝑚%. 300𝑚𝑚
𝜏$ =
1,13𝑁
𝑚𝑚$
= 1,13𝑀𝑃𝑎
1
2
3
4
6
7
5
𝜏& = 1,13𝑀𝑃𝑎
29
RESOLUÇÃO ITEM A
Analisando as tensões de cisalhamento no ponto 3 e 5:
1
2
3
4
6
7
5
𝜏# =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
𝑄# = !𝑦𝐴′
𝑄# = 110 . 20 . 300𝑚𝑚#
𝑄# = 660000𝑚𝑚#
𝜏# =
80000𝑁 . 660000𝑚𝑚#
155,3(10&)𝑚𝑚%. 15𝑚𝑚
𝜏# =
22,7𝑁
𝑚𝑚$
= 22,7𝑀𝑃𝑎
𝜏/ = 22,7𝑀𝑃𝑎
30
RESOLUÇÃO ITEM A
Analisando as tensões de cisalhamento no ponto 4:
1
2
3
4
6
7
5
𝜏% =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
𝑄% = !𝑦𝐴′
𝑄% = (110 . 20 . 300 +
+50 . 15 . 100)𝑚𝑚#
𝑄% = 735000𝑚𝑚#
𝜏% =
80000𝑁 . 735000𝑚𝑚#
155,3(10&)𝑚𝑚%. 15𝑚𝑚
𝜏% =
22,7𝑁
𝑚𝑚$ = 25,24𝑀𝑃𝑎
31
RESOLUÇÃO ITEM A 
Distribuição de tensão no perfil:
25,24𝑀𝑃𝑎
22,7𝑀𝑃𝑎1,13𝑀𝑃𝑎
1,13𝑀𝑃𝑎 22,7𝑀𝑃𝑎
32
RESOLUÇÃO ITEM B 
𝑦
300𝑚𝑚
20𝑚𝑚
20𝑚𝑚
20
0𝑚
𝑚
15𝑚𝑚
𝑄)-() = 𝑄0 + 𝑄$
𝑄$ = 100𝑚𝑚 − 𝑦 . 15𝑚𝑚 . 𝑦 + 50𝑚𝑚 −
𝑦
2
𝑄0 = 300 . 20 . 110 𝑚𝑚# = 660000𝑚𝑚#
𝑄$ = 1500𝑚𝑚$ − 15𝑦𝑚𝑚
𝑦
2
+ 50𝑚𝑚
𝑄$ = 75000𝑚𝑚# −
15𝑦$
2
𝑚𝑚
𝑄)-() = 660000𝑚𝑚# + 75000𝑚𝑚# −
15𝑦$
2 𝑚𝑚
𝑄)-() = 735000𝑚𝑚# −
15𝑦$
2 𝑚𝑚
33
RESOLUÇÃO ITEM B 
𝑦
300𝑚𝑚
20𝑚𝑚
20𝑚𝑚
20
0𝑚
𝑚
15𝑚𝑚
𝑄)-() = 735000𝑚𝑚# −
15𝑦$
2 𝑚𝑚
𝜏)-() =
𝑉
𝐼𝑡
𝑄
𝜏)-() =
𝑉
𝐼𝑡
735000𝑚𝑚# −
15𝑦$
2
𝑚𝑚
𝐹)-() = K
!
𝜏)-()𝑑𝐴 ⇒ 𝐹)-() = K
1022((
022((
𝑉
𝐼𝑡 735000𝑚𝑚
# −
15𝑦$
2 𝑚𝑚 𝑡𝑑𝑦
𝐹)-() = K
1022((
022((
𝑉
𝐼
735000𝑚𝑚# −
15𝑦$
2
𝑚𝑚 𝑑𝑦
34
RESOLUÇÃO ITEM B 
𝐹)-() = K
1022((
022((
𝑉
𝐼
735000𝑚𝑚# −
15𝑦$
2
𝑚𝑚 𝑑𝑦𝐹)-() =
𝑉
𝐼
735000𝑚𝑚#𝑦 −
15𝑦#
6
𝑚𝑚
1022((
022((
𝐹)-() =
𝑉
𝐼 2 . 735000𝑚𝑚
%100 −
15100#
3 𝑚𝑚
%
𝐹)-() =
80𝑘𝑁
155,3(10&)𝑚𝑚% 142(10
&) 𝑚𝑚%
𝐹)-() = 80𝑘𝑁
142
155,3
= 73,15𝑘𝑁
35
EXEMPLO 4
36
Determinar as reações de apoio
𝑅+ 𝑅%
𝑅+ + 𝑅% −
6,5𝑘𝑁
𝑚
. 4𝑚 = 0
𝑅+ + 𝑅% = 26𝑘𝑁
𝑅+ . 8𝑚 −
6,5𝑘𝑁
𝑚 . 4𝑚.
4𝑚
2 = 0 ⇒ 𝑅+ = 6,5𝑘𝑁
𝑅% = 26𝑘𝑁 − 6,5𝑘𝑁
𝑅% = 19,5𝑘𝑁
37
Desenhar o diagrama de força cortante
6,5𝑘𝑁 19,5𝑘𝑁
+6,5𝑘𝑁
−19,5𝑘𝑁
𝑉,-. = 19,5𝑘𝑁
38
Cálculo do centro de geométrico e do momento de 
inercia
D𝑦 =
150.30𝑚𝑚*. 165𝑚𝑚 + 150.30𝑚*. 75𝑚𝑚
30.150𝑚𝑚* + 30.150𝑚𝑚*
D𝑦 = 120𝑚𝑚
𝐼/ =
150.300
12 𝑚𝑚
1 + 150.30𝑚𝑚*. 165 − 120 *𝑚𝑚*
𝐼/ = 9,45(102)𝑚𝑚1
𝐼* =
30.1500
12
𝑚𝑚1 + 150.30𝑚𝑚*. 120 − 75 *𝑚𝑚*
𝐼* = 17,55(102)𝑚𝑚1
𝐼 = 9,45 102 𝑚𝑚1 + 17,55(102)𝑚𝑚1
𝐼 = 27(102)𝑚𝑚1
39
Cálculo do 𝑄L e 𝜏L
𝑄3 = 150.30𝑚𝑚*. 165 − 120 𝑚𝑚
𝑄3 = 202500𝑚𝑚0
𝜏3 =
𝑉()* 𝑄3
𝐼 𝑡
𝜏3 =
19,5𝑘𝑁 . 202500𝑚𝑚#
27 10& 𝑚𝑚% . 30𝑚𝑚
𝜏3 = 4,875𝑀𝑃𝑎
40
EXERCÍCIO 5
𝜏()* =
𝑉()*𝑄()*
𝐼 𝑡
𝜏()* ≤ 40𝑀𝑃𝑎
𝑉()*𝑄()*
𝐼 𝑡
≤ 40𝑀𝑃𝑎
𝑉()* ≤
𝐼𝑡
𝑄()*
40𝑀𝑃𝑎
41
Cálculo do momento de inércia
𝐼/ =
120.120
12
𝑚𝑚1 + 120.12𝑚𝑚*. 36*𝑚𝑚*
𝐼/ = 1,88(102)𝑚𝑚1
𝐼* =
80.600
12 𝑚𝑚
1 + 80.60𝑚𝑚*. 0*𝑚𝑚*
𝐼* = 1,44(102)𝑚𝑚1
𝐼 = 2 . 1,88 102 𝑚𝑚1 + 1,44(102)𝑚𝑚1
𝐼 = 5,20(102)𝑚𝑚1
42
Cálculo do 𝑄MNO
𝑄/ = 120.12𝑚𝑚*
60
2 +
12
2 𝑚𝑚
𝑄/ = 51840𝑚𝑚0
𝑄* = 30.80𝑚𝑚*
30
2 𝑚𝑚
𝑄* = 36000𝑚𝑚0
𝑄()* = 51840𝑚𝑚# + 36000𝑚𝑚#
𝑄()* = 87,8(10#)𝑚𝑚#
43
Cálculo do 𝑉MNO
𝜏()* =
𝑉()*𝑄()*
𝐼 𝑡
𝜏()* ≤ 40𝑀𝑃𝑎
𝑉()*𝑄()*
𝐼 𝑡
≤ 40𝑀𝑃𝑎
𝑉()* ≤
𝐼𝑡
𝑄()*
40𝑀𝑃𝑎
𝑉()* ≤
5,20 10& 𝑚𝑚% . 80𝑚𝑚
87,8(10#)𝑚𝑚#
40𝑁
𝑚𝑚$
𝑉()* ≤ 190𝑘𝑁