Sequências

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Observe essas cinco imagens em sequência: a construção delas obedece a um padrão, que pode ser expresso por uma lei de formação. Se você a 
descobrir, poderá desenhar a próxima imagem da sequência. (Tapete Sierpinski, 1916).
A
le
jo
 M
ir
a
n
d
a
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
O estudo do sistema de numeração e suas operações faz parte do ramo da Matemática chamado Aritmética, um 
conhecimento fundamental para avançarmos nos outros ramos dessa ciência. Como estamos inteiramente acostuma-
dos a conviver com números e a operá-los diariamente, não nos perguntamos se essas operações são válidas ou quais 
conceitos as justificam.
Assim, vamos iniciar esta unidade com uma verificação de algumas características de números naturais e de nú-
meros inteiros. Em seguida, passaremos a estudar algumas sequências: as regularidades que apresentam e as manei-
ras de representá-las.
Um pouco de Aritmética 
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS
TERMOS DA ADIÇÃO
parcelas soma
fatores produto dividendo divisor quociente resto
minuendo subtraendo resto
TERMOS DA MULTIPLICAÇÃO TERMOS DA DIVISÃO
TERMOS DA SUBTRAÇÃO
a 1 b 5 c M 2 s 5 r
m 3 n 5 p D 5 d 3 q 1 r
Assumimos como operações fundamentais da Aritmética a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. 
2Vbalgoritmos utilizados atualmente para implementar as operações fundamentais da Aritmética constituem uma 
síntese de um longo processo de desenvolvimento. Sabemos, por exemplo, que a multiplicação é uma extensão da 
operação de adição, porque definimos a multiplicação de a por b como a adição de b parcelas iguais a a (ou a parcelas 
iguais a b); a divisão de um número natural por outro tem uma relação análoga com a subtração, podendo ser enten-
dida como uma sucessão de subtrações entre o dividendo e o divisor.
O seguinte teorema justifica o algoritmo da divisão euclidiana:
Sejam D e d dois números naturais. Existem dois únicos números naturais q e r tais que D 5 dq 1 r com d = 0 e 
0 , r < d.
Por exemplo: desejamos dividir 723 por 16; então estamos procurando os números naturais q e r tais que 723 5 
5 16q 1 r, com 0 , r < 16. Tradicionalmente, fazemos essa divisão usando o algoritmo da divisão euclidiana, que co-
nhecemos por “método da chave”, mas vamos escolher um caminho diferente: como determinar o quociente e o resto 
dessa divisão com uma máquina calculadora?
Algoritmos: Sequência 
finita de instruções ou 
operações para executar 
uma tarefa, resolver um 
problema ou alcançar 
ǀŰᡰżěšĪƸŏǜż᠇
Habilidades da BNCC
EM13MAT405, EM13MAT507,
EM13MAT508, EM13MAT105 e 
EM13MAT315.
Inicie a jornada!
1
Unidade Sequências
2
Álgebra
Nesta unidade, você 
vai estudar:
Sequências numéricas e 
figurais
Leis de formação: termo 
geral e recursão
MAXI_EM22_1S_ALG_C2_CA_U1_P5.indd 2 29/07/21 10:28
Insira os números e operadores na calculadora e observe o resultado 
no visor.
Observando o resultado, podemos escrever, pelo fato de a divisão ser a 
operação inversa da multiplicação: 723 5��������b3b���RX�
723 5���b3b���1�������b3b��
5HFRUUHQGR�QRYDPHQWH�¢�FDOFXODGRUD��������b3b���5 3
Portanto, 723 5���b3b���1 3.
1. Esse artifício também vale para o caso em que, na primeira divisão 
efetuada, obtém-se uma dízima?
2. Quais são os possíveis restos da divisão euclidiana de um número por 16?
1. Sim. Basta fazer um arredondamento ou encontrar a fração geratriz da parte fracionária.
2. Os restos possíveis são os números naturais de 0 a 15.
AUTONOMIA RESPONSABILIDADE CRIATIVIDADE EMPATIA SOLIDARIEDADECOOPERAÇÃO COMUNICAÇÃO
7
(
4
1
8
)
5
2
0 .
9
723 4 16 5
45.1875
%
6
3
5
4
AC
3
2
1
Ainda na expressão N 5 dq 1 r, se r 5 0, com d = 0, então dizemos que:
d divide N
N é múltiplo de d
N é divisível por d
d é divisor de N
d é fator de N
Se N é um número natural não nulo, os divisores naturais de N são todos os números naturais d = 0 tais que 
N 5 dq, q é N Por exemplo, 15 é divisor de 3 porque existe o número natural 5 tal que 15 5 3 3 5.
Exemplo: o número 24 tem 8 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Números naturais primos e números naturais compostos 
Um número natural primo p tem exatamente dois divisores positivos: 1 e p. Números naturais maiores e que não 
são primos são chamados compostos. 0 e 1 não são primos nem compostos.
Os números primos foram primeiramente estudados pelos antigos matemáticos gregos. Os matemáticos da es-
cola pitagórica (500 a.C.2300 a.C.) tinham interesses em propriedades místicas e numerológicas, tais como números 
perfeitos e números primos.
Já no século III a.C., sabia-se que havia infinitos números primos e um método para encontrá-los em uma lista 
de números naturais ordenados. Após os gregos, houve um longo hiato nessa busca, e a pesquisa só foi retomada no 
século XVII, com grandes resultados. 
/ŲƸƣĪ�ᙷ�Ī�ᙷᙶᙶ�ĪǢŏƫƸĪŰ�ᙸڑ�ŲǁŰĪƣżƫ�ƠƣŏŰżƫ᠁�Ī�ĪŲƸƣĪ�ᙷᙶᙶ�Ī�ᙷᡰᙶᙶᙶ�ĪǢŏƫƸĪŰ�Űÿŏƫ�ᙷ ᙹ᠁�ĪŰ�ƠżƫŏğƛĪƫ�ÿŧĪÿƸŽƣŏÿƫ᠇�0�Īƫƫÿ�ÿŧĪÿƸżƣŏĪģÿģĪ�ƢǀĪ�żƫ�łÿǭ�
especiais, com usos na criptografia e na explicação de alguns processos naturais, como a proteção de espécies contra seus predadores.
��ƢǀĪ�ƸżƣŲÿ�Īƫƫÿ�ěǀƫĜÿ�ƸĘż�ģŏłőĜŏŧ�ī�ĪǢÿƸÿŰĪŲƸĪ�ÿ�łÿŧƸÿ�ģĪ�ǀŰ�ƠÿģƣĘż�Ųÿ�żĜżƣƣįŲĜŏÿ�ģĪƫƫĪƫ�ŲǁŰĪƣżƫ᠇�Sƫƫż�łÿǭ�ĜżŰ�ƢǀĪ�
os matemáticos adotem a chamada abordagem pela força bruta, que equivale a aproximadamente testar a ocorrência de 
números primos em grupos (como no crivo de Eratóstenes, que será explorado em seguida) ou por meio de algoritmos para 
certos tipos de primos conhecidos (como os números primos de Mersenne, que são do tipo 2n – 1, para certos valores de n).
O Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPSᠥ�ī�ǀŰ�ƠƣżšĪƸż�ŏŲƸĪƣŲÿĜŏżŲÿŧ�ģĪ�ĜżŰƠǀƸÿğĘż�ĜżŰƠÿƣƸŏŧŊÿģÿ�Ơÿƣÿ�ĪŲĜżŲƸƣÿƣ�
ŲǁŰĪƣżƫ�ƠƣŏŰżƫ᠇���ŏģĪŏÿ�ī�ƫŏŰƠŧĪƫ᠀�żƫ�ǜżŧǀŲƸĀƣŏżƫ�ĪŰƠƣĪƫƸÿŰ�Ŋżƣÿƫ�ģĪ�ǀƸŏŧŏǭÿğĘż�ģĪ�ƫĪǀƫ�ĜżŰƠǀƸÿģżƣĪƫ�Ơÿƣÿ�ƢǀĪ�ƫĪ�ƣżģĪŰ�
algoritmos. Se você quiser participar, só precisa oferecer tempo de processamento do seu computador, porque os algoritmos 
ƫĘż�ŰǀŏƸż�ƸƣÿěÿŧŊżƫżƫ᠇�£żƣ�ŰĪŏż�ģĪƫƫĪ�ƠƣżšĪƸż᠁�ŰǀŏƸżƫ�ƠƣŏŰżƫ�šĀ�łżƣÿŰ�ĪŲĜżŲƸƣÿģżƫ᠀�ĪŰ�ᙸᙶᙷᚄ᠁�łżŏ�ģĪƫĜżěĪƣƸż�ż�ŲǁŰĪƣż�
ƠƣŏŰżᡰᙸᚄᙸᡰڑᚄᚅ ᚅᙹᙹᡰ21, com quase 25 milhões de algarismos.
��ƠĪƫƢǀŏƫÿ�ģĪ�ŲǁŰĪƣżƫ�ƠƣŏŰżƫ�ƸĪŰ�ŃƣÿŲģĪƫ�ÿƠŧŏĜÿğƛĪƫ᠁�ƢǀĪ�ƫĪ�ģĪƣÿŰ�ÿ�ĜżŲŊĪĜĪƣ�ƠƣŏŲĜŏƠÿŧŰĪŲƸĪ�Ųż�ǁŧƸŏŰż�ƫīĜǀŧż᠇�NżšĪ᠁�
os números primos estão entre os poucos produtos da matemática pura que encontram aplicações diretas na vida real, 
notadamente na segurança de dados.
Vá além
Professor, incentive-os a 
visitar a página do GIMPS 
e descubra a sensação de 
fazer parte de um projeto 
de colaboração verdadeira-
mente grandioso.
3
Unidade 1
MAXI_EM22_1S_ALG_C2_CA_U1_P5.indd 3 29/07/21 10:28
O crivo de Eratóstenes
O crivo de Eratóstenes foi o primeiro critério para descobrir os nú-
meros primos em uma lista ordenada dos números naturais de 1 até N, 
eliminando-se os números naturais compostos. Os números 0 e 1 não 
são classificados nem como primos nem como compostos.
Os compostos são assim chamados pois podem ser obtidos com-
pondo, pela operação multiplicação, dois ou mais números primos 
iguais ou distintos.
A palavra crivo é sinônimo de peneira: o que fazemos aqui é equi-
valente a “peneirar” os números, eliminando os que são compostos e 
mantendo os primos. 
Começamos por eliminar o 1, que não é primo. Encontrando um 
número p primo nessa lista, nós o selecionamos e, em seguida, elimina-
mos todos os múltiplos de p (ou seja, os números k 3 p, com k natural), 
que são compostos, já que são maiores que p e são divisíveis por p. Dessa 
seleção, os que sobrarem serão os primos procurados.
Será necessário prosseguir com este procedimento até chegar a 
100? Aqui há um resultado que usaremos sem demonstração, que é de-
vido ao próprio Eratóstenes e que vai facilitar a nossa busca:
Se um número natural n > 1 não for divisível por nenhum número 
primo p tal que p² < N, então ele é primo.
Observe que essa afirmação é um teste para números primos. Em 
outras palavras, ela nos garante que, para verificar se um número natu-
ral é primo, basta verificar que ele não é divisívelpor nenhum primo p 
menor que N. Assim, se N for composto, algum fator deverá ser encon-
trado antes de nossa busca ultrapassar N.
Para encontrar os números primos entre 1 e 100, devemos seguir até 
o maior candidato que não ultrapasse =100 10: acionando o crivo até 
o número primo 7, temos a certeza de eliminarmos todos os números 
compostos até 100. O restante dos números primos depois de =100 10
não são selecionados e permanecem no crivo.
A sequência de passos é a seguinte:
a) Eliminamos o 1.
b) 2 é o primeiro número primo (2 5 2 3 1), mas os múltiplos de 2 
não o são; então, eliminamos os múltiplos de 2.
c) 3 é o próximo número primo (3 5 3 3 1), mas os múltiplos de 3 não 
o são; então, eliminamos os múltiplos de 3.
d) 5 é o próximo número primo (5 5 5 3 1), mas os múltiplos de 5 
não o são; então, eliminamos os múltiplos de 5.
e) 7 é o próximo número primo (7 5 7 3 1), mas os múltiplos de 7 
não o são; então, eliminamos os múltiplos de 7.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Os números que sobram são os 25 primos de 1 a 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 
17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Divisores de um número composto 
Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou se escreve de 
modo único (a menos da ordem dos fatores) como um produto de nú-
meros primos.
Esse enunciado é conhecido como o Teorema Fundamental da 
Aritmética.
Através da fatoração de um número, podemos encontrar seus divi-
sores. Veja um exemplo: 
Pela fatoração, encontramos o número de divisores de 60.
60 5��tb3b�b3b�
Dessa maneira, podemos observar que um divisor de 60 deve ser 
composto de potências de 2 e/ou 3 e/ou 5:
Potências de 3 Potências de 2 Potências de 5
3 possibilidades: 
0, 1 ou 2
2 possibilidades: 
0 ou 1
2 possibilidades: 
0 ou 1
7RWDO���b3b�b3b��5 12 
Divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Pares e ímpares 
Pensando nos restos possíveis da divisão de um número natural N 
por 2, podemos dividir os naturais em dois tipos: 
N é par ^ N pode ser escrito como = ∈N k a um k � 2 , para lg
N é ímpar ^ N pode ser escrito como = + ∈N k a um k � 2 1, para lg
Essas proposições podem se estender para os inteiros. A paridade 
dos números traz algumas características para as operações.
ADIÇÃO par ímpar
par par ímpar
ímpar ímpar par
MULTIPLICAÇÃO par ímpar
par par par
ímpar par ímpar
Essas propriedades também se estendem para o conjunto dos nú-
meros inteiros.
Faça em sala: 1 a 4 | Faça em casa: 1 a 5 | Estude mais: 1
Vídeo sobre o Teorema Fundamental da Aritmética.
4
Álgebra
MAXI_EM22_1S_ALG_C2_CA_U1_P5.indd 4 29/07/21 10:28
Sequências 
Podemos dizer que sequência é um grupo de elementos ordenados, 
dispostos em uma ordem preestabelecida. Esses elementos podem ser 
números, figuras ou mesmo instruções. Veja alguns exemplos:
Ranking das dez maiores economias do mundo
(1º trimestre de 2021)
1 Estados Unidos
2 China
3 Japão
4 Alemanha
5 França
6 Reino Unido
7 Índia
8 Itália
9 Canadá
10 Coreia
Fonte: https://g1.globo.com/economia/
noticia/2021/03/03/brasil-sai-de-lista-das-10-maiores-
economias-do-mundo-e-cai-para-a-12a-posicao-aponta-
ranking.ghtml. Acesso em: 16 maio 2021.
Sequência de movimentos no tabuleiro de xadrez 
Cada termo dessa sequência é um conjunto de movimentos das pe-
ças na notação algébrica para os movimentos do xadrez.
8
7
6
5
4
3
2
1
a b c d e f g h
M
R
S
 E
d
it
o
ri
a
l
Xeque-mate das peças brancas em 4 movimentos ou xeque do pastor.
Uma sequência numérica é uma função de domínio � * e contra-
domínio em R. Veja alguns exemplos:
1.e4 e5
2.Bc4 Cc6
3.Dh5
4.Dxf7
1
2
3
4
1
N* R
4
9
16
Sequência de números quadrados perfeitos.
1
2
3
4
2
N* R
4
6
8
Sequência de números naturais pares.
Leis de formação 
Muitas vezes, é possível estabelecer uma relação entre a posição 
do elemento na sequência e o seu valor. Isso é o mesmo que dizer que 
determinado termo pode ser calculado em função de sua posição na se-
quência.
Chamando de a
1
, a
2
, ...a
n 
... os termos da sequência (a
1
 é o primeiro 
termo; a
2
 o segundo termo; a
3
 o terceiro termo; ... a
n
 o enésimo termo), 
a sentença a
n
5 f(n) é a lei posicional de formação; nessa situação, a
n
também é chamado termo geral da sequência. Veja as leis posicionais 
de formação das sequências exemplificadas anteriormente:
Sequência de números naturais pares
a
1
5 0
a
2
5 2
a
3 
5 3 
a
4
5 4
etc
a
n
5 2n, néN
a
1
5 f(1) 5 2 ? 1 5 2
a
2
5 f(2) 5 2 ? 2 5 4, etc.
Sequência de números quadrados perfeitos
a
1
5 1
a
2
5 4
a
3 
5 9 
a
4
5 16
etc
a
n
5 n², néN*
a
1
5 f(1) 5 12 5 1
a
2
5 f(2) 5 22 5 4, etc 
5
Unidade 1
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O estudo das sequências numéricas e de suas propriedades re-
vela padrões interessantes que encontramos em situações muitas 
vezes inesperadas, como o crescimento de vegetais, a evolução de 
investimentos (ou de dívidas...), o crescimento populacional, o con-
trole de uma variável em certos experimentos, etc. Também é pos-
sível aplicar o conhecimento dessas sequências em programação 
GHbFRPSXWDGRUHV�
Recursão
Muitas vezes, uma sequência é definida não em função da posição 
do termo na sequência, mas sim em função de termos previamente de-
finidos. A estratégia de recorrer a termos pré-definidos é o que se cha-
ma de recursão. Nas sequências recursivas (ou seja, que são definidas 
por recursão ou por uma lei de recorrência), a expressão do termo geral 
está escrita em função de termos antecessores. Nesse caso, é necessário 
definir um ou mais termos iniciais. Veja alguns exemplos:
a)
=
= ∈ >





−
a
a
a
n nn
n
�
 2 
2
, , 1
1
1
*
A sequência é (2, 1, 2, 1, ...)
b)
= = −
= + ∈ >





− −
a a
a a a n nn n n �
2
3
;
5
3
 , , 2
1 2
1 2
*
 A sequência é − − − −






2
3
,
5
3
, 1,
8
3
,
11
3
, ...
Como vemos, na sequência recursiva definimos o primeiro termo 
(ou os primeiros termos) e os demais são obtidos em função dos termos 
iniciais dados.
Atenção para a notação: 
n é a posição do termo a
n
 na sequência;
a
1
 é o primeiro termo, a
2 
é o segundo termo, etc;
a
n
 é o n-ésimo termo da sequência.
É importante notar que uma sequência recursiva pode, às vezes, ser 
também definida por uma expressão que depende unicamente da posi-
ção do termo na sequência. Veja um exemplo.
A lei de recorrência
=
= ∈ >



 −
a
a a n nn n �
 2 
 2 , , 1
1
1
*
define a sequência de potências de 2, ou seja, (2, 4, 8, 16, ...), mas ela 
também pode ser expressa pelo seu termo geral =a 2
n
n. 
Sequências numéricas figurais
Já foi dito anteriormente que, na ausência de uma álgebra consis-
tente, os pitagóricos atribuíam sempre uma interpretação geométrica 
aos números; provavelmente foram eles que identificaram a simetria na 
disposição de pontos determinados por sequências especiais de núme-
ros, que hoje nós os chamamos de números figurados. 
Os números figurados podem ser representados por um arranjo vi-
sual, formado por pontos equidistantes. Se esse arranjo formar um po-
lígono regular, esses números serão chamados de números poligonais.
Números poligonais apresentam leis de formação recursivas, além 
das leis de formação dos termos em função das respectivas posições na 
sequência. Vamos analisar alguns exemplos.
Números triangulares 
a
5
5 15a
4
5 10a
3
5 6a
2
5 3a
1
5 1
Nesta sequência, a
2
5 a
1
1 2, a
3
5 a
2 
1 3, a
4
5 a
3
1 4, a
5
5 a
4
1 5, etc. 
Assim, sua fórmula recursiva (lei de recorrência) é 
=
= + ∈ >



 −
a
a a ne nn n �
 1
 , n 1
1
1
*
. 
Pode-se demonstrar que a lei 
( )
=
+
∈a
n n
nn �
1
2
,
* também descreve a 
sequência de números triangulares.
Números quadrados 
a
5
5 25a
4
5 16a
3
5 9a
2
5 4a
1
5 1
Nesta sequência, a
2
5 a
1
1 3, a
3
5 a
2 
1 5, a
4
5 a
3
1 7, a
5 
5 a
4
1 9, etc: 
cada número quadrado difere do anterior por um número ímpar. Como 
já sabemos escrever a representação dos números naturais ímpares, 
podemos dizer que, em geral, na sequência dos números quadrados, 
a
n
5 a
n21
1 2n 2 1 e sua fórmula recursiva é 
=
= + ∈ >



 −
a
a a n n nn n �
1
 2 – 1, , 1
1
1
*
É fácil perceber que a lei a
n
5 n² também descreve a sequência de 
números quadrados.
Números pentagonais 
a
5
5 55a
4
5 22a
3
5 12a
2
5 5a
1
5 1
Nesta sequência, a
2
5 a
1
1 4, a
3
5 a
2 
1 7, a
4
5 a
3
1 10, a
5 
5 a
4
1 13, etc. 
Pode-se demonstrar que a fórmula recursiva dessa sequência é 
=
= + ∈ >



 −
a
a a n n nn n �
1
 3 – 2, , 1
1
1
*
Já a lei de formação em função de n é 
( )
=a
n
n
 n 3 – 1
2
.
Faça em sala: 5 a 8 | Faça em casa: 6 a 9
6
Álgebra
MAXI_EM22_1S_ALG_C2_CA_U1_P5.indd 6 29/07/21 10:28
Outras sequências 
Sequência de Fibonacci 
A sequência numérica de Fibonacci apareceu na seguinte proposição:
Um indivíduo colocou um casal de coelhos em um lugar isolado. 
Quantos casais de coelhos podem ser gerados a partir desse, ao final 
de um ano, sabendo que, a cada mês, cada casal gera um novo casal 
que se torna produtivo no segundo mês de vida?
No primeiro mês, existe apenas o casal inicial. No segundo mês, este 
tornou-se maduro mas ainda não chegou à fase reprodutiva. No tercei-
ro mês, nasceu um casal de coelhos. No quarto mês, o casal inicial teve 
outro casal, enquanto os seus primeiros filhos cresciam. No quinto mês, 
tanto o casal inicial como os seus primeiros filhos, já em fase reproduti-
va, tiveram dois novos casais de coelhos, e daí em diante. Representando 
esses resultados em uma ilustração:
CASAIS DE COELHOS
1
1
2
3
5
8
Recém-nascidos
Adultos
Remanescentes
A sequência que se obtém ao somar a quantidade de casais de coelhos 
a cada mês é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . Ela é chamada sequência de Fi-
bonacci. A simplicidade da proposição esconde a sua ampla aplicação e as 
relações com outros conteúdos. Essa sequência é usada, por exemplo, para 
modelar estudos de crescimento de vários tipos na natureza, variações em 
bolsas de valores, além de ter aplicações em probabilidade e estatística.
Qual é a relação do número de casais em um certo mês com o nú-
mero de casais nos meses anteriores? Se não houver mortes, a quantida-
de de casais no mês n é igual à quantidade do mês anterior, n -1, mais a 
quantidade de nascimentos, que é numericamente igual à quantidade 
de casais no mês anterior a n – 1, ou seja, n – 2. A sequência de Fibonacci 
é definida, portanto, pela recursão:
=
=
= + ∈





−
a
a
a a an n n
1
1
 , n N*, n > 2 
1
2
– 1 2
Com essa informação, é possível saber o número de casais de coe-
lhos após 1 ano:
a
1
1
a
2
1
a
3
2
a
4
3
a
5
5
a
6
8
a
7
13
a
8
21
a
9
34
a
10
55
a
11
55 1 34 5 89
a
12
89 1 55 5 144
Esse cálculo foi facilitado porque já tínhamos a maioria dos termos 
anteriores. Se quisermos saber um termo de posição elevada, por exem-
plo, a
20
, é mais cômodo usarmos a lei que define a sequência em função 
de n. Usaremos, sem demonstração, a expressão que dá o n-ésimo ter-
mo da sequência de Fibonacci
( )
=
φ − −φ
an
n
n
1
5
HP�TXH�FRPSDUHFH��GH�PDQHLUD�VXUSUHHQGHQWH��R�Q¼PHUR�LUUDFLRQDO���
φ =
+1 5
2
, que vale aproximadamente 1,618034.
Esse número tem muitas propriedades e aplicações importantes, e 
aparece em contextos frequentemente inusitados. Teremos oportuni-
dades de encontrá-lo em várias ocasiões, neste curso.
A primeira aparição dessa sequência na Europa aconteceu em 1202, por 
intermédio do matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1250), mais 
ĜżŲŊĪĜŏģż�ŊżšĪ�ĜżŰż�FŏěżŲÿĜĜŏ�ᠤłŏŧŊż�ģĪ�GǀŧŏĪŧŰż�ģĪŏ��żŲÿĜĜŏᠥ᠁�ĪŰ�ƫĪǀ�
livro Liber Abaci, ou “livro de cálculo”.
Liber Abaci foi um dos livros 
mais importantes sobre 
matemática na Idade Média 
e um retrato do estado da 
arte matemática até o século 
åSSS᠁�ƸƣÿǭĪŲģż�Ơÿƣÿ�ÿ�ĜǀŧƸǀƣÿ�
europeia o conhecimento 
dos matemáticos árabes e 
ŏŲƸƣżģǀǭŏŲģż᠁�Ơżƣ�ĪǢĪŰƠŧż᠁�
os algarismos indo-arábicos e 
algoritmos de cálculo.
Vá além
Esta é a página do Liber Abaci onde 
aparece o problema dos coelhos.
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7
Unidade 1
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Fractais 
Nem todos os fenômenos e formas que aparecem na natureza po-
dem ser explicados ou modelados pela geometria euclidiana. Este é o 
caso das nuvens, da conformação das árvores, do formato de vegetais 
como a couve-flor e os brócolis, dos contornos de algumas regiões lito-
râneas e até da superfície dos pulmões. O matemático polonês Benoit 
Mandelbrot (1924-2010) percebeu que era necessário acionar uma nova 
visão da geometria que caracterizasse esses objetos.
O termo fractal (do latim fractus, quebrado) foi cunhado por 
Mandelbrot em 1975, mas já havia conhecimento desses objetos desde 
o século XIX:
Fractais são objetos produzidos pela repetição de processos sim-
ples, produzindo padrões infinitamente complexos que são semelhan-
tes em diferentes escalas. O estudo dos fractais só se desenvolveu da 
maneira como foram imaginados por Mandelbrot a partir de 1960, com 
a chegada dos computadores. Há três tipos principais de fractais: 
 żŲšǀŲƸż�ģĪ� ÿŲƸżƣ᠁�ģĪƫĜżěĪƣƸż�ĪŰ�ᙷᚄᚃ ᠁�ģĪƫĜƣŏƸż�ĪŰ�ᙷᚄᚄᙹ᠇
A
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Curva de Peano (1890). 
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Curva de Hilbert (1891)
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ck
• JHRP«WULFRV��IRUPDGRV�SRU�ȑJXUDV�SROLJRQDLV�RX�DUFRV�
• abstratos, objetos algébricos formados por curvas de funções e
b
lu
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ck
FƣÿĜƸÿŏƫ�ģĪ�rÿŲģĪŧěƣżƸ�ƫĘż�ŃƣĀǿĜżƫ�łżƣŰÿģżƫ�Ơżƣ�ƫĪƢǀįŲĜŏÿƫ�ƣĪĜǀƣƫŏǜÿƫ᠇�
• WUD©RV�DOHDWµULRV�FRPR�DV�WUDMHWµULDV�GH�XP�REMHWR�HP�XP��OXLGR��
descrevendo movimento browniano.
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Movimento browniano observado pelo físico francês Jean Perrin (1870-1942). 
/ƫƫĪ�łĪŲƀŰĪŲż�łżŏ�ģĪƫĜżěĪƣƸż�ƠĪŧÿ�ƠƣŏŰĪŏƣÿ�ǜĪǭ�ƠĪŧż�ěżƸĈŲŏĜż�ĪƫĜżĜįƫ�¦żěĪƣƸ��ƣżǝŲ�
(1773-1858) em 1827.
Em qualquer deles, cada parte do objeto é um elemento da 
sequência que cria o padrão completo, e é uma cópia do todo – essa é 
uma característica denominada autossimilaridade. 
8
Álgebra
MAXI_EM22_1S_ALG_C2_CA_U1_P5.indd 8 29/07/21 10:28
Tapetes de Sierpinski 
O Triângulo de Sierpinski é um fractal geométrico e leva este nome em homenagem ao matemático polonês Wa-
claw Sierpinski (1882-1969), que o descreveu em 1915.
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jo
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n
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ck
Observe que a figura obtida é autossemelhante, isto é, cada parte é uma reprodução em escala reduzida da figura 
completa. Mas como se inicia essa figura?
Partimos de um triângulo equilátero. Sobre ele, aplica-se repetidamente um processo recursivo de divisão, em 
quatro triângulos semelhantes. Verificamos que as partes da figura são cópias reduzidas de toda a figura. Veja as eta-
pas; a lei de recursão pode ser descrita do seguinte modo:
Tome cada triângulo preto, encontre os pontos médios de cada lado e una-os, criando quatro triângulos seme-
lhantes; suprima o triângulo central e substitua-o por um triângulo branco. Imagine que se repita infinitas vezes, 
com cada novo triângulo preto, o procedimento descrito anteriormente. Temos, então uma sequência infinita 
GHbILJXUDV�
a
6
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
A
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 M
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a
n
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to
ck
Parâmetros que podem ser controlados na evolução desse fractal: número de triângulos pretos, número de tri-
ângulos brancos, área pintada de preto, etc. Como você imagina que essas quantidades variem?Há uma tendência?
O número de triângulos pretos diminui, o número de triângulos brancos aumenta e a área pintada tende a zero. 
Não é necessário estudar quantitativamente essas variações, pois algumas delas serão retomadas no estudo das pro-
gressões geométricas.
Fractal árvore 
Seu nome remete à sua forma, que lembra a de uma árvore composta de um tronco central, que se desenvolve em 
diversos galhos ou ramos à medida que evolui.
Neste caso, partimos de um segmento de reta vertical. Sobre ele, aplicam-se, repetidamente, um processo recur-
sivo de criação de segmentos. Neste caso, a lei de recursão pode ser descrita do seguinte modo:
No extremo livre de cada segmento, trace dois segmentos de comprimento igual à metade do anterior, e que 
formem ângulo de 90°.
a
7
a
1
a
2
a
3
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4
a
5
a
6
a
8
V
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to
ck
Que parâmetro você pode considerar para análise, neste caso?
Faça em sala: 9 a 11 | Faça em casa: 10 a 11
Nuvens não são 
esferas, montanhas 
não são cones, os 
litorais não são cír-
culos, a casca das 
árvores não é lisa e 
tampouco a luz viaja 
em linha reta. 
MANDELBROT, Benoit 
B.; MANDELBROT, Benoit 
B. The fractal geometry 
of nature. New York: WH 
freeman, 1982 
TED (sigla de Tecnologia, 
Entretenimento e Design) é 
uma organização sem �ns 
lucrativos dedicada a divul-
gar ideias, geralmente na 
forma de palestras curtas e 
inspiradoras, com até 18 mi-
nutos.
Aproveite a oportunidade de 
ver um cientista falando so-
bre seu trabalho nesta pales-
tra de Benoit Mandelbrot so-
bre como descrever superfí-
cies rugosas usando fractais. 
Com legenda e transcrição 
para o português.
9
Unidade 1
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1. Todo número inteiro é par ou é ímpar.
a) Escreva as formas gerais de um número inteiro par e de um número 
inteiro ímpar.
N é par ^ N 5 2k, k é Z
N é ímpar ^ N 5 2k 21, k é Z
b) Vamos provar que a soma de dois números pares é um número par, 
e que o produto de dois números pares é um número par.
M é par ^ M 5 2m, m é Z
N é par ^ N 5 2n, n é Z
M 1 N 5 2m 1 2n 5 2(m1n)
m é Z e n é Z ~ m 1 n é inteiro
Então M 1 N é par, porque é o dobro de um número inteiro
M ? N 5 2m ? 2n 5 4 ? m ? n
m é Z e n é Z ~ m ? n é inteiro
Então M ? N é par, porque é o dobro (do dobro) de um número inteiro
2. ��ĪǢƠƣĪƫƫĘż�ᠤᙷᙸᙹᡰᙸᚃ�1ڑ�ᙹ ᚂᡰᙸᙹᙷᠥ234 1� ᠤᙹᡰ ڑᙷ�1� ᡰڑᙹᙸᠥ542 resulta em um 
número bem grande, não é verdade? Mas conseguimos determinar se 
ele é par ou se é ímpar sem saber quanto ele vale.
Para facilitar, vamos analisar cada uma das duas potências separadamente.
(123 275 1 346 231)234 é uma potência de base par, pois é uma soma que
resulta da adição de dois números ímpares; independentemente da
paridade do expoente, a potência de base par é sempre par. 
(3 451 1 4 532)542 é uma potência de base ímpar, pois é uma soma que
resulta da adição de um número par a um número ímpar;
independentemente da paridade do expoente, a potência de base ímpar
é sempre ímpar.
Finalmente, adicionando um número par a um número ímpar, teremos
uma soma ímpar.
3. O produto de 6 números inteiros é igual a 1. Mostre que a soma desses 
ᚂ�ŲǁŰĪƣżƫ�ŲĘż�ƠżģĪ�ƫĪƣ�ŏŃǀÿŧ�ÿ�ǭĪƣż᠇
Para que o produto de números inteiros seja positivo, devemos ter uma
quantidade par de números negativos. Maneiras de seis inteiros darem 
produto 1:
11, 11, 11, 11, 11, 11
11, 11, 11, 11, 21, 21
11, 11, -1, -1, 21, 21
21, 21, 21, 21, 21, 21
Para que a adição dessas parcelas fosse igual a zero, todas as parcelas
deveriam se organizar em três duplas 11 e 21, para ocorrer 11 – 1 5 0 
três vezes, e isso não ocorre em nenhuma das maneiras descritas – na
primeira opção, não há parcelas negativas; na segunda opção, há apenas
duas duplas, restando duas parcelas 11 e isso não zera a soma; na 
terceira opção, há apenas duas duplas, restando duas parcelas 21 e isso 
não zera a soma; �nalmente, na quarta opção, não há parcelas positivas.
Portanto, a soma dos seis números não pode ser zero.
4. Fÿğÿ�ż�ƢǀĪ�ƫĪ�ƠĪģĪ�ĪŰ�Ĝÿģÿ�ŏƸĪŰ᠇
a) Prove que 101 é primo.
A estratégia é continuar o crivo de Eratóstenes. Os únicos primos
que são menores ou iguais a 101 são: 2, 3, 5 e 7. E como 101 não é
divisível por 2, 3, 5 ou 7, pode-se a�rmar que 101 é primo.
b) De quantas maneiras podemos escrever 103 como a soma de dois 
números naturais primos?
Estamos procurando dois naturais m e n primos tais que m 1 n 5 103. 
Vamos tentar chegar em alguma propriedade desses números.
A única coisa que temos é que 103 é um número ímpar, mas esse é 
um bom começo, porque nos dá uma pista sobre m e n: para que a 
soma de dois números naturais seja ímpar, é necessário que um deles 
seja par e o outro seja ímpar. Mas o único número natural primo que 
é par é o número 2, assim já sabemos que m 5 2 ou n 5 2. 
Supondo que m 5 2, se m 1 n 5 103, então n 5 103 – 2 5 101.
Mas 101 é primo? Já provamos na parte a) que sim! Então, existe um 
único par de números primos cuja soma seja 103: são o 2 e o 101.
Faça em sala
10
Álgebra
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5. A lei de formação a
n
5 n² 1 3, ∈n � * gera a seguinte sequência:
(4, 7, 12, ...)
a) Encontre o décimo termo da sequência.
a
10
5 10² 1 3 5 103 
b) ßĪƣŏǿƢǀĪ�ƫĪ�ÿ
n
5 126 é um termo dessa sequência.
n² 1 3 5 126 _ n 5 123 , mas ∉123 *� 126 não é termo dessa
sequência.
6. Uma sala tem n 1 1 pessoas, sendo que cada pessoa cumprimenta ou-
Ƹƣÿ�ĪǢÿƸÿŰĪŲƸĪ�ǀŰÿ�ǜĪǭ᠇�¥ǀÿŲƸżƫ�ÿƠĪƣƸżƫ�ģĪ�ŰĘż�ƫĘż�ƸƣżĜÿģżƫ᠈�
7. Demonstre que a diferença entre dois números quadrados perfeitos 
consecutivos é um número natural ímpar.
Sejam n é N, a
n
5 n-ésimo quadrado perfeito 5 n², e a
n
1
1
5 (n 1 1)-ésimo 
quadrado perfeito 5 (n 1 1)²
a
n
1
1
 – a
n 
5 (n 1 1)² - n² 5 n² 1 2n 1 1 – n² 5 2n 1 1, que é ímpar
8. Os números retangulares formam uma sequência de números poligo-
nais, portanto, também podem ser representados por meio de arran-
šżƫ�ģĪ�ƠżŲƸżƫ᠇�'ĪłŏŲŏŲģż�ż�ŲǁŰĪƣż�ƣĪƸÿŲŃǀŧÿƣ�ĜżŰż�ż�ƠƣżģǀƸż�ģĪ�ģżŏƫ�
números naturais consecutivos, encontre a fórmula recursiva e a lei de 
formação desses números em função de n.
a
1
5 2 a
2
5 6 a
3
5 12 a
4
5 20
9. Considere os dois problemas a seguir.
'ĪƸĪƣŰŏŲÿƣ�ǀŰ�ŲǁŰĪƣż�ƠżƫŏƸŏǜż�ƢǀĪ�ƫĪšÿ�ǀŰÿ�ǀŲŏģÿģĪ�Űÿŏżƣ�ģż�ƢǀĪ�
o seu inverso.
Determinar um número positivo tal que, subtraindo-o de seu quadra-
do, resulte em diferença igual a 1.
a) ßĪƣŏǿƢǀĪ�ƢǀĪ�ÿŰěżƫ�ƣĪĜÿĪŰ�ĪŰ�ĪƢǀÿğƛĪƫ�ĪƢǀŏǜÿŧĪŲƸĪƫ᠇
Primeiro problema: = +1
1
(1)x
x
; 
b)'ĪƸĪƣŰŏŲĪ�ÿ�ƫżŧǀğĘż�Ơÿƣÿ�ÿŰěżƫ�żƫ�ƠƣżěŧĪŰÿƫ᠇�¥ǀĪ�ŲǁŰĪƣż�
importante você obteve?
segundo problema: 1 (2)2 2 5x x
Sendo x > 0 podemos multiplicar os dois membros da equação (1) 
por x: = + = +1
1
1 1 0 (2)2 2~ 2 2 5x
x
x x ou x x
Como não há nenhuma pista ou “fórmula” que parece se aplicar a esta 
situação, vamos atacar o problema abordando inicialmente o caso mais 
simples: duas pessoas trocam um aperto de mão. Se entrar mais uma 
pessoa, haverá três apertos de mão, porque essa pessoa aperta a mão 
das duas outras que já estavam lá. Ao entrar a quarta, além dos três 
apertos de mão que já foram trocados, a quarta pessoa cumprimenta as 
outras três, portanto, são seis apertos de mão. A quinta pessoa cumpri-
menta as outras quatro e adiciona quatro apertos de mão aos seis que 
já foram dados.
É hora de criar uma tabela:
Nº de pessoas 2 3 4 5 ...
Nº de apertos de mão 1 3 6 10 ...
O número de apertos de mão forma uma sequência de números triangu-
lares. Agora, é preciso ter atenção na generalização para dar a resposta 
corretamente: observe que duas pessoas trocam um número de apertos 
de mão correspondente ao primeiro número triangular a
1
; três pessoas 
trocam um número de apertos de mão correspondente ao segundo nú-
mero triangular, a
2
 – há uma defasagem de um, nesse caso. Então, a 
generalização é a seguinte: n pessoas trocam um número de apertos 
de mão correspondente ao (n 2 1)-ésimo número triangular, a
n-1
; a próxi-
ma relação então será a seguinte: n 1 1 pessoastrocarão 
( )
=
+1
2
a
n n
n
apertos de mão.
Observando cada número retangular, vemos que a
2
5 a
1
1 4, a
3
5 a
2 
1 6, 
a
4
5 a
3
1 8, etc. Essas evidências ilustram o fato de que a fórmula recur-
=
±
1 0
( 1) ( 1) 4 1 ( 1)
2
2
2
2 2 5
22 2 2 ? ? 2
x x
x
; desprezando a solução negativa, 
siva tem o seguinte aspecto:
5
5 1 é
2
� >




2
2 , n e 1
1
1
*
a
a a n n
n n
Para obter a lei de formação como função de n, observamos que cada 
número retangular a
n (ret)
 é o dobro do respectivo número triangular a
n (tri)
; 
esse fato pode ser con�rmado nos próprios desenhos. Assim, se a
n (ret)
5 
5 2 ? a
n(tri)
, a lei de formação dos números retangulares em função de n é
( )
=2
1
2
,2 *5 ?
1
1 é Na
n n
n n n
n
Solução anternativa: na �gura 1, temos 1 �leira com 2 bolinhas; na 
�gura 2, temos 2 �leiras com 3 bolinhas; ... ; na �gura n, temos n �leiras 
com (n 1 1) bolinhas. Logo, o total de bolinhas na �gura n é n(n 1 1).
teremos =
+1 5
2
x , que é o número f.
Comentário: Comparando os enunciados e o resultado, os estudantes 
devem chegar à conclusão de que f 2 1 5 f e que = 1
1
f 1
f
11
f
Unidade 1
MAXI_EM22_1S_ALG_C2_CA_U1_P5.indd 11 29/07/21 10:28
10. �Ƣǀŏ�ƸĪŰżƫ�Űÿŏƫ�ÿŧŃǀŰÿƫ�ƠÿƣƸŏĜǀŧÿƣŏģÿģĪƫ�ģÿ�ƫĪƢǀįŲĜŏÿ�ģĪ�FŏěżŲÿĜĜŏ᠇�/ƫĜƣĪǜÿ�żƫ�ǜŏŲƸĪ�ƠƣŏŰĪŏƣżƫ�ƸĪƣŰżƫ�ģÿ�ƫĪƢǀįŲĜŏÿ᠁�ÿŲÿŧŏƫĪᠵżƫ�Ī�ƣĪƫƠżŲģÿ᠀
a) O que os termos a
3
, a
6
, a
9
, a
12
, a
15
 e a
18
 têm em comum?
b) O que os termos a
4
, a
8
, a
12
, a
16
 e a
20
 têm em comum?
c) O que os termos a
5
, a
10
, a
15
 e a
20
 têm em comum?
d) Os fatos observados ilustram a seguinte propriedade (indique a sentença que mais se adequa à situação):
I. ��ƫĪƢǀįŲĜŏÿ�ģĪ�FŏěżŲÿĜĜŏ�ī�ĜƣĪƫĜĪŲƸĪ᠁�ŏƫƸż�ī᠁� � �> ⇒ > ∀ ∈ ∀ ∈k n a a k e nk n ,
II. tÿ�ƫĪƢǀįŲĜŏÿ�ģĪ�FŏěżŲÿĜĜŏ᠁�ŊĀ�ŏŲǿŲŏƸżƫ�Ť�Ƹÿŏƫ�ƢǀĪ�ÿ
k
 é par e a
k-1
 e a
k
1
1
 são ímpares.
III. Todo elemento a
kn
�ģÿ�ƫĪƢǀįŲĜŏÿ�ģĪ�FŏěżŲÿĜĜŏ�ī�ŰǁŧƸŏƠŧż�ģĪ�Ų᠇
IV. Todo elemento a
kn
�ģÿ�ƫĪƢǀįŲĜŏÿ�ģĪ�FŏěżŲÿĜĜŏ�ī�ŰǁŧƸŏƠŧż�ģĪ�ÿ
n
.
11. Este fractal é o floco de neve de Koch.
A
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d
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to
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a) ��ƠÿƣƸŏƣ�ģż�ᙷ��ƸƣŏĈŲŃǀŧż᠁�ǜÿŰżƫ�Ơƣżģǀǭŏƣ�ǀŰÿ�łŽƣŰǀŧÿ�ƣĪĜǀƣƫŏǜÿ�ƢǀĪ�ż�ƸƣÿŲƫłżƣŰĪ᠁�ÿƠŽƫ�ƫǀĜĪƫƫŏǜÿƫ�ÿƠŧŏĜÿğƛĪƫ᠁�Ųÿ�łżƣŰÿ�ģż�łƣÿĜƸÿŧ᠇
Uma fórmula recursiva possível: Divida o lado do polígono a
n
 em três segmentos de mesmo comprimento; substitua o segmento central por uma linha 
poligonal aberta, composta de dois segmentos de medida igual à do segmento que foi suprimido.
b)¥ǀÿŧ�ī�ż�ƠĪƣőŰĪƸƣż�ģĪ�ÿᙷ᠈�/�ģĪ�ÿᙸ᠈�/�ģĪ�ÿᙹ᠈���ƢǀĪ�ǜżĜį�ĪƫƠĪƣÿ�ƢǀĪ�ÿĜżŲƸĪğÿ�ĜżŰ�ż�ƠĪƣőŰĪƸƣż�ģĪƫƫÿ�ǿŃǀƣÿ�ÿƠŽƫ�ǀŰ�ŃƣÿŲģĪ�ŲǁŰĪƣż�ģĪ�
transformações?
Seja a
n
 o n-ésimo �oco de Koch. Vamos estudar os termos da sequência b
n
, em que b
n
 é o perímetro de a
n
. Considerando que a
1
 é um triângulo equilátero de 
lado unitário L
1
5 1, teremos b
n
5 3; aplicando a fórmula recursiva ao primeiro �oco, teremos uma �gura composta por três segmentos cada um 
medindo 2
3
2
3
4
3
2 5 ? 1 ? 5L
L L L
 e o seu perímetro será 3 4
3
42 5 ? 5b
L
L . O perímetro de a
3
 será 
4
3
4
3
4
16
3
3 25 5 ? 5b b L L . 
c) ßżĜį�ĜżŲƫŏģĪƣÿ�ƢǀĪ�ÿ�ƸĪŲģįŲĜŏÿ�ĪǢŏěŏģÿ�ƠĪŧż�ƠĪƣőŰĪƸƣż�ģÿ�ǿŃǀƣÿ�ƫĪƣĀ�ÿ�ŰĪƫŰÿ�ģÿ�ƫǀÿ�ĀƣĪÿ᠈
Cada perímetro é 
4
3
 do anterior, então o perímetro tende a crescer inde�nidamente, enquanto a área permanece limitada.
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
a
11
a
12
a
13
a
14
a
15
a
16
a
17
a
18
a
19
a
20
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765
a) a
3
5 2; a
6
5 8; a
9
5 34; a
12 
5 144; a
15
5 610 e a
18
5 2 584. Todos são múltiplos de 2.
b) a
4 
5 3; a
8
5 21; a
12
5 144; a
16 
5 987 e a
20
5 6 765. Todos são múltiplos de 3.
c) a
5
5 5; a
10
5 55; a
15
5 610 e a
20
5 6 765. Todos são múltiplos de 5.
d) 
I. A sentença é verdadeira, mas os fatos observados só analisam a
n
 com n natural.
II. A sentença é verdadeira, mas os fatos observados não comparam três números de Fibonacci consecutivos.
III. Falsa; veja, por exemplo a
6
5 8.
IV. Verdadeira.
a
3
5 2; a
6
5 8 5 4 a
3
; a
9
5 34 5 17 a
3
; a
12 
5 144 5 72 a
3
; a
15
5 610 5 305 a
3
 e a
18
5 2 584 5 1 292 a
3
.
a
4 
5 3; a
8
5 21 5 7 a
4
; a
12
5 144 5 48 a
4
; a
16 
5 987 5 329 a
4
 e a
20
5 6 765 5 2 255 a
4
.
a
5
5 5; a
10
5 55 5 11 a
5
; a
15
5 610 5 122 a
5 
e a
20
5 6 765 5 1 353 a
5
.
12
Álgebra
MAXI_EM22_1S_ALG_C2_CA_U1_P5.indd 12 29/07/21 10:28
1. �ŧǜÿƣż�ģŏƫƫĪ�ƢǀĪ�ƸŏŲŊÿ�ģżŏƫ�ÿŲżƫ�ÿ�Űÿŏƫ�ƢǀĪ��ĪƣĪŲŏĜĪ᠇��ĪƣĪŲŏĜĪ�ģŏƫƫĪ�
que tinha o dobro da idade de Celso. Celso disse que Álvaro tinha 17 
anos. Mostre que um deles mentiu.
Vamos representar por a a idade de Álvaro, b a idade de Berenice e c a 
idade de Celso. Se Berenice diz a verdade, então b 5 2c e por isso b é um 
número par. Se Celso diz a verdade, então a 5 17. Se Álvaro diz a verdade, 
a 5 b 1 2. Mas b é um número par e b 1 2 também é um número par, o 
que contraria a fala de Celso (a 5 17 é um número ímpar). Então, alguém 
está mentindo.
2. Prove que a soma de dois números ímpares é um número par, e o pro-
duto de dois números ímpares é um número ímpar.
m é ímpar ^ m 5 2m 21, m é Z
n é ímpar ^ n 5 2n 2 1, n é Z
2(m 1 n) é par
Então, o m 1 n é par, porque é a soma de dois números pares.
m ? m 5 (2m 21) ? (2n 21) 5 4 ? m ? n 22m 22n 11
m é Z e n é Z ~ m ? m é inteiro
4 ? m ? m 22m 22n é inteiro e par
Então o m ? N é ímpar, porque é a soma de um número par mais 1 
(que é impar).
3. Vamos recordar algumas propriedades das operações aritméticas.
a) A adição de números é uma propriedade comutativa. O que 
ƫŏŃŲŏǿĜÿ�ŏƫƫż᠈
A ordem das parcelas não altera a soma. Sendo a e b números, 
a 1 b 5 b 1 a
b) A multiplicação de números é uma propriedade comutativa. O que 
ƫŏŃŲŏǿĜÿ�ŏƫƫż᠈
A ordem dos fatores não altera o produto. Sendo a e b números, 
a 3 b 5 b 3 a.
4. Considere os números naturais de 1 a 10.
a) A soma desses números é par ou é ímpar?
b) O produto desses números é par ou é ímpar?
Simbolizando um número par por p e um número ímpar por i.
a) Usando o fato de que a adição tem propriedade comutativa, temos:
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 17 1 8 1 9 1 10
i 1 p 1 i 1 p 1 i 1 p 1 i 1 p 1 i 1 p 
Adição de cinco números pares resulta em uma soma par.
Adição de cinco números ímpares resulta em uma soma ímpar.
A adição de um número par e um número ímpar resulta em uma soma 
ímpar. A soma dos números de 1 a 10 é ímpar.
b) Usando o fato de que a multiplicação tem propriedade comutativa, 
temos:
1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 3 10
i 3 p 3 i 3 p 3 i 3 p 3 i 3 p 3 i 3 p 
Multiplicação de cinco pares dá produto par.
Multiplicação de cinco ímpares dá produto ímpar.
A multiplicação de um número par e um número ímpar resulta em um 
produto par.
Só o fato de um dos fatores ser 2 já é su�ciente para provar que o produto
é par.
5. A divisão de números naturais grandes pode ser facilitada se aplicar-
mos as técnicas de fatoração aos termos da divisão.
a) 'ĪƸĪƣŰŏŲĪ�ż�ǜÿŧżƣ�ģĪ�ᙹᚃᙹᡰᚄᙹᚅᡰᙹᚃᙹᡰᚄᙹᚅ�ᤃ�ᙷᡰᙶᙶᙶᡰᙶᙶᙷ
373 839 373 839 é formado de dois grupos de mesmos algarismos. 
Essa é uma boa sugestão para fatorar esse número de modo a manter 
visíveis esses grupos (mas essa não é uma fatoração em números 
primos):
373 839 373 839 5 373 839 000 000 1 373 839 5
373 839 3 1 000 000 1 373 839 3 1 5
373 839 3 (1 000 000 1 1) 5 373 839 3 1 000 001
Assim, 373 839 373 839 ÷ 1 000 001 5
373 839 3 1 000 001 ÷ 1 000 001 5 373 839 
Faça em casa
13
Unidade 1
MAXI_EM22_1S_ALG_C2_CA_U1_P5.indd 13 29/07/21 10:28
b) ᚄᡰ ᙶᙶ�ī�ģŏǜŏƫőǜĪŧ�Ơżƣ�ᚂᡰᙹᙶᙶ᠈�/Ű�Ĝÿƫż�ŲĪŃÿƸŏǜż᠁�Ƣǀÿŧ�ī�ż�ƣĪƫƸż�ģÿ�
ģŏǜŏƫĘż�ĪǀĜŧŏģŏÿŲÿ�ģĪ�ᚄᡰ ᙶᙶ�Ơżƣ�ᚂᡰᙹᙶᙶ᠈
Uma possibilidade: fatorar esses números em fatores primos:
8 400 5 24 3 3 3 5² 3 7 e 6 300 5 2² 3 32 3 5² 3 7
8 400 ÷ 6 300 5 (24 3 3 3 5² 3 7) ÷ (2² 3 32 3 5² 3 7) 5
2
3
2
Portanto, 8 400 não é divisível por 6 300.
Obs.: também podemos chegar ao mesmo resultado utilizando os 
critérios de divisibilidade.
Divisão euclidiana:
2
3
2
 é o mesmo que +1
1
3
, ou 1
1
3
8 400 5 6 3003
2
3
2
5 6 300 3 1 1 6 300 3
1
3
. 
Divisor 5 1, resto 5 6 300 3
1
3
5 2 100. 
Finalmente, também pode-se aplicar o próprio algoritmo da divisão
euclidiana.
6. Determine os cinco primeiros termos da sequência definida pelo ter-
mo geral a
n
5 10n 1 1, néN*
• a
1
5 101 1 1 5 10 1 1 5 11
• a
2
5 102 1 1 5 100 1 1 5 101
• a
3
5 103 1 1 5 1 000 1 1 5 1 001
• a
4
5 104 1 1 5 10 000 1 1 5 10 001
• a
5
5 105 1 1 5 100 000 1 1 5 100 001
Portanto, os cinco primeiros termos dessa sequência serão:
11, 101, 1 001, 10 001 e 100 001.
7. ᠤ żŧīŃŏż�rŏŧŏƸÿƣᠵ¦dᠥ�/Ű�ǀŰÿ� ƣĪǀŲŏĘż� łżƣÿŰ�ƸƣżĜÿģżƫ�ÿƠĪƣƸżƫ�ģĪ�ŰĘż�
entre as pessoas presentes, de modo que cada pessoa cumprimentou 
Ƹżģÿƫ�ÿƫ�żǀƸƣÿƫ�ǀŰÿ�ǁŲŏĜÿ�ǜĪǭ᠇��ěƫĪƣǜĪ�ÿ�ƸÿěĪŧÿ�ƢǀĪ�ŏŲģŏĜÿ�ÿ�ƢǀÿŲƸŏģÿ-
ģĪ�ģĪ�ÿƠĪƣƸżƫ�ģĪ�ŰĘż�ƣĪÿŧŏǭÿģżƫ�ĪŲƸƣĪ� n pessoas.
Número de pessoas Número de apertos de mão
3 3
4 6
5 10
æ æ
n
⋅ −n n( 1)
2
Se nessa reunião foram realizados 78 apertos de mão, o número de 
pessoas presentes foi Resposta: B.
a) um número par múltiplo de 3.
b) um número primo.
c) um número quadrado perfeito.
d) um número divisor de 100.
Supondo que todas as pessoas se cumprimentam, 
⋅ −( 1)
2
n n
5 78 ou n² - n 1 156 5 0
Como -12 não convém à situação, pois ∈ *Nn , então a solução é
n 5 13, um número primo. Comentário: 
78 é o 13º número triangular.
8. Consulte as expressões para os números pentagonais e responda ao 
que se pede.
a) ¥ǀÿŧ�ī�ż�ģīĜŏŰż�ŲǁŰĪƣż�ƠĪŲƸÿŃżŲÿŧ᠈
Para os números pentagonais, valem as seguintes expressões:
Fórmula recursiva: 
=
= + ∈ >



 −
1
3 – 2, , 1
1
1
*
N
a
a a n n n
n n
Lei de formação em função de n: 
( )
=
n 3 –1
2
a
n
n
.
n 5 10: 
( )
=
⋅10 3 10 –1
2
a
n
5 145
b) O número 35 é pentagonal?
Para saber se 35 é número pentagonal, é preciso saber se existe n 
natural para o qual 
( )
=
n 3 –1
2
35
n
.
Desenvolvendo a equação de segundo grau: 3n² – n – 70 5 0. A única
solução natural é n 5 5 (a outra é −
14
3
). 
Portanto, o quinto número pentagonal é a
5
5 35.
c) 'żŏƫ�ŲǁŰĪƣżƫ�ƠĪŲƸÿŃżŲÿŏƫ�ĜżŲƫĪĜǀƸŏǜżƫ�ģŏłĪƣĪŰ�ģĪ�ᙸᚄ᠇�¥ǀÿŏƫ�ƫĘż�
eles?
− =
−
a a 28n n 1
Neste caso, é mais adequado usarmos a fórmula recursiva 
= + ∈ >
−
a a 3n – 2, n , n 1n n 1
*
N
− = = − =
−
a a 28 3n – 2 ou 3n 2 28n n 1
∴ =n 10
Daí, a
10
5 145 (conforme parte a) e a
9
5 145 – 28 5 117.
14
Álgebra
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9. Na sequência de quadriculados a seguir, as células brancas e pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão. Analise as figuras. Para 
Ńǀŏÿƣ�ƫĪǀ�šǀŧŃÿŰĪŲƸż�Ī�żƣŏĪŲƸÿƣ�ƫǀÿ�ģĪĜŏƫĘż᠁�ĜżŰƠŧĪƸĪ�ƸÿěĪŧÿ�Ī�ƠƣĪǜĪšÿ�ż�ŲǁŰĪƣż�ģĪ�Ĝīŧǀŧÿƫ�ģĪ�Ĝÿģÿ�Ĝżƣ�Ơÿƣÿ�ż�ƠƣŽǢŏŰż�ĪŧĪŰĪŲƸż�ģÿ�ƫĪƢǀįŲĜŏÿ᠇�/Ű�
seguida, complete as sentenças com as expressões corretas, de acordo com as conclusões tiradas da observação das figuras.
a
n Número de células pretas Número de células brancas
a
1
4 9 – 4 5 5
a
2
8 25 – 8 5 17
a
3
12 49 – 12 5 37
a
4
16 81 – 16 5 65
a
5
20 121 – 20 5 101
a
1
a
2
a
3
a
4 a5
Inicialmente, vamos analisar a paridade dos elementos: cada figura está composta sobre um quadrado com um número ímpar de 
ƢǀÿģƣŏŲŊżƫ᠇�£ÿƣÿ�ÿ� ƣĪÿŧŏǭÿğĘż�ģĪ�Ĝÿģÿ� łŏŃǀƣÿ�ÿ
n
, pode-se entender que se parte de um quadrado com (2n11)
2
 células brancas, das quais 
4n são pintadas de preto. Assim, cada figura é composta de células brancas e 4n células pretas. Essas expressões 
estão de acordo com o padrão e com a previsão feita para o termo a
5
, pois, para n 5 5, teremos (2?511)
2
2 4?55101 células brancas e 4 5 5 20 células pretas.
10. /ƫƸÿ�ÿƸŏǜŏģÿģĪ�ƠżģĪ�ƫĪƣ�ƣĪÿŧŏǭÿģÿ�ĜżŰ�ǀŰÿ�ĜÿŧĜǀŧÿģżƣÿ᠇
A tabela a seguir fornece algumas potências aproximadas do número f:
n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
φ
n
1 1,618034 2,618034 4,236068 6,854102 11,090170 17,944272
a) ßĪƣŏǿƢǀĪ�ƫĪ�ÿ�ƣĪŧÿğĘż� φ =φ +φ+ +n n n2 1 é válida para os dados da tabela.
A relação φ = φ +φ+ +     2   1n n n é válida para os dados da tabela:
n 5 4: φ = φ +φ+ +    4 2  4 1  4 ou seja, 17,944272 5 11,090170 1 6,854102
n 5 3: φ = φ +φ+ +    3 2  3 1  3 ou seja, 11,090170 5 6,854102 1 4,236068
n 5 2: φ = φ +φ+ +    2 2  2 1  2 ou seja, 6,854102 5 4,236068 1 2,618034
n 5 1: φ = φ +φ+ +    1 2  1 1  1 ou seja, 4,236068 5 2,618034 1 1,618034
n 5 0: φ = φ +φ+ +    0 2  0 1  0 ou seja, 2,618034 5 1,618034 1 1
b) Determine o valor de 
φ
1
�ᠤī�ƠżƫƫőǜĪŧ�łÿǭįᠵŧż�ƠĪŧż�ŰĪŲżƫ�ģĪ�ģǀÿƫ�ŰÿŲĪŏƣÿƫᠥ᠇
( )
φ
=
+
=
⋅
+
=
+
⋅
−
−
=
⋅ −
−
=
−1 1
1 5
2
1 2
1 5
2
1 5
1 5
1 5
2 5 1
5 1
5 1
2
2
50,618034
Outra maneira: de acordo com o problema 9 da seção Faça em Sala, o número f satisfaz a sentença φ = +
φ
1
1
; logo, 
φ
= φ −
1
15 1,618034 – 1 5 0,618034
15
Unidade 1
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c) Fÿğÿ�ǀŰ�ƸĪƫƸĪ᠀�Īƫƫÿ�ƣĪŧÿğĘż�ǜÿŧĪ�Ơÿƣÿ�Ų�ŏŲƸĪŏƣż᠈�ÃƫĪ᠁�Ơÿƣÿ�ģĪĜŏģŏƣ᠁�ż�ƣĪƫǀŧƸÿģż�ģż�ŏƸĪŰ�ěᠥ᠒�ĪŰ�Ĝÿƫż�ÿǿƣŰÿƸŏǜż᠁�ĜżŰƠŧĪƸĪ�ÿ�ƸÿěĪŧÿ�Ơÿƣÿ�Ų�52ᡰᙷ�Ī�Ų�52ᡰᙸ�᠇
A relação é válida: para n 5 21, φ = φ +φ− + − + −     1 2   1 1   1, ou 
φ
= φ −
1
1 , resultado do item b). Assim, para n 5 21, φ =
−   0,618034  1 ; para n 5 2 2, 
φ = φ +φ ⇒ = +φ ∴φ =
− + − + − − −    1 0,681034 0,318966  2 2   2 1   2   2   2 .
11. Vamos responder agora à pergunta sobre a imagem que abriu esta unidade.
a) ¥ǀÿŧ�ī�ÿ�ƣĪŃƣÿ�ģĪ�łżƣŰÿğĘż�ģż�ŲᠵīƫŏŰż�ƸÿƠĪƸĪ�ģĪ�®ŏĪƣƠŏŲƫŤŏ᠈
Uma regra possível: Tome cada quadrado preto, divida o lado em três segmentos de mesmo comprimento e una-os, criando nove quadrados semelhantes; 
suprima o quadrado central e substitua-o por um quadrado branco.
O cálculo da área remanescente do tapete de Sierpinki é feito pela soma das áreas dos quadrados do n-ésimo termo; a área do quadrado inicial é L² 5 1
b) Considerando que o primeiro termo da sequência é um quadrado de área unitária, qual será a área dos próximos termos?
A área do segundo termo será oito nonos da área do primeiro termo.
A área do terceiro termo será oito nonos da área do segundo termo.
A área do quarto termo será oito nonos da área do terceiro termo.
Considerando que o termo a
n
 é a área do n-ésimo tapete de Sierpinski, a fórmula recursiva será:
=
= ∈ >




 −
1
8
9
, , 1
1
1
*
N
a
a a n n
n n
Como curiosidade, a fórmula geral será N= ⋅





 ∈
−
8
9
,1
1
*
a a n
n
n
, uma progressão geométrica convergente tendendo a zero.
Abordaremos as progressões geométricas nos próximos cadernos.
16
Álgebra
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1. �ƫ�ƠŏƸÿŃŽƣŏĜżƫ�ƫĪ�ģĪģŏĜÿǜÿŰ�ÿ�ěǀƫĜÿƣ�ƣĪŧÿğƛĪƫ�ĪŲƸƣĪ�żƫ�ŲǁŰĪƣżƫ᠁�ĪƫƠĪƣÿŲģż�ģĪƫǜĪŲģÿƣ�ÿ�ģŏǜŏŲģÿģĪ�Ųÿ�ŲÿƸǀƣĪǭÿ᠇�tĪƫƫÿ�ěǀƫĜÿ᠁�ŏŲǜĪƫƸŏŃÿƣÿŰ�Ī�ģĪłŏŲŏƣÿŰ�Ųǁ-
ŰĪƣżƫ�ģĪłŏĜŏĪŲƸĪƫ᠁�ƠĪƣłĪŏƸżƫ᠁�ÿěǀŲģÿŲƸĪƫ�żǀ�ÿŰŏŃżƫ᠇�/ŧĪƫ�ģŏǭŏÿŰ᠁�Ơżƣ�ĪǢĪŰƠŧż᠁�ƢǀĪ�ģżŏƫ�ŲǁŰĪƣżƫ�ƫĘż�ÿŰŏŃżƫ�ƫĪ�Ĝÿģÿ�ǀŰ�ģĪŧĪƫ�ī�ŏŃǀÿŧ�đ�ƫżŰÿ�ģżƫ�ģŏǜŏƫżƣĪƫ�
próprios do outro (isto é, excluindo 1 e o próprio número). De acordo com essa definição, qual dos números a seguir é amigo de 220? 
a) 140 b) 260 c) 284 d) 360
Os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110.
Soma: 1 1 2 1 4 1 5 1 10 1 11 1 20 1 22 1 44 1 55 1 110 5 284.
Os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142.
Soma: 1 1 2 1 4 1 71 1 142 5 220.
2. Curvas fractais não são sequências numéricas, mas há características associadas a curvas fractais que podem compor sequências numéricas. Dê um 
exemplo de curva fractal e uma característica que obedece a essa propriedade.
Curva de Koch, comprimento.
Junte os pontos
Resposta: C.
divisão 
euclidiana
critério 
de 
paridade
critério de 
primalidade
fatoração
resto
Teorema 
Fundamental da 
Aritmética quociente
divisor
dividendo
ímpares
pares
1
0
primos
compostos
SEQUÊNCIAS
não numéricasnuméricastriangulares
quadrados
pentagonais
outros
leis de formaçãoa
n
5 f(n)
a
n
5 f(a
n
) 
(forma recursiva) algumas 
características
Fibonacci
Fractais
dados
numéricas figurais
NÚMEROS 
NATURAIS
17
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