C1 Lista de Monitoria 6 - 2022_4

Prévia do material em texto

Cálculo I - 2022-4 
Prática de Exercícios 6 
Lista de Monitoria
1. Calcule
dy
dx
, usando derivação implícita.
a) y + 3x− 5 = 0
b) x2y + y2 = x3
c) sin(y) = y cos(2x)
d) x2(x− y)2 = x2 − y2
e) x2 − y2 = 4
f) xy2 + 2y = 3
g) x2 + y2 + 2y = 0
h) xey + xy = 3
i) 5y + cos(y) = xy
j) x2y3 + xy = 2
2. Determine a equação da reta tangente à elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, no ponto (x0, y0), y0 ̸= 0.
3. Suponha que y = f(x) seja uma função derivável dada implicitamente pela equação y3 +
2xy2 + x = 4. Suponha ainda que 1 ∈ Df .
a) Calcule f(1).
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.
4. Determine a derivada das funções
a) y = x arctg(x)
b) g(x) = arctg(sin(x3))
c) y = 3arctg(2x+ 3)
d) y = e3x arcsen(2x)
e) y = x2earctg(2x)
f) f(x) = arcsen(3x)
g) y = arctg(x2)
h) y = arcsen(ex)
i) y =
sin(3x)
arctg(4x)
j) y =
x arctg(x)
cos(2x)
5. Um tanque cilíndrico com raio 5 cm está sendo enchido com água a uma taxa de 3m3/min.
Quão rápido está aumentando a altura da água?
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I - 2022-4 Prática de Exercícios 6
6. Quando o preço unitário de um produto é p reais, o fabricante tem interesse em produzir x
mil unidades, onde
x2 − 2x√p− p2 = 31.
Qual a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é R$ 9, 00 e está aumentando à taxa
de 20 centavos por semana?
7. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume está
aumentando quando o diâmetro for 80 mm?
8. Quando um prato circular de metal é aquecido em um forno, seu raio aumenta a uma taxa
de 0, 01 cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando seu raio é de 50 cm?
9. A aresta de um cubo tem 30 cm, com um possível erro de medida 0, 1 cm. Use a diferencial
para estimar o erro máximo possível no cálculo
a) do volume do cubo.
b) da superfície do cubo.
10. O raio de um disco circular é 24 cm, com erro possível de 0, 2 cm.
a) Use a diferncial para estimar o erro máximo na área calculada do disco.
b) Qual o erro relativo?
11. Encontre a linearização L(x) da função em a.
a) f(x) = x4 + 3x2 para a = −1
b) f(x) =
√
x para a = 4
c) f(x) = sin(x) para a =
π
6
d) f(x) = 4
√
x3 para a = 16
12. Suponha que não tenhamos uma fórmula para h(x), mas saibamos que h(2) = −4 e
h′(x) =
√
x2 + 5 para todo x. Use aproximação linear para estimar h(1, 95) e h(2, 05).
13. Encontre o limite indicado utilizando a Regra de l’Hôspital.
2
Cálculo I - 2022-4 Prática de Exercícios 6
a) lim
x→0
10x− 3 sin(x)
x
b) lim
x→0
tg(x)
x
c) lim
t→1
sin(t− 1)
t2 + 2t− 3
d) lim
x→0
sin(−4x)
x
e) lim
x→3
x2 − 9
sin(x− 3)
f) lim
u→−2
sin(5u+ 10)
4u+ 8
g) lim
x→0
3x
sin(5x)
h) lim
x→0
√
tg(x)
2x
14. Tente utilizar a regra de L’Hôspital para calcular os seguintes limites. Houve alguma
dificuldade? Nesse caso, deduza de outra maneira qual é o valor do limite.
a) lim
x→+∞
x√
1 + x2
. b) lim
x→+∞
ex + e−x
ex − e−x
3