Trabalho de Cames

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
GABRIEL LAFETÁ NASCIMENTO – 2017074920 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO CAME-SEGUIDOR DE FACE 
PLANA 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS I – PROFESSOR ALEXANDRE SCARI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELO HORIZONTE – 13/10/2020 
1. INTRODUÇÃO 
 O advento do sistema came-seguidor foi um enorme facilitador para o 
projetista mecânico. Empregados, por exemplo, nas válvulas de motores de 
automóveis, os cames se apresentam como alternativas mais versáteis que os 
mecanismos de barras para corresponder a uma função de saída específica. 
No entanto, como tudo na engenharia, essa simplicidade vem às custas de um 
maior custo de projeto e maior dificuldade na confecção de seu conceito. 
 O sistema came-seguidor é considerado um mecanismo de 4 barras em 
que os elos possuem seus comprimentos variáveis, logo, para qualquer 
posição do came-seguidor podemos substituir por um mecanismo de 4 barras 
em um instante específico. Sendo assim, essa versatilidade encontra grande 
utilidade na indústria, permitindo se projetar a superfície curva dos Cames a 
partir do movimento desejado para aquela determinada função. 
 
 
2. OBJETIVO 
 O trabalho possui como objetivo capacitar o aluno a determinar as 
melhores condições de dimensionamento e uso dos cames através de um 
movimento de saída já especificado. Será feito um estudo comparativo com o 
intuito de escolher com a melhor função se adequa ao movimento escolhendo-
se entre movimento cicloidal, movimento harmônico simples e polinômio de 
oitavo grau. 
 
3. Revisão bibliográfica 
A revisão em questão retira sua base teórica do livro Robert L. Norton - 
Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos-Mc Graw Hill (2010) apesar de 
priorizar as tabelas e equações do autor Mabie. Além disso, teve-se auxílio das 
aulas gravadas dos professores Claysson e Alexandre Scari da Escola de 
Engenharia da UFMG. 
3.1. Came-seguidor de face plana 
 
 
Figura 1:Retirada de Cinemática e dinâmica dos mecanismos 
 Como especificado pelo enunciado, o came-seguidor a ser projetado é o 
chamado de face plana, como indica a imagem acima. Esse tipo de came-
seguidor ocupa um volume menor que os modelos de rolete o que, aliado ao 
menor preço, o faz ser de grande interesse para a indústria automotiva que 
precisa acomodar componentes com movimentos complexos em pequenos 
espaços, como cabeçotes automotivos. 
 
3.2. Projeto de Cames 
Um projeto de cames pode ser feito de duas formas: 
• Partindo de um movimento de entrada, para assim determinar o formato 
e dimensões do projeto. 
• Partindo de um contorno de came já definido, para assim determinar o 
melhor tipo de movimento. 
O projeto em questão optou pela primeira via. Esse modo de confecção 
de projeto é vantajoso dado que atende perfeitamente um movimento 
especificado. No entanto, vale ressaltar que existe a possibilidade de que a 
complexidade do movimento desejado torno a fabricação do came mais 
onerosa e podendo apresentar alguma restrição de ferramentaria. 
3.3. Dimensões do projeto e formato do came 
Existem algumas grandezas que podem ser determinadas de forma 
analítica, sendo elas: o raio mínimo, comprimento da face do seguidor e o 
contorno final do came a ser obtido por método gráfico. Tendo como base a 
figura abaixo:
 
Figura 2:MABIE, H. H; OCVIRK, F.W Mecanismos 
Considerando o eixo na origem do sistema de coordenadas, chamamos 
de C o raio mínimo do came, seu ponto de contorno R para um ângulo  
𝑅 = 𝐶 + 𝑓(𝜃) (1) 
 Onde 𝑓(𝜃) é o valor do deslocamento para determinado  Cada trecho 
da rotação do came apresentará uma função de deslocamento diferente 
contida nas Tabela 2,3 ou 4 da secção metodologia. 
 Pela literatura, sabe-se que o comprimento da face do seguidor 
independe do raio mínimo do came, sendo definido por: 
 𝑙 = 𝑓′(𝜃) (2) 
 Ou seja, em função da velocidade. 
 Outra preocupação é determinar um valor máximo para o raio mínimo 
para todos os valores de 𝜃 que seja suficientemente grande para evitar pontas 
em qualquer ponto do giro do came. Para isso parte-se do princípio de que as 
derivadas de X e Y em relação a 𝜃 sejam nulas. 
 As coordenadas X e Y: 
x = Rcosθ − 𝑙 senθ (3) 
y = Rsenθ + 𝑙 cosθ (4) 
 Essas, podem ainda ser escritas de forma a facilitar a plotagem do 
contorno do came no Excel. 
 𝑋 = [𝐶 + 𝑓(𝜃)] cos(𝜃) − 𝑓′(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃) (3.1) 
 𝑌 = [𝐶 + 𝑓(𝜃)] sen(𝜃) + 𝑓′(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃) (4.1) 
 Substituindo R de (1) nas equações acima, derivando e igualando a zero 
chegamos a seguinte relação: 
𝐶 + 𝑓(𝜃) + 𝑓′′(𝜃) > 0 (5) 
4. METODOLOGIA 
 PRIMEIRA PARTE: ESCOLHA DAS CURVAS 
 Inicialmente, partiremos da análise do movimento a partir do gráfico 
Posição do Seguidor x Ângulo do Came providenciado pela Figura 1. 
 
Figura 3 
 Conforme explicitado no enunciado, as medidas dos deslocamentos e 
dos ângulos são: 
L1 = 29,34 mm; L2 = 31 mm; L3 = 14,66 mm; L total (L4) = 75 mm. 
 = 85,184 deg   = 45 deg   = 32,058 deg  = 107,758 deg. 
 Além disso, são especificadas condições iniciais de rotação constante do 
came de 150 rpm e repouso de 10 segundos entre os ciclos. 
 A partir dos dados acima é possível traçar uma Tabela cinemática para 
os pontos explicitados no gráfico da Figura 1. 
 
TABELA CINEMÁTICA 
 A B C D E 
Posição (mm) 0 29,34 60,34 75 0 
Velocidade (mm/s) 0 620 620 0 0 
Aceleração (mm/s^2) 0 0 0 Ad 0 
 Tabela 1: Tabela cinemática 
 De forma a deixar claro, explicita-se os motivos por detrás de alguns dos 
valores da tabela: A aceleração nos pontos A e E são zero justamente por 
conta do repouso de 10 segundos especificado. Nos pontos B e C suas 
velocidades são dadas pelo enunciado como sendo 620 mm/s e por se tratar 
de uma reta ela se mantém constante por todo esse trajeto, incluindo nesses 
dois pontos. Por último, sabe-se que existe uma aceleração no ponto D que 
estamos referenciando com Ad. 
 As tabelas abaixo representam os modelos matemáticos que alguns 
movimentos comumente utilizados nos gráficos de Cames. Elas foram retiradas 
do livro Mecanismos e Dinâmicas das Máquinas de Hamilton H. Mabie e Fred 
W. Ocvirk. 
 
 
Tabela 2: Movimento cicloidal 
 
Tabela 3: Movimento Harmônico Simples (MHS) 
 
Tabela 4: Polinômio de oitava ordem 
 
 Em cada tabela, apresentam-se equações para posições, velocidades e 
acelerações e utilizando-as foi possível fazer análises para cada um dos 
trechos. 
 
 
 
 
• Trecho AB: 
Observando o trecho AB, pode-se traçar 
Algumas observações: Primeiramente, 
Vindo do repouso a velocidade e aceleração 
No ponto A são nulas. A partir desse ponto 
O seguidor acelera obedecendo uma parábola de concavidade pra cima até o 
valor de 620 mm/s especificado no enunciado. Nas tabelas, as curvas que 
apresentam comportamento parecido são a C-1 e H-1. No entanto, a curva de 
aceleração em H-1 não parte de uma aceleração nula, portanto não pode ser 
usada. Logo, a mais cotada é C-1. 
• Trecho BC: 
O trecho BC é uma reta, portanto não é 
Necessário atribuir outra função. 
 
Figura 5:Trecho BC 
• Trecho CD: 
 
Para este trecho temos no ponto C temo aceleração nula 
e velocidade não nula, já no ponto D tem-se velocidade 
Nula e aceleração não nula. Pelas tabelas as curvas C-2 e H-2 se iniciam com 
velocidades diferentes de zero e terminam nulas, no entanto, a curva C-2 
termina com aceleração nula, o que não é o nosso caso estudado. 
 
 
 
 
 
Figura 4: Trecho AB 
Figura 6:Trecho BC 
• Trecho DE: 
No trecho final da curva temos o ponto D dotado de aceleração não nula e 
velocidade nula e o ponto E onde ambas são nulas. Sabendo que o ponto E é 
um repouso pode-se descartar qualquer equação de Movimento Harmônico 
Simples. Já na curva C-6 do movimento cicloidal sua aceleração se inicia nula, 
logo não corresponde ao procurado. Outra curva com comportamento parecido 
de posição é a H-6, porémestá também não possui o comportamento desejado 
para aceleração e velocidade. Por último, a curva polinomial P-2 apresenta as 
duas características procuradas. 
 
Figura 7:Trecho DE 
 
 
Finalmente, chegamos a seguinte relação: 
Trecho Curva 
AB C-1 
BC Reta 
CD H-2 
DE P-2 
 Tabela 1 
OBS: A reta BC, pelo enunciado, é definida por: 
 S-BC=39,16346* 𝜽 -28,65509 () 
 
 O processo consistiu em traçar uma reta analisando o último ponto de C-
1 e o primeiro de H-2. 
 
 
 
 
 
 SEGUNDA PARTE: GRÁFICOS DE POSIÇÃO 
 
 Na segunda parte da metodologia, plotou-se os gráficos das curvas 
escolhidas para cada trecho de forma a investigar a veracidade do que foi 
observado. Na seção resultados e análises serão plotadas as demais curvas 
para efeito comparativo. O software utilizado foi o Excel. Lembrando que o eixo 
das abcissas está em Graus e o das ordenadas em milímetros. 
• Trecho AB: Como descrito na primeira parte da metodologia os 
candidatos foram as curvas C-1 e H-1
 
0
5
10
15
20
25
30
35
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85
C-1
 
 
 
• Trecho BC: A partir de pontos do gráfico foi plotado com base na reta 
descrita por (6). 
 
 
 
• Trecho CD: Chegamos à conclusão prévia de que por conta das curvas 
de acelerações e velocidades a escolha corretas seria a curva H-2. No 
entanto, também foi traçado o gráfico de C-2 para efeito comparativo. 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85
H-1
0
10
20
30
40
50
60
70
80 90 100 110 120 130 140
Trecho BC
 
 
 
• Trecho DE: Finalmente para o retorno do movimento, foi escolhido a 
curva P-2. Foi traçado também os gráficos de C-6 e H-6 para efeitos 
comparativos. 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
120 125 130 135 140 145 150 155 160 165
H-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
120 125 130 135 140 145 150 155 160 165
C-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
150 170 190 210 230 250 270 290
P-2
 
 
 
 
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
Finalmente, pode-se juntar todos os pontos num único gráfico 
para obter uma curva semelhante a do enunciado. Do ângulo de 270 a 
360 a posição foi considerada 0 devido ao repouso. 
 
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
150 170 190 210 230 250 270 290
C-6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
150 170 190 210 230 250 270 290
H-6
 
 
GRÁFICOS DE VELOCIDADE, ACELERAÇÃO E JERK 
 
 Com o gráfico de posição do Came devidamente plotado com base nas 
equações de MABIE, é possível traçar as curvas para velocidades, acelerações 
e jerk (ou impacto). Estas devem obedecer a duas condições: 
• Estar de acordo com o funcionamento do movimento pré-determinado 
do Came, o que já foi conferido na etapa passada. 
• Garantia de que as derivadas são contínuas em todos os pontos da 
curva para a velocidade e aceleração. 
Velocidade 
 
 
 
 
 
 
0
10
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50
60
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0
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3
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3
9
3
5
2
Deslocamento do Came
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Gráfico de velocidade(mm/s x Teta)
Aceleração 
 
 
 
 Tendo em vista os gráficos acima, podemos afirmar que, apesar 
de terem sido implementados gráficos de funções, as derivadas primeira 
e segunda da posição são de fato contínua. 
 
 
Jerk 
 
 
 
Analisando o gráfico de Jerk, pode-se notar dois trechos onde o 
jerk varia de maneira instantânea para um valor diferente de zero, 
ocorrendo duas vezes por ciclo. Além disso, a metodologia empregada 
-150
-100
-50
0
50
100
150
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Aceleração (mm/s^2 ) x Ângulo
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
1
1
3
2
5
3
7
4
9
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8
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0
9
1
2
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2
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2
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0
1
3
1
3
3
2
5
3
3
7
3
4
9
3
6
1
Jerk(mm/s^3) x Ângulo de giro (Graus)
no projeto de Came em questão evitou com êxito valores de Jerk 
tendendo ao infinito. 
CÁLCULO DO RAIO MÍNIMO, COMPRIMENTO DO SEGUIDOR E 
CONTORNO DO CAME 
 
Pela planilha de cálculos vimos que o raio mínimo foi de 
41,35721618mm. A partir desse valor foi possível utilizar as equações 
(3.1) e (4.1) para traçar o contorno do came com auxílio do Excel. 
 
 
 
 
 Como também foi visto na revisão bibliográfica, o valor 
encontrado para o comprimento da face do seguidor foi de 
39,468812mm. Sendo assim, para evitar que o ponto de contato ocorra 
na borda do seguidor esse valor é dobrado, tendo assim, uma boa 
margem de segurança. Logo, o comprimento mínimo da face plana do 
seguidor é 78,937624mm. 
 Por fim, o desenho técnico do came foi obtido transcrevendo os 
pontos que formaram o Came para outra tabela e salvando a planilha 
como arquivo de texto. Os pontos foram utilizados na função Inserir 
Curva do software SolidWorks. 
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60
Contorno do Came
 
Figura 8:Contorno do Came feito no SolidWorks 
6. CONCLUSÃO 
Após a finalização de todas as etapas, pode-se concluir que foi possível 
utilizar as equações de MABIE e OVCRIK para descrever toda a 
cinemática do came estudado. Além disso: 
• As curvas escolhidas foram C-1, reta, H-2 e P-2, pois foi possível 
prever o comportamento destas através das tabelas 2,3 e 4. 
• O comprimento mínimo da face plana do came seguidor 
obedeceu aos critérios de segurança e foi definido como 
78,937624mm. 
• O raio mínimo obedeceu às relações necessária para evitar 
pontas e foi definido como 41,35721616mm. 
• Apesar de boa precisão nos resultados, foram necessários alguns 
ajustes e deslocamentos de gráfico para que a curva apareça de 
forma contínua. 
 
 
7. REFERÊNCIAS 
[1] MABIE, H. H.; OCVIRK, F. W. Mecanismos. [S.l.]: Livros Técnicos 
e Científicos, 1980. 
[2] NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. [S.l.]: 
AMGH Editora, 2010. 
 32
,06
° 
 45° 
 85,18° 
 90
° 107,76° 
 41,36 
1
Gabriel Lafetá Nascimento
Contorno do Came1
Página:
Escala:
Data:
Revisor:
Projetista:
Tratamento/Acabamento:
Material:
RC:Nome:Quantidade:Código:
1:1
Massa aprox:Projeção:Unidades: mm Européia
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Tolerâncias conforme 
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