C2 Lista de Monitoria 1 - 2022_4

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Cálculo II - 2022-4
Atividade de Monitoria 1
Equipe de Monitoria
1. Nos itens abaixo, faça o que se pede:
(I) Em um sistema de coordenas cartesianas xyz represente o ponto P .
(II) Determine a distância de P a cada um dos planos coordenados xy, xz e yz.
(III) Determine a projeção de P sobre cada um dos planos coordenados xy, xz e yz.
(IV) Calcule a distância de P a cada um dos eixos coordenados x, y e z.
a) P = (4, 2, 6)
b) ) P = (2, 3,−4)
c) P = (1,−4, 1)
d) P = (1,−4,−5)
e) P = (−2, 6, 1)
f) P = (−5, 3,−1
2
)
g) P = (−8,−4,
√
2)
h) P = (−1,−9,−3)
2. Calcule a distância d(P,Q) entre os pontos P e Q, onde:
a) P , Q são pontos na reta real de coordenadas −7 e 3, respectivamente.
b) P = (3, 4) e Q = (−3,−1).
c) P = (3, 1, 4) e Q = (3, 7,−2).
d) P = (−6, 1, 12), Q = (2, 1, 7).
e) P é a projeção do ponto (−3, 4, 5) sobre o plano yz, e Q é o ponto médio de segmento
AB, onde A = (3, 4, 1) e B = (−1, 3, 7).
3. Sabendo que as faces do paralelepípedo abaixo são paralelas aos planos coordenadados,
determine:
a) As cooordenas dos vertices B,C,D,E, F,G.
b) o comprimento da diagonal AE.
c) o comprimento da diagonal de face GE.
d) a equação do plano que contém a face ABFG.
e) a equação do plano que contém a face BCEF .
f) a equação do plano que contem a face EFGH.
g) Desenhar um paralelepípedo com A = (3,−2, 1) (vértice inferior esquerdo) e H=(0,2,6)
(vértice superior direito).
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Universidade Federal do Pará
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4. Escreva a equação da circunferência com centro em C = (−3,−1) e raio 1
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. Faça um esboço
do seu gráfico em um sistemas de coordenadas cartesianas no plano.
5. Em um sistema de coordenadas cartesianas xyz, faça um esboço dos pontos do espaço
descritos pelo conjunto {(x, y, 2) | 4x2 + 4x+ 4y2 − 24y + 21 = 0}.
6. Escreva a equação circunferencia, posicionada sobre o plano y = 7, com centro no ponto
(−2, 7, 4) e raio 2.
7. Escreva a equação da esfera com centro em C = (−2, 3, 4) e raio 5.
8. Determine a equação dos pontos de R3, equidistantes dos pontos A = (1,−2, 3) e B =
(−2, 3, 4).
9. Faça um esboço do gráfico da equação y = 7, considerando-a:
a) uma equação em R;
b) uma equação em R2;
c) uma equação em R3;
10. Faça um esboço do gráfico da inequação x < 1, considerando-a:
a) uma inequação em R;
b) uma inequação em R2;
c) uma inequação em R3;
11. (Faça um esboço do gráfico da equação 2x− 3y = 4, considerando-a:
a) uma equação em R2;
b) uma equação em R3;
12. Faça um esboço do grafico da equação y − 3 = (x− 3)2, considerando-a:
a) uma equação em R2;
b) uma equação em R3;
13. Faça um esboço do gráfico da equação x2 − 2x+ y2 + 8y + 16 = 0, considerando-a:
a) uma equação em R2;
b) uma equação em R3;
14. Em sistema de coordenadas cartesianos no espaço faça um esboco da superfície descrita
pelo conjunto:
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a) {(x, y, z) ∈ R3 | 3x2 − 18x+ 2x2 − 8z + 19 = 0}
b) {(x, y, z) ∈ R3 | 5y2 + 3z2 − 6z = 12, 1 ≤ x ≤ 4}
15. Em sistema de coordenadas cartesianos em R3, faça um esboco da superfície descrita pela
equação:
a) z = ln y
b) z = cosx, 2 ≤ y ≤ 7
c) x2 + y2 + z2 > 2z
d) x = 2z − 1
e) y = 2z, x = 4
f) (x+ 1)2 + (z + 1)2 = 1, −1 ≤ y ≤ 4
g) y = ez, −2 ≤ x ≤ 2.
16. Faça um esboço das bolas abertas a seguir descritas:
a) B2(2) representando-a na reta;
b) B2(2, 0) representando-a em um plano
c) B3(1, 3, 4) representando- em no espaço
17. Em um plano coordenado, considere as circunferências de centro (0, 0) e (1, 0); e raios
2 e
√
3, respectivamente. Essas circunferências se cruzam em dois pontos distintos, A e B.
Determine: uma equação linear da reta que passa por A e B; e as coordenadas desses pontos.
18. Dados os pontos (−4, 0,−1), (3, 1,−5) e (2, 4, 6).
a) Qual ponto pertecente ao plano xz ?
b) Qual ponto está mais próximo do plano yz ?
19. Calcule a distância entre os pontos A = (5,−9, 7) e B = (−2, 3, 3).
20. Encontre a equação da esfera de raio 2 e centro (0, 2, 5).
21. Determine o centro e o raio das esferas de equação:
a) x2 + y2 + z2 − 2x− 4y − 6z − 2 = 0
b) x2 + y2 + z2 − 2x+ 2y − 7 = 0
c) x2 + y2 + z2 − 4z = 0
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d) x2 + y2 + z2 − 10y + 12z + 12 = 0
22. Os pontos (4,−1,−1), (2, 0, 4) e (3, 5,−1) são vértices de um triângulo. Determine as
medidas dos lados desse triângulo.
23. Calcular o valor de k para o qual a esfera x2+ y2+ z2+2x+10z+ k = 0 tem o raio igual
a 5.
24. Determine a equação da esfera de raio 5 e centro (1,−4, 3). Qual a interseção da esfera
com o plano xz?
25. Encontre as coordenadas do ponto P que está localizado no eixo x, 12 unidades “em frente”
ao plano yz.
26. Encontre a equação da esfera que tenha um diâmetro com extremidades dadas pelos pontos
(4, 1, 4) e (4, 3, 10)
27. O que a equação x = 6 representa em R2? O que ela representa em R3? Ilustre com
esboços.
28. Determine uma equação da maior esfera com centro em (5, 4, 9) contida no primeiro
octante.
29. Determine a e b de modo que os vetores u⃗ = (4, 1, 3) e v⃗ = (6, a, b) sejam paralelos.
30. Sendo v⃗1 = (1,−2, 1), v⃗2 = (2, 0,−4) e w⃗ = (−4,−4, 14), determine a1 e a2 tais que
w⃗ = a1v⃗1 + a2v⃗2.
31. Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u⃗ = (2,−6, 3) e
v⃗ = (4, 3, 1).
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