O aluno João resolveu a integral abaixo através da substituição trigonométrica, mas o resultado encontrado ainda não está correto. De acordo com o ...

A solução correta da integral ∫x²dx/√4−x² é: Fazendo a substituição trigonométrica x = 2senθ, temos dx = 2cosθdθ e √4−x² = 2cosθ. Substituindo na integral, temos: ∫x²dx/√4−x² = ∫(2senθ)²(2cosθ)dθ/2cosθ = ∫4sen²θcosθdθ/2cosθ = 2∫sen²θdθ Usando a identidade trigonométrica sen²θ = (1-cos2θ)/2, temos: 2∫sen²θdθ = 2∫(1-cos2θ)/2 dθ = ∫(1-cos2θ)dθ = θ - (senθcosθ)/2 + C Substituindo θ = arcsen(x/2), temos: θ = arcsen(x/2) = arcsen(senθ) = θ (porque θ está no intervalo [-π/2, π/2] e, portanto, senθ é positivo) θ = arcsen(x/2) = arcsen(senθ) = π - θ (porque θ está no intervalo [π/2, π] e, portanto, senθ é negativo) Assim, a solução final é: θ - (senθcosθ)/2 + C1, se x/2 > 0 π - θ - (senθcosθ)/2 + C2, se x/2 < 0 Substituindo x = 2senθ, temos: θ - senθcosθ + C1, se x > 0 π - θ - senθcosθ + C2, se x < 0 Substituindo θ = arcsen(x/2), temos: arcsen(x/2) - x√(4-x²)/4 + C1, se x > 0 π - arcsen(x/2) - x√(4-x²)/4 + C2, se x < 0 Portanto, a alternativa correta é a letra A) arcsen(x/2) - x√(4-x²)/4 + C1, se x > 0.