C1 Lista Semanal 3 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
 2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 3
Questão 1. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→2
(6x2 − 13x+ 5)
b) lim
x→−1
(
x2 − 1
x+ 1
)
c) lim
x→3
(
x2 − 9
x− 3
)
d) lim
s→4
(
3s2 − 8s− 16
2s2 − 9s+ 4
)
e) lim
x→−1
(
2x2 − x− 3
x3 + 2x2 + 6x+ 5
)
Solução:
a) lim
x→2
(6x2 − 13x+ 5) = (6 · 22 − 13 · 2 + 5) = 3
b) lim
x→−1
(
x2 − 1
x+ 1
)
= lim
x→−1
(
(x− 1)����(x+ 1)
���
�(x+ 1)
)
= lim
x→−1
(x− 1) = −2
c) lim
x→3
(
x2 − 9
x− 3
)
= lim
x→3
(
(x+ 3)���
�(x− 3)
���
�(x− 3)
)
= lim
x→3
(x+ 3) = 6
d) lim
s→4
(
3s2 − 8s− 16
2s2 − 9s+ 4
)
= lim
s→4
(
(3s+ 4)���
�(s− 4)
(2s− 1)����(s− 4)
)
= lim
s→4
(
3s+ 4
2s− 1
)
=
16
7
e) lim
x→−1
(
2x2 − x− 3
x3 + 2x2 + 6x+ 5
)
= lim
x→−1
(
��
��(x+ 1)(2x− 3)
(x2 + x+ 5)���
�(x+ 1)
)
= lim
x→−1
(
2x− 3
x2 + x+ 5
)
=
−5
5
= −1
Questão 2. Se h(x) =
(√
x+ 9− 3
x
)
, mostre que lim
x→0
h(x) =
1
6
. Note que, a
princípio, o número real 0 não pertence ao domínio de h.
Solução: Substituindo x = 0 na expressão dada de h(x), chegamos a seguinte
indeterminação:
���
���
���
���XXXXXXXXXXXX
h(0) =
(√
0 + 9− 3
0
)
. Logo, h(0) não está definida.
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 3
Fazendo o cálculo do limite:
lim
x→0
h(x) = lim
x→0
(√
x+ 9− 3
x
)
= lim
x→0
(
(
√
x+ 9− 3) · (
√
x+ 9 + 3))
x · (
√
x+ 9 + 3)
)
= lim
x→0
(
x+ �9− �9
x · (
√
x+ 9 + 3)
)
= lim
x→0
(
�x
�x · (
√
x+ 9 + 3)
)
= lim
x→0
(
1
(
√
x+ 9 + 3)
)
=
1
6
Questão 3. Use uma calculadora para tabular, até 4 casas decimais, os valores de
f(x) =
3−
√
x
9− x
para os valores fixados de x = 8; x = 8, 5; x = 8, 9; x = 8, 99;
x = 8, 999; x = 9, 001; x = 9, 01; x = 9, 1; x = 9, 5 e x = 10. A qual valor f(x)
parece tender quando x se aproxima de 9? Calcule o lim
x→9
f(x).
Solução: Calculando o valor de f(x) para os valores de x fixados próximos de 9,
tem-se:
f(8) = 0, 1716
f(8, 5) = 0, 1690
f(8, 9) = 0, 1671
f(8, 99) = 0, 1667
f(8, 999) = 0, 1667
f(9, 001) = 0, 1667
f(9, 01) = 0, 1666
f(9, 1) = 0, 1662
f(9, 5) = 0, 1644
f(10) = 0, 1623
Desse modo, verifica-se que f(x) tende a
1
6
quando x se aproxima de 9. Agora,
calculando o lim
x→9
f(x):
lim
x→9
f(x) = lim
x→9
(
3−
√
x
9− x
)
= lim
x→9
(
���
��(3−
√
x)
(���
�3−
√
x)(3 +
√
x)
)
= lim
x→9
(
1
3 +
√
x
)
=
1
6
Questão 4. Nos exercícios abaixo faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado,
se existir; se não existir, indique a razão disto.
2
Cálculo I Lista de Exercícios 3
a) f(x) =

2 se x < 1
−1 se x = 1
−3 se x > 1
I) lim
x→1+
f(x) II) lim
x→1−
f(x) III) lim
x→1
f(x)
b) f(x) =

x+ 1 se x < −1
x2 se − 1 ≤ x ≤ 1
2− x se x > 1
I) lim
x→−1−
f(x)
II) lim
x→−1+
f(x)
III) lim
x→−1
f(x)
IV) lim
x→1+
f(x)
V) lim
x→1−
f(x)
VI) lim
x→1
f(x)
Solução:
a) I) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
−3 = −3
II) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
2 = 2
III) lim
x→1
f(x) = Não existe, pois os limites laterais são diferentes
Figure 1: Gráfico da função f.
b) I) lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1−
x+ 1 = 0
II) lim
x→−1+
f(x) lim
x→−1+
x2 = 1
III) lim
x→−1
f(x) = Não existe, pois os limites laterais são diferentes
IV) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
2− x = 1
V) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 = 1
VI) lim
x→1
f(x) = 1
3
Cálculo I Lista de Exercícios 3
Figure 2: Gráfico da função f.
Questão 5. As taxas para despachar cargas por navio são frequentemente baseadas
em fórmulas que oferecem um preço menor por quilo quando o tamanho da carga é
maior. Suponha que x quilos sejam o peso de uma carga, C(x) seja seu custo total e
C(x) =

0, 8x se x < 50
0, 7x se 50 ≤ x ≤ 200
0, 65x se x > 200
Faça um esboço do gráfico de C. Ache cada um dos seguintes limites:
a) lim
x→50−
C(x) b) lim
x→50+
C(x) c) lim
x→200−
C(x) d) lim
x→200+
C(x)
Solução: Esboço do gráfico de C(x):
Figure 3: Gráfico da função C.
Calculando os limites laterais:
a) lim
x→50−
C(x) = lim
x→50−
0, 8x = 40
b) lim
x→50+
C(x) = lim
x→50+
0, 7x = 35
c) lim
x→200−
C(x) = lim
x→200−
0, 7x = 140
d) lim
x→200+
C(x) = lim
x→200+
0, 65x = 130
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