Física 1-133-135

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Diagramas horários 131
4. Aceleração escalar
Caso geral
De maneira analógica à anterior, calculamos a aceleração escalar média 
usando a secante ao gráfico da velocidade escalar em função do tempo 
(fig. 10). Entre os instantes t
1
 e t
2
, temos:
α =
N
 tg θ
Na figura 11 temos o cálculo da aceleração escalar instantânea, para 
t = t
0
. Graficamente, o processo é bem simples. Pelo ponto P
0
, correspon-
dente ao instante t
0
, traçamos a reta tangente à curva. A seguir, marca-
mos o ângulo θ, medida de sua declividade em relação ao eixo do tempo. 
Finalmente, determinamos o seu coeficiente angular (tg θ) e escrevemos:
α =
N
 tg θ (para t = t0)
Caso particular
No movimento uniformemente variado, o diagrama horário da veloci-
dade escalar é retilíneo e o processo da determinação da aceleração escalar 
torna-se simples. Ela é constante. Basta, então, determinarmos o coeficien-
te angular da reta.
Na figura 12 a velocidade escalar é cres-
cente e a aceleração escalar é positiva, e na 
figura 13 a velocidade escalar é decrescente 
e a aceleração escalar é negativa.
O processo descrito para a determinação 
gráfica da velocidade e da aceleração escalar 
instantânea é, na realidade, um processo grá-
fico para a determinação da derivada de uma 
função num ponto P
0
.
v
θ
0 t
1
t
2
P
1
P
2
t
Figura 10. Determinação da aceleração 
escalar média no gráfico da velocidade.
Figura 11. Determinação da aceleração es-
calar instantânea no gráfico da velocidade.
v
0
P
0
t
0
θ
 tangente em P
0
t
Consideremos o gráfico (fig. 14) representando a velocidade em função do 
tempo de um MUV. Determinemos a aceleração escalar desse movimento. 
Basta calcular a tg θ (coeficiente angular da reta), pois:
α =
N
 tg θ
No triângulo ABC temos:
α =
N
 tg θ = 
cateto oposto (BC)
cateto adjacente (AC)
 ⇒ α = 
6
10
α = 0,6 m/s2
Exemplo 2
v (m/s)
10
8
6
4
2
A θ
B
C
2 4 6 8 10 120 t (s)
Figura 14.
v
0
θ
t
Figura 12. α =
N
 tg θ Figura 13.
v
0
θ
β
t
α =
N
 tg θ = – tg β
Capítulo 7132
Exercícios de Aplicação
1. O gráfico posição × tempo do movimento uniforme 
de uma partícula está representado na figura a. 
s (m)
0 6,0 t (s)
36
Figura a.
Determine:
a) a velocidade es calar do móvel usando o con-
ceito de coeficiente angular;
b) a posição no instante t = 4,0 s.
Resolução:
a) A velocidade escalar é dada pela derivada 
da posição. Concluímos, portanto, que ela é 
numericamente igual à tangente trigonomé-
trica do ângulo (θ) formado entre a reta do 
gráfico e o eixo do tempo (fig. b).
36
s (m)
0 6,0
β
θ
t (s)
Figura b.
v =
N
 tg θ
Porém, sabemos que:
tg θ = – tg β
Logo:
v =
N
 – tg β
v = – 
36
6,0
v = – 6,0 m/s
Observemos que as posições são decrescen-
tes e que sua velocidade escalar realmente é 
negativa.
b) Vamos resolver geometricamente este item. 
Consideremos os triângulos: ∆AOC e ∆BCD:
A
B
D C
x
4,0
s (m)
0 6,0 t (s)
36
Devido à semelhança entre eles, podemos 
escrever:
AO
BD
 = 
OC
DC
36
x
 = 
6,0
(6,0 – 4,0)
6,0x = 36 · 2,0
x = 12 m
2. São dados a seguir três diagramas horários de 
posição × tempo.
s (m)
8,0
3,0 4,0 5,0 t (s)
(I)
(II)
s (m)
3,0
4,0
5,0 t (s)
(III)
s (m)
4,0
3,0 t (s)
a) Para o instante t
1
 = 3,0 s, qual é o sinal da 
velocidade escalar em cada um deles?
b) Qual é o valor da velocidade escalar instan-
tânea no instante t
2
 = 4,0 s para os dois 
primeiros diagramas?
Diagramas horários 133
3. Numa estrada de rodagem, um automóvel se 
manteve em movimento uniforme. No diagrama 
está representada sua posição em função do 
tempo. 
s (m)
150
100
50
0 5,0t
2
s
2
s
1
t
1 t (s)
Determine os valores:
a) da velocidade escalar, usando o conceito de 
coeficiente angular;
b) do tempo t
1
 e da posição s
1
;
c) do tempo t
2
 e da posição s
2
.
(Sugestão: para os itens b e c use a equação 
horária.)
4. Considere o diagrama horário da velocidade de 
uma partícula em MUV sobre uma trajetória 
conhecida.
v (m/s)
0
+10
–5,0
3,0T t (s)
a) Determine o instante T de inversão de sentido 
do movimento.
b) Calcule a aceleração escalar.
Resolu•‹o:
a) v (m/s)
0
+10
–5,0
3,0T
θ
t (s)
 O triângulo sombreado de verde e o triângulo 
sombreado de laranja são semelhantes e, 
portanto, podemos escrever:
10
5,0
 = 
(3,0 – T)
1,0
2
1
 = 
(3,0 – T)
1,0
 ⇒ 3,0 – T = 2,0 ⇒
⇒ T = 1,0 s
b) A aceleração pode ser determinada pelo coefi-
ciente angular da reta, ou seja: α = tg θ.
Para isso, vamos usar o triângulo sombreado 
de verde:
α = tg θ = 
cateto oposto
cateto adjacente
 
A medida do cateto adjacente é: 
(3,0 – T) = (3,0 – 1,0) = 2,0 s
α = 
10 m/s
2,0 s
 ⇒ α = 5,0 m/s2
5. Conhecemos o diagrama horário da velocidade 
escalar de um ponto material.
v (m/s)
v
1
1,00 4,0 t (s)
12
Determine:
a) a aceleração escalar do móvel;
b) o valor da velocidade escalar v
1
, indicada no 
gráfico.
6. Uma partícula percorre uma trajetória retilínea e 
sua velocidade escalar varia em função do tempo, 
como mostra o diagrama horário.
v (km/h)
3,02,01,0
36
0
72
108
t (s)
a) Classifique o movimento em acelerado ou 
retardado e, ainda, em progressivo ou retró-
grado.
b) Determine a aceleração escalar α.
c) Determine, graficamente, o instante T de 
inversão de sentido e a velocidade escalar 
inicial v
0
.