Física 1-295-297

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Forças de atrito 293
F = 6 N
F
at
 = 6 N
F < F
at, máx
; v = 0
Figura 18.
F = 12 N
F
at
 = 12 N
F < F
at, máx
; v = 0 
Figura 19. 
F = 24 N
F
at
 = 24 N
F = F
at, máx
; v = 0
Figura 20. Bloco na iminência de 
movimento.
podemos ver, então, que para 0 ⩽ F ⩽ 24 N, o bloco per-
manece em repouso e, em cada caso, F
at
 = F. aumentemos a 
intensidade de F para um valor F > 24 N (fig. 21). agora o blo-
co entra em movimento e a força de atrito passa a ser a força 
de atrito dinâmico (F
at, d
), dada por:
F
at, d
 = μ
d
 · F
N
 = (0,30)(60)
F
at, d
 = 18 N
para F > 24 N, a força de atrito não varia mais, 
indepen dentemente da velocidade. a figura 22 nos dá o 
gráfico do módulo de F
at
 em função do módulo de F , para 
este experimento.
Vemos então que, após iniciado o movimento, a for-
ça de atrito é menor que o máximo valor de F
at
, enquan-
to o bloco está em repouso; isso sempre ocorre quando 
μ
e
 > μ
d
. suponhamos que, após iniciado o movimen-
to, diminuamos o valor de F para F = 21 N, por exem-
plo. Essa força não foi suficiente para tirar o bloco do 
repouso, mas é suficiente para manter o movimento, 
pois a força de atrito dinâmico vale apenas 18 N.
o fato de o coeficiente estático ser em geral maior que o cinético explica a recomen-
dação de não se apertar o freio de um automóvel repentinamente e com violência, pois, 
ao se fazer isso, as rodas travam e os pneus deslizam (atrito cinético). apertando os 
freios gradualmente, as rodas não deslizam, e o atrito é estático, de modo que a distân-
cia percorrida durante a freagem é menor do que o seria se as rodas deslizassem. para 
evitar o travamento das rodas, hoje em dia muitos veículos dispõem de um tipo de freio 
chamado aBs (do alemão Antiblockiest Bremssystem), que faz com que as rodas conti-
nuem a girar durante a freagem, mas sem derrapar e na iminência de escorregamento.
Ângulo de atrito
um modo simples de determinar o coefi-
ciente de atrito estático entre os dois materiais 
é apoiar um bloco feito de um deles numa 
superfície inclinada S feita do outro material, 
como ilustra a figura 23a. aumentando-se len-
tamente o ângulo θ, verificamos que, a partir 
de certo valor, o bloco escorrega.
v
F > 24 N
F
at, d
 = 18 N
Figura 21. Para F > F
at
, 
máx
, temos F
at
 = F
at, d
.
iminência
de movimento
30
3
6
9
12
15
F
at, d
 = 18
21
F
at, máx
 = 24
F
at
 (N )
6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 F (N)
Figura 22.
F
NF
at
P
S
θ
(a) F
N
F
at
P
y
P
x
P
S
θ
θ
(b)
Figura 23.
iL
u
sT
R
a
ç
õ
Es
: 
za
pT
portanto, para que o bloco entre em movimento, devemos ter F > 24 N. su-
ponhamos que F = 6,0 N. Nesse caso, temos F < F
at, máx
 e, portanto, o blo-
co não entra em movimento: F = F
at
 = 6,0 N (fig. 18). suponhamos agora que 
F = 12 N. ainda temos F < F
at, máx
 e, portanto, o bloco não entra em movimento: 
F = F
at
 = 12 N (fig. 19). aumentemos a intensidade de F para F = 24 N. Nesse caso, 
temos F = F
at, máx
 e, assim, o bloco permanece em repouso (fig. 20), mas está na 
imin•ncia de movimento, isto é, qualquer aumento na intensidade de F fará com que 
o bloco entre em movimento.
Capítulo 15294
suponhamos, então, que se tenha aumentado o valor de θ até o valor máximo 
compatível com o repouso do bloco; nesse momento o bloco está na iminência de 
movimento, isto é, a força de atrito estático atingiu seu valor máximo e, portanto, é 
dada por:
F
at
 = μ
e
 · F
N
 = μ
e
 · p
y
 = μ
e
 · p · cos · θ 1
por outro lado, como o bloco está em repouso, temos:
F
at
 = p
x
 = p · sen θ 2
Das equações 1 e 2 , temos:
μ
e
 · p · cos θ = p · sen θ
ou:
μ
e
 = 
sen θ
cos θ
 = tg θ
o valor de θ na iminência de deslizamento é chamado ‰ngulo de atrito.
23. Um bloco de massa m = 8,0 kg está inicialmente em 
repouso sobre uma superfície plana horizontal, com 
atrito, numa região onde g = 10 m/s². Sabendo 
que o coeficiente de atrito estático entre o bloco e 
a superfície horizontal é μ
e
 = 1,2, calcule a máxima 
intensidade de uma força horizontal F que podemos 
aplicar ao bloco sem que ele saia do repouso.
24. Consideremos um corpo de massa m = 12 kg ini-
cialmente em repouso sobre uma mesa horizontal. 
Sabe-se que g = 10 m/s² e que os coeficientes 
de atrito estático e dinâmico entre o corpo e a 
mesa são respectivamente μ
e
 = 0,70 e μ
d
 = 0,40. 
Aplicamos ao corpo uma força horizontal F. 
FF
at
Calcule o módulo da força de atrito atuante no 
corpo e o módulo da aceleração do corpo após a 
aplicação de F , nos seguintes casos:
a) F = 60 N c) F = 90 N
b) F = 84 N 
25. Sobre uma superfície plana horizontal está inicial-
mente em repouso um bloco de massa m = 20 kg. 
A aceleração local da gravidade é 10 m/s². 
Aplica-se ao bloco uma força horizontal F , de 
intensidade F = 80 N, e observa-se que o bloco 
permanece em repouso. Calcule os possíveis valo-
res do coeficiente de atrito estático entre o bloco 
e a superfície horizontal.
Exercícios de Aplicação
Resolução:
F
F
N
P
F
at
F
N
 = P = m · g = 20 · 10 ⇒ F
N
 = 200 N
Já que o bloco permanece em repouso, o atrito é 
estático e temos:
F
at
 = F = 80 N 1
A máxima força de atrito estático é:
F
at, máx
 = μ
e
 · F
N
 = μ
e
 · 200 2
Podemos também escrever:
F
at
 ⩽ F
at, máx
 3
Substituindo 1 e 2 em 3 , temos:
80 ⩽ μ
e
 · 200 ou μ
e
 ⩾ 0,40
26. O sistema esquematizado na figura é abandonado 
em repouso. A polia e o fio são ideais, a acele-
ração da gravidade tem módulo g = 10 m/s² e a 
massa do bloco A é m
A
 = 8,0 kg.
A
B
a) Supondo que o coeficiente de atrito estático 
entre o bloco A e a superfície de apoio seja 
μ
e
 = 0,75, calcule os possíveis valores da 
massa do bloco B, de modo que o sistema 
fique em repouso.
iL
u
sT
R
a
ç
õ
Es
: 
za
pT
Forças de atrito 295
b) Supondo que a massa de B seja m
B
 = 3,2 kg, 
determine os possíveis valores do coeficiente de 
atrito estático entre o bloco A e a superfície de 
apoio, de modo que o sistema fique em repouso.
27. Um bloco B de massa m
B
 = 4,0 kg está apoia-
do sobre uma tábua A de massa m
A
 = 16 kg, a 
qual está sobre uma superfície plana horizon-
tal. A aceleração da gravidade é g = 10 m/s². 
Não há atrito entre a tábua A e a superfície hori-
zontal, mas há atrito entre o bloco B e a tábua 
A, cujo coeficiente de atrito estático é μ
e
 = 0,25. 
F
B
A
Supondo que o sistema esteja inicialmente em 
repouso, determine a máxima intensidade de 
uma força horizontal F que pode ser aplicada à 
tábua A, de modo que o bloco B acompanhe o 
movimento de A sem escorregar.
Resolu•‹o:
P
B
P
A
F
N
B
F
N
A
–F
N
B
F
at
–F
at
F
B
A
A figura representa as forças que atuam em cada 
corpo, analisados separadamente. Ao puxarmos a 
tábua para a “direita” (pela aplicação da força F), 
a tendência de B é ficar “para trás” (pela Lei da 
Inércia); portanto, a força de atrito que A aplica em 
B (F
at
) tem sentido para a “direita”. Pelo Princípio 
da Ação e Reação, a força de atrito que B aplica em 
A (–F
at
) tem sentido para a “esquerda”. Temos:
F
NB
 = P
B
 = m
B
 · g = (4,0)(10) ⇒ F
NB
 = 40 N
A força F tem intensidade máxima quando o 
bloco B está na iminência de escorregar sobre 
A. Assim,
F
at
 = F
at, máx
 = μ
e
 · F
NB
 = (0,25)(40) ⇒ F
at
 = 10 N
Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco B, 
temos:
F
at
 = m
B
 · a ⇒ 10 = (4,0)a ⇒ a = 2,5 m/s2
Apliquemos agora a Segunda Lei de Newton ao 
sistema formado pelos corpos A e B:
F = (m
A
 + m
B
) · a
F = (4,0 + 16) · (2,5)
F = 50 N
Portanto, a máxima intensidade possível para F 
(sem que o bloco B escorregue) é 50 N, e a máxi-
ma aceleração é 2,5 m/s². Se F < 50 N, teremos 
a < 2,5 m/s² e a força de atrito será inferior ao 
seu valor máximo.
28. Consideremos um bloco B, de massa 3,0 kg, apoiado 
sobre uma tábua A, de massa 7,0 kg, a qual está 
sobre uma superfície plana horizontal. Considere 
g = 10 m/s², despreze o atrito entre a tábua e a 
superfície horizontal eadmita que o coeficiente de 
atrito estático entre o bloco e a tábua seja μ
e
 = 0,40. 
F
B
A
Supondo que o sistema esteja inicialmente em 
repouso, calcule a máxima intensidade de uma 
força horizontal F que pode ser aplicada sobre 
a tábua, de modo que o bloco B acompanhe o 
movimento de A, sem escorregar.
29. Um caminhão está inicialmente em repouso, 
com uma caixa sobre sua carroceria também em 
repouso. Sabendo que g = 10 m/s² e que o coe-
ficiente de atrito estático entre a caixa e a carro-
ceria do caminhão é μ
e
 = 0,20, calcule a máxima 
aceleração que pode 
ser imprimida ao ca- 
minhão sem que a 
caixa escorregue.
30. O sistema esquematizado está em equilíbrio, mas 
o corpo P de massa 10 kg está na iminência de 
movimentar-se. Sabe-se que a massa do corpo Q é 
5,0 kg, que o coeficiente de atrito entre o corpo 
P e o plano onde se apoia é 0,60 e a aceleração 
da gravidade local é g = 10 m/s².
P
D B
A
α
C
Q
g
Determine a intensidade das trações nos fios 
ideais AB, BC e BD e o ângulo α.
31. Um bloco de massa 7,0 kg é abandonado sobre um 
plano inclinado, como mostra a figura. Sabe-se 
que o coeficiente de atrito estático entre o bloco 
e a superfície S é igual a 0,32. O bloco deslizará?
2,5 m
10 m
S
θ
z
a
p
T
z
a
p
T
z
a
p
T
z
a
p
T
z
a
p
T
L
u
iz
 a
u
g
u
s
T
o
 R
iB
E
iR
o