Física 3-220-222

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Capítulo 12218
Substituindo 1 em 2 , vem:
V
P
 = 
K · 
qQ
d
q
V
P
 = K · 
Q
d
 3 (potencial em um ponto P)
Observemos que a carga de prova é cancelada, o que reforça a teoria: o potencial 
não depende da carga de prova.
Propriedades do potencial elétrico 
No desenvolvimento deste capítulo vimos diversas propriedades do potencial. No 
estudo do potencial gerado pela carga puntiforme, essas propriedades ficaram ainda 
mais evidentes. Vamos reuni-las agora:
• O potencial elétrico é uma grandeza escalar, pois foi definido a partir 
de outra grandeza escalar: a energia. 
• O potencial elétrico gerado pela carga puntiforme Q pode ser 
positivo ou negativo, de acordo com o sinal da carga fonte.
Q > 0 ⇒ V > 0 Q < 0 ⇒ V < 0
• O potencial é definido para cada ponto do campo elétrico, o que está evidente na equação 
3 . Ele é um valor constante daquela posição. Dizemos que ele é uma função de ponto.
• O potencial de um ponto não depende do valor da carga de prova q 
que porventura seja colocada nesse ponto.
Gráfico do potencial em função da distância 
Verificamos, por meio da equação que acabamos de deduzir, que:
O potencial elétrico é inversamente proporcional à distância entre o ponto P e a carga fonte Q.
Conforme podemos observar nas figuras 12 e 13, o gráfico do potencial em função 
da distância d é uma curva denominada hipŽrbole equil‡tera. No caso de carga fon te 
positiva (Q > 0), a curva encontra-se no primeiro quadrante e, no caso de carga 
fonte negativa (Q < 0), a curva se acha no quarto quadrante.
eixo de
simetria
45º
d
V
0
Figura 12. Gráfico potencial × 
distância para uma carga fonte 
positiva (Q > 0).
eixo de
simetria
45º d
V
0
Figura 13. Gráfico potencial × 
distância para uma carga fonte 
negativa (Q < 0).
O potencial em um ponto é inversamente proporcional à sua distância até a carga 
fonte. Assim, se dobrarmos a distância, o potencial cairá pela metade. Por outro lado, 
se a reduzirmos à metade, o potencial duplicará.
Potencial elétrico 219
Um ponto P se encontra a 1,0 m de uma carga fonte Q = 24 nC. Sendo o vácuo o meio em que 
se encontra a carga Q, calcularemos o potencial elétrico em P. Em seguida, duplicaremos a distância.
O potencial elétrico de uma carga puntiforme é dado por:
V = K
0
 · 
Q
d
 
Podemos estabelecer, então:
V
A
 = 9 · 109 · 24 · 10
–9
1,0
 ⇒ V
A
 = 216 V
Dobrando-se a distância:
V
A
 = 9 · 109 · 24 · 10
–9
2,0
 ⇒ V
A
 = 108 V
Observamos que, dobrando a distância, o potencial caiu pela metade.
Exemplo 7
Exercícios de Aplicação
16. No campo elétrico de uma carga puntiforme 
Q = 4,0 μC, no vácuo, determine:
a) o potencial elétrico num ponto P situado a 
2,0 m da carga Q. É dada a constante eletros-
tática K0 = 9,0 ∙ 10
9 N · m2/C2;
b) a distância de um ponto A até a carga Q, 
sabendo que o seu potencial vale 3,6 ∙ 104 V.
Resolução:
a) O potencial elétrico em P é dado por: 
 VP = K0 · 
Q
d .
Sendo: K0 = 9,0 ∙ 10
9 N · m2/C2; Q = 4,0 μC = 
= 4,0 · 10–6 C; d = 2,0 m, vem:
VP = 9,0 · 10
9 · 
4,0 · 10–6
2,0 ⇒ VP = 1,8 · 10
4 V
b) O potencial elétrico em A é dado por: 
 VA = K0 · 
Q
d .
Queremos determinar a distância d.
d = K0 
Q
VA
Sendo: K0 = 9,0 ∙ 10
9 N · m2/C2; Q = 4,0 · 10–6 C; 
VA = 3,6 ∙ 10
4 V, vem:
d = 9,0 · 109 · 
4,0 · 10–6
3,6 · 104 ⇒ d = 1,0 m
18. Nas proximidades de uma carga elétrica puntifor-
me Q = +16 nC, encontram-se os pontos geomé-
tricos A, B e C, cujas distâncias à carga fonte são, 
respectivamente: 2,0 cm, 3,0 cm e 4,0 cm. É dada 
a constante eletrostática K0 = 9,0 · 10
9 V · m/C. 
a) Determine os potenciais elétricos em A, B e C.
b) Esboce o gráfico do potencial elétrico em fun-
ção da distância usando os valores anteriores.
17. Considere a figura, onde a carga puntiforme Q 
vale 5,0 μC e o meio é o vácuo. O potencial elétri-
co em B vale 9,0 ∙ 104 V e a constante eletrostáti-
ca do meio é K0 = 9,0 ∙ 10
9 V · m/C. Determine:
a) o potencial elétrico em A;
b) a distância d.
Q
A B
d d
19. O gráfico representa o potencial gerado por uma 
carga elétrica puntiforme, no vácuo, em função 
da distância aos pontos do campo. 
1,0 2,0 d
2
0 d (m)
V
1
V (volts)
90
30
Determine:
a) o valor da carga geradora;
b) o potencial elétrico V1;
c) a distância d2.
Resolução:
a) Tomemos, no gráfico, o ponto (2,0; 90), isto 
é, d = 2,0 m e V = 90 volts.
Sendo V = K0 · 
Q
d , vem:
Q = 
d · V
K0
 ⇒ Q = 
2,0 · 90
9,0 · 109 ⇒ Q = 2,0 · 10
–8 CZA
P
t
Capítulo 12220
b) O potencial elétrico V1 corresponde a d = 1,0 m. 
Assim:
V = K0 · 
Q
d
V1 = 9,0 · 10
9 · 
(2,0 · 10–8)
1,0 ⇒ V1 = 180 V
c) A distância d2 corresponde ao potencial de 
30 V.
V = K0 · 
Q
d ⇒ d = K0 · 
Q
V ⇒
⇒ d2 = 9,0 · 10
9 · 
(2,0 · 10–8)
30 ⇒ d2 = 6,0 m
Resolução:
As cargas se atraem e manifestam tendência de 
se movimentar. Pode-se estabelecer essa energia 
potencial por:
Epot = K0 · 
Q1 · Q2
d ⇒ 
⇒ Epot = 9,0 · 10
9 · 
(–4,0 · 10–6) · (2,0 · 10–6)
9,0 · 10–3 ⇒
⇒ Epot = –8,0 · 
109 · 10–6 · 10–6
10–3 ⇒ Epot = –8,0 J
Il
u
St
r
A
ç
õ
eS
: 
ZA
Pt
20. Considere o gráfico do potencial elétrico de uma 
carga puntiforme Q em função da distância aos 
pontos do campo elétrico. O meio é o vácuo, 
do qual se conhece a constante eletrostática: 
K0 = 9,0 ∙ 10
9 V · m/C. 
3,0 6,0 9,0 d
1
0 d (m)
V (volts)
3,0
6,0
V
2
1,0
Determine:
a) o valor da carga Q; c) o potencial V2.
b) a distância d1;
21. Relacione as expressões do módulo do campo elétri-
co e do potencial em um ponto P no campo de 
uma carga elétrica puntiforme Q, positiva.
Resolução:
EP = K · 
Q
d2 e VP = K · 
Q
d
Dividindo-as membro a membro:
EP
VP
 = 
K · 
Q
d2
K · 
Q
d
 ⇒ 
EP
VP
 = 
1
d
1 ⇒ EP = 
VP
d
22. A carga puntiforme positiva Q está isolada de 
outras cargas, e o meio ambiente é o vácuo. Sabe-se 
que em P o campo elétrico tem intensidade igual a 
5,0 V/m. Determine o potencial elétrico em P.
Q
P3,0 m
23. Determine a energia potencial de um par de car-
gas puntiformes Q1 = –4,0 μC e Q2 = +2,0 μC, no 
vácuo, separadas pela distância de 9,0 mm. Dado: 
K0 = 9,0 ∙ 10
9 unidades SI.
24. Duas partículas eletrizadas positivamente com a 
carga elementar +e estão separadas pela distân-
cia d, no ar, para o qual se conhece a constante 
eletrostática K. A energia potencial eletrostática 
do sistema é:
a) 
Ke
d c) 
Ke2
d e) 
Ke2
2d
b) 
Ke
d2 d) 
Ke2
d2
25. Determine a energia potencial eletrostática de 
um sistema formado por apenas duas partículas 
eletrizadas com cargas de +1 μC e –4 μC, a 0,5 m 
uma da outra. O meio é o vácuo.
É dado: K0 = 9 · 10
9 J ∙ m/C2.
26. Determine a energia potencial do sistema cons-
tituído pelas três partículas alinhadas da figura. 
Dados: AB = 1,0 cm; BC = 1,0 cm; QA = +2,0 nC; 
QB = –2,0 nC; Qc = +4,0 nC; K0 = 9,0 ∙ 10
9 
unidades SI.
A B C
Resolução:
1º.) Devemos formar os pares: (A; B), (B; C) e 
(A; C).
2º.) Em seguida, calculamos a energia potencial 
de cada par, usando: Epot = 
K0Q1Q2
d
. 
1º. par (A; B):
EAB = 
9,0 · 109 · (+2,0 · 10–9) · (–2,0 · 10–9)
1,0 · 10–2 ⇒
⇒ EAB = –36 · 10
–7 J
2º. par (B; C):
EBC = 
9,0 · 109 · (–2,0 · 10–9) · (+4,0 · 10–9)
1,0 · 10–2 ⇒
⇒ EBC = –72 · 10
–7 J