Aula_02_-_Geometria_Plana_III_-_CN_2024-118-120

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 02 – GEOMETRIA PLANA III 
 
 Seja 𝑥 𝑐𝑚 a medida da parte exterior do segmento secante. Então, por potência de ponto 
em 𝑃, 
182 − 122 = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 8) ⇒ 180 = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 8) ∴ 𝑥 = 10 ou 𝑥 = −18 (absurdo). Logo, 𝑥 = 10. 
Gabarito: “b” 
38. (EEAR/2004) 
Observando-se a figura e considerando-se que as medidas são dadas em 𝒄𝒎, pode-se afirmar que a 
medida, em 𝒄𝒎, do raio da circunferência de centro 𝑶 é 
 
a) 𝟏𝟏. 
b) 𝟏𝟐. 
c) 𝟏𝟑. 
d) 𝟏𝟒. 
Comentário: 
 Sendo 𝑥 𝑐𝑚 o tamanho do segmento entre os segmentos de tamanhos 4 e 12, temos, por 
potência de ponto no ponto à extrema direita da figura: 
5 ⋅ (5 + 11) = 4 ⋅ (4 + 𝑥 + 12) ⇒ 𝑥 = 4 
 Sendo 𝑦 cm o tamanho do segmento que contém o ponto 𝑂 que liga o ponto de encontro 
de 12, 2 e 𝑥 à circunferência, por potência de ponto no ponto de encontro dos segmentos de 
tamanhos 2 e 12: 
12 ⋅ 𝑥 = 2 ⋅ 𝑦 ⇒ 12 ⋅ 4 = 2 ⋅ 𝑦 ⇒ 𝑦 = 24 
 Como 2 + 𝑦 é diâmetro, temos que, se o raio da circunferência é 𝑟: 
2 + 𝑦 = 2𝑟 ⇒ 2 + 24 = 2𝑟 ∴ 𝑟 = 13 𝑐𝑚. 
Gabarito: “c” 
39. (EEAR/2004) 
Sobre uma circunferência, num mesmo sentido de percurso, marcam-se os arcos 𝑴�̂� = 𝟖𝟎°, 𝑵�̂� =
𝟏𝟏𝟎° e 𝑷�̂� = 𝟏𝟐𝟎°. O maior dos ângulos formados pelas diagonais do quadrilátero 𝑴𝑵𝑷𝑸 mede 
a) 𝟏𝟎°. 
 
 
 
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b) 𝟏𝟎𝟓°. 
c) 𝟏𝟎𝟎°. 
d) 𝟖𝟎°. 
Comentário: 
 Seja 𝑋 o ponto de encontro das diagonais. Temos então: 
𝑀�̂�𝑁 = 𝑃�̂�𝑄 =
𝑀�̂� + 𝑃�̂�
2
= 100°. 
 Logo, o ângulo suplementar mede 80°, donde 100° é o maior dos ângulos formado pelas 
diagonais. 
Gabarito: “c” 
40. (EEAR/2004) 
É correto afirmar que: 
a) todo quadrilátero de lados congruentes é um quadrado. 
b) os ângulos opostos de qualquer paralelogramo são suplementares. 
c) as bissetrizes dos ângulos opostos de qualquer paralelogramo são perpendiculares entre si. 
d) os pontos médios dos lados consecutivos de todo quadrilátero convexo são vértices de um 
paralelogramo. 
Comentários 
 a) (F) Temos exemplos de quadriláteros como o losango, que pode tem lados congruentes, 
mas não é quadrado. · 
 b) (F) Os ângulos opostos de qualquer paralelogramo são iguais, como visto na figura a 
seguir 
 
 c) (V) De acordo com afigura, temos: 
 
 
 
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 Temos que os ângulos A e B são suplementares, logo: 
𝐴 + 𝐵 = 180° 
𝐴
2
+
𝐵
2
= 90° 
 No triângulo 𝛥𝐴𝐺𝐵 temos: 
𝐴
2
+
𝐵
2
+ 𝐴𝐺𝐵 = 180° 
90° + 𝐴𝐺𝐵 = 180° 
𝐴𝐺𝐵 = 90° 
 d) (F) Qualquer quadrilátero de todos os lados diferentes já não segue esse padrão. 
 
Gabarito: “d” 
41. (EEAR/2004) 
Seja dado o triângulo 𝑨𝑩𝑪 em que 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 = 𝟓𝒄𝒎 e 𝑩𝑪 = 𝟕𝒄𝒎. Sobre o lado 𝑩𝑪, tomemos 
um ponto 𝑫 tal que 𝑩𝑫 = 𝟑𝒄𝒎 e, a partir do ponto 𝑫, tracemos 𝑫𝑬//𝑨𝑪 e 𝑫𝑭//𝑨𝑩 , que cruzam 
𝑨𝑩 em 𝑬 e 𝑨𝑪 em 𝑭. O perímetro do quadrilátero 𝑨𝑬𝑫𝑭, em cm, é: 
a) 𝟖 
b) 𝟏𝟎 
c) 𝟏𝟐 
d) 𝟏𝟒 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: