Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-241-243

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝑆 = (𝑛 − 2) ⋅ 180° 
Sendo o polígono convexo, a soma dos seus ângulos externos deve ser 360°, pois o ângulo 
de variação entre dois lados consecutivos é sempre positivo e ao percorrer os lados do polígono 
se dá exatamente uma volta em torno de seu centro. Portanto, sendo 𝑆 a soma dos ângulos 
externos, 
𝑆 = 360°. 
Logo: 
3600° = 𝑠 + 𝑆 = (𝑛 − 2) ⋅ 180° + 360° = 𝑛 ⋅ 180° ∴ 𝑛 = 20 
O número de diagonais de um polígono convexo de 𝑛 lados, 𝐷𝑛, é: 
𝐷𝑛 =
𝑛 ⋅ (𝑛 − 3)
2
, 
pois de cada vértice parte uma diagonal para cada outro vértice que não seja ele próprio e 
os dois a ele adjacentes, mas cada diagonal é contada duas vezes, uma para cada extremo dela. 
Portanto: 
𝐷20 =
20 ⋅ 17
2
= 170 
é um número par maior que 150. 
Gabarito: “b” 
128. (EEAR/2000) 
Na figura, 𝑨𝑩 é um arco de circunferência de centro 𝑶 e de raio 𝟏 𝒄𝒎. A área do trapézio 
retângulo 𝑩𝑪𝑫𝑬, em 𝒄𝒎𝟐, é 
 
a) 
√𝟑
𝟐𝟒
 
b) 
√𝟑
𝟏𝟖
 
c) 
√𝟑
𝟏𝟐
 
d) 
√𝟑
𝟔
 
 
 
 
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Comentários 
Atente-se para o raio unitário, pense no ciclo trigonométrico e perceba as seguintes 
correspondências nas medidas. 
𝑫𝑬̅̅ ̅̅ = 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝟎°) 
𝑩𝑪̅̅ ̅̅ = 𝐭𝐠(𝟑𝟎°) 
𝑩𝑬̅̅ ̅̅ = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝟎°) 
Logo, 
𝑫𝑬̅̅ ̅̅ =
𝟏
𝟐
= 𝒃 
𝑩𝑪̅̅ ̅̅ =
√𝟑
𝟑
= 𝑩 
𝑩𝑬̅̅ ̅̅ = 𝟏 −
√𝟑
𝟐
=
𝟐 − √𝟑
𝟐
= 𝒉 
Portanto a área do trapézio 𝑩𝑪𝑫𝑬 é: 
𝑺 =
(𝑩 + 𝒃)
𝟐
⋅ 𝒉 =
(
√𝟑
𝟑
+
𝟏
𝟐
)
𝟐
⋅ (
𝟐 − √𝟑
𝟐
) = (
𝟐√𝟑 + 𝟑
𝟏𝟐
) ⋅ (
𝟐 − √𝟑
𝟐
) =
√𝟑
𝟐𝟒
 
𝑺 =
√𝟑
𝟐𝟒
 𝒄𝒎𝟐 
Gabarito: “a” 
129. (EEAR/2000) 
Consideremos um triângulo retângulo que simultaneamente está circunscrito à circunferência 𝑪𝟏 e 
inscrito na circunferência 𝑪𝟐. Sabendo-se que a soma dos comprimentos dos catetos do triângulo é 
𝒌 𝒄𝒎, então, a soma dos comprimentos dessas duas circunferências, em cm, é 
a) 
𝟒𝒌𝝅
𝟑
 
b) 
𝟐𝒌𝝅
𝟑
 
c) 𝒌𝝅 
d) 𝟐𝒌𝝅 
Comentários 
 
 
 
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A medida da hipotenusa do triângulo é dada pelo teorema de Pitágoras e vale √𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 
Primeiramente lembremos que podemos obter o valor de r a partir da área e do 
semiperímetro como sendo: 
𝒓 =
𝑨
𝒑
=
𝒎 ⋅ 𝒏
𝟐
𝒎 + 𝒏 + √𝒎𝟐 + 𝒏𝟐
𝟐
=
𝒎 ⋅ 𝒏
𝒎 + 𝒏 + √𝒎𝟐 + 𝒏𝟐
 𝒆𝒒. 𝟏 
O valor de R é mais simples de obter, devido ao fato de que o diâmetro da circunferência 
circunscrita à um triângulo retângulo é igual a hipotenusa do triângulo. 
⇒ 𝟐𝑹 = √𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 ⇒ 𝑹 =
√𝒎𝟐 + 𝒏𝟐
𝟐
 𝒆𝒒. 𝟐 
Mas perceba que 𝒌𝟐 = (𝒎+ 𝒏)𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝟐𝒎𝒏 + 𝒏𝟐 ⇒ √𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 =
√𝒌𝟐 − 𝟐𝒎𝒏 𝒆𝒒. 𝟑 
Fazendo eq. 3 em eq. 1 e eq. 2, obtemos: 
𝒓 = 
𝒎 ⋅ 𝒏
𝒌 + √𝒌𝟐 − 𝟐𝒎𝒏
 𝒆𝒒. 𝟒 
𝑹 =
√𝒌𝟐 − 𝟐𝒎𝒏
𝟐
 𝒆𝒒. 𝟓 
O enunciado nos pede o valor da soma dos comprimentos das circunferências, logo: 
𝑺 = 𝟐𝝅𝒓 + 𝟐𝝅𝑹 = 𝟐𝝅(𝑹 + 𝒓) 𝒆𝒒. 𝟔 
Substituindo eq. 4 e eq. 5 em eq. 6, obtemos 
𝑺 = 𝟐𝝅(𝑹 + 𝒓) = 𝟐𝝅(
√𝒌𝟐 − 𝟐𝒎𝒏
𝟐
+
𝒎𝒏
𝒌 + √𝒌𝟐 − 𝟐𝒎𝒏
) =