Portfólio - Ciclo II

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CLARETIANO – REDE DE EDUCAÇÃO
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
PORTFÓLIO – CICLO II
Pólo Goianésia - GO
2020
ATIVIDADE NO PORTFÓLIO
Objetivos:
· Pesquisar e resolver exercícios e problemas que abordem os conteúdos que envolvam polígonos, circunferência, semelhança de triângulos e polígonos regulares.
Descrição da atividade:
Na Unidade 1, Tópico 8, e na Unidade 2, Tópicos 5 e 6, estudamos alguns conceitos geométricos fundamentais para o ensino e a aprendizagem da Geometria. Nessas condições, resolva os exercícios subsequentes e poste a resolução no Portfólio.
1) Qual é o polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lados?
R: O heptágono é o único polígono cujas diagonais equivalem aos lados em número.
O número de diagonais de um polígono convexo é determinado pela seguinte fórmula: , onde d = número de diagonais e n = número de lados.
Queremos que o número de diagonais equivalha ao dobro do número de lados. Então, podemos eliminar uma incógnita da fórmula tomando d = 2n:
2n . 2 = n² - 3n
4n = n² - 3n
n² - 7n = 0
n (n - 7) = 0
n = 0 (impossível, pois não existem polígonos de zero lados) ou n = 7.
Portanto, este polígono é o heptágono, que possui 7 lados e 14 diagonais.
2) Em um retângulo o perímetro mede 24 cm e a medida de um lado excede em 4 cm o triplo da medida do outro lado. Determine as medidas dos lados desse retângulo.
R: a = 10 e b = 2
Vamos chamar as arestas de a e b
Temos que a = 3b + 4
O perímetro é dado por a + a + b + b = 24
Ou então 2a + 2b = 24
Substituindo a = 3b + 4, teremos:
2(3b + 4) + 2b = 24
6b + 8 + 2b = 24
8b = 24 - 8
b = 16/8
b = 2
Substituindo b = 2 em
a = 3b + 4
a = 3.2 + 4
a = 6 + 4
a = 10
3) Em um trapézio retângulo, a bissetriz do ângulo reto da base maior forma um ângulo de 115° com a bissetriz do ângulo agudo da base maior. Calcule a medida do maior ângulo do trapézio.
R: 190°
Note que o encontro das bissetrizes forma quatro ângulos iguais dois a dois tipo da forma X.
Ficando:
360°=x+x+115°+115°
360°=2x+230°
130°=2x
X=65°
Teremos 4 triângulos.
O triângulo da base maior tem
115°+45°+a=180°
a=-160°+180°
a=20°
O triângulo formado com o lado inclinado do trapézio será
65°+20°+n=180°
n=180°-85°
n=95°
Note que o ângulo formado entre a base menor e o lado inclinado será o maior, logo será:
2*n=>2*95°=190°
4) Calcule o raio da circunferência inscrita em um trapézio isósceles de bases 2 cm e 8 cm.
R: 2 cm de raio
Se a soma dos dois lados opostos é igual a soma dos outros dois: 2=8=10 cm, então os lados do trapézio irão medir: 10/2= 5cm.
· Entre a base menor e a maior há 6cm de diferença, que são 6/2= 3cm.
· Como a soma dos catetos ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado:
5 ao quadrado é igual a 3 ao quadrado mais x ao quadrado, logo temos 4cm, sendo o raio a metade vamos ter 2cm de raio.
5) Um ponto P está fora de uma circunferência, a 13 cm do centro. Uma secante traçada a partir de P intercepta a circunferência nos pontos Q e R, de forma que o segmento externo PQ mede 9 cm e o segmento interno QR mede 7 cm. Qual é o raio da circunferência?
R: 5 cm
9 (9 + 7) = (13 – r) (13 + r)
r = -5 ou r = 5
 
6) Na figura a seguir, sabendo-se que os ângulos A e E são ângulos retos e que a medida dos segmentos AC = 12 cm, BE = 15 cm e AB = 20 cm, qual é a área do quadrilátero ACED?
R: Então a área do quadrilátero é 52,5 cm².
Perceba que há dois triângulos retângulos ABC e BDE. Podemos calcular as áreas dos dois e subtrair uma da outra para encontrar a área do quadrilátero.
Primeiramente, temos que descobrir o valor do segmento DE. Por semelhança de triângulos, podemos relacionar os segmentos AB e AC com os segmentos BE e DE, respectivamente.
Agora, podemos calcular as áreas: