Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-325-327

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
1
2
∙ 𝜋 ∙ 52 = 12,5𝜋 
Gabarito: “b”. 
160. (CN/2015) 
No triângulo isósceles ABC, AB = AC = 13 e BC = 10. Em AC marca-se R e S, com CR = 2x e CS = x. 
Paralelo a AB e passando por S traça-se o segmento ST, com T em BC. Por fim, marcam-se U, P e Q, 
simétricos de T, S e R, nessa ordem, e relativo à altura de ABC com pé sobre BC. Ao analisar a medida 
inteira x para que a área do hexágono PQRSTU seja máxima, obtém-se: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
Comentários 
 Para facilitar nossa análise, observe a figura abaixo: 
 
 Os triângulos Δ𝐶𝑆𝑇, Δ𝑅𝐴𝑄, Δ𝑈𝑃𝐵 são semelhantes ao triângulo Δ𝐴𝐵𝐶. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 Dessa forma, seja 𝑆 a área do Δ𝐴𝐵𝐶. Podemos calcular as áreas desses triângulos usando 
o quadrado das razões entre os lados: 
Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐶𝑆𝑇 ⇒ (
13
𝑥
)
2
=
𝑆
𝑆Δ𝐶𝑆𝑇
 
𝑆Δ𝐶𝑆𝑇 = 𝑆Δ𝑈𝑃𝐵 = (
𝑥
13
)
2
∙ 𝑆 
Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝑅𝐴𝑄 ⇒ (
13
13 − 2𝑥
)
2
=
𝑆
𝑆Δ𝑅𝐴𝑄
 
𝑆Δ𝑅𝐴𝑄 = (
13 − 2𝑥
13
)
2
∙ 𝑆 
 Assim, podemos calcular a área do hexágono 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇𝑈 em função de 𝑥: 
𝑆 − (2 ∙ [(
𝑥
13
)
2
∙ 𝑆] + (
13 − 2𝑥
13
)
2
∙ 𝑆) =
𝑆
132
(132 − 2𝑥2 − (13 − 2𝑥)2) 
=
𝑆
132
(132 − 2𝑥2 − 132 − 4𝑥2 + 52𝑥) =
𝑆
132
(−6𝑥2 + 52𝑥) =
2𝑆
132
(−3𝑥2 + 26𝑥) 
 Nesse caso temos que a área depende de 𝑥 como uma função polinomial do segundo grau, 
cujo valor de máximo (pois a concavidade está para baixo) é dado por: 
𝑥𝑚á𝑥 = −
26
2 ⋅ (−3)
=
13
3
 
 Como queremos 𝑥 inteiro, temos que os dois inteiros mais próximos de 𝑥𝑚á𝑥 são 4 𝑒 5. 
Mas: 
5 −
13
3
=
2
3
>
1
3
=
13
3
− 4 
 *Lembre-se, quanto mais afastado do vértice, menor o valor de 𝑦! O ponto 𝑥 = 4 está mais 
próximo do vértice! 
 Logo, o inteiro que maximiza a área do hexágono é 𝑥 = 4. 
Gabarito: “b”. 
161. (CN/2015) 
Observe a figura a seguir. 
 
 
 
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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Seja ABC um triângulo retângulo de hipotenusa 6 e com catetos diferentes. Com relação a área S de 
ABC, pode-se afirmar que 
a) será máxima quando um dos catetos for 𝟑√𝟐. 
b) será máxima quando um dos ângulos internos for 30°. 
c) será máxima quando um cateto for o dobro do outro. 
d) será máxima quando a soma dos catetos for 
𝟓√𝟐
𝟐
. 
e) seu valor máximo não existe. 
Comentários 
 Sejam 𝑎 𝑒 𝑏 os catetos desse triângulo retângulo. Por Pitágoras, temos: 
𝑎2 + 𝑏2 = 62 = 36 
 Como Δ𝐴𝐵𝐶 é retângulo, sua área é dada por: 
𝑆 =
𝑎𝑏
2
 
 Como 𝑎 𝑒 𝑏 são positivos, podemos usar a desigualdade entre as médias (𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺): 
𝑎2 + 𝑏2
2
≥ √𝑎2𝑏2 = 𝑎𝑏 ⇒
𝑎2 + 𝑏2
4
≥ 𝑆 
 Da condição de igualdade da desigualdade entre as médias, a área será máxima quando 
𝑎2 = 𝑏2 ⇒ 𝑎 = 𝑏. 
 Mas, do enunciado, temos que 𝑎 ≠ 𝑏. 
Sabemos que 𝑆 ≤ 9 mas que a igualdade só ocorre se 𝑎 = 𝑏, ou seja, 𝑆 pode se aproximar de 9 
tanto quanto se queira, mas nunca vai atingir, de fato, o máximo, pois 𝑎 ≠ 𝑏. 
Gabarito: “e”. 
162. (CN/2015) 
Seja ABCD um quadrado de lado 𝟐𝒂 cujo centro é O. Os pontos M, P e Q são os pontos médios dos 
lados AB, AD e BC, respectivamente. O segmento BP intersecta a circunferência de centro O e raio a 
em R e, também OM, em S. Sendo assim, a área do triângulo SMR é