02 Matemática

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REGRA DE TRÊS 
 
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Regra De Três 
Um Pouco De História 
Estuda-se em proporção a relação entre grandezas. Em alguns casos vemos que as grandezas são 
diretamente proporcionais, ou seja, o aumento de uma implica o aumento da outra, em outros, 
inversamente proporcionais, isto é, o aumento de uma implica a redução da outra. Seja em quaisquer 
dos casos anteriores, podemos resolver grande parte dos problemas relacionados às grandezas 
proporcionais utilizando regra de três simples ou composta. 
O conhecimento e a utilização de conceitos semelhantes à regra de três são muito antigos, tendo sua 
provável origem na China antiga, podendo ser observados em tempos muito distantes. Vários 
problemas envolvendo manipulações muito próximas do que hoje conhecemos como regra de três 
podem ser vistos no Papiro Rhind, documento confeccionado no Egito há cerca de 3000 anos. Mais 
recente que o Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo Fibonacci (1175-
1250) revela vários problemas envolvendo a regra de três. 
Apesar de sua criação ser tão remota, as aplicações relativas à regra de três são as mais variadas. 
Tratando da matemática utilitária, podemos dizer que a regra de três é primordial a nossa vida, pois 
soluciona questões corriqueiras com muita simplicidade e economia de tempo. 
Vejam abaixo alguns problemas envolvendo regra de três simples e composta, direta e inversamente 
proporcionais. 
1. Um quilo (usarei “quilo” simplificadamente para representar quilograma (Kg)) de farinha de trigo é 
suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães? 
2. Quatro pedreiros constrói uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirá a mesma casa 
em quanto tempo? 
3. Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens 
levarão quantos dias para montar 50 máquinas? 
4. Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão 
produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho? 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma implica o 
aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada, ao triplicarmos uma, 
a outra também será triplicada. Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam 
sempre na mesma razão. 
Vejam o exemplo 
NÚMERO DE PESSOAS DE CERTA 
FAMÍLIA 
DESPESA SEMANAL COM 
ALIMENTAÇÃO (R$) 
RAZÃO 
4 200 1/50 
5 250 1/50 
Observação: A tabela acima é meramente ilustrativa e supõe que com o ingresso de mais um 
membro nesta família aumentará proporcionalmente sua despesa semanal. 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da 
outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a outra se reduz a metade; quando triplicamos uma 
delas, a outra fica reduzida a terça parte, etc. 
Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, 
respectivamente, quando se tem: x . a = y . b = z . c 
REGRA DE TRÊS 
 
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Veja o exemplo 
NÚMERO DE OPERÁRIOS DE 
CERTA OBRA 
DIAS GASTOS PARA CONCLUI-LA 
(DIAS) 
RELAÇÃO x.a = y.b 
12 60 12 . 60 = 720 
6 120 6 . 120 = 720 
Razão: 
12/6 = 2/1 
60/120 = 1/2 
Note que 12/6 e 60/120 possuem razões inversas, isto é, 2/1 é o inverso de 1/2. 
Regra de três simples 
Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores de um problema e 
desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução utilizando os princípios da regra de 
três simples. Para isso, basta que multipliquemos os meios entre si e os extremos também entre si. 
Acompanhem: 
 
Exemplo: os números 6 e 10 são diretamente proporcionais a 12 e x respectivamente. Nessas 
condições, vamos encontrar o valor de x que torne essa afirmação verdadeira. 
 
Vamos à solução dos problemas (1) e (2) propostos no início deste trabalho. 
(1) Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para 
fazer 18 pães? 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x emontar uma tabela contendo os valores. 
 
Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de farinha de trigo e número de 
pãessão inversa ou diretamente proporcionais. 
REGRA DE TRÊS 
 
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• Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães também duplicará. Se 
triplicarmos a farinha, os pães também serão triplicados, e assim por diante. Sendo assim, somos 
levados a concluir que essas duas grandezas são diretamente proporcionais; 
• Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir 
para sua solução; 
• As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente proporcionais. 
 
Conclusão: para fazer 18 pães precisaremos de 1,5 kg de farinha de trigo. 
(2) Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirão a mesma 
casa em quanto tempo? 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x emontar uma tabela contendo os valores. 
 
Como no caso anterior, teremos que analisar se as grandezas quantidade de pedreiros e dias gastos 
na construção são inversa ou diretamente proporcionais. 
• Se aumentarmos o número de pedreiros, a duração da obra será reduzida, portanto, essas 
grandezas são inversamente proporcionais; 
• Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir 
para sua solução; 
• Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações; 
• As setas contrárias indicam que as grandezas são inversamente proporcionais. 
 
Conclusão: se reduzirmos o número de pedreiro a dois, teremos a obra concluída em 180 dias. 
REGRA DE TRÊS 
 
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Regra De Três Composta 
Quando trabalhamos com três grandezas, direta ou inversamente proporcionais e, num determinado 
problema, existem seis valores, dos quais cinco são conhecidos e apenas um desconhecido, pode-se 
encontrar o valor da incógnita através da regra de três composta. 
Vamos à solução dos problemas (3) e (4) propostos no início deste trabalho. 
(3) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens 
levarão quantos dias para montar 50 máquinas? 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os valores: 
 
Analisemos as grandezas a fim de saber se são direta ou inversamente proporcionais entre si. 
• Fixando a grandeza quantidade de homens, vamos relacionar as grandezas tempo de 
montagem com número de máquinas. Se dobrarmos o tempo de montagem, dobraremos o número 
de máquinas. Logo, essas duas grandezas são diretamente proporcionais. 
• Fixando a grandeza número de máquinas, vamos relacionar as grandezas quantidade de 
homens com tempo de montagem. Se dobrarmos o número de homens, teremos reduzido à metade o 
tempo de montagem. Logo, essas duas grandezas são inversamente proporcionais. 
• Sabendo dessas informações, basta escrevermos a proporção de acordo com a tabela acima; 
• Como temos grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações; 
 
Conclusão: Com 15 homens, serão construídas 50 máquinas em 20 dias. 
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REGRA DE TRÊS 
 
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(4) Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão 
produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho? 
● Chamaremos o valor desconhecido de x: 
 
Vamos fazer a análise dos dados contidos na tabela acima. 
• Fixando a grandeza dias de trabalho, vamos relacionar as grandezas número de 
operários com quantidade de peças. Ao dobrarmos o número de operários, dobraremos também o 
número de peças fabricadas. Dessa forma, essas duas grandezas são diretamente proporcionais; 
• Fixando a grandeza número de operários e relacionando as grandezasdias de 
trabalho com quantidade de peças, temos: ao dobrarmos o número de dias de trabalho, dobraremos 
também a quantidade de peças produzidas, ou seja, estas grandezas também são diretamente 
proporcionais; 
• Portando esses dados, deveremos escrever a devida proporção de acordo com a tabela acima; 
• Como temos grandezas diretamente proporcionais, manteremos as frações em suas formas 
originais. 
 
Conclusão: com 7 operários, em 9 dias serão produzidas 840 peças. 
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SISTEMA DE EQUAÇÃO 
 
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Sistema de Equação 
Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas 
representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema 
envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. 
Observe as resoluções comentadas a seguir: 
 
Exemplo 1 
 
 
Isolando x ou y na 2ª equação do sistema: 
x + y = 6 
x = 6 – y 
 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
 
x² + y² = 20 
(6 – y)² + y² = 20 
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0 
16 – 12y + 2y² = 0 
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2) 
 
y² – 6y + 8 = 0 
 
∆ = b² – 4ac 
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8 
∆ = 36 – 32 
∆ = 4 
 
a = 1, b = –6 e c = 8 
 
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 
 
Para y = 4, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 4 
x = 2 
 
Par Ordenado (2; 4) 
 
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SISTEMA DE EQUAÇÃO 
 
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Para y = 2, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 2 
x = 4 
 
Par ordenado (4; 2) 
 
S = {(2: 4) e (4; 2)} 
 
Exemplo 2 
 
Isolando x ou y na 2ª equação: 
x – y = –3 
x = y – 3 
 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
 
x² + 2y² = 18 
(y – 3)² + 2y² = 18 
y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0 
3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da equação por 3) 
 
y² – 2y – 3 = 0 
 
∆ = b² – 4ac 
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3) 
∆ = 4 + 12 
∆ = 16 
 
a = 1, b = –2 e c = –3 
 
 
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 
 
Para y = 3, temos: 
x = y – 3 
x = 3 – 3 
x = 0 
 
Par Ordenado (0; 3) 
Para y = –1, temos: 
x = y – 3 
SISTEMA DE EQUAÇÃO 
 
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x = –1 –3 
x = –4 
Os sistemas de equações nada mais são do que estratégias que nos permitem resolver problemas e 
situações que envolvem mais de uma variável e pelo menos duas equações. Se as equações 
presentes no sistema envolverem apenas a adição e a subtração das incógnitas, dizemos que se 
trata de um sistema de equações do 1° grau. Podemos resolver esse sistema de duas formas, 
através da representação gráfica ou algebricamente. Na forma algébrica, dispomos de duas 
alternativas, o método da adição ou da substituição. 
No caso de uma multiplicação entre as incógnitas ou, simplesmente, de uma delas aparecer como 
uma potência de expoente 2, dizemos que o sistema envolve também equações de 2° grau. Para 
resolver um sistema desse tipo, as estratégias são as mesmas citadas anteriormente, mas podem 
haver mais soluções nesse caso. 
Vejamos alguns exemplos de resolução de sistemas de equações do 1° e do 2° grau: 
1° Exemplo: 
Observe que, nesse exemplo, a equação x·y = 15 fornece um produto entre as incógnitas x e y, 
portanto, essa é uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, vamos utilizar o método da substituição. 
Na segunda equação, isolaremos x: 
2x – 4y = – 14 
2x = 4y – 14 
x = 4y – 14 
 2 
x = 2y – 7 
Agora substituiremos x = 2y – 7 na primeira equação: 
x·y = 15 
(2y – 7)·y = 15 
2y² – 7y – 15 = 0 
Para encontrar os possíveis valores de y, utilizaremos a fórmula de Bhaskara: 
 
Δ = b² – 4.a.c 
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15) 
Δ = 49 + 120 
Δ = 169 
y = – b ± √Δ 
 2.a 
y = – (– 7) ± √169 
 2.2 
y = 7 ± 13 
 4 
y1 = 7 + 13 
 4 
y1 = 20 
 4 
y1 = 5 
y2 = 7 – 13 
 4 
y2 = – 6 
 4 
y2 = – 3 
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 2 
Agora podemos substituir os valores encontrados para y em x·y = 15 com o objetivo de determinar os 
valores de x: 
x1 · y1 = 15 
x1 · 5 = 15 
x1 = 15 
 5 
x1 = 3 
x2 · y2 = 15 
x2 · (– 3) = 15 
2 
x2 = 15 . (– 2) 
 3 
x2 = – 10 
Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (3, 5) e (– 10, – 3/2). 
2° Exemplo: 
Para resolver esse sistema, utilizaremos o método da adição. Para tanto, vamos multiplicar a 
primeira equação por – 2. Nosso sistema ficará da seguinte forma: 
 
(– 2x² + 2x²) + (– 4y² – 3y²) = (– 178 + 150) 
0x² – 7y² = – 28 
7y² = 28 
y² = 28 
 7 
y = ±√4 
y1 = + 2 
y2 = – 2 
Agora nós podemos substituir os valores encontrados para y na primeira equação com o objetivo de 
obter os valores de x: 
x² + 2y1² = 89 
x² + 2.(2)² = 89 
x² + 8 = 89 
x² = 81 
x = ±√81 
x1 = + 9 
x2 = – 9 
x² + 2y2² = 89 
x² + 2.(– 2)² = 89 
x² + 8 = 89 
x² = 81 
x = ±√81 
x3 = + 9 
x4 = – 9 
Podemos afirmar que a equação possui quatro soluções: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) e (– 9, – 2). 
3° Exemplo: 
Na resolução desse sistema de equações, utilizaremos o método da substituição. Na segunda 
equação, vamos isolar x: 
2x – 3y = 2 
2x = 3y + 2 
x = 3y + 2 
 2 
x = 3y + 1 
2 
Substituiremos x na primeira equação: 
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x² + 2y² = 1 
(3y/2 + 1)² + 2y² = 1 
9y² + 3y + 1 + 2y² = 1 
4 
Multiplicaremos toda a equação por 4: 
9y² + 12 y + 4 + 8y² = 4 
17y² + 12 y = 0 
Para encontrar os possíveis valores de y, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara: 
 
Δ = b² – 4.a.c 
Δ = 12² – 4.17. 0 
Δ = 144 
y = – b ± √Δ 
 2.a 
y = – 12 ± √144 
 2.17 
y = – 12 ± 12 
 34 
Y1 = – 12 + 12 
 34 
y1 = 0 
 34 
y1 = 0 
y2 = – 12 – 12 
 34 
y2 = – 24 
 34 
y2 = – 12 
 17 
Substituindo os valores encontrados para y em 2x – 3y = 2, podemos determinar os valores de x: 
2x – 3y1 = 2 
2x – 3·0 = 2 
2x – 0 = 2 
x = 2 
2 
x1 = 1 
2x – 3y2 = 2 
2x – 3·(– 12/17)= 2 
2x + 36 = 2 
 17 
2x = 2 – 36 
 17 
2x = – 2 
 17 
x2 = – 1 
 17 
Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (1, 0) e (– 1/17, – 12/17). 
O Que É Razão? 
A razão é a forma mais comum e prática de se fazer a comparação relativa entre duas grandezas. 
Para isto, é necessário que ambas estejam na mesma unidade de medida. Por exemplo: só 
poderemos obter a razão entre o comprimento de duas ruas, se as duas estiverem em quilômetros, 
mas não poderemos obtê-la caso uma esteja em metros e a outra em quilômetros, ou qualquer outra 
unidade de medida diferente. Neste caso, é preciso escolher uma unidade de medida e converter 
uma das grandezas para a escolhida. 
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SISTEMA DE EQUAÇÃO 
 
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Para obtermos a razão entre dois números a e b, por exemplo, dividimos a por b. Vale ressaltar 
que b deve ser diferente de zero. Ou seja, chamamos de razão entre a e b o quociente a/b=k. (Lê-se 
“a está para b”). 
O numerador a recebe o nome de antecedente, e o denominador b é denominado consequente dessa 
razão. 
Veja o exemplo a seguir: 
Exemplo: Uma loja tem 1200m² de área construída e 3000m² de área livre. Qual é a razão da área 
construída para a área livre? 
Para resolvermos oproblema, aplicamos a razão = área construída/área livre = 1200/3000 = 2/5. 
Ou seja, isto significa que a área construída representa 2/5 = 0,4 ou 40% da área livre. 
O conceito de razão é ainda aplicado para calcularmos escala, velocidade média e densidade. 
O que é proporção? 
A proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões. Dados quatro 
números racionais A, B, C e D diferentes de zero, a proporção pode ser expressa da seguinte forma: 
A/B = C/D. 
O antecedente da primeira razão (A) e o consequente da segunda (D) são chamados de extremos, 
enquanto o consequente da primeira razão (B) e o antecedente da segunda razão (C) são chamados 
de meios. 
A propriedade fundamental da proporção 
Uma proporção também pode ser escrita como a igualdade entre os produtos, da seguinte maneira: 
A.D = B.C. Esta é a propriedade fundamental da proporção, em que o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos. 
Exemplo: Na sala A de uma determinada escola, temos 3 meninas para cada 4 meninos, ou seja, 
temos a razão de 3 para 4, cuja divisão é igual a 0,75. 
Na sala B da mesma escola, temos 6 meninas para cada 8 meninos, ou seja, a razão é de 6 para 8, 
que é igual a 0,75. Ambas as razões são iguais a 0,75 e, por isso, são chamadas de proporção. 
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UNIDADES DE MEDIDA 
 
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Unidades de Medida 
De acordo com o SI (sistema internacional de medidas), o metro é considerado a unidade principal de 
medida de comprimento, seguido de seus múltiplos e submúltiplos. Os múltiplos do metro são o quilô-
metro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam) e os submúltiplos são decímetro (dm), centímetro 
(cm) e milímetro (mm). 
São estabelecidos alguns critérios de conversão, de acordo com a tabela a seguir: 
 
À medida que as unidades seguem a orientação da direita, os valores são multiplicados por 10. E à 
medida que seguem a orientação da esquerda, os valores são divididos por 10. Essa tabela de con-
versão existe para que as valores estejam sempre na mesma unidade. Vamos realizar as seguintes 
transformações: 
10 km em metros → 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000 metros 
7 hm em dam → 7 * 10 = 70 decâmetros 
5 m em cm → 5 * 10 * 10 = 500 centímetros 
10 cm em m → 10 : 10 : 10 = 0,1 metros 
1000 m em km → 1000 : 10 : 10 : 10 = 1 quilômetro 
1 m em hm → 1 : 10 : 10 = 0,01 hectômetro 
2 hm em mm → 2 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 200 000 milímetros 
5 mm em m → 5 : 10 : 10 : 10 = 0,005 metros 
4 km em mm → 4 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 4 000 000 milímetros 
Exemplo 
Algumas medidas foram fornecidas à empresa responsável pela construção de casas populares. As 
informações trazem as dimensões das casas em várias unidades de comprimento diferenciadas. 
Faça a transformação das unidades de forma que as unidades fiquem padronizadas. Observe as di-
mensões das casas populares: 
Casa 1 
Comprimento: 120 dm 
Largura: 700 cm 
 
Casa 2 
Comprimento: 0,8 dam 
 
Largura: 90 dm 
 
Casa 3 
Comprimento: 10 000 mm 
UNIDADES DE MEDIDA 
 
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Largura: 0,009 km 
 
Casa 4 
Comprimento: 7 000 mm 
Largura: 11 dm 
 
Vamos realizar a conversão para a unidade padrão: o metro. 
 
Casa 1 
120 dm em m = 120: 10 = 12 metros 
700 cm em m = 700: 10 : 10 = 7 metros 
 
Casa 2 
0,8 dam em m = 0,8 * 10 = 8 metros 
9 dm em m = 90: 10 = 9 metros 
 
Casa 3 
 
10 000 mm em m = 10 000: 10: 10: 10 = 10 metros 
0,009 km em m = 0,009: 10: 10: 10 = 9 metros 
 
Casa 4 
7 000 mm em m = 7 000: 10: 10: 10 = 7 metros 
110 dm em m = 110: 10 = 11 metros 
Unidades de Medida de Volume 
As medidas de volume possuem grande importância nas situações envolvendo capacidades de sóli-
dos. Podemos definir volume como o espaço ocupado por um corpo ou a capacidade que ele tem de 
comportar alguma substância. Da mesma forma que trabalhamos com o metro linear (comprimento) e 
com o metro quadrado (comprimento x largura), associamos o metro cúbico a três dimensões: altura x 
comprimento x largura. 
 
As unidades de metro cúbico são: quilômetros cúbicos (km³), hectômetros cúbicos (hm³), decâmetros 
cúbicos (dam³), metros cúbicos (m³), decímetros cúbicos (dm³), centímetros cúbicos (cm³), milímetros 
cúbicos (mm³). Observe a tabela e os métodos de transformação de unidades de volume: 
 
 
 
1 – Transformando 12km³ em m³ = 12 x 1000 x 1000 x 1000 = 12 000 000 000 m³ 
2 – Transformando 2m³ em cm³ = 2 x 1000 x 1000 = 2 000 000 cm³ 
3 – Transformando 1000cm³ em m³ = 1000: 1000: 1000 = 0,001 m³ 
4 – Transformando 5000dm³ em m³ = 5000: 1000 = 5 m³ 
UNIDADES DE MEDIDA 
 
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5 – Transformando 50 000 000m³ em km³ = 50 000 000: 1000 : 1000 : 1000 = 0,05 km³ 
De acordo como Sistema Internacional de medidas (SI), o metro cúbico é a unidade padrão das medi-
das de volume. Um metro cúbico (1m³) corresponde a uma capacidade de 1000 litros. Essa relação 
pode ser exemplificada em conjunto com a Geometria, através de um cubo com arestas medindo 1 
metro. 
 
Capacidade e Tempo 
Na matemática, compreender as unidades de medida de capacidade é fundamental para o dia a dia. 
O mesmo se aplica às unidades de medida de tempo. Confira! 
Medidas de Capacidade 
Capacidade é o volume interno de um recipiente. Para medir a quantidade de líquido existente em 
cada embalagem é usada a unidade fundamental de volume que chamamos de litro. O símbolo do 
litro é o L. 
Para medir pequenas quantidades de líquidos, como, por exemplo, em um copo ou xícara, ou lata, 
usamos o mililitro. O símbolo do mililitro é ml. Os múltiplos do litro são o quilolitro (kl), hectolitro (hl) e 
decalitro (dal), todos maiores que o litro. Os submúltiplos são menores que o litro e chamamos por 
decilitro (dl), centilitro (cl) e mililitro (ml). Usamos a medida de litro para medir qualquer líquido como 
óleo, leite, sucos, água, gasolina, etc. 
Medidas de Tempo 
O tempo é medido pela unidade padrão de medida escolhida como padrão pelo Sistema Internacional 
(SI) que é o segundo. Com relação ao tempo temos os múltiplos e os submúltiplos do segundo. Os 
múltiplos são: minutos, hora e dia. Os submúltiplos são: o décimo, o centésimo e o milésimo de se-
gundo. 
Antigamente, o homem usava para medir o tempo e o sol, pois era a sua única orientação. Atual-
mente, medimos o tempo por meio de um aparelho chamado relógio. Existem vários tipos de relógios 
como o analógico e o digital. O tempo no relógio é marcado por três ponteiros. O ponteiro que marca 
as horas, os minutos e os segundos. 
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico decimal, portanto quando nos referimos ao 
tempo dizemos são 2 h 30 m. 
O calendário é outra forma de se contar os dias. A cada sete dias, formamos uma semana. A cada 
quatro semanas, formamos o mês. Um mês pode ter 28,29, 30 ou 31 dias, isso dependerá do mês e 
se for ano bissexto ou não. No ano bissexto, o mês de fevereiro possui 29 dias. Em cada ano temos 
12 meses. 
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PROBABILIDADE 
 
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Probabilidade 
Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A 
essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximosde 
1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma 
percentual. 
Experimento Aleatório E Ponto Amostral 
Um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras vezes e nas mesmas condições e, mesmo 
assim, apresenta resultados diferentes. Cada um desses resultados possíveis é chamado de ponto 
amostral. São exemplos de experimentos aleatórios: 
A) Cara Ou Coroa 
Lançar uma moeda e observar se a face voltada para cima é cara ou coroa é um exemplo de 
experimento aleatório. Se a moeda não for viciada e for lançada sempre nas mesmas condições, 
poderemos ter como resultado tanto cara quanto coroa. 
B) Lançamento De Um Dado 
Lançar um dado e observar qual é o número da face superior também é um experimento aleatório. 
Esse número pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 e cada um desses resultados apresenta a mesma chance de 
ocorrer. Em cada lançamento, o resultado pode ser igual ao anterior ou diferente dele. 
Observe que, no lançamento da moeda, as chances de repetir o resultado anterior são muito maiores. 
C) Retirar Uma Carta Aleatória De Um Baralho 
Cada carta tem a mesma chance de ocorrência cada vez que o experimento é realizado, por isso, 
esse é também um experimento aleatório. 
Espaço Amostral 
O espaço amostral (Ω) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um 
experimento. Veja exemplos: 
a) O espaço amostral do experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara, Coroa}. Os pontos 
amostrais desse experimento são os mesmos elementos desse conjunto. 
b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os 
pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O espaço amostral também é chamado de Universo e pode ser representado pelas outras notações 
usadas nos conjuntos. Além disso, todas as operações entre conjuntos valem também para espaços 
amostrais. 
O número de elementos do espaço amostral, número de pontos amostrais do espaço amostral ou 
número de casos possíveis em um espaço amostral é representado da seguinte maneira: n(Ω). 
Evento 
Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento 
(conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. O número de elementos do evento é 
representado da seguinte maneira: n(E), sendo E o evento em questão. 
São exemplos de eventos: 
a) Sair cara em um lançamento de uma moeda 
O evento é sair cara e possui um único elemento. A representação dos eventos também é feita com 
notações de conjuntos: 
PROBABILIDADE 
 
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E = {cara} 
O seu número de elementos é n(E) = 1. 
b) Sair um número par no lançamento de um dado. 
O evento é sair um número par: 
E = {2, 4, 6} 
O seu número de elementos é n(E) = 3. 
Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados de simples. Quando o 
evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e sua probabilidade de ocorrência 
é de 100%. Quando um evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível e 
possui 0% de chances de ocorrência. 
Cálculo Da Probabilidade 
Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω. A probabilidade do evento A ocorrer é a razão 
entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, é o 
número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele 
pertence. 
P(E) = n(E) 
 n(Ω) 
Observações: 
O número de elementos do evento sempre é menor ou igual ao número de elementos do espaço 
amostral e maior ou igual a zero. Por isso, o resultado dessa divisão sempre está no intervalo 0 ≤ 
P(A) ≤ 1; 
Quando é necessário usar porcentagem, devemos multiplicar o resultado dessa divisão por 100 ou 
usar regra de três; 
A probabilidade de um evento não acontecer é determinada por: 
P(A-1) = 1 – P(A) 
Exemplos: 
→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara? 
Solução: 
Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, 
possui apenas um elemento. 
P(E) = n(E) 
 n(Ω) 
P(E) = 1 
 2 
P(E) = 0,5 = 50% 
→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais? 
PROBABILIDADE 
 
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Solução: 
Representando cara por C e coroa por K, teremos os seguintes resultados possíveis: 
 (C, K); (C, C); (K, C); (K, K) 
O evento obter resultados iguais possui os seguintes casos favoráveis: 
 (C, C); (K, K) 
Há quatro casos possíveis (número de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis 
(número de elementos do evento), logo: 
P(E) = n(E) 
 n(Ω) 
P(E) = 2 
 4 
P(E) = 0,5 = 50% 
→ No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3? 
Solução: 
Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois 
elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
P(E) = n(E) 
 n(Ω) 
P(E) = 2 
 6 
P(E) = 0,33... = 33,3% 
→ Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado? 
Solução: 
Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair 
qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento 
possui cinco elementos. 
A outra maneira é usar a fórmula para a probabilidade de um evento não ocorrer: 
P(A-1) = 1 – P(E) 
O evento que não pode ocorrer possui apenas um elemento, logo: 
P(A-1) = 1 – P(E) 
P(A-1) = 1 – n(E) 
 n(Ω) 
P(A-1) = 1 – 1 
 6 
PROBABILIDADE 
 
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P(A-1) = 1 – 0,166.. 
P(A-1) = 0,8333… = 83,3% 
Princípios De Contagem E Probabilidade 
A análise combinatória é a matéria que desenvolve métodos para fazer a contagem com eficiência. 
Os problemas de contagem estão presentes no cotidiano, por exemplo, no planejamento de pratos 
em um cardápio, a combinação de números em um jogo de loteria, nas placas dos veículos, entre 
inúmeras outras situações. 
A ideia é a seguinte: Imagine que você tenha 3 calças, 5 camisas e 2 sapatos e queira saber quantas 
são as combinações possíveis utilizando essas peças. Para isso basta efetuar a multiplicação, assim: 
5 . 3 . 2 = 30 possibilidades de combinações. Esse é chamado de princípio multiplicativo. 
Exemplo 1. Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 3, 5, 7 e 
6? 
Então são 4 possibilidades para as dezenas, são quatro dígitos diferentes, e para as unidades serão 
3, pois não queremos repetidos, portanto: 
4 . 3 = 12 números de dois algarismos distintos. 
Muitos problemas de Análise combinatória podem ser resolvidos utilizando o fatorial (n!), que é a 
multiplicação de números consecutivos: 4!= 4.3.2.1= 24. 
Exemplo 2. Calcule o valor de: 5! 
5.4.3.2.1 
5.4 
20 . 3 . 2 . 1 
120 
Essa propriedade utilizada na análise combinatória é a permutação, significa mudar a ordem, pense: 
De quantas maneiras distintas sete pessoas podem sentar em sete poltronas? 
Temos uma permutação de sete elementos, então: 
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 maneiras. 
Outras propriedades são: combinação e arranjo. 
A combinação é a formação de um grupo não ordenado. Vamos pensar dentro da contagem: Em uma 
turma de 30 alunos, 6 serão sorteados para uma viagem. Quantas possibilidades possíveis para esse 
sorteio? 
Lembre-se que a ordem do sorteio não importa. 
 
Já arranjo forma grupos específicos, vejamos uma situação: Na formação de senhas para clientes, 
um banco disponibiliza oito dígitos entre: 0, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 8. Sabendo que cada senha é formada por 
três dígitos distintos, qual o número de senha? 
Lembre-se, aqui é importante a ordem dos elementos: 
A8,3= 8! 
 8!- 3! 
8! 
5! 
8.7.6.5! 
 5! 
PROBABILIDADE 
 
5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR8 . 7 . 6 
336 senhas. 
A análise combinatória é utilizada para resolver problemas de contagem. Utilizando os processos 
combinatórios é possível determinar o número de combinações, arranjos e permutações possíveis. 
Para cada uma destas aplicações, alguns critérios devem ser respeitados. Iremos agora conduzir 
você a entender o Diagrama da Árvore. Quando conseguir assimilar esta estrutura será fácil entender 
o Princípio Fundamental da Contagem, que define - se como sendo: 
O Produto De Duas Ou Mais Etapas Independentes. 
Em notação matemática isso seria o mesmo que considerarmos, que determinada atividade pode ser 
realizada em duas etapas, ou seja, de m e n maneiras distintas, o total de possibilidades será dado 
pelo produto de m por n (m x n). Iremos agora resolver um problema utilizando o Diagrama da 
Árvore para que possamos entender o Princípio Fundamental da Contagem: 
Problema: Jeniffer irá participar da promoção de uma loja de roupas que está dando um vale compras 
no valor de R$ 1000,00 reais. Ganhará o desafio o primeiro participante que conseguir fazer o maior 
número de combinações com o kit de roupa cedido pela loja. No kit temos: seis camisetas, quatro 
saias e dois pares de sapato do tipo salto alto. De quantas maneiras distintas Jeniffer poderá 
combinar todo o vestuário que esta no quite de roupa? 
Peças Que Compõem O Kit De Roupa 
Camisetas 
 
Saias 
 
Sapatos 
 
Utilizando o Diagrama da Árvore vamos descobrir a quantidade de combinações possíveis. 
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PROBABILIDADE 
 
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8 combinações possíveis. 
 
8 combinações possíveis. 
 
8 combinações possíveis. 
 
8 combinações possíveis. 
 
8 combinações possíveis. 
 
8 combinações possíveis. 
Ao realizar a contagem iremos constatar a quantidade referente à 48 combinações possíveis. 
A outra forma que temos para resolver este problema é utilizando o Princípio Fundamental da 
Contagem. 
Total de camisetas X Total de Saias X Total Sapatos = Total de combinações possíveis 
6 x 4 x 2 = 48 
Observe que ao utilizarmos o Princípio Fundamental da Contagem, também foi possível determinar o 
número de combinações do Kit roupa, este número corresponde ao que foi encontrado quando 
utilizamos o Diagrama da árvore. 
Princípio Fundamental Da Contagem 
O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em nsituações independentes e 
sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo 
de m2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de mn maneiras, temos 
que o número total de ocorrências será dado pelo produto: 
PROBABILIDADE 
 
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Exemplos 
Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5? 
Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número natural 
com dois algarismos ele deve começar com um dígito de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades. 
Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos 
apenas 2 possibilidades. 
A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado. 
Logo: 
São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5. 
Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calçar 
utilizando um par de meias e um de sapatos? 
Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o número de elementos do 
primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número de elementos do segundo conjunto. 
Portanto: 
Poderei Me Calçar De 40 Maneiras Diferentes. 
De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de sorte que a última letra seja 
sempre a letra R? 
Para a última letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que é a letra R. 
Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1 possibilidades. 
Assim temos: 
 
Note que este exemplo é semelhante ao caso dos livros, explicado no início da página, só que neste 
caso teríamos mais um livro, digamos de ciências, que sempre seria colocado na pilha por último. 
Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a última letra seja 
sempre a letra R. 
Quantos números naturais com 3 algarismos podemos formar que não comecem com 16, nem 
com 17? 
Neste exemplo iremos fazer o cálculo em duas partes. Primeiro iremos calcular quantos são os 
números com três algarismos. 
Como neste caso na primeira posição não podemos ter o dígito zero, o número de possibilidades 
para cada posição é respectivamente: 9, 10 e 10. 
Portanto temos 900 números naturais com três dígitos. 
Agora vamos calcular quantos deles começam com 16 ou 17. 
Para a primeira posição temos apenas uma possibilidade, o dígito 1. Para a segunda temos 2, pois 
servem tanto o dígito 6, quanto o 7. 
PROBABILIDADE 
 
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Para a terceira e última posição temos todos os dígitos possíveis, ou seja, 10 possibilidades. 
Multiplicando tudo temos 20. 
Logo, subtraindo 20 de 900 obtemos 880. 
Existem 880 números naturais nestas condições. 
São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e 
que de trás para frente também são ímpares? 
Os números devem ser ímpares, temos então 5 possibilidades para o último algarismo. 
A história do "de trás para frente", em outras palavras quer dizer que o primeiro algarismo também é 
ímpar. Como um dígito ímpar já foi utilizado na última posição, temos então apenas 4 disponíveis 
para a primeira posição. 
Para o dígito central temos apenas 8 possibilidades, pois dois dígitos ímpares já foram utilizados. 
Multiplicando 4 por 8 e por 5 obtemos 160. 
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GEOMETRIA PLANA 
 
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Geometria Plana 
A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemáticaque estuda as figuras que não possuem 
volume. 
A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu nome representa uma 
homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da geometria”. 
Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a 
palavra geometria significa a "medida de terra". 
Conceitos De Geometria Plana 
Alguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria plana, a saber: 
Ponto 
Conceito adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam uma localização e 
são indicados com letras maiúsculas. 
Reta 
A reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento 
como dimensão) e pode se apresentar em três posições: 
horizontal 
vertical 
inclinada 
Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto em comum, 
são chamadas de retas concorrentes. 
Por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como retas paralelas. 
Segmento de Reta 
Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos. 
A semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início e não possui fim. 
Plano 
Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e 
largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas. 
Ângulos 
Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, 
chamado de vértice do ângulo. São classificados em: 
ângulo reto (Â = 90º) 
ângulo agudo (0º < Â < 90º) 
ângulo obtuso (90º < Â < 180º) 
Área 
A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a 
superfície da figura, maior será sua área. 
Perímetro 
GEOMETRIA PLANA 
 
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O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica. 
Figuras Da Geometria Plana 
Triângulo 
 
Matemática › Geometria 
Geometria Plana 
A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem 
volume. 
A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu nome representa uma 
homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da geometria”. 
Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a 
palavra geometria significa a "medida de terra". 
Conceitos De Geometria Plana 
Alguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria plana, a saber: 
Ponto 
Conceito adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam uma localização e 
são indicados com letras maiúsculas. 
Reta 
A reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento 
como dimensão) e pode se apresentar em três posições: 
horizontal 
vertical 
inclinada 
Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto em comum, 
são chamadas de retas concorrentes. 
Por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como retas paralelas. 
Segmento De Reta 
Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos. 
A semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início e não possui fim. 
Plano 
GEOMETRIA PLANA 
 
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Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e 
largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas. 
Ângulos 
Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, 
chamado de vértice do ângulo. São classificados em: 
ângulo reto (Â = 90º) 
ângulo agudo (0º < Â < 90º) 
ângulo obtuso (90º < Â < 180º) 
Área 
A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a 
superfície da figura, maior será sua área. 
Perímetro 
O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica. 
Polígono (figura plana fechada) de três lados, o triângulo é uma figura geométrica plana formada por 
três segmentos de reta. 
Segundo a forma dos triângulos, eles são classificados em: 
• Triângulo equilátero: possui todos os lados e ângulos internos iguais (60°); 
• Triângulo isósceles: possui dois lados e dois ângulos internos congruentes; 
• Triângulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes. 
No tocante aos ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em: 
triângulo retângulo: possui um ângulo interno de 90°; 
triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um ângulo 
obtuso interno, maior que 90°; 
triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90°. 
Quadrado 
 
Polígono de quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura geométrica plana que 
possuem os quatro ângulos congruentes: retos (90°). 
Retângulo 
GEOMETRIA PLANA 
 
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Figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos no sentido vertical e os outros dois 
paralelos, no horizontal. Assim, todos os lados do retângulo formam ângulos reto (90°). 
Círculo 
 
Figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um plano. O raio (r) do 
círculo corresponde a medida da distância entre o centro da figura até sua extremidade. 
Trapézio 
 
Chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos corresponde a 360º, o 
trapézio é uma figura geométrica plana. 
Ele possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. São classificados em: 
Trapézio retângulo: possui dois ângulos de 90º; 
Trapézio isósceles ou simétrico: os lados não paralelos possuem a mesma medida; 
Trapézio escaleno: todos os lados de medidas diferentes. 
Losango 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
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Quadrilátero equilátero, ou seja, formado por quatro lados iguais, o losango, junto com o quadrado e 
o retângulo, é considerado um paralelogramo. 
Ou seja, é um polígono de quatro lados os quais possuem lados e ângulos opostos congruentes e 
paralelos. 
Geometria Espacial 
A Geometria Espacial é a área da matemática que estuda as figuras que possuem mais de duas 
dimensões. 
Assim, o que a difere da geometria plana (que apresenta objetos bidimensionais) é o volume que 
essas figuras apresentam, ocupando um lugar no espaço. 
Polígonos 
Polígonos são figuras geométricas planas que são formadas por segmentos de reta a partir de uma 
sequência de pontos de um plano, todos distintos e não colineares, onde cada extremidade de 
qualquer um desses segmentos é comum a apenas um outro. 
Eles podem ser côncavos ou convexos. Dados dois pontos A e B, interiores ao polígono, ele será 
convexo se, e somente se, o segmento de reta AB¯¯¯¯¯¯¯¯ estiver contido inteiramente no polígono. 
Caso contrário, ele será côncavo. 
Polígono convexo. A reta AB¯¯¯¯¯¯¯¯ está inteiramente contida no polígono. 
 
Polígono côncavo ou não convexo. A reta CD¯¯¯¯¯¯¯¯ não está inteiramente contida no polígono. 
 
Polígonos Simples 
Dizemos que um polígono é simples quando quaisquer dois lados não consecutivos não se 
interceptam. Quando o polígono não é simples, dizemos que ele é complexo. 
GEOMETRIA PLANA 
 
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Os polígonos A1A2A3A4A5 e B1B2B3B4B5 são polígonos simples. 
 
 
Os polígonos C1C2C3C4C5 e D1D2D3D4D5 são polígonos complexos. 
Polígonos Regulares E Irregulares 
Um polígono que possui os lados congruentes é chamado de equilátero. Quando possui os ângulos 
congruentes, é chamado de equiângulo. 
 
Um polígono convexo é regular se for equilátero e equiângulo, ou seja, quando seus lados são todos 
iguais (possuem a mesma medida) e seus ângulos internos também são iguais. 
nOME DOS POLÍGONOS 
Podemos dar nomes aos polígonos de acordo com a quantidade de lados que ele possui. Abaixo, 
uma tabela apresentandoo nome de cada polígono considerando seus lados. 
# de Lados Nome 
GEOMETRIA PLANA 
 
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3 Triângulo ou trilátero 
4 Quadrângulo ou quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Hendecágono ou Undecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
n n-látero 
 
Geralmente, para polígonos com lados maiores que 20, nos referimos a ele apenas explicitando o seu 
número de lados. Por exemplo, um polígono de 27 lados. 
Círculo E Circunferência 
que, dado um ponto fixo C, possuem a mesma distância até o ponto C. Em outras palavras, dada a 
distância “r” e o ponto fixo C, qualquer ponto A que possui a distância de A até C igual a r é um ponto 
pertencente à circunferência. Matematicamente, podemos representar essa última relação da 
seguinte maneira: 
dAC = r 
Tendo em vista a distância entre dois pontos obtida na Geometria Analítica e considerando as 
coordenadas de A (x,y) e de C (a,b), a relação acima pode ser reescrita da seguinte maneira: 
dAC = r 
√[(a – x)2 + (b – y)2] = r 
(a – x)2 + (b – y)2 = r2 
Na Geometria Analítica, essa equação é chamada de equação da circunferência com centro C 
(a,b) e raio r. 
O ponto C é conhecido como centro da circunferência e a distância r é chamada de raio. A figura 
geométrica formada por um conjunto de pontos desse tipo é a seguinte: 
GEOMETRIA PLANA 
 
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Circunferência de centro C e raio r 
O ponto C não pertence à circunferência, pois a circunferência é apenas o círculo verde. O ponto A, 
por sua vez, pertence à circunferência. 
Definição de círculo 
O círculo, por sua vez, é uma figura geométrica plana que é definida da seguinte maneira: 
Círculo é o conjunto de pontos resultantes da união entre uma circunferência e seus pontos 
internos. Em outras palavras, o círculo é a área cuja fronteira é uma circunferência. 
 
Círculo: área colorida 
Tomando novamente os conhecimentos vindos da Geometria Analítica, a equação do círculo é 
praticamente igual à equação da circunferência. A diferença encontra-se no fato de o círculo ser um 
conjunto de pontos menor ou igual ao raio. A partir disso, temos a seguinte equação: 
dAC ≤ r 
√[(a – x)2 + (b – y)2] ≤ r 
(a – x)2 + (b – y)2 ≤ r2 
Dessa maneira, a diferença fundamental entre círculo e circunferência é que o círculo é toda a área 
interna de uma circunferência. Já essa última é apenas o contorno de um círculo. 
Propriedades Básicas Do Círculo E Da Circunferência 
O ponto C, centro da circunferência, não pertence a ela, mas pertence ao círculo. Dessa maneira, 
dado um ponto A qualquer (lembrando que dAC é a distância entre A e C), as posições relativas entre 
A e uma circunferência são: 
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1 – A é ponto da circunferência, se dAC = r; 
2 – A é ponto externo à circunferência, se dAC > r; 
3 – A é ponto interno à circunferência, se dAC < r; 
As posições relativas entre A e o círculo são: 
1 – A é ponto do círculo, se dAC ≤ r 
2 – A é ponto externo ao círculo, se dAC > r 
Qualquer segmento que liga dois pontos pertencentes a uma circunferência é chamado de corda. 
Quando uma corda contém o centro da circunferência, ela também é chamada de diâmetro. Desse 
modo, o diâmetro tem o comprimento igual ao comprimento de dois raios e, além disso, é a maior 
corda encontrada em qualquer circunferência. 
 
Circunferência contendo um exemplo de corda e um exemplo de diâmetro 
Dividindo o comprimento de uma circunferência pelo comprimento de seu raio, o número encontrado 
sempre será, aproximadamente, 6,28. Dessa maneira, pode-se escrever a seguinte relação: 
C = 6,28 
r 
Dividindo ambos os membros por 2, obtemos o seguinte resultado: 
C = 3,14 
2r 
Esse resultado é o mesmo da divisão anterior, mas realizado com o diâmetro da circunferência no 
lugar do raio. Dessa maneira, é possível encontrar o comprimento de uma circunferência tendo em 
mãos apenas o comprimento de seu raio (ou diâmetro). Assim, é possível definir a fórmula para o 
comprimento da circunferência: 
C = 2πr, em que π é aproximadamente 3,14 
O mesmo se aplica ao cálculo do comprimento ou perímetro de um círculo. Contudo, não é possível 
calcular a área de uma circunferência. A área que é calculada, na realidade, é a área do círculo, e a 
fórmula utilizada para isso é a seguinte: 
A = π.r2 
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Elementos Do Círculo E Da Circunferência 
 
O compasso é um objeto usado para desenhar círculos e circunferências 
Para um dado ponto C, chamado centro, uma circunferência é o conjunto de todos os pontos que 
possuem uma distância fixa até C. Essa distância geralmente é representada pela letra r. 
Os círculos, por sua vez, são compostos por todos os pontos de uma circunferência e por seus 
pontos interiores. A imagem a seguir ilustra uma circunferência e um círculo. 
 
Destacamos a seguir os elementos dessas duas figuras, que possuem grande importância para a 
Geometria: 
1 – Raio 
O raio é a distância entre um ponto de uma circunferência e seu centro. O raio do círculo é a 
distância entre a borda do círculo e seu centro. 
Dizemos que um ponto é interior a uma circunferência quando a sua distância até o centro é menor 
que o raio; o ponto é externo quando a distância entre o centro e ele é maior que o raio; e, por fim, 
dizemos que um ponto pertence a uma circunferência quando sua distância até o centro é igual ao 
raio. 
O raio da circunferência (e/ou do círculo) é indispensável em cálculos, como comprimento, área etc. 
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http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/elementos-circulo-e-circunferencia.htm
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O comprimento da circunferência é dado pela seguinte fórmula: 
C = 2πr 
E a área do círculo é obtida pela fórmula a seguir: 
A = πr2 
Em ambos os casos, r é o raio da circunferência (ou do círculo) e π é uma constante de 
aproximadamente 3,1415. 
2 – Cordas 
Em uma circunferência, a corda é qualquer segmento de reta que liga dois de seus pontos. 
Atenção: o centro não é ponto da circunferência! 
Dessa maneira, as cordas, em um círculo, podem ser compreendidas como segmentos de reta que 
ligam dois pontos distintos de sua borda. 
 
3 – Diâmetro 
O diâmetro é uma corda da circunferência que contém o centro. Dessa maneira, o diâmetro é a 
maior corda possível em uma circunferência e sua medida é igual a duas vezes o raio. 
d = 2·r 
O resultado da divisão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro sempre será 
igual a uma constante, representada pela letra grega π, que é aproximadamente 3,14. Isso independe 
do tamanho da circunferência, pois seu comprimento e seu diâmetro são proporcionais e a razão 
de proporcionalidade é igual a π. 
4 – Comprimento 
 
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O comprimento de uma circunferência é a medida da própria circunferência em alguma unidade de 
medida conhecida. Esse comprimento pode ser obtido pela fórmula: 
C = 2πr 
Nessa fórmula, π é uma constante (aproximadamente 3,14) e r é a medida do raio da circunferência. 
5 – Arco 
Considere os pontos A e B sobre uma circunferência. As duas partes formadas que vão de A até B 
são chamadas de arcos da circunferência, como demonstrado na figuraa seguir: 
 
Em outras palavras, o arco é uma parte de uma circunferência limitada por dois pontos. 
6 – Setor circular 
É o equivalente ao arco, porém para o círculo. Em dados dois raios distintos de um círculo, 
o setor circular é a parte limitada por eles. 
 
O setor circular é algo que se parece com uma fatia de pizza. A parte restante também é chamada 
de setor circular. 
7 – Ângulo central 
É um ângulo cujo vértice está no centro de um círculo e os lados são seus raios. 
Um ângulo central está ligado a um arco no círculo onde foi definido. A imagem seguinte mostra um 
exemplo de ângulo central. 
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8 – Coroa circular 
A coroa circular é uma figura geométrica limitada por dois círculos que possuem o mesmo centro 
(concêntricos) de raios diferentes. Essa figura é a que mais se assemelha a um anel, como mostra a 
imagem abaixo. 
 
Congruência De Figuras Geométricas 
Figuras congruentes são aquelas que possuem lados e ângulos correspondentes com medidas 
iguais. As medidas são iguais, mas os lados e ângulos não são. É como comparar paredes e ângulos 
de duas casas distintas. As medidas podem ser iguais, mas isso não quer dizer que as paredes da 
primeira casa sejam iguais às paredes da segunda. Imagine que a primeira casa é verde e a segunda 
é branca! 
Do mesmo modo, não é possível afirmar que duas figuras congruentes são iguais. A igualdade entre 
elas é apenas entre as medidas de seus lados e de seus ângulos. Por isso, dizer que duas figuras 
são iguais significa dizer que a primeira figura é exatamente igual à segunda figura. Afirmar que duas 
figuras são congruentes é equivalente a dizer que a primeira figura possui medidas de ângulos e 
lados correspondentes de igual valor. 
 
As duas figuras acima são congruentes por serem polígonos regulares de lado 1 cm e por possuírem 
todos os ângulos iguais a 120 graus, entretanto, a imagem seguinte torna a correspondência entre 
lados e ângulos mais óbvia. 
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Imagine que o pentágono da direita é uma versão do pentágono da esquerda de cabeça para baixo. 
Observe que: 
1- O lado AB é correspondente ao lado FG e que AB = FG = 2 cm. 
2- O lado BC é correspondente ao lado GH e BC = GH = 1,41 cm. 
3- Seguindo esse raciocínio, podemos escrever outros pares de lados congruentes: CD = IH, DE = IJ 
e EA = JF. 
Com relação aos ângulos, observe que os ângulos correspondentes seguem o mesmo padrão dos 
lados. Por exemplo, o ângulo “a”, localizado no vértice A, é de 135 graus e é correspondente ao 
ângulo “f”, localizado no vértice F. Representando os ângulos pelos vértices correspondentes em 
letras minúsculas, teremos as correspondências: a = f, b = g, c = h, d = i, e = j. 
Existem figuras congruentes cujas medidas correspondentes não são tão óbvias. Repare na figura a 
seguir: 
 
Observe que os ângulos correspondentes agora ocupam posições não tão óbvias quanto 
anteriormente. Observe as relações de congruência: a = i, d = j, c = k e b = l. 
As relações de congruência entre os lados agora são as seguintes: AB = IL, BC = LK, CD = KJ e DA 
= IJ. 
Portanto, duas figuras geométricas são congruentes quando as medidas de seus lados 
correspondentes são congruentes e, além disso, quando as medidas dos ângulos 
correspondentes são congruentes. 
Congruência E Semelhança De Triângulos 
Temos que dois triângulos são congruentes: 
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos. 
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos. 
 
Casos de congruência: 
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1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes. 
 
 
2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes. 
 
3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente. 
 
4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo 
oposto ao lado. 
 
Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas 
sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração. 
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são 
congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. 
Relações Métricas No Triângulo Retângulo 
As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com 
um ângulo de 90º). 
Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo: 
 
Sendo: 
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a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º) 
b: cateto 
c: cateto 
h: altura relativa à hipotenusa 
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa 
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa 
Semelhança E Relações Métricas 
Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos 
semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens: 
 
 
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes ( ), temos as seguintes 
proporções: 
Usando que encontramos a 
proporção: 
Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção: 
Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja: 
Teorema de Pitágoras 
A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema 
usando a soma de duas relações encontradas anteriormente. 
Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo: 
Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos: 
Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como: 
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A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos. 
Exemplos 
1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo: 
 
Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y. 
Usando a relação: a = m + n 
y = 9 + 3 
y = 12 
Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 = a.n, assim: 
x2 = 12 . 3 = 36 
 
2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções 
mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo. 
Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n 
 
Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n 
a = 16 + 9 = 25 
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e c2 = a . m 
 
Fórmulas 
Na tabela abaixo, reunimos as relações métricas no triângulo retângulo. 
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Relações Métricas Nos Poligonos Regulares 
1. Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência 
 
Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência (figura 1), 
dizemos que: 
 
• o polígono está inscrito na circunferência; 
 
• a circunferência está circunscrita ao polígono. 
Quando os lados do polígono são tangentes a uma circunferência (figura 2), 
dizemos que: 
 
• opolígono está circunscrito à circunferência; 
 
• a circunferência está inscrita no polígono 
 
 
 
2. Polígonos regulares 
 
Um polígono é chamado de equiângulo quando possui todos os ângulos internos 
congruentes, e equilátero quando possui todos os lados congruentes. 
Exemplos: 
 
a) O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes. 
Logo, o retângulo é equiângulo. 
 
 
Propriedade Dos Polígonos Regulares 
 
• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as cordas consecutivas 
formam um polígono regular inscrito na circunferência. 
 
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• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as tangentes aos 
pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular circunscrito à circunferência. 
 
Na circunferência ao lado, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A circunferência ficou 
dividida em quatro arcos congruentes. 
 
As cordas consecutivas formam um quadrado inscrito na circunferência. 
 
 
As tangentes pelos pontos de divisão formam um quadrado circunscrito à circunferência. 
 
 
Desse modo, podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe um circunferência que passa 
por todos os seus vértices e uma outra que tangencia todos os seus lados. 
 
• Todo polígono regular é inscritível numa circunferência. 
 
•Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência. 
 
 
 
Elementos De Um Polígono Regular 
 
Se um polígono é regular, consideramos: 
•Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O). 
•Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele (OC). 
• Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus 
lados (OM) 
•Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do 
polígono e cujo lados são semi-retas que contêm 
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dois raios consecutivos (CÔD) 
 
Relações Métricas No Círculo 
Conceitos básicos: 
1. Uma CORDA é todo segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. 
2. Uma reta que tenha um único ponto em comum com uma circunferência é uma reta TANGENTE a 
essa circunferência. 
3. Uma reta que tenha dois pontos em comum com uma circunferência é uma SECANTE a essa 
circunferência. 
 
Relações Métricas No Círculo 
A circunferência possui algumas importantes relações métricas envolvendo segmentos internos, 
secantes e tangentes. Através dessas relações obtemos as medidas procuradas. 
Cruzamento Entre Duas Cordas 
O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos proporcionais, e a multiplicação 
entre as medidas das duas partes de uma corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes 
da outra corda. Observe: 
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Relações Métricas Na Circunferência: Relação Entre Cordas 
Relações métricas são propriedades que possibilitam o cálculo de medidas de comprimento de 
algumas figuras geométricas e de seus elementos. Assim, a partir da relaçãoentre cordas de 
uma circunferência, é possível encontrar algumas medidas do comprimento dessas cordas por meio 
de uma propriedade bem definida com cálculo simples. 
Para facilitar a compreensão dos cálculos, relembraremos, primeiro, as definições básicas 
de circunferência e corda. 
Definição De Circunferência E De Corda 
Para dado ponto O, chamado centro, a circunferência de raio r é o conjunto de pontos 
cuja distância até o ponto O é igual a r. Um de seus elementos é a corda, definida como segmento 
de reta que liga dois pontos pertencentes a uma circunferência. Assim, um diâmetro fica definido 
como a maior corda que uma circunferência possui, ou como a corda que passa pelo centro dela. 
 
Cordas no interior de uma circunferência 
Relação Entre Cordas 
Na imagem a seguir, observe a circunferência c, de raio r e centro O. Nessa figura, construímos 
duas cordas, o segmento AB e o segmento CD, que se encontram no ponto P. 
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http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-na-circunferencia-relacao-entre-cordas.htm
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Nessas circunstâncias, os segmentos formados pelas cordas são proporcionaisconforme a 
igualdade: 
AP = CP 
DP BP 
Usando a propriedade fundamental das proporções, temos: 
AP·BP = CP·DP 
Essas igualdades podem ser usadas para encontrar a medida de um dos quatro segmentos de reta 
definidos pelas cordas da circunferência quando as medidas dos outros três são conhecidas. 
Exemplo: Determine o valor de x na imagem abaixo: 
 
Solução: Basta usar uma das igualdades dadas acima para descobrir o valor de x. 
AP·BP = CP·DP 
8·3 = x·4 
24 = x 
4 
x = 6 
Demonstração Da Proporcionalidade Das Cordas 
Dada a circunferência c, cortada pelas cordas AB e CD que se cruzam no ponto P, temos a 
formação de alguns ângulos, como mostra a seguinte imagem: 
 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-na-circunferencia-relacao-entre-cordas.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-na-circunferencia-relacao-entre-cordas.htm
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Observe que construímos também os segmentos AC e BD para formar dois triângulos dentro 
da circunferência: ACP e BDP. Os ângulos formados no ponto P em destaque na figura são opostos 
pelo vértice, por isso, suas medidas são iguais. 
Os ângulos α e β também são congruentes. Isso acontece porque eles são ângulos inscritos 
da circunferência e relacionam-se ao mesmo arco. 
Como os dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então, essas figuras são semelhantes 
pelo caso de semelhança ângulo-ângulo. É por esse motivo que os lados desses triângulos são 
proporcionais. 
Área De Polígonos Regulares 
são figuras geométricas planas que são formadas por segmentos de reta a partir de uma sequência 
de pontos de um plano, todos distintos e não colineares, onde cada extremidade de qualquer um 
desses segmentos é comum a apenas um outro. 
Um polígono convexo é regular quando seus lados são todos iguais (possuem a mesma medida) e 
seus ângulos internos também são iguais. 
Na geometria plana, existemdiferentes tipos de polígonos e, para muitos deles, há uma fórmula 
matemática para se calcular sua área. 
Área De Um Triângulo Regular 
 
Um triângulo regular é também chamado de triângulo equilátero. Obtemos a sua área através da 
seguinte fórmula matemática: A=a23√4. 
Onde a é a medida do lado do triângulo. Obtemos essa fórmula da seguinte maneira: 
Considere o triângulo regular ABC, de lado a: 
 
Vamos nos concentrar em um dos triângulos retângulos que foram formados, ABD e aplicar 
o Teorema de Pitágoras. 
a2=h2+(a2)2 
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a2=h2+a24 
h2=a2−a24 
h2=3a24 
h=3a24−−−√ 
h=a3√2 
Agora, como a área de um triângulo qualquer é: A=b⋅h2, teremos: 
A=a⋅(a3√2)2=a33√2⋅12=a33√4 
Assim, em todo triângulo regular encontramos a sua área utilizando a fórmula A=a33√4. 
Área De Um Quadrado 
Um quadrado, por si só, já é regular pois, por definição, é um quadrilátero cujos lados são sempre 
iguais. 
Calculamos a sua área multiplicando a sua base pela sua altura: 
A=b⋅h 
Área De Um Hexágono Regular 
Vamos considerar um hexágono regular de lado L e apótema a. 
 
O hexágono é o único polígono regular onde todos os seus 6 triângulos são também regulares 
(equiláteros). 
Assim, para calcular a área de um dos triângulos basta utilizar a fórmula: A=a23√4. 
Como temos 6 triângulos que formam o hexágono, a sua área será, então: 
A=6⋅a23√4=3⋅a23√2 
A=3a23√2 
Fórmula Geral Para Cálculo Da Área De Qualquer Polígono Regular 
Existe uma fórmula que nos dá a área de qualquer polígono regular. A fórmula é a seguinte: 
A=n⋅L⋅a2 
Onde n é a quantidade de lados do polígono, L é a medida do lado desse polígono e a é a medida do 
apótema, quase sempre dado. 
Para chegarmos à fórmula, vamos considerar o hexágono abaixo e suponhamos que não sabemos 
da existência de uma fórmula específica pra ele (como vimos anteriormente). 
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Um hexágono é um polígono regular de 6 lados. Podemos dividir esse polígono em 6 triângulos 
idênticos. Assim, para determinar a área desse hexágono, basta determinar a área de um dos 
triângulos e, em seguida, multiplicar o resultado por 6. 
A área de um triângulo qualquer é calculada multiplicando-se a sua base pela sua altura e dividindo 
esse resultado pela metade, ou seja, A=b⋅h2. 
No caso desse hexágono, a base do triângulo em destaque será L e a altura será a, que é o apótema 
do hexágono. 
O apótema é a medida do segmento que parte do centro do polígono e forma ângulo de 90° com um 
de seus lados. Nesse caso, o apótema a desse polígono tem a mesma medida que a altura do 
triângulo em destaque. 
Assim, a área será: A=L⋅a2. 
Como o hexágono é composto por 6 triângulos iguais ao destacado, para encontrar a área do 
hexágono, devemos multiplicar a área do triângulo por 6: A=6⋅L⋅a2. 
Veja que, se fosse um polígono de 5 lados, teríamos 5 triângulos e, por isso, multiplicaríamos a área 
do triângulo por 5. O mesmo aconteceria com um polígono regular de 10 lados: teríamos 10 
triângulos e a área seria multiplicada por 10. 
Considerando, então, um polígono de n lados, teríamos n triângulos iguais e a área deveria ser 
multiplicada por n. Assim, A=n⋅L⋅a2. 
Observe que, ajeitando a fórmula para A=n⋅L⋅a2, temos que n⋅L é, na verdade, o perímetro do 
polígono. Como o perímetro é a soma de todos os lados e temos n lados iguais a L, o perímetro 
será P=n⋅L. Assim, também podemos expressar essa fórmula como: 
A=P⋅a2 
Se a medida do apótema não for dada, teremos que o encontrá-la. 
Apótema 
Para calcular o apótema vamos considerar um polígono regular de 6 lados, um hexágono, cujo lado 
mede 3 cm. 
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360o6=60o 
60o2=30o 
Primeiro precisamos saber qual será o ângulo no ponto de onde sai o apótema. Para isso, pasta 
dividir 360° pela quantidade de lados do polígono, no nosso caso, 6 lados. Assim, teremos 60°. 
O apótema sempre divide o ângulo em dois outros ângulos de mesma medida, no nosso caso, 30°. 
Agora, podemos usar algumas relações trigonométricas para encontrar o valor do apótema: 
tg(30o)=cateto opostocateto adjacente 
tg(30o)=L2a 
a⋅tg(30o)=L2 
a=L2⋅tg(30o) 
a=32⋅3√3=3⋅32⋅3√=92⋅3√ 
a=923√⋅sqrt33√=93√2⋅3=33√2 
Generalizando para o caso onde temos um polígono de lado n lados de medida L: 
O ângulo do apótema será dado por 360on. Como temos que dividir esse ângulo por 2, 
teremos: 360on2=360on⋅12=180on. 
 
Aplicando trigonometria para encontrar o apótema: 
tg(180on)=L2a 
a⋅tg(180on)=L2 
a=L2⋅tg(180on) 
Com essa fórmula do valor do apótema, a nossa fórmula A=n⋅L⋅a2 pode ser escrita como: 
GEOMETRIA PLANA 
 
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A=n⋅L⋅(L2⋅tg(180on))2=n⋅L⋅L2⋅tg(180on)2=nL22tg(180on)⋅12 
A=nL24tg(180on) 
Essa é a fórmula geral para se calcular a área de qualquer polígono regular. 
Exemplos 
1. Qual a área de um polígono regular de 12 lados, onde cada lado mede 4 cm? 
Aplicando a fórmula obtida teremos: 
A=nL24tg(180on) 
A=12⋅424tg(180o12) 
A=12⋅164tg(15o) 
A=1924⋅(2−3√) 
A=482−3√ 
A=179,13cm2 
2. Qual a área de um polígono regular de 4 lados, que tem 6 como medida de cada lado? 
Temos um quadrado de lado 6, cuja área pode ser calculada por: 
A=L2=62=36cm2 
Mas vamos calcular utilizando a fórmula obtida anteriormente: 
A=nL24tg(180on) 
A=4⋅624tg(180o4) 
A=4⋅364tg(45o) 
A=361=36cm2 
Cálculo Do Perímetro E Área De Polígonos 
Superfícies como uma mesa e sólidos geométricos como o dado, estão presentes no espaço que nos 
cerca. Realizar a medição dessas regiões pode ser necessário, para isso utilizamos o cálculo do 
perímetro e da área. 
Perímetro 
Definimos perímetro como sendo a soma das medidas dos lados de um polígono. Considere polígono 
como sendo uma figura fechada plana constituída por segmento de reta. Veja um exemplo: 
Calcule o perímetro do polígono: 
 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2017/03/perimetro-poligonos.jpg
GEOMETRIA PLANA 
 
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Pontos: A, B, C, D, E, F, G 
Segmentos de reta: AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA. 
Perímetro do polígono ABCDEFG: 
• P = 5 cm + 8 cm + 6 cm + 7 cm + 10 cm + 8 cm + 8 cm 
• P = 52 cm 
Área De Polígonos 
Utilizamos o cálculo de área para dimensionar as superfícies planas. Para cado polígono é utilizado 
uma fórmula, a unidade de medida resultante do cálculo da área é sempre elevada ao quadrado. As 
figuras geométricas planas que apresentam fórmula definida para o cálculo de área são: Retângulo, 
quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losangolo e círculo. Observe como calculamos a área 
do: retângulo, quadrado, paralelogramo e triângulo: 
Retângulo 
Área do retângulo = medida da base x medida da altura 
Ar=b⋅h 
Exemplo: 
 
Elementos do retângulo: 
• Pontos: A, B, C, D 
• Segmentos de reta: AB, BC, CD, CA 
• Segmentos paralelos: AB\\CD e AC\\BD 
Obs. Segmentos paralelos são congruentes, possuindo a mesma medida 
• Base do retângulo: BD = 10 cm 
• Altura do retângulo: CD = 5 cm 
Área do retângulo = medida da base x medida da altura 
Ar=b⋅h 
Ar=10cm⋅5cm 
Ar=50cm2 
Quadrado 
Área do quadrado = medida do lado x medida do lado 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2017/03/perimetro.jpg
GEOMETRIA PLANA 
 
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Aq=l⋅l 
Aq=l2 
Exemplo 
 
Elementos do quadrado 
• Pontos: A, B, C, B 
• Segmentos de reta: AB, BC, CD, CA 
• Segmentos paralelos: AB\\CD e AC\\BD 
• Lados do quadrado: AB = 5 cm, BC = 5 cm, CD = 5 cm, CA = 5 cm 
Área do quadrado = medida do lado x medida do lado 
Aq=l⋅l 
Aq=l2 
Aq=(5cm)2 
Aq=25cm2