Aula_03_-_Racionalização_-_CN_2024-13-15

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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 03 – NÚMEROS IRRACIONAIS; RACIONALIZAÇÃO; RADICAL DUPLO 
 
I) 
33 3
2
16 12 9− +
 
 
Comentário: 
2
√16
3
− √12
3
+ √9
3 .
√4
3
+ √3
3
√4
3
+ √3
3 =
2.( √4
3
+ √3
3
)
4+3
=
2.( √4
3
+ √3
3
)
7
 
 
 
j) 
𝑁
√𝑎
𝑛
± √𝑏
𝑛 ⇒ para “n” par, sendo maior que 2 
 
 Nesse caso, teremos que utilizar de um fator racionalizador mais extenso. 
 
Grave o quadro abaixo: 
Denominador Fator Racionalizante Racional 
n na b+ 1 2 3 2 2 1. . ...n n n n n n n n n na a b a b ab b− − − − −− + − + − a b− 
n na b− 1 2 3 2 2 1. . ...n n n n n n n n n na a b a b ab b− − − − −+ + + + + a b− 
 
Exemplo: 
I) 
4 4
1
a b+
 
 
Comentário: 
1
√𝑎
4
+ √𝑏
4 .
√𝑎3
4
− √𝑎2𝑏
4
+ √𝑎𝑏2
4
− √𝑏3
4
√𝑎3
4
− √𝑎2𝑏
4
+ √𝑎𝑏2
4
− √𝑏3
4 =
√𝑎3
4
− √𝑎2𝑏
4
+ √𝑎𝑏2
4
− √𝑏3
4
𝑎−𝑏
 
 
II) 
6
1
2 1−
 
 
Comentário: 
 
1
√2
6
−1
.
( √25
6
+ √24
6
+ √23
6
+ √22
6
+ √2
6
+ √1
6
)
( √25
6
+ √24
6
+ √23
6
+ √22
6
+ √2
6
+ √1
6
)
=
√25
6
+ √24
6
+ √23
6
+ √22
6
+ √2
6
+ √1
6
2−1
 
 
=
√25
6
+ √24
6
+ √23
6
+ √22
6
+ √2
6
+ √1
6
1
 
 
k) 
𝑁
√𝑎
𝑛
± √𝑏
𝑛 ⇒ para “n” ímpar, maior que 3. 
 
Perceba que: 
Denominador Fator Racionalizante Racional 
n na b+ 1 2 2 1. ...n n n n n n n na a b ab b− − − −− + − + a b+ 
n na b− 1 2 2 1. ...n n n n n n n na a b ab b− − − −+ + + + a b− 
 
 
 
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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 03 – NÚMEROS IRRACIONAIS; RACIONALIZAÇÃO; RADICAL DUPLO 
 
 
Exemplo: 
5
1
2 1+
 
 
Comentário: 
 
1
√2
5
+1
.
( √24
5
− √23
5
+ √22
5
− √2
5
+ √1
5
)
( √24
5
− √23
5
+ √22
5
− √2
5
+ √1
5
)
=
( √24
5
− √23
5
+ √22
5
− √2
5
+ √1
5
)
2+1
⇒ 
 
( √24
5
− √23
5
+ √22
5
− √2
5
+ √1
5
)
3
 
 
II) 
5
2
2 1−
 
 
Comentário: 
2
√2
5
−1
.
( √24
5
+ √23
5
+ √22
5
+ √2
5
+ √1
5
)
( √24
5
+ √23
5
+ √22
5
+ √2
5
+ √1
5
)
=
( √24
5
+ √23
5
+ √22
5
+ √2
5
+ √1
5
)
2−1
⇒ 
 
(√24
5
+ √23
5
+ √22
5
+ √2
5
+ √1
5
) 
 
 
 
Nada impede de que o denominador, a depender da questão, seja igual aos fatores 
racionalizadores acima. Caso isso aconteça, basta fazer o caminho inverso da tabela. 
 
3.0 – Radical Duplo 
3.1 – Conceito 
É todo radical que tem como característica, em seu interior, outros radicais sendo operados pela 
adição ou subtração. 
Sua forma genérica de representação é a seguinte: 
 
 
 
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AULA 03 – NÚMEROS IRRACIONAIS; RACIONALIZAÇÃO; RADICAL DUPLO 
 
√𝐴 ± √𝐵
𝑛𝑚
 
 
Sendo: 
m→ índice do radical primário 
n→ índice do radical secundário 
A→ constante racional 
B→ constante irracional 
 
Ressalto que todo radical duplo pode ser transformado em uma soma ou subtração de radicais 
simples. 
Para encontrarmos esta transformação, é necessário seguir alguns caminhos. Vamos a eles! 
Como dito anteriormente, todo radical duplo pode ser transformado numa soma ou subtração de 
radicais simples. 
A forma comum de representação é: 
√𝐴 ±√𝐵 = √𝑥 ±√𝑦 
 
Tenha em mente que x e y são números racionais e que o operador matemático (adição ou 
subtração) será determinado pelo sinal de dentro do radical duplo. Assim: 
 
A B x y
A B x y
+ = +
− = −
 
 
3.2 – Transformação de um Radical Duplo em Simples 
A partir de agora, mostrarei alguns dos métodos existentes para transformar um radical duplo numa 
soma e subtração de radicais simples. 
 
1° Método: Sendo A e B dois elementos racionais positivos, temos que: 
√𝐴 +√𝐵 = √𝑥 +√𝑦 
 
√𝐴 −√𝐵 = √𝑥 −√𝑦 
 
- Somando as duas equações, temos: