C1 Nota de Aula 17 - 2023_2

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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula nº 17: Extremos Relativos e Absolutos e Método do Intervalo Fechado.
Objetivos da Aula
� De�nir e determinar Extremos Absolutos e Relativos de uma função.
� Exibir o Método do Intervalo Fechado para determinar extremos absolutos.
Extremos Relativos e Absolutos
De�nição 1 (Extremos Absolutos ou Globais). Seja x = p um número no domínio de uma função f . Então
x = p é chamado o
(i) máximo absoluto de f se f(p) ≥ f(x) para todo x em Df .
(ii) mínimo absoluto de f se f(p) ≤ f(x) para todo x em Df .
Nestas de�nições, o número f(p) é denominado o valor máximo (ou mínimo) absoluto ou global de f
e o ponto (p, f(p)) é chamado ponto de máximo (ou mínimo) global ou absoluto de f . Os máximos e
mínimos absolutos ou globais de uma função recebem também o nome de extremos absolutos ou globais da
função.
Observe o grá�co abaixo.
Figura 1: Grá�co da função f .
Note que o grá�co da função exibida possui máximo absoluto em x = c e mínimo absoluto em x = d.
Os pontos (d, f(d)) e (c, f(c)) são, respectivamente, o ponto mais baixo e o ponto mais alto no grá�co.
Exemplo 1. O grá�co da função quadrática f(x) = x2 − 4x+ 3 é mostrado na �gura a seguir.
1
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Observe que em x = 2, temos f(x) = −1, que é o valor mínimo absoluto da função.
�
Exemplo 2. Observe o grá�co da função f(x) = x3 − 3.
Note que essa função não possui pontos máximo e mínimo absolutos.
�
De�nição 2 (Extremos Relativos ou Locais). Seja x = p um número no domínio de uma função f . Então
x = p é chamado o
(i) máximo relativo ou local de f se f(p) ≥ f(x) para todo x em (p− δ, p+ δ), para algum δ > 0.
(ii) mínimo relativo ou local de f se f(p) ≤ f(x) para todo x em (p− δ, p+ δ), para algum δ > 0.
Nestas de�nições, o número f(p) é denominado o valor máximo (ou mínimo) relativo ou local de f e o
ponto (p, f(p)) é chamado ponto de máximo (ou mínimo) relativo ou local de f . Os máximos e mínimos
relativos ou locais de uma função recebem também o nome de extremos relativos ou locais da função.
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Observe o grá�co abaixo.
Figura 2: Grá�co da função f .
Note que o grá�co da função exibida possui máximo local em x = a e mínimo local em x = b. Os
pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) são, respectivamente, o ponto mais baixo e o ponto mais alto, localmente, no
grá�co.
Exemplo 3. Considere a função f(x) = x3 − 3x. Note que se tomamos δ = 0, 5, conseguimos obter um
intervalo com centro em x = −1 e outro com centro em x = 1, ambos com raio δ, tal que esses pontos
sejam, respectivamente, máximo e mínimo locais de f .
Figura 3: Grá�co da função f .
Observando o grá�co acima, podemos perceber que a imagem dos elementos x pertencentes ao intervalo[
1
2
,
3
2
]
são sempre maiores que a imagem de x = 1, garantindo que x = 1 é mínimo local. De modo análogo,
podemos veri�car que x = −1 é máximo local.
Observação 1. Nem toda função possui extremos absolutos, existe porém um teorema do cálculo que
garante que toda função contínua de�nida em um intervalo fechado [a, b] tem extremos absolutos neste
intervalo.
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Teorema 1 (Weierstrass). Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume um valor
máximo absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto f(d) em certos números c e d em [a, b].
O Teorema de Weierstrass (também chamado de Teorema do Valor Extremo) garante a existência de
valores máximo e mínimo absolutos no intervalo [a, b] mas não diz como encontrá-los. Gra�camente nos
pontos máximos e mínimos quando existe reta tangente passando por eles a mesma é paralela ao eixo dos
x, isto é, f ′(c) = 0 e f ′(d) = 0. O teorema a seguir garante isso para funções diferenciáveis.
Teorema 2 (Fermat). Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f ′(c) existir, então f ′(c) = 0 em
[a, b].
Exemplo 4. A função f(x) = xex possui um mínimo local em x = −1 e note que a reta tangente ao
grá�co de f no ponto (−1,−e−1) é paralela ao eixo x, isto é, f ′(−1) = 0.
�
Uma informação importante é a de que a função não precisa ser derivável no ponto para que esse seja
um ponto de máximo e mínimo. Para isso basta notar que na de�nição de máximos e mínimos (tanto
absolutos quanto relativos) não foi usado o conceito de derivada. O seguinte exemplo ilustra esse fato.
Exemplo 5. A função f(x) = |x| tem seu valor mínimo (local e absoluto) em 0, mas o valor não pode ser
encontrado por considerar f ′(x) = 0 porque, f ′(0) não existe. Observe o grá�co.
�
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Observe também que a recíproca do Teorema de Fermat não é válida, pois podemos obter funções f
que em x = c, (c ∈ Df ), tenhamos f ′(c) = 0, mas x = c não é máximo nem mínimo. Veja o exemplo
abaixo.
Exemplo 6. A função f(x) = x3 tem derivada f ′(x) = 3x2 e f ′(0) = 0, mas c = 0 não é máximo e nem
mínimo. Observe gra�camente:
�
Contudo, o Teorema de Fermat sugere ao procurar os extremos de uma função, devemos pelo menos
começar procurando nos números c, c ∈ Df , onde f ′(c) = 0 ou onde f ′(c) não existe. Esses números são
chamados de números críticos.
De�nição 3 (Número Crítico). Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f tal
que ou f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe. Se x = c é um número crítico de f , então o ponto (c, f(c)) é
chamado ponto crítico.
Exemplo 7. Encontre os pontos críticos de f(x) = x2 − 4x+ 3.
Solução: Temos que o domínio de f é o conjunto R. Derivando f(x) e igualando a zero, temos:
2x− 4 = 0 ⇒ x = 2.
Então c = 2 é um número crítico. Como f(2) = −1, então o ponto P = (2,−1) é um ponto crítico de
f .
�
Exemplo 8. Encontre os pontos críticos de f(x) = x+
1
x
.
Solução: Como f ′(x) = 1 − 1
x2
. Fazendo f ′(x) = 0, temos que x = ±1. Substituindo esses valores na
função, obtemos P = (1, 2) e Q = (−1,−2), pontos críticos de f .
�
Em termos de pontos críticos, o Teorema de Fermat pode ser reescrito da seguinte forma:
Teorema 3 (de Fermat). Se f tiver um máximo ou mínimo local em x = c, então (c, f(c)) é um ponto
crítico de f .
A próxima seção apresentará um método para determinar máximos e mínimos absolutos de uma função
f em um intervalo fechado. Deixaremos os teoremas que determinam os extremos locais para as próximas
aulas.
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O Método do Intervalo Fechado
Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo
fechado [a, b]:
1. Encontre os valores de f nos números críticos de f em um intervalo aberto (a, b).
2. Encontre os valores de f em x = a e x = b.
3. O maior valor entre as etapas 1ª e 2ª é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores
é o valor mínimo absoluto.
Exemplo 9. Encontre os valores máximo e mínimos absoluto da função f(x) = x3 − 3x2 + 1 no intervalo[
−1
2
, 4
]
.
Solução: Note que f é uma função polinomial, logo é contínua no intervalo dado. Dessa forma, podemos
utilizar o método do intervalo fechado. Temos que:
f(x) = x3 − 3x2 + 1 ⇒ f ′(x) = 3x(x− 2).
Uma vez que f ′(x) existe para todo x, os únicos pontos críticos ocorrem quando f ′(x) = 0, isto é,
x = 0 ou x = 2. Note que cada um desses números críticos está no intervalo
(
−1
2
, 4
)
. Os valores de f
nestes números críticos são:
f(0) = 1 e f(2) = −3.
Os valores de f nas extremidades do intervalo são:
f
(
−1
2
)
=
1
8
e f(4) = 17.
Comparando esses quatro números, vemos que o valor máximo absoluto é f(4) = 17 e o valor mínimo
absoluto é f(2) = −3. Observe gra�camente:
�
Exemplo 10. Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x) = x− 2 cos(x) no intervalo
[−π, π].
Solução: Note que f é contínua, pois é a soma de duas funções contínuas. Utilizando o método do
intervalo fechado, temos:
f(x) = x− 2 cos(x) ⇒ f ′(x) = 1 + 2 sen(x).
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Uma vez que f ′(x) existe para todo x, os únicospontos críticos ocorrem quando f ′(x) = 0, isto é,
x = −π
6
. Como esta raiz está no intervalo dado, temos que o valor de f neste número crítico é
f
(
−π
6
)
= −π
6
−
√
3 ≈ −2, 25.
Os valores de f nas extremidades do intervalo são
f(−π) = 2− π ≈ −1, 41 e f(π) = π + 2 ≈ 5, 14.
Comparando esses quatro números, vemos que o valor máximo absoluto é f(π) = 5, 14 e o valor mínimo
absoluto é f
(
−π
6
)
= −2, 25. Observe gra�camente:
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as de�nições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.1 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 4.1 do livro texto.
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