C1 Nota de Aula 27 - 2023_2

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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula nº 27: Teorema do Valor Médio para Integrais, Teorema Fundamental do Cálculo II e
Funções dadas por uma integral.
Objetivos da Aula
� Apresentar as funções dadas por uma integral;
� Apresentar o Teorema do Valor Médio para Integrais;
� Apresentar o Teorema Fundamental do Cálculo II;
� De�nir Integral Inde�nida.
1 Funções de�nidas por uma integral
Considere a integral ∫ b
a
f(t) dt
Na aula anterior aprendemos que, sob certas condições sobre f , podemos calcular o valor da integral e
que o mesmo é um número. Contudo, se substituirmos o limite superior b por uma variável x, x ∈ [a, b],
podemos entender a integral como sendo uma função, dada por
F (x) =
∫ x
a
f(t) dt,
que associa a cada valor de x ao número F (x). Dessa forma, obtemos uma função que é dada por uma
integral. Vejamos um exemplo.
Exemplo 1. Considere a função
F (x) =
∫ x
0
cos(t) dt
e determine F (0), F
(π
6
)
, F
(π
4
)
.
Solução: Substituindo x por cada um dos valores mencionados acima na integral, obtemos
F (0) =
∫ 0
0
cos(t) dt = 0
F
(π
6
)
=
∫ π
6
0
cos(t) dt = sen
(π
6
)
− sen (0) = 1
2
F
(π
4
)
=
∫ π
4
0
cos(t) dt = sen
(π
4
)
− sen (0) =
√
2
2
.
�
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I Aula nº 27
Poderíamos entender também o valor de F como sendo o valor da área compreendida entre o eixo t e
o grá�co da função f(t) = cos(t) entre as retas t = 0 e t = x, como mostrado abaixo:
Uma forma de de�nirmos a função logarítmica f(x) = ln(x) é pela função dada por integral
ln(x) =
∫ x
1
1
t
dt,
e entendendo que os valores dessa função é o valor da área abaixo de g(t) =
1
t
entre t = 1 e t = x, obtemos
que
Observação 1. No ensino médio, de�nimos a função logarítmica após de�nirmos a função exponencial,
como sendo a inversa desta última. Contudo, pode ocasionar uma dúvida em como de�nir o valor de números
como eπ, por isso, alguns autores preferem a abordagem contrária, isto é, de�nir a função logarítmica
utilizando a integral e após isso, de�nir a função exponencial como sendo a inversa da primeira.
2 Teorema Fundamental do Cálculo II
Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo II). Se f for contínua em [a, b], então a função g de�nida
por
g(x) =
∫ x
a
f(t) dt a ≤ x ≤ b
é contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e g′(x) = f(x).
Observação 2. O Teorema Fundamental do Cálculo II nos diz basicamente que as funções dadas por
integral da forma
g(x) =
∫ x
a
f(t) dt
são primitivas de f .
Exemplo 2. Encontre a derivada da função g(x) =
∫ x
0
√
1 + t2 dt.
Solução: Uma vez que f(t) =
√
1 + t2 é contínua, a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo fornece
g′(x) =
√
1 + x2.
�
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Exemplo 3. Encontre
d
dx
∫ x4
1
sec(t) dt.
Solução: Seja u = x4, temos
d
dx
∫ x4
1
sec(t) dt =
d
dx
∫ u
1
sec(t) dt
=
d
du
[∫ u
1
sec(t) dt
]
du
dx
= sec(u)
du
dx
= 4x3 sec(x4).
�
Exemplo 4. Se
xsen (πx) =
∫ x2
0
f(t) dt,
onde f é uma função contínua, calcule f(4).
Solução: Derivando ambos os membros, temos
d
dx
[xsen (πx)] =
d
dx
[∫ x2
0
f(t) dt
]
sen (πx) + πx cos(πx) = 2xf(x2).
Para x = 2, temos
sen (πx) + πx cos(πx) = 2xf(x2) ⇒ sen (2π) + 2π cos(2π) = 4f(4) ⇒ f(4) = π
2
.
�
Em aulas anteriores, vimos que, se uma função f possui duas primitivas F e G, de�nidas sobre um
mesmo intervalo, então elas são iguais a menos de uma constante, isto é, F (x) = G(x) + C, então pelo
Teorema Fundamental do Cálculo II, se tomarmos dois pontos quaisquer x0 e x1 em um intervalo [a, b]
contido no domínio de f , as funções
F (x) =
∫ x
x0
f(t) dt e G(x) =
∫ x
x1
f(t) dt
que são primitivas de f (de�nidas no intervalo [a, b]), são iguais a menos de uma constante (nesse caso, você
seria capaz de dizer quanto vale a constante C, tal que F (x) = G(x) + C?). Desse modo, representamos
as primitivas utilizando a notação de integral sem os limites de integração e substituindo a variável muda t
por x, da seguinte forma: ∫
f(x) dx = F (x) + C.
Essa �integral� (que, de fato, não é uma integral, mas sim uma notação pra designar a família de
primitivas da função f) é chamada de integral inde�nida.
Exemplo 5. Determine a primitiva da função f(x) =
sen (x)
cos2(x)
.
Solução: Note que∫
sen (x)
cos2(x)
dx =
∫
sen (x)
cos(x)
1
cos(x)
dx =
∫
tg (x) sec(x) dx = sec(x) + C.
�
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Cálculo I Aula nº 27
Exemplo 6. Se deixarmos cair uma pedra, podemos admitir que a resistência do ar é desprezível. Segundo
essa suposição, experimentos mostram que a aceleração desse movimento é constante e igual a chamada
aceleração da velocidade g = 9, 8m/s2. Determine a função posição x = x(t) em relação ao tempo da pedra.
Solução: Como a aceleração é constante e igual a g, temos que
a(t) = g.
Já sabemos que a velocidade é uma primitiva da aceleração, então
v(t) =
∫
a(t) dt =
∫
g dt = gt+ C1.
Como a pedra foi solta, então v(0) = 0. Logo,
v(0) = 0 ⇒ g · 0 + C1 = 0 ⇒ C1 = 0.
Desse modo,
v(t) = gt.
Também sabemos que a função posição é uma primitiva da função velocidade, logo,
x(t) =
∫
v(t) dt =
∫
gt dt =
gt2
2
+ C2.
Considerando a posição x = 0 como sendo aquela de onde a pedra cai, temos que x(0) = 0, e desse
modo, temos que
x(0) = 0 ⇒ g · 0
2
2
+ C2 = 0 ⇒ C2 = 0.
Portanto,
x(t) =
gt2
2
.
�
3 Teorema do Valor Médio para Integrais
De�nição 1 (Valor Médio de uma Função). O valor médio de uma função f no intervalo [a, b] é de�nido
por:
fmed =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx.
Exemplo 7. Encontre o valor médio da função f(x) = 1 + x2 no intervalo [−1, 2].
Solução: Com a = −1 e b = 2, temos
fmed =
1
2− (−1)
∫ 2
−1
(1 + x2) dx =
1
3
[
x+
x3
3
]2
−1
= 2.
�
Exemplo 8. O custo unitário C = C(x) para produzir um certo artigo num período de 10 anos é dado
por C(x) = 25− 0, 2x+ 0, 5x2 + 0, 03x3, onde x é o tempo em meses. Determine o custo unitário médio
durante o período.
Solução: Note que 0 ≤ x ≤ 120, logo
Cmed =
1
120− 0
∫ 120
0
(25− 0, 2x+ 0, 5x2 + 0, 03x3) dx = 15.373.
�
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Exemplo 9. Uma distribuidora estoca 24000 caixas de seu principal produto para as vendas de natal.
Em geral, as vendas são baixas no início do mês de dezembro e à medida que se aproxima o dia 24,
as vendas aumentam de tal modo que após x dias desde primeiro de dezembro o estoque é dado por
f(x) = 24000− 3x3, 1 ≤ x ≤ 20. Determine o número médio de caixas disponível no período de 20 dias.
Solução: Neste caso, a = 1 e b = 20. Temos que
fmed =
1
20− 1
∫ 20
1
(24000− 3x3) dx = 70737
4
= 17684, 25.
�
Teorema 2 (Teorema do Valor Médio para Integrais). Se f for contínua em [a, b], então existe um número
c em [a, b] tal que
f(c) = fmed =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx,
ou seja, ∫ b
a
f(x) dx = f(c)(b− a).
Exemplo 10. No Exemplo 7, calculamos o fmed=2 para a função f(x) = 1 + x
2. Como esta função é
contínua no intervalo [−1, 2], o Teorema do Valor Médio para integrais indica que existe um número c em
[−1, 2] tal que ∫ 2
−1
(1 + x2) dx = f(c)[2− (−1)].
Neste caso particular, podemos encontrar c:
1 + c2 = 2⇔ c = ±1.
�
Do teorema do Valor Médio para integrais, se f é contínua em [a, b], então existe c ∈ (a, b) tal que
f(c) =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx
que pode ser escrito na forma
f(c)(b− a) =
∫ b
a
f(x) dx.
Geometricamente, podemos entender essa equação como sendo a igualdade entre as áreas de um
retângulo cuja base é o comprimento do intervalo [a, b] e altura f(c) e a área da região abaixo do grá�co
de f , acima do eixo x entre as retas x = a e x = b. Observe abaixo.
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Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as de�nições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 350− 356 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 357− 359 do livro texto.
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