C2 Lista Semanal 5 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO II
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 5
Questão 1. Calcule as derivadas parciais pela definição, o vetor gradiente, e encontre
fx(1, 3) e fy(1, 3) para cada uma das funções:
a) f(x, y) = 4x2 − 2xy + 3.
b) f(x, y) = x3 + 3xy2 − y2.
Solução: Temos que as derivadas parciais de f em relação às suas variáveis são
definida por
∂f
∂x
(x, y) = lim
h→0
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
e
∂f
∂y
(x, y) = lim
h→0
f(x, y + h)− f(x, y)
h
.
Então,
a) 
∂f
∂x
(x, y) = lim
h→0
4(x+ h)2 − 2(x+ h)y + 3− 4x2 + 2xy − 3
h
= 8x− 2y;
∂f
∂y
(x, y) = lim
h→0
4x2 − 2x(y + h) + 3− 4x2 + 2xy − 3
h
= −2x.
Agora, temos o vetor gradiente que é
∇f(x, y) = (8x− 2y,−2x)
e temos fx(1, 3) = 2 e fy(1, 3) = −2.
b) 
∂f
∂x
(x, y) = lim
h→0
(x+ h)3 + 3(x+ h)y2 − y2 − x3 − 3xy2 + y2
h
= 3x2 + 3y2;
∂f
∂y
(x, y) = lim
h→0
x3 + 3x(y + h)2 − (y + h)2 − x3 − 3xy2 + y2
h
= 6xy − 2y.
Agora, temos o vetor gradiente que é
∇f(x, y) = (3x2 + 3y2, 6xy − 2y)
e temos fx(1, 3) = 30 e fy(1, 3) = 12.
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Universidade Federal do Pará
Cálculo II Lista de Exercícios 5
Questão 2. A entropia por partícula s de um gás ideal monoatômico é dada pela
equação de Sackur-Tetrode:
s(u, v) = k
[
ln
(
v
(
4πmu
3h2
)3/2)
+
5
2
]
,
onde u é a energia interna por partícula e v o volume total por partícula e k, m e
h são constantes positivas. De acordo com a termodinâmica, s deve ver uma função
côncava de suas variáveis, e uma forma de garantir isso é que se tenha
∂2s
∂u2
< 0
e
∂2s
∂v2
< 0. Verifique se a função s dada satisfaz as condições acima, ou então
indique quais relações entre as variáveis e constantes devem ser satisfeitas para que as
condições de concavidade sejam válidas.
Solução: Note que podemos escrever
s(u, v) = k
[
ln(v) +
3
2
ln(u)
]
+ C,
onde C é uma constante, isto é, não depende de u ou v.
Logo, temos:
∂s
∂u
=
3k
2u
,
∂s
∂v
=
k
v
.
Portanto, seguem as segundas derivadas:
∂2s
∂u2
= − 3k
2u2
,
∂2s
∂v2
= − k
v2
.
Assim, contanto que tenhamos u > 0 e v > 0, temos que a função s dada satisfaz
as condições de concavidade.
Questão 3. Considere um triângulo retângulo de catetos a e b e seja α o ângulo
adjacente a a. Calcule
∂α
∂a
e
∂α
∂b
e aplique ao caso a = 1, b = 2.
Solução: Uma vez que
cos(α) =
a√
a2 + b2
,
derivamos usando a regra da cadeia para obter:
− sen(α)∂α
∂a
=
1√
a2 + b2
− a
2√
(a2 + b2)3
=
b2√
(a2 + b2)3
.
Como sen(α) =
b√
a2 + b2
, obtemos:
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Cálculo II Lista de Exercícios 5
∂α
∂a
= − b
a2 + b2
.
Analogamente,
− sen(α)∂α
∂b
= − ab√
(a2 + b2)3
.
Como sen(α) =
b√
a2 + b2
, obtemos:
∂α
∂b
=
a
a2 + b2
.
Aplicando os valores mencionados, obtemos:
∂α
∂a
= −2
5
∂α
∂b
=
1
5
.
Questão 4. Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais
∂z
∂u
,
∂z
∂v
e
∂z
∂w
quando u = 1, v = 2 e w = 1, em que z = x+ 3y2, x = 2uv − 2w3 e y = veu.
Solução: Seja z = x+ 3y2, x = 2uv − 2w3 e y = veu

∂z
∂u
=
∂z
∂x
.
∂x
∂u
+
∂z
∂y
.
∂y
∂u
= 2v + 6(veu)2;
∂z
∂v
=
∂z
∂x
.
∂x
∂v
+
∂z
∂y
.
∂y
∂v
= 2u+ 6v(eu)2;
∂z
∂w
=
∂z
∂x
.
∂x
∂w
+
∂z
∂y
.
∂y
∂w
= −6w2.
Fazendo u = 1, v = 2 e w = 1, temos

∂z
∂u
= 2.2 + 6(2.e1)2 = 4 + 24e2
∂z
∂v
= 2.1 + 6.2.(e1)2 = 2 + 12e2
∂z
∂w
= −6.1 = −6.
Questão 5. Os semi-eixos a e b e a altura h de um cilindro elíptico estão variando no
tempo. Em um determinado instante, as dimensões são a = 1m, b = h = 2m, a e b
estão aumentando a uma taxa de 2m/s enquanto que h está decrescendo a uma taxa
de 3m/s. Nesse instante, calcule a taxa e variação (a) do volume e (b) da área lateral
do cilindro elíptico.
Nota: use a expressão L ≈ πb
(
3
2
+
1
2
a2
b2
)
para o comprimento de uma elipse.
3
Cálculo II Lista de Exercícios 5
Solução: O volume do cilindro elíptico é
V (a, b, h) = πabh.
Logo, temos:
dV
dt
=
∂V
∂a
da
dt
+
∂V
∂b
db
dt
+
∂V
∂h
dh
dt
= πbh
da
dt
+ πah
db
dt
+ πab
dh
dt
= π(2 · 2 · 2 + 1 · 2 · 2 + 1 · 2 · (−3))m3/s
= 6πm3/s.
Já a área lateral é:
A(a, b, h) = Lh ≈ π
(
3
2
bh+
1
2
a2h
b
)
.
Logo, temos:
dA
dt
=
∂A
∂a
da
dt
+
∂A
∂b
db
dt
+
∂A
∂h
dh
dt
≈ πah
b
da
dt
+ πh
(
3
2
− 1
2
a2
b2
)
db
dt
+ π
(
3
2
b+
1
2
a2
b
)
dh
dt
≈ π
[
1 · 2
2
· 2 + 2 ·
(
3
2
− 1
2
12
22
)
· 2 +
(
3
2
· 2 + 1
2
12
2
)
· (−3)
]
m2/s
≈ −9
4
πm2/s.
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