C2 Lista Semanal 12 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO II
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 12
Questão 1. Calcule as integrais sobre as regiões retangulares:
a)
∫ 2
1
∫ 4
2
(4x2 + 6y2)dydx
b)
∫ 2
1
∫ π
0
sen(x)
y3
dxdy
Solução:
a)
∫ 2
1
∫ 4
2
(4x2 + 6y2)dydx =
∫ 2
1
(4x2y + 6y3
3
)
∣∣∣∣∣
4
2
 dx
=
∫ 2
1
[
16x2 +
384
3
− (8x2 + 48
3
)
]
dx
=
∫ 2
1
(
8x2 +
336
3
)
dx
=
(
8x3
3
+ 112x
) ∣∣∣∣∣
2
1
=
392
3
.
b) ∫ 2
1
∫ π
0
sen(x)
y3
dxdy =
∫ 2
1
[(
−cos(x)
y3
) ∣∣∣∣∣
π
0
]
dy
=
∫ 2
1
(
−cos(π)
y3
+
cos(0)
y3
)
dy
=
∫ 2
1
(
2
y3
)
dy
=
(
− 2
2y2
) ∣∣∣∣∣
2
1
=
3
4
.
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo II Lista de Exercícios 12
Questão 2. Calcule a integral dupla:∫∫
R
(x+ y) dx dy
onde R é a região delimitada pelos eixos x e y e pelas retas x = 0, x = 2 e y = 0,
y = 3.
Solução: Vamos resolver essa integral:
∫∫
R
(x+ y) dx dy =
∫ 3
0
∫ 2
0
(x+ y) dx dy
=
∫ 3
0
[
x2
2
+ xy
]2
0
dy
=
∫ 3
0
(
22
2
+ 2y
)
dy
=
∫ 3
0
(2 + 2y) dy
=
[
2y + y2
]3
0
= (2(3) + (3)2)− (2(0) + (0)2)
= 6 + 9− 0
= 15
Portanto, o valor da integral dupla é 15.
Questão 3. Calcule a integral dupla da função f(x, y) = x2+2xy na região R, onde
R é o triângulo com vértices em (0, 0), (1, 0) e (0, 1).
Solução: Podemos resolver essa integral usando o Teorema de Fubini, que permite
calcular a integral dupla através da integração iterada.
Primeiro, vamos determinar os limites de integração para x e y. Observando a
região R, podemos ver que x varia de 0 a 1 e y varia de 0 a 1− x, pois o triângulo é
delimitado pelos eixos x e y e pela reta y = 1− x.
Agora, podemos escrever a integral dupla como uma integração iterada:∫∫
R
(x2 + 2xy) dx dy =
∫ 1
0
∫ 1−x
0
(x2 + 2xy) dy dx
Vamos começar integrando em relação a y primeiro:∫ 1−x
0
(x2 + 2xy) dy =
[
x2y + xy2
]1−x
0
= x2(1− x) + x(1− x)2
Agora, temos uma integral em relação a x:∫ 1
0
(
x2(1− x) + x(1− x)2
)
dx
Podemos simplificar essa expressão:∫ 1
0
(
x2 − x3 + x− 2x2 + x3
)
dx =
∫ 1
0
(x− x2) dx
2
Cálculo II Lista de Exercícios 12
Integrando, temos: [
x2
2
− x
3
3
]1
0
=
1
2
− 1
3
=
1
6
Portanto, a integral dupla da função f(x, y) = x2 + 2xy na região R é 1
6
.
Questão 4. Esboce o sólido cujo volume é dado por∫ 3
1
∫ x+2
0
(x+ y)dydx.
Solução: Vamos começar encontrando as coordenadas no plano xy que definem a
base do sólido:
• O limite inferior de integração de x é 1. Substituindo esse valor na equação do
plano superior de y = x+ 2, obtemos o ponto (1, 3, 0).
• O limite superior de integração de x é 3. Substituindo esse valor na equação do
plano superior de y = x+ 2, obtemos o ponto (3, 5, 0).
Agora, vamos considerar as variações nas coordenadas x e y dentro das integrações
para obter os outros vértices, isto é, quando y = 0. Teremos então (1, 0, 0) e (3, 0, 0).
Para a base do sólido, temos os seguintes vértices:
(1, 0, 0) , (3, 0, 0) , (1, 3, 0) e (3, 5, 0).
x
y
1 3
3
5
Agora, vamos adicionar a coordenada z usando a função z = x + y que será a base
superior do poliedro:
(1, 0, 1), (3, 0, 3), (1, 3, 4) e (3, 5, 8).
Portanto, os 8 vértices que definem o sólido são:
(1, 0, 0), (3, 0, 0), (1, 3, 0), (3, 5, 0), (3, 0, 3), (1, 0, 1), (1, 3, 4) e (3, 5, 8).
O sólido formado no R3, veja
3
Cálculo II Lista de Exercícios 12
Figure 1: Sólido formado pela interseção dos planos.
Questão 5. Calcule a integral dupla da função f(x, y) = ex sin(y) na região R, onde
R é o retângulo delimitado pelos pontos (0, 0), (a, 0), (0, b) e (a, b), onde a > 0 e
b > 0.
Solução: Para resolver essa integral dupla, podemos utilizar o Teorema de Fubini e
realizar a integração iterada.
Vamos começar integrando em relação a x, com limites de integração de 0 a a de
acordo com a largura do retângulo:∫ a
0
ex sin(y) dx
Agora, temos uma integral em relação a y:∫ b
0
∫ a
0
ex sin(y) dx dy
Integrando em relação a x, temos:∫ b
0
[ex sin(y)]a0 dy =
∫ b
0
(ea sin(y)− sin(y)) dy
Agora, podemos integrar em relação a y:
[−ea cos(y) + cos(y)]b0 = (−e
a cos(b) + cos(b))− (−ea + 1)
Portanto, a integral dupla da função f(x, y) = ex sin(y) na região R é
(−ea cos(b) + cos(b))− (−ea + 1).
4