Última semana - Revisão final - Cálculo II - MCA502

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Material de Revisão – Cálculo II - [MCA502] 
 
 
Introdução 
 
A disciplina de Cálculo II tem como principal objetivo o estudo de três grandes 
teoremas: Green, Gauss e Stokes. Porém, para a realização deste estudo necessitamos do 
aprendizado de Integrais Duplas, Triplas, de Linha e de Superfícies, parametrização de 
superfícies, campos vetoriais e escalares. 
Esta disciplina inicia-se então com o estudo desses temas preliminares para que 
ao final, os três principais teoremas acima mencionados sejam entendidos e aplicados à 
resolução de problemas. Também é de grande importância para o bom entendimento de 
todos os assuntos abordados nesta ementa, o conhecimento de Vetores, Cônicas e 
Quádricas da disciplina de Geometria Analítica. 
Neste texto, faremos um breve apanhado das principais definições e resultados dos 
temas abordados nesta disciplina, buscando responder aos principais questionamentos dos 
fóruns. Aproveito para enfatizar que a aplicabilidade prática da disciplina será estratificada 
como tarefas de revisão, norteando os estudos onde os alunos precisam mais reforçar os 
conhecimentos para a prova. 
Neste contexto, a seguir, são apresentados por Semana Didática, quais seriam os 
tópicos de maior atenção e que devem ser reforçados como um roteiro de estudos para a 
prova. 
 
 
 
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Semana 1 
 
Os materiais disponibilizados nesta semana têm como principal papel a 
apresentação ao aluno das funções de várias variáveis, bem como dos cálculos realizados 
com essas funções. 
Os conceitos de limite, continuidade, derivadas e regra da cadeia vistos na 
disciplina de Cálculo I, são aqui refeitos considerando agora funções de várias variáveis. 
Alguns conceitos novos como: curva e superfícies de nível, derivadas parciais e 
vetor gradiente são apresentados e utilizados na resolução de exercícios. 
A definição de limite e continuidade para funções de várias variáveis se assemelha 
a vista em Cálculo I para funções de uma única variável, modificando apenas a tendencia 
do limite que agora passa a ser um par ordenado ou terna ordenada, dependendo do 
espaço trabalhado. 
Quando se trata das derivadas de funções de várias variáveis, apesar de agora 
receber um nome especial “derivadas parciais”, o cálculo é realizado considerando apenas 
uma única variável (a variável em questão) e fazendo o restante ser constante, por exemplo: 
a derivada 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2𝑦 − 5𝑥𝑦3 é calculada considerando 𝑥 como variável 
e 𝑦 como constante, ou seja, 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= (2𝑦) ⋅ 2𝑥 − (5𝑦3) ⋅ 1 = 4𝑥𝑦 − 5𝑦3. Verifique que dentro 
dos parênteses foi colocado as “constantes” que são multiplicadas pela derivada da 
variável. De forma análoga, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= (2𝑥2) ⋅ 1 − (5𝑥) ⋅ 3𝑦2 = 2𝑥2 − 15𝑥𝑦2, onde nos parênteses 
temos as “constantes” que são multiplicadas pelas derivadas dos termos de 𝑦. 
Junto com a definição de derivadas parciais, temos a apresentação do conceito de 
vetor gradiente, que nada mais é do que o vetor de derivadas parciais, onde em cada 
coordenada temos a derivada parcial com relação a uma variável e também a aplicação da 
regra da cadeia, que é feita de forma análoga a derivação parcial, considerando apenas a 
derivada em questão como “variável” e o restante como “constante”. 
Considerando a mesma função tratada anteriormente, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2𝑦 − 5𝑥𝑦3, 
temos que o vetor gradiente desta função é dado por ∇𝑓 = (4𝑥𝑦 − 5𝑦3, 2𝑥2 − 15𝑥𝑦2), ou 
seja, é o vetor de derivadas parciais da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
Itemizando então as tarefas de revisão: 
• Rever a definição e gráfico de funções de várias variáveis; 
• Estudar as definições de limite e continuidade de funções de várias variáveis, 
bem como refazer exemplos e exercícios sobre os temas; 
• Rever as definições, exemplos e exercícios de derivadas parciais, regra da 
cadeia e vetor gradiente; 
• Estudar a definição e exemplos de curvas e superfícies de nível. 
 
 
 
 
 
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Semana 2 
 
Na Semana 2 são apresentadas as definições de Polinômio de Taylor, Integrais 
Duplas e Triplas. 
O polinômio de Taylor é uma aproximação de uma função de várias variáveis 
calculada através das derivadas parciais. Essa aproximação é muito útil em diversas 
aplicações do cotidiano em que trabalhamos com funções de mais variáveis. 
As integrais Duplas e Triplas, são definidas para funções de 2 e 3 variáveis 
respectivamente, e nesta semana são apresentadas suas interpretações geométricas, 
condição de existência, definição por soma de Riemann e cálculos. 
Para o cálculo dessas integrais, o Teorema de Fubini para domínios retangulares 
e paralelepípedos (respectivamente Integrais Duplas e Triplas) e caso geral são 
apresentados e aplicados em diversos exemplos. 
Algumas observações importantes a serem feitas sobre os Teoremas de Fubini: 
✓ Na aplicação do Teorema de Fubini para domínios retangulares e 
paralelepípedos, a ordem de integração não interfere no cálculo, devendo 
tomar apenas o cuidado de colocar a variável e seu intervalo de integração 
na mesma integral. 
✓ Um cuidado a ser tomado na aplicação do Teorema de Fubini caso geral é 
que a última integral a ser calculada, ou seja, a integral “de fora” deve conter 
intervalos de integração constantes, e nas integrais “de dentro” os intervalos 
de integração podem ser funções. 
 
Itemizando então as tarefas de revisão: 
• Rever a definição do polinômio de Taylor para função de 2 variáveis e 
exemplos; 
• Revisar a interpretação da Integral Dupla e Tripla; 
• Reforçar o estudo sobre o cálculo de volume pela Integral Dupla, massa e 
densidade pela Integral Tripla; 
• Dar especial atenção aos cálculos das Integrais Duplas e Triplas utilizando 
o Teorema de Fubini caso geral; 
• Reforçar os conceitos, propriedades e condição de existência das Integrais 
Duplas e Triplas. 
 
 
 
 
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Semana 3 
 
Na Semana 3 o aluno tem contato com 3 novos tipos de coordenadas (polares, 
cilíndricas e esféricas), diferentes das cartesianas utilizadas até então. Também sabendo 
manipular essas novas coordenadas, algumas aplicações da Integral Tripla como momento 
de inércia, massa e centro de massa são apresentados. Além disso, novos conceitos como: 
campo vetorial e escalar, campo gradiente, rotacional e divergente são estudados. 
As coordenadas polares para a Integral Dupla e as coordenadas cilíndricas e 
esféricas para Integral Tripla são aplicadas a fim de simplificar os cálculos das respectivas 
integrais. Sua aplicação é realizada através da mudança de coordenadas, onde as variáveis 
originais são reescritas em função das novas coordenadas, os intervalos de integração são 
redefinidos e além da mudança da função de integração agora para as novas coordenadas, 
a nova função deve ser multiplicada pelo determinante do Jacobiano da mudança de 
variáveis. No caso das coordenadas polares e cilíndricas, o fator a ser multiplicado na 
integral é 𝑟, já para as coordenadas esféricas, o fator multiplicativo da nova integral é 
𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑. Toda vez que houver mudança de variáveis para facilitar o cálculo da integral 
devemos lembrar de multiplicar a nova função de integral (agora nas novas variáveis) pelo 
determinante do Jacobiano da mudança de variáveis. 
As aplicações da Integral Tripla para o cálculo do momento de inércia, massa e 
centro de massa são muito úteis na resolução de problemas de Física e devem receber 
uma atenção especial de nós. Tão importantes quanto para os estudos da Física, os 
conceitos de campos vetoriais, escalares, gradientes, rotacional e divergente serão 
utilizados nas aplicações dos 3 grandes teoremas desta disciplina. 
Quando falamos em campos vetoriais e escalares estamos falando de uma 
aplicação (função), que o que diferencia uma da outra é que a primeira resulta em um vetor 
em ℝ2 ou ℝ3 e a segunda resulta em um escalar ℝ. Já o campo gradiente, é um campo 
vetorial cujas coordenadas são as derivadas parciais do campoescalar 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦), por 
exemplo. 
Os novos conceitos de rotacional e divergente que são apresentados nesta 
semana, nada mais são que operações essenciais nas aplicações de cálculo vetorial. O 
rotacional é um operador que calcula sobre uma superfície o quando os vetores de um 
campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície, ou seja, 
corresponde a uma transformação linear de um campo vetorial em um outro campo vetorial. 
Já o divergente é um operador que mede a magnitude de um campo vetorial em um dado 
ponto, ou seja, é um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores de um 
campo vetorial em um dado ponto. 
 
Itemizando então as tarefas de revisão: 
• Revisar as definições da Integral Duplas em coordenadas polares e 
cilíndricas, bem como rever os exemplo e exercícios; 
• Rever os exercícios de cálculo de massa e densidade utilizando Integral 
Tripla e mudança de coordenadas; 
• Revisar a definição de Integral Tripla em coordenadas esféricas e os 
exercícios; 
 
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• Estudar as aplicações da Integral Tripla para o cálculo de momento de 
inércia, massa e centro de massa; 
• Reforçar os estudos nas definições, propriedades e cálculo de campos 
vetoriais, escalares, gradientes, rotacional e divergente. 
 
 
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Semana 4 
 
Na semana 4 diversos conceitos sobre curvas no plano e no espaço são 
apresentados para auxiliar na definição da Integral de Linha, que nada mais é do que a 
integral sobre uma curva. Esta integral pode ser calculada sobre um campo escalar 
resultando no cálculo do comprimento de arco, massa ou centro de massa de 𝛾 
dependendo da função a ser integrada. Também, quando calculada sobre um campo 
vetorial resulta no cálculo do trabalho realizado por uma força atuando sobre uma partícula 
em movimento. A diferença entre os dois cálculos está na função de integração, onde no 
primeiro (integral de linha de um campo escalar) integramos a função aplicada na curva 
parametrizada escalar a norma da derivada da curva (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = ∫ 𝑓(𝛾(𝑡)) ⋅
𝑏
𝑎𝛾
‖𝛾´⃗⃗ ⃗(𝑡)‖𝑑𝑡) e no segundo (integral de linha de campo vetorial) integramos o campo aplicado 
na curva escalar derivada da curva (𝜏 = ∫ 𝐹 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹 (𝛾(𝑆)) ⋅ 𝛾′⃗⃗ ⃗(𝑆)𝑑𝑆
𝑏
𝑎𝛾
). 
Nesta semana também se inicia o estudo de campos conservativos, definindo 
campo vetorial gradiente, função potencial, cálculo do trabalho para campo conservativo, 
propriedades de campo conservativo e a implicação de ser conservativo em rotacional nulo. 
Para que um campo vetorial seja conservativo basta que uma das 3 afirmações a 
seguir seja verdadeira: 
i. O campo vetorial 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) deve ser gradiente, ou seja, tem que existir uma 
função 𝜑 = 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) tal que ∇⃗⃗ 𝜑 = 𝐹 . 
ii. A integral de linha do campo 𝐹 é igual a diferença de potencial, i.e., 
∫ 𝐹 𝑑𝑟 = 𝜑(𝛾(𝑏)) − 𝜑(𝛾(𝑎)).
𝛾
 
iii. A integral de linha do campo 𝐹 sobre uma curva fechada é nula, ou seja, 
∮𝐹 𝑑𝑟 = 0. 
 Além do mais, se 𝐹 é um campo conservativo então 𝑅𝑜𝑡(𝐹 ) = 0⃗ . 
 
 
Itemizando então as tarefas de revisão: 
• Revisar as definições de vetor tangente a curva, curva fechada, fechada 
simples e ponto múltiplo; 
• Revisar as maneias de como parametrizar uma curva; 
• Estudar os exercícios de cálculo de comprimento de arco, cálculo de massa, 
centro de massa e trabalho através da integral de linha; 
• Reforçar os estudos nas definições que antecedem campos conservativos 
(campo vetorial gradiente, função potencial), bem como nas formas de 
cálculo do trabalho quando temos um campo conservativo. 
• Estudar como se encontra a função potencial. 
 
 
 
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Semana 5 
 
Nesta semana o aluno é apresentado ao primeiro grande Teorema desta disciplina, 
Teorema de Green. Esse resultado envolve em seu cálculo integrais duplas e de linha. 
 Antes de apresentar esse teorema, definições como orientação positiva e domínio 
simplesmente conexo são importantes para sua aplicação. 
Além disso, nesta semana conceitos sobre superfícies de nível, gradiente, reta 
normal, plano tangente, vetor tangente, superfície regular e retas e planos tangente a uma 
superfície são apresentados. 
O assunto principal desta semana e que merece nossa maior atenção é com 
certeza o Teorema de Green, condições necessárias para sua aplicação e cálculo. 
 
 
Itemizando então as tarefas de revisão: 
• Revisitar os conceitos de orientação positiva, domínio simplesmente conexo; 
• Revisitar as condições necessárias para os domínios na aplicação do 
Teorema de Green; 
• Reforçar os estudos nos exercícios e exemplos da aplicação do Teorema de 
Green para o cálculo da integral de linha. 
 
 
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Semana 6 
 
Nesta semana 6 o objetivo é o estudo das Integrais de Superfícies e juntamente o 
cálculo do fluxo de campos vetoriais. A integral de superfície nada mais é do que uma 
integral dupla sobre o domínio 𝐷 de uma superfície 𝑆. 
Mais uma vez, como na integral de linha, a integral de superfície pode ser aplicada 
em campos escalares e vetoriais. Quando aplicada a campos escalares, seu cálculo resulta 
na área ou massa de uma superfície, diferenciando apenas na função de integração que 
no primeiro caso é apenas a norma do produto vetorial de 𝑋 𝑢 por 𝑋 𝑣, ou seja, 𝐴 =
∬ ‖ 𝑋 𝑢 ∧ 𝑋 𝑣‖𝑑𝑢𝑑𝑣𝐷 e no segundo (massa de uma superfície), a função de integração é a 
função densidade escalar norma do produto vetorial de 𝑋 𝑢 por 𝑋 𝑣, i.e., ∬ 𝜑(𝑢, 𝑣) ⋅𝐷
‖ 𝑋 𝑢 ∧ 𝑋 𝑣‖𝑑𝑢𝑑𝑣. Lembre-se que em ambos os casos, mudanças de variáveis podem ser 
uteis para simplificar e facilitar os cálculos. 
Quando as integrais de superfícies são aplicadas em campos vetoriais, seu cálculo 
resulta no fluxo do campo através de membranas permeáveis, ou seja, dados 𝐹 um campo 
vetorial, 𝑆 uma superfície parametrizada e �⃗� (𝑢, 𝑣) um versor normal a 𝑆, o fluxo de 𝐹 através 
de 𝑆 na direção de �⃗� (𝑢, 𝑣) é dada por ∬ 〈𝐹 |�⃗� 〉𝑑𝐴 = ±∬ 〈𝐹 |𝑋 𝑢 ∧ 𝑋 𝑣〉𝑑𝑢𝑑𝑣𝐷𝐷 . 
 
Itemizando então as tarefas de revisão: 
• Estudar e revisar as definições de área e massa de uma superfície através 
da integral de superfícies e os exercícios sobre os temas; 
• Dar especial atenção aos exercícios de cálculo de fluxo, revendo e refazendo 
os exemplos; 
• Revisar os conceitos de orientação de uma superfície regular. 
 
 
 
 
 
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Semana 7 
 
A Semana 7 encerra esta disciplina. 
Aqui os dois últimos grande teoremas (Gauss e Stokes) dessa ementa são 
apresentados, exemplificados e aplicados. 
O Teorema de Gauss auxilia no cálculo do fluxo de um campo vetorial através de 
uma membrana permeável fechada pois relaciona o cálculo do trabalho (integral dupla do 
campo 𝐹 ) com a integral tripla do divergente de 𝐹 , i.e., ∬ 𝐹 ⋅ �⃗� 𝑑𝐴 = ∭ 𝐷𝑖𝑣𝐹 𝑑𝑉.
𝑉𝑆
 
Ainda sobre essa teoria, definições de campo gradiente irrotacional e campo 
incompressível são apresentadas. 
Uma observação que deve ser revista com muita atenção é o fato do domínio de 𝑆 
conter uma singularidade. Neste caso, deve-se isolar a singularidade antes de aplicar o 
Teorema de Gauss. 
Para o estudo do Teorema de Stokes, definições de bordo de uma superfície e 
orientação coerente são apresentadas. Este teorema relaciona a integral de linha do tipo 
trabalho com a integração dupla do rotacional do campo vetorial 𝐹 , ou seja, 
∫ 𝐹 𝑑𝑟 = ∬ 𝑅𝑜𝑡𝐹 ⋅ �⃗� 𝑑𝐴.
𝑆𝜕𝑆
 
Ainda sobre essa teoria temos que 𝑅𝑜𝑡(𝐹 ) = 0⃗ ⇒ 𝐹 conservativo vale para 
domínios simplesmente conexos em dimensão 3. A demonstração desse resultado utiliza 
o Teorema de Stokes. 
Para finalizar, definições de ponto de máximo e mínimo, condição necessária para 
que um ponto seja de máximo ou mínimo e ponto crítico são apresentadas e serão de 
grande utilidade para estudos posteriores nas disciplinas de Cálculo. 
 
Itemizando então as tarefas de revisão: 
• Rever as definições de campo gradiente irrotacional e campo 
incompressível;• Estudar o Teorema de Gauss e os exercícios resolvidos; 
• Rever as definições de orientação de uma superfície com bordo e orientação 
coerente; 
• Estudar o Teorema de Stokes e os exercícios resolvidos; 
• Rever as definições de ponto máximo, mínimo, crítico e condição necessária 
para ser ponto de máximo ou mínimo. 
• Anotar as principais dúvidas e confrontar com as tarefas listadas 
anteriormente; 
• Verificar se as dúvidas já não estão nos itens de reforço a serem verificados 
antes da prova e caso negativo, revisitar os materiais das vídeo aulas, textos 
bases e vídeos de apoio para tentar sanar as dúvidas. 
 
 
 
 
 
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Conclusões 
 
A disciplina de Cálculo II tem em seu cerne o estudo de 3 principais teoremas: 
Green, Gauss e Stokes. Para chegar ao ponto do entendimento e aplicação desses 
teoremas, os assuntos: Integrais Duplas, Triplas, de Linha e de Superfícies, parametrização 
de superfícies, campos vetoriais e escalares são estudados e exemplificados. 
Esta disciplina apesar de densa e detalhada, apresenta grande aplicação na Física, 
nos cálculos de trabalho e fluxo de campos vetoriais e escalares, além da beleza 
matemática por trás desses conceitos, juntando conhecimento de diversas áreas para a 
aplicação do resultado. 
As definições de ponto máximo, mínimo, crítico, bem com os resultados 
apresentados no final desta disciplina serão importantes para a continuidade nos estudos 
de Cálculo e em diversas aplicações matemáticas no nosso cotidiano. 
Este guia de revisão permite ao aluno estruturar sua rotina de estudos para a prova, 
dedicando com especial atenção os itens que foram itemizados para cada semana, pois 
isso destaca quais são os pontos de maior interesse de fixação ou os que tendem a 
apresentar maiores dúvidas. 
Finalmente, faça uma programação para poder se dedicar com antecedência em 
revisitar as vídeo aulas da Semana 5, 6 e 7, tendo em vista que são os mais densos de 
informações e detalhes. 
Boa prova!