Calculo Todas as semanas

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Assinale a alternativa que contenha 
uma função de várias variáveis e 
seu respectivo domínio.
Comentário da resposta: 
A condição de existência para a função
Semana 
1
Dada a função f(x, y) = 3x⁴y⁵, assinale a alternativa que 
contenha uma de suas derivadas parciais corretamente.
Comentário da resposta: A derivada de f(x, y) = 3x⁴y⁵ em relação a x é: 
Semana 
1
Dada a função f(x, y) = x² + y³, onde x = s² - t e y = st, 
assinale a alternativa que contenha suas derivadas parciais corretamente.
Comentário da resposta: A derivada de f(x, y) = x² + y² em relação a s é: 
Semana 
1
Comentário da resposta: Se a função f deve estar definida em um 
conjunto aberto D que contenha \(a,b) e as derivadas fxy e fyx forem 
contínuas no conjunto D, então
Questão referente ao Texto-base - Derivadas Parciais
De acordo com o Teorema de Clairaut, diga as condições para que as 
derivadas parciais , sejam iguais.
Semana 
1
Comentário da resposta: As funções de diversas variáveis acabam tendo 
uma imagem Z, muitas vezes, com repetições de valores, mesmo 
utilizando valores diferentes para as variáveis independentes. Podemos 
dizer que as repetições de imagens para diferentes valores nos levam ao 
conceito de curva de nível e superfície de nível.
Quando falamos em funções de diversas variáveis na disciplina de Cálculo II, 
ocorre algo interessante quando encontramos a imagem Z = f(x,y): por serem 
diferentes variáveis, temos, muitas vezes, repetições de imagens para distintas 
combinações de valores de x e y.
Semana 
1
Comentário da resposta: Como estudado, o gráfico de funções de duas 
variáveis independentes possui três eixos coordenados, que são os eixos 
x, y e z
Sabe-se que, para construir um gráfico, são necessários eixos coordenados. 
Quando fazemos gráficos de apenas uma variável que possui os eixos x e y, 
temos, então, uma curva nesse plano, representada em um sistema de 
coordenadas cartesianas, apresentando o eixo das abcissas e o eixo das 
ordenadas.
Semana 
1
Comentário da resposta: As derivadas parciais são derivadas para 
funções de duas ou mais variáveis. Para isso, é necessário derivar uma 
variável por vez, porém utilizando as mesmas condições básicas de 
derivação para uma variável.
Um dos conceitos estudados dentro dos cálculos e da matemática é o de
derivadas parciais. Estas são as derivadas das funções de duas variáveis e
apresentam, também, uma interpretação geométrica bastante aplicável.
Semana 
1
Comentário da resposta: O Teorema de Limite do Produto nos diz que o 
limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável (e não 
variáveis diferentes) deve ser igual à multiplicação (e não à soma) de 
seus limites.
Quando falamos sobre limite de uma função, a definição de limite é utilizada 
no intuito de expor o comportamento de tal função nos momentos de 
aproximação. Sabe-se que existem teoremas de limites, como o teorema do limite 
da soma de duas ou mais funções de mesma variável, que deve ser igual à soma 
dos seus limites.
Semana 
1
Comentário da resposta: Quando uma função f(x,y) possui um limite A, 
este tem como imagem o subconjunto .
A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma 
função nos momentos de aproximação de determinados valores. O limite de uma 
função possui grande importância quando estudamos Cálculo e em outros ramos 
da análise matemática, definindo derivadas e continuidade de funções.
Semana 
1
Comentário da resposta: As funções de diversas variáveis são aquelas que possuem 
uma variável dependente e mais de uma variável independente. Sendo assim, na 
função, temos a variável dependente de imagem Z que depende de duas variáveis x e 
y. Podemos interpretar, então, que Z é a variável dependente, enquanto x e y são as 
variáveis independentes.
Sabemos que, quando estudamos Cálculo II, as funções de diversas 
variáveis são aquelas que possuem uma variável dependente e mais de uma 
variável independente. Podemos citar como exemplos a temperatura de um 
ambiente e a densidade de um ambiente.
Semana 
1
Semana 
1
Semana 
1
Semana 
1
Comentário da resposta: A fórmula de Taylor da função f(x,y) é dada 
pela aproximação:
Sabe-se que o polinômio de Taylor é uma 
aproximação para a função f(x,y) no ponto (a,b). 
Assinale a alternativa que contenha tal aproximação.
Semana 
2
Comentário da resposta: Uma condição suficiente para a existência da integral 
definida em D é a continuidade da função f(x,y) na região D, pois se f(x,y) é 
contínua em D então f é integrável em D.
Diga qual a condição necessária para a 
existência da integral dupla definida
Semana 
2
Assinale a alternativa que contenha o cálculo da 
integral tripla pelo Teorema de Fubini quando 
é um paralelepípedo. 
Comentário da resposta: Pelo Teorema de Fubini, dado 
contínua e D um paralelepípedo, então:
Semana 
2
Comentário da resposta: Pelo Teorema de Fubini, dado 
então
Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral dupla 
pelo Teorema de Fubini quando
Semana 
2
Comentário da resposta: As propriedades (I) e (II) são de integrais duplas, porém a propriedade (III): 
não é propriedade da integral dupla, nem mesmo da integral simples.
Questão referente ao Texto-base - Integrais múltiplas
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as propriedades das 
integrais duplas. Assinale a alternativa com a classificação correta.
1. , se tais regiões não se sobrepõe exceto talvez suas fronteiras 
2. , onde A(D) é a área de D.
,
3. 
Semana 
2
Comentário da resposta
O Teorema Fundamental do Cálculo é a base das operações centrais do 
cálculo, diferenciação e integração, que são consideradas a inversão 
uma da outra. Isso representa que uma função contínua é, 
primeiramente, integrada e, posteriormente, diferenciada, voltando à 
função original.
Sabemos que existe um conceito básico e intrínseco às integrais 
de volumes que, usualmente, denominamos de Teorema Fundamental 
do Cálculo, uma vez que é o início dos conceitos aplicados ao volume 
de integrais duplas e triplas.
Semana 
2
Comentário da resposta: Uma aplicação das integrais duplas consiste na 
determinação de volume de sólidos, que podem se encontrar em um espaço 
compreendidos entre uma função z = f(x, y) e uma região R definido em um plano.
Quando desenhamos determinado sólido dentro de um sistema de 
coordenadas, como um gráfico, podemos determinar seu volume por meio de 
integrais duplas. Para uma região no espaço cartesiano xyz, delimitada entre 
uma função z=f(x, y)>0 e uma região retangular R no plano xy, como se define o 
volume do sólido compreendido entre eles?
Semana 
2
Comentário da resposta:
Quando falamos em polinômio de Taylor, sabemos da sua utilidade para
estimar valores de determinada função a partir da utilização de suas
derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do cálculo diferencial
e integral, a fim de determinar valores de uma função complexa de maneira
mais simples.
Dito isso, assinale a alternativa correta do polinômio de Taylor de grau 3,
em volta do
Semana 
2
Comentário da resposta: Quando pensamos em integrais triplas, temos que levar 
em consideração que, dentro de uma região T de 1 a "n", encontramos diversos 
paralelepípedos agrupados. Cada paralelepípedo que está alocado em um ponto 
arbitrário e no k – ésimo paralelepípedo, é onde a soma deve ser 
calculada para determinar o volume desse objeto.
Considere uma função tripla qualquer, como , 
sendo esta contínua, em determinada região T fechada e limitada no 
tempo e no espaço. Ao final, a região Tserá subdividida em planos 
paralelos aos três planos coordenados.
Semana 
2
Comentário da resposta: O teorema de Fubini tem como base o cálculo 
de integrais duplas, onde duas integrações de uma variável são 
realizadas, e uma terceira variável permanece fixa, de forma que a 
função f(x, y) seja contínua em uma região D = [a,b] x [c,d].
O Teorema de Fubini possibilita o cálculo de uma integral dupla, 
por meio do processo de integrações iteradas, permitindo a inversão 
da ordem de integração.
Semana 
2
Comentário da resposta: dV é o elemento diferencial do volume de um dado corpo de 
interesse. Caso venha a ser efetuada a integral no espaço ocupado pelo mesmo -
usando um sistema de coordenadas adequado -, o resultado da conta é o seu volume 
total, dado pela expressão
A partir das integrais triplas, podemos encontrar interpretações físicas 
com a massa de um sólido e sua respectiva densidade, uma vez que, 
quando trabalhamos com integrais triplas, estamos relacionando os três 
eixos (x, y, z) e derivando em função do volume.
Semana 
2
Quando falamos em polinômio de Taylor, sabemos da sua utilidade 
para estimar valores de determinada função a partir da utilização de 
suas derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do 
cálculo diferencial e integral, a fim de determinar valores de uma 
função complexa de maneira mais simples.
Comentário da resposta: O conceito de polinômio de Taylor de ordem 1 
consiste, basicamente, na definição de uma reta tangente. A partir desse 
método, é possível estimar a função em diversos pontos por meio de pontos 
próximos e, como dito anteriormente, a partir da determinação da reta 
tangente da função que estamos analisando.
Semana 
2
Quando falamos em volume de integral dupla, existe uma 
condição suficiente para que a existência da integral seja a 
continuidade da função f (x, y) em uma região D definida.
Comentário da resposta: A condição de suficiência para a existência da integral 
definida em D é a continuidade da função f(x, y) na região D, porém, para que f(x, y) 
seja contínua em D, a função f deve ser integrável em um sólido denominado “D”.
Semana 
2
Na matemática, temos a soma de Riemann, que é uma aproximação obtida a 
partir da somatória da função f (x, y), multiplicada pela variação do deslocamento 
do gráfico. Uma aplicação comum da soma de Riemann diz respeito às 
aproximações da área de funções e/ou linhas de um gráfico.
Sobre as aproximações da área sob uma curva, assinale a alternativa correta.
Semana 
2
Na matemática, temos a soma de Riemann, que é uma aproximação obtida a partir da
somatória da função , multiplicada pela variação do deslocamento do gráfico. Uma
aplicação comum da soma de Riemann diz respeito às aproximações da área de
funções e/ou linhas de um gráfico.
Sobre as aproximações da área sob uma curva, assinale a alternativa correta.
A. A soma de Riemann ƒ (x,z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, zⱼ ), podendo ser descrita 
da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[xⱼ, zⱼ ]})
B. A soma de Riemann ƒ (y,z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (yⱼ, zⱼ ), podendo ser descrita 
da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[yⱼ, zⱼ ]})
C. A soma de Riemann independe da função e é relativa à partição P e também a escolha dos pontos, podendo 
ser descrita da seguinte maneira: S = (ƒ, P)
D.A soma de Riemann ƒ (x,y) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, yⱼ ), podendo ser descrita 
da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[xⱼ, yⱼ ]})
E. A soma de Riemann ƒ (x,y) não é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, yⱼ ), podendo ser 
descrita da seguinte maneira: S = ƒ(xⱼ, yⱼ )
Semana 
2
Sabemos que um campo vetorial em R3 é determinado por uma função F:D R3, em 
que D pertence a R3. Nesse caso, o campo vetorial pode ser escrito em termos de suas 
componentes P, Q e R, da seguinte maneira:
Observe que P, Q e R são campos escalares, ou seja, funções com três variáveis.
Sobre as propriedades do gradiente de campos vetoriais em R3, é correto afirmar que:
A. São paralelas às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de menor variação de f.
B. São diagonais às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f.
C. São opostas às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de menor variação de f.
D. São perpendiculares às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f.
E. São transversais às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f
Comentário da resposta: A partir do Teorema dos Campos Vetoriais em R3, seja f = 
f(x, y, z) um campo escalar de classe C2, então, o rotacional do gradiente da 
função f é nulo frente aos cálculos vetoriais matemáticos.
Semana 
3
Analise as funções de várias variáveis e o ponto indicado onde essa 
função é contínua, classificando em verdadeiro (V) ou falso (F). Assinale a 
alternativa que contenha a classificação correta.
Semana 
3
O sistema esférico de coordenadas é um sistema de referenciamento 
que permite a localização de um ponto qualquer em determinado espaço de 
formato esférico, por meio de um conjunto de três valores, chamados de 
“coordenadas esféricas”.
Dito isso, assinale a alternativa correta que apresenta o resultado de Dxyz em coordenadas esféricas.
A. Dp,x,y.
B. Dxi,yi,zi.
C. Dpθφ.
D. Du,w,n.
E. Dabc.
Semana 
3
Existe uma relação direta entre as coordenadas cartesianas, aquelas 
que comumente estudamos; e as coordenadas cilíndricas, conteúdo que 
estamos analisando no momento.
Portanto, encontre a equação cilíndrica para a superfície cuja a equação em 
equações cartesianas é dada por: x² + y² + 4z² = 16
A – 4r² + z² = 4
B - 4r² + z² = 16
C - r² + z² = 4
D - r² + z² = 16
E - r² + 4z² = 16
Semana 
3
As relações matemáticas entre as coordenadas cartesiana e cilíndrica 
existem e é possível relacionar o eixo z em função das relações cartesianas 
existentes (x, y, z).
Encontre a equação cilíndrica da seguinte equação cartesiana: x² - y² = 3z².
A - r²cos(2θ) = z²
B - r²cos(2θ) = 3z²
C - r²cos(3θ) = 2z²
D - r²cos(θ) = 3z²
E - r²cos(θ) = z²
Semana 
3
Ao pensarmos nas relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas, 
sabemos que podemos relacionar o eixo y entre as diversas coordenadas (x, y, 
z). Além disso, existe uma correlação matemática entre esses dois tipos de 
coordenadas.
Encontre a equação em coordenadas polares para a curva onde a equação em 
coordenadas cartesiana é apresentada por: x³ + y³ - 6xy = 0.
Semana 
3
O centro de massa, também conhecido como “baricentro” de um objeto, é 
um ponto geométrico que age de maneira dinâmica, tal como se a força 
resultante desse fenômeno de propriedades externas se aplicasse sobre ele.
Dito isso, assinale a alternativa correta com as condições de um baricentro.
Semana 
3
Assinale a alternativa que contenha três expressões de integrais triplas que 
determinam as coordenadas do baricentro de um sólido D, com densidade
Semana 
3
Utilizando a regra da cadeia, assinale a alternativa que contenha a derivada
Semana 
3
O Resultado da integral tripla é: 
Semana 
3
Assinale a alternativa que contenha o resultado de
onde 𝐷 é o retângulo . Aplique o Teorema de Fubini.
Semana 
3
Analise as funções e seus respectivos domínios, classificando em 
verdadeiro (V) ou falso (F). Assinale a alternativa que contenha a 
classificação correta.
Semana 
3
Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função
no ponto P(1,1)
Semana 
3
Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral tripla de f(x,y,z) 
em coordenadas cilíndricas
Semana 
3
Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral tripla de 
f(x,y,z) em coordenadas esféricas.
Semana 
3
Assinale a alternativa que contenha os cálculos dos momentos de 
inérciaem relação aos planos , respectivamente:
Semana 
3
Comentário da resposta: A propriedades do Gradiente são: perpendicular às curvas de 
nível de 𝑓=𝑓(𝑥,𝑦) e aponta para a direção e sentido de maior variação de 𝑓.
Assinale a alternativa que contenha as propriedades do Gradiente.
Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral dupla de f(x,y) 
em coordenadas polares se f é contínua em uma região polar da forma
Semana 
3
Sistemas de coordenadas cilíndricas são de extrema importância, uma vez 
que podem ser utilizados para simplificar estudos relacionados a interações 
múltiplas. esse sistema foi concebido a partir das definições sobre as 
coordenadas polares e, em segunda instância, podemos pensá-lo como uma 
evolução do modelo polar adequado ao espaço tridimensional.
Sobre esse assunto, assinale a alternativa com as variáveis que estão vinculadas aos 
sistemas polares.
A. r, x, z.
B. x, y, z.
C. r, θ, z.
D. dr, dy, dz.
E. dx, dy, dz.
Semana 
3
Assinale a alternativa que contém o resultado da integral,
onde D é a casca esférica delimitada por x² + y² + z² = 9 
e x² + y² + z² = 16.
A) - 175π
2
B) π
4
C) 175π
2
D) 0
E) 175π
Semana 
3
Considerando a relação entre as coordenadas cartesianas e polares, vamos pensar no 
eixo y de um plano de coordenadas cartesianas e correlacionar com as coordenadas polares. 
Dito isso, encontre uma equação de coordenadas polares para uma determinada curva onde 
a equação em coordenadas cartesianas é (x² + y²)² - 4 (x² - y²) = 0
Semana 3 
Semana 3 
Semana 3 
Comentário da resposta
Assinale a alternativa que contenha a equação da reta tangente a y no ponto y(tₒ)
Semana 
4
Assinale a alternativa que contenha a integral que calcula a massa de γ, onde 
y:[a,b] → R³ é uma curva dada por y(t) = (x(t) , y(t), z(t))
Semana 
4
Assinale a alternativa que contenha a integral que calcula o trabalho realizado 
pelo campo ao longo da trajetória γ.
Semana 
4
Assinale a alternativa que contenha as condições equivalentes que o 
campo deve satisfazer para ser chamado se conservativo.
Semana 
4
Questão referente ao Texto-base - Curvas, integrais e campos conservativos: roteiro de estudos
Assinale a alternativa que contenha a condição para que um campo vetorial seja Gradiente.
Semana 
4
Questão referente ao Texto-base - Cálculo, Volume 2
Assinale a alternativa que contenha as fórmulas das integrais de linha com relação a x e y, 
respectivamente, dado C a curva.
Semana 
4
Uma outra condição para que o trabalho realizado por uma força seja nulo é:
Semana 
4
Assinale a alternativa que contenha a propriedade para que um campo de força 
exerça trabalho nulo.
Semana 
4
Uma curva fechada é uma função da forma de de forma que
A partir disto, assinale a alternativa que indica a razão pelo qual um ponto P pode ser 
denominado de múltiplo. 
Qual alternativa melhor se encaixa na definição conceitual sobre uma curva 
parametrizada?
A integral de linha de campo vetorial é a soma de todos os valores do campo em diversos 
pontos da curva, ponderado pelo campo vetorial, com um determinado comprimento de arco ou 
vetor, onde o produto do campo de vetores realiza um diferencial de uma determinada curva.
Dessa forma, qual das alternativas abaixo melhor resume o conceito de integral de linha e 
campo vetorial?
A - É o produto escalar do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da tangente y.
B - É o produto escalar do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da cossecante y.
C - É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da cotangente y.
D - É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da bissetriz y.
E - É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da secante y
Semana 
4
Assinale a alternativa que contenha a massa da curva
e densidade 
Semana 
4
Seja γ C R² um arco circular orientado no sentido anti-horário, partindo de (5,0) e chegando em (-4,3). 
Usando o conceito de integral de linha, qual o resultado da seguinte equação:
Semana 
4
Determine a função potencial associada ao campo vetorial
Semana 
4
Assinale a alternativa que contenha o comprimento da curva
Semana 
4
O Teorema sobre campos conservativos nos diz que, se um campo de forças 
for um campo gradiente, e se o vetor gradiente da função potencial for igual ao campo de 
forças, então o trabalho ao longo de uma curva γ pode ser calculado por:
ᵩ
Semana 
4
Assinale a alternativa que contenha a definição de uma curva fechada simples.
Semana 
4
O Teorema do Valor Médio (ou Teorema de Lagrange) afirma que, para uma função f 
que seja contínua, definida e diferenciável em um intervalo fechado [a,b], existe um ponto c 
tal que: f (c) = f (b) – f (a) lb – a. Geometricamente, a tangente ao gráfico de f no ponto c é 
paralela à secante que passa pelos pontos a e b.
Comentário da resposta: Quando um objeto está em velocidade (movimento) e sua velocidade média é igual 
a v, então, durante o percurso entre o intervalo fechado [a, b], haverá um instante (denominado como ponto 
"c") em que a velocidade instantânea também será igual a v.
Semana 
4
Assinale a alternativa que contenha uma curva parametrizada e seu respectivo 
vetor tangente.
Semana 
4
Assinale a alternativa que indica a variável matemática responsável por relacionar um 
campo vetorial com um campo escalar.
Semana 
4
͢ ͢
Sendo F (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), um campo vetorial, a função potencial de F é 
definida por: 
ᵩ
Semana 
4
Semana 
4
Assinale a alternativa que mostra a equação que seja a aproximação linear de 
primeira ordem de uma função f(x), diferenciável e com valores da variável x próximos do 
ponto xₒ = a.
Semana 
4
Dentre as alternativas abaixo, assinale aquela que mostre uma variável física que pode 
ser determinada por meio da aplicação do conceito de integral de linha de função escalar, 
ao longo de uma trajetória definida por uma curva gamma.
a. Densidade.
b. Velocidade.
c. Cinética.
d. Massa.
e. Volume.
Semana 
4
Assinale a alternativa que contenha a equação da reta tangente a curva y(t) = (e ̄² ͭ, √t+1, tcost)
no ponto tₒ = 0.
̶ ̶̶̶ ̶̶̶
Semana 
4
Seja um campo vetorial o bordo da região fechada limitada por D, então a 
integral do tipo trabalho é calculada segundo o Teorema de Green da seguinte forma:
Semana 
5
Assinale a alternativa que contenha a equação do plano tangente de uma superfície com gráfico
z = f(x, y)
Semana 
5
Dado o campo vetorial em R³, sabendo que as derivadas parciais de P,Q e R 
existem, então o rotacional de F é dado por:
Semana 
5
Determine a equação do plano tangente à superfície do elipsoide S de equação
no ponto de coordenadas
Comentário da resposta:
Semana 
5
Calcule sendo Y a curva que é o bordo do retângulo de vértices (-1,1), (3,1), 
(3,2) e (-1,2) percorrido no sentido anti-horário.
A. 60
B. 30
C. -30
D. 0
E. Nenhuma das anteriores
Comentário da resposta:
Semana 
5
Após os estudos de Cálculo II, conseguimos entender o conceito de superfícies no espaço. 
Podemos dizer que as superfícies no espaço são consideradas um plano, em que é necessário utilizar 
duas variáveis para realizar a parametrização.
Sabendo desses conceitos, qual a motivação desse estudo, segundo o material apresentado?
A. O cálculo de uma reta de superfície e da massa, a partir de uma distribuição superficial de massa
B. O cálculo de área de superfície e do volume, a partir de uma distribuição superficial de massa
C. O cálculo de área de superfície e da massa, a partir de uma distribuiçãosuperficial de volume
D. O cálculo de área de superfície e da massa, a partir de uma distribuição superficial de massa
E. O cálculo de volume de superfície e da massa, a partir de uma distribuição superficial de massa
Comentário da resposta: Após os estudos de Cálculo II, conseguimos entender o conceito de superfícies no 
espaço. Podemos dizer que as superfícies no espaço são consideradas um plano em que é necessário utilizar duas 
variáveis para realizar a parametrização. E, ainda, segundo os estudos efetuados, a motivação desse estudo será o 
cálculo de área de superfície em geral e da massa a partir de uma distribuição superficial de massa.
Semana 
5
Com relação ao Teorema de Green, podemos afirmar que:
A. Todos os campos, as curvas e os domínios sempre precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque, 
segundo o Teorema de Green, nós precisamos apenas derivar essas componentes. Para que as teorias de integração funcionem 
bem, as componentes precisam ser contínuas, porque eu derivo e as derivadas passam a ser contínuas
B. Todos os campos, as curvas e os domínios sempre precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque, 
segundo o Teorema de Green, nós precisamos derivar essas componentes e depois integrar. Para que as teorias de integração 
funcionem bem, as componentes precisam ser contínuas, porque eu derivo e as derivadas passam a ser contínuas.
C. Todos os campos, as curvas e os domínios sempre precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque, 
segundo o Teorema de Green, nós precisamos derivar essas componentes e depois integrar. Para que as teorias de integração 
funcionem bem, as componentes não precisam ser contínuas, porque eu derivo e as derivadas passam a ser contínuas após a 
derivação
D. Todos os campos, as curvas e os domínios sempre precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque, 
segundo o Teorema de Green, nós precisamos derivar essas componentes e depois integrar. Para que as teorias de integração 
funcionem bem, as componentes precisam ser paralelas
E. Todos os campos, as curvas e os domínios sempre precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque, 
segundo o Teorema de Green, nós precisamos derivar essas componentes e depois integrar. Para que as teorias de integração 
funcionem bem, os domínios precisam ser iguais
Comentário da resposta: A partir dos estudos, entendemos que o Teorema de Green é um teorema de dimensão dois, ele se passa no 
plano, isto é, os domínios estão no plano. Lembrando, também, que o campo vetorial é composto por duas variáveis, x e y.Todos os 
campos, as curvas e os domínios sempre precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque, segundo o 
Teorema de Green, nós precisamos derivar essas componentes e depois integrar. E é muito importante lembrar que, para que as teorias de 
integração funcionem bem, as componentes precisam ser contínuas, porque eu derivo e as derivadas passam a ser contínuas.
Semana 
5
Leia as afirmações abaixo sobre a teoria de rotacional e divergente:
Agora responda:
( ) Apenas (III) é verdadeira.
( ) Nenhuma das afirmações é verdadeira.
( ) Todas as afirmações são verdadeiras.
( ) São verdadeiras apenas as afirmações (II) e (III).
( ) Apenas (II) é verdadeira.
As afirmações (I) e (II) são falsas porque em que é o vetor de 
componentes 
Comentário da resposta:
Semana 
5
Para determinarmos que um campo é conservativo, podemos dizer que uma determinada força é
considerada conservativa se o trabalho que ela realiza em função de um objeto que se move de um ponto
a outro é sempre a mesma, sendo o caminho indiferente para o sistema. Em outras palavras, essa integral
é independente do caminho. Sendo assim, é correto afirmar que:
Sendo assim, é correto afirmar que:
a. É possível pressupor que um campo conservativo é quando o gradiente de uma função escalar é nulo. Assim, a função possui um 
potencial para o campo
b. Um campo é considerado conservativo se for igual ao gradiente de uma função escalar. Podemos dizer que esta função é um potencial 
para o campo
c. O campo é considerado conservativo quando o gradiente da função escalar for positivo. Assim, podemos dizer que tal função é um 
potencial para o campo
d. Quando falamos em campo conservativo, podemos considerar como sendo conservativo se o gradiente for menor em função escalar. 
Podemos dizer que essa função é um potencial para o campo
e. O campo conservativo é uma teoria hipotética, e prediz que ele é igual ao gradiente de uma função escalar. Poderíamos dizer que 
qualquer função é um potencial para o campo conservativo
Comentário da resposta: Um campo é considerado conservativo se for igual ao gradiente de uma 
função escalar. Podemos dizer que esta função é um potencial para o campo. Um exemplo clássico que 
motivou essa definição vem da física: o campo gravitacional.
Semana 
5
Dada uma superfície regular S parametrizada por assinale a 
alternativa que contenha as equações das retas tangentes e do plano X no ponto A.
Comentário da resposta: Como a superfície S é parametrizada nas variáveis (u,v), então o vetor de derivadas 
parciais de X(u,v) é um vetor tangente a superfície. Assim, para as equações das retas tangentes basta termos um ponto 
dado A e um vetor tangente, que no caso temos dois são linearmente independentes, logo podemos escrever a 
equação do plano por 
Semana 
5
A reta normal ao elipsoide no ponto é:
Comentário da resposta:
Semana 
5
A equação do plano tangente ao hiperboloide no ponto (3,4,2) é:
A. 6x + 8y + 8z - 2 = 0
B. 6x – 8y - 8z - 2 = 0
C. 6x – 8y + 8z - 2 = 0
D. 6x + 8y -8z - 2 = 0
E. 6x – 8y +8z + 2 = 0
Comentário da resposta:
Semana 
5
Quais condições devem ser observadas para a aplicação do Teorema de Green em uma dada função?
Comentário da resposta: Nos estudos matemáticos, entendemos que o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma 
curva fechada no plano frente à integral dupla em uma região limitada por uma curva. Em suma, estabelece uma relação entre a integral dupla 
de uma integral de linha ao longo de sua fronteira. Para verificarmos o Teorema de Green em uma dada função, é objetivamente coerente 
analisarmos que, em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando, 
por exemplo, duas integrais, precisamos identificar se temos: curva fechada, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da 
curva.
a. Curva aberta, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.
b. Curva aberta, curva negativamente orientada e campo não necessariamente bem definido dentro 
da curva
c. Curva fechada, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.
d. Curva fechada, curva negativamente orientada e campo não necessariamente bem definido dentro 
da curva
e. Curva aberta, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.
Semana 
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Leia as afirmações abaixo sobre o Teorema de Green:
1. Orientação positiva de uma região quer dizer que a componente externa da fronteira é percorrida no 
sentido horário e as componentes internas no sentido anti-horário.
2.Se então o campo F não é conservativo
3.Para aplicar o Teorema de Green é necessário que toda a região D esteja contida no domínio do campo de 
vetores
Agora responda:
Todas as afirmações são verdadeiras.
São verdadeiras apenas as afirmações (II) e (III).
Apenas (III) é verdadeira.
Apenas (II) é verdadeira.
Nenhuma das afirmações é verdadeira
Semana 
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Assinale a alternativa que contenha formas de especificar uma superfície no espaço:
a. Lugar geométrico, equaçãogeral, gráfico da função e superfícies parametrizadas.
b. Intersecção com os eixos coordenados, equação geral e gráfico da função.
c. Lugar geométrico, curvas de nível, gráfico da função e superfícies parametrizadas.
d. Lugar geométrico, equação geral, projeção nos planos coordenados e superfícies parametrizadas.
e. Curvas de nível, equação geral e gráfico da função
Comentário da resposta: As quatro formas para especificar uma superfície no espaço é: lugar geométrico, 
equação geral e gráfico da função
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Usando o Teorema de Green, o cálculo de em que Y é o triângulo de vértices 
(0,0), (1,2) e (0,2) percorrido no sentido anti-horário é: 
a. 4
b. -4/3
c. 8/3
d. -46/3.
e. 4/3
Semana 
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Leia as afirmações abaixo sobre a teoria de superfícies no R3:
I. Superfície de nível é o mesmo que superfícies a valores constantes de uma função de três variáveis
II. O vetor gradiente de uma função de três variáveis é paralelo à superfície representada por essa função
III. Uma superfície S parametrizada X(u, v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) é uma superfície regular se 
Agora responda: 
a. Nenhuma das afirmações é verdadeira.
b. São verdadeiras apenas as afirmações (II) e (III).
c. Todas as afirmações são verdadeiras.
d. Apenas (III) é verdadeira.
e. São verdadeiras apenas as afirmações (I) e (III).
Comentário da resposta: A alternativa (II) está errada pois o vetor gradiente de uma 
função de três variáveis é normal (ou perpendicular) à superfície representada por essa 
função
Semana 
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O vetor normal a superfície parametrizada é:
Comentário da resposta:
Semana 
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O rotacional e o divergente do campo vetorial são 
respectivamente:
Comentário da resposta:
Semana 
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O Teorema de Green é considerado um dos resultados mais importantes quando o assunto é Cálculo. 
Tal notoriedade se dá pela relação que esse teorema carrega: a relação entre uma integral dupla de uma 
região e uma integral de linha ao redor da fronteira da mesma.
Entendendo e explorando esse teorema, podemos afirmar que: 
a. Calcular a integral de linha pela sua definição pode ser mais complicado do que o cálculo de uma integral dupla, mas, em certos casos, calcular a integral 
dupla de uma determinada região que desconhecemos pode resultar em dificuldades. Porém, para esses casos, podemos utilizar o resultado que o Teorema 
de Green nos oferece: a igualdade entre as integrais.
b. Calcular a integral de linha pela sua definição pode ser mais complicado do que o cálculo de uma integral dupla, mas, em certos casos, calcular a integral 
dupla de uma região que não conhecemos pode trazer grandes dificuldades. Porém, para esses casos, podemos utilizar o resultado que o Teorema de Green 
nos oferece: a intercalação entre os domínios das integrais. 
c. Calcular a integral de linha pela sua definição pode ser mais complicado do que o cálculo de uma integral tripla, mas, em certos casos, calcular a integral 
tripla de uma região que não conhecemos pode trazer grandes dificuldades. Porém, para esses casos, podemos utilizar o resultado que o Teorema de Green 
nos oferece: realizar apenas o cálculo do domínio. 
d. Calcular a integral de linha pela sua definição pode ser mais complicado do que o cálculo de uma integral dupla, mas, em certos casos, calcular a integral 
dupla de uma região que não conhecemos pode trazer grandes facilidades. E, para esses casos, podemos utilizar o resultado que o Teorema de Green nos 
oferece: a igualdade entre as integrais.
e. Calcular a integral de linha, via definição, pode ser mais complexo do que o cálculo de uma integral tripla, mas, em certos casos, calcular a integral tripla de 
uma região que não conhecemos pode trazer grandes dificuldades.....
Semana 
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O Teorema de Green estabelece uma relação entre uma curva fechada simples (C) - percorrida em um determinado 
sentido - com a região no plano delimitada pela mesma (D), conforme se observa na figura abaixo.
Sendo assim, podemos afirmar que a orientação positiva possui o seguinte conceito.
a. Significa que a região fica no centro ao percorrermos a curva. Na figura apresentada, percorremos a curva “C” 
no sentido horário.
b. Significa que a região fica à direita e à esquerda ao percorrermos a curva. Na figura apresentada, percorremos a 
curva “C” no sentido horário.
c. Significa que a região fica à direita ao percorrermos a curva. Na figura apresentada, percorremos a curva “C” no 
sentido anti-horário.
d. Significa que a região fica à esquerda ao percorrermos a curva. Na figura apresentada, percorremos a curva “C” 
no sentido anti-horário.
e. Significa que a região fica à esquerda ao percorrermos a curva. Na figura apresentada, percorremos a curva “C” 
no sentido horário.
Semana 
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Sobre o Teorema de Green, podemos afirmar que:
a. É um importante resultado envolvendo integrais duplas e integrais triplas, e ele possui muitas consequências relevantes 
em termos da físico-química. 
b. É um resultado relevante que envolve integrais duplas e/ou de linha, possuindo muitas consequências relevantes, tanto 
em termos de geometria quanto nas aplicações relacionadas à física. 
c. É um importante resultado envolvendo apenas integrais triplas, e ele possui muitas consequências relevantes, tanto em 
termos de geometria quanto nas aplicações relacionadas à química quântica. 
d. É um importante teorema que apresenta resultados envolvendo integrais triplas, e que possui importantes aplicações 
apenas no setor da física. 
e. É um importante teorema que apresenta resultados envolvendo integrais duplas, com importantes aplicações apenas 
no setor matemático.
Semana 
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Nos estudos voltados para a matemática, entendemos que o Teorema de Green relaciona integrais de linha no 
decorrer de uma curva fechada em um plano frente a uma integral dupla em uma região delimitada por uma curva. Em 
suma, o teorema estabelece uma relação entre a integral dupla de uma região e a integral de linha do sistema ao longo de 
sua fronteira.
Questões da Turma 2021
Para verificarmos o Teorema de Green em uma dada função, é objetivamente coerente analisarmos as seguintes definições.
a. Em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando, por exemplo, 
quatro integrais, precisamos identificar se temos: curva aberta, curva negativamente orientada e campo bem definido dentro da curva.
b. Em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando, por exemplo, 
duas integrais, precisamos identificar se temos: curva aberta, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.
c. Em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando, por exemplo, 
duas integrais, precisamos identificar se temos: curva fechada, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.
d. Em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando, por exemplo, 
duas integrais, precisamos identificar se temos: curva fechada, curva negativamente orientada e campo bem definido dentro da curva.
e. Em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando, por exemplo, 
três integrais, precisamos identificar se temos: curva aberta, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.
Semana 
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Quando observamos sobre o Teorema de Green, temos a relação da integral de linha percorrendo uma curva fechada 
dentro do plano com a sobreposição de uma integral dupla limitada por esta mesma curva, estabelecendo uma relação 
entre as integrais sendo intitulada como a apresentada região D e a integral de linha no contorno de sua fronteira, 
conforme imagem abaixo. 
Questões da Turma2021
Sendo assim, é correto afirmar o seguinte sobre esse conceito:
a. É correto dizer que as integrais de linha em círculos percorridas em ambos os sentidos se alternam, observando que a região 
fica sempre à direita quando percorremos a fronteira.
b. É correto dizer que as integrais de linha em curvas percorridas em ambos os sentidos se conectam, observando que a região 
fica sempre à direita quando percorremos a fronteira.
c. É correto dizer que as integrais de linha em curvas percorridas em ambos os sentidos se cancelam, observando que a região 
fica sempre à esquerda quando percorremos a fronteira.
d. É correto dizer que as integrais de linha em curvas percorridas em ambos os sentidos se conectam, observando que a região 
fica sempre à esquerda quando percorremos a fronteira.
e. É correto dizer que as integrais de linha em curvas percorridas em ambos os sentidos se cancelam, observando que a região 
fica sempre à direita quando percorremos a fronteira.
Semana 
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Quando falamos em regiões simples na demonstração do Teorema de Green, podemos dizer que a região “D” 
(demonstração na figura abaixo) pode ser descrita de duas maneiras:
Questões da Turma 2021
Onde: g1, g2, h1, h2 são funções contínuas.
Podemos descrever tais regiões sendo simples. O Teorema de Green pode ser 
compreendido para o caso em que "D" (figura abaixo) é a união finita das regiões 
simples do sistema. Diante disso, analise a figura a seguir:
Agora, assinale a alternativa correta quanto às integrais de linha.
a. A ideia central, quando falamos sobre Teorema de Green, é que as integrais de linha sobre C3 e -C3 se cancelem.
b. A ideia central, quando falamos sobre Teorema de Green, é que as integrais de linha sobre D3 e -D3 se cancelem.
c. A ideia central, quando falamos sobre Teorema de Green, é que as integrais de sobreposição entre C3 e -C3 se 
intercalam.
d. A ideia central, quando falamos sobre Teorema de Green, é que as integrais de linha sobre C3 e -C3 se 
complementam.
e. A ideia central, quando falamos sobre Teorema de Green, é que as integrais de linha sobre D1 e D2 se cancelem.
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Dessa forma, podemos afirmar o seguinte sobre coordenadas cilíndricas.
A. Coordenadas cilíndricas são coordenadas circulares no plano xy junto com a altura z do ponto. Fazendo uma analogia com as 
coordenadas polares, a representação da origem das coordenadas quadráticas não é considerada única.
B. Coordenadas cilíndricas são coordenadas polares no plano xy junto com a altura z do ponto. Fazendo uma analogia com as 
coordenadas circulares, a representação da origem das coordenadas cilíndricas é considerada única.
C. Coordenadas cilíndricas são coordenadas polares no plano xy junto com a altura z do ponto. Fazendo uma analogia com as 
coordenadas polares, a representação da origem das coordenadas cilíndricas não é considerada única.
D. Coordenadas cilíndricas são coordenadas circulares no plano xy junto com a altura z do ponto. Fazendo uma analogia com as 
coordenadas polares, a representação da origem das coordenadas cilíndricas não é considerada única.
E. Coordenadas cilíndricas são coordenadas polares no plano xy junto com a altura z do ponto. Fazendo uma analogia com as 
coordenadas quadráticas, a representação da origem das coordenadas cilíndricas não é considerada única.
Veja a figura a seguir, que demonstra um esquema de coordenadas cartesianas e cilíndricas:
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Integrais de superfície são encontradas em vários ramos das ciências e engenharias, em
problemas envolvendo fluxo de fluido e/ou calor, eletricidade, magnetismo, massa e gravidade, entre
outros. Dessa forma, qual procedimento matemático relevante pode ser realizado, envolvendo campos
vetoriais?
A. Cálculo de fluxos de campos vetoriais a partir de membranas impermeáveis.
B. Cálculo de fluxos de campos quadráticos por meio de membranas permeáveis.
C. Cálculo de fluxos de campos espaciais por meio de membranas permeáveis.
D. Cálculo do domínio por meio de membranas permeáveis.
E. Cálculo de fluxos de campos vetoriais por meio de membranas permeáveis.
Comentário da resposta: Para estudar integrais de superfície de campos vetoriais, haverá como 
motivação o cálculo de fluxos de campos vetoriais por meio de membranas permeáveis, que são 
importantes aplicações na geometria e na física.
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Quando falamos sobre aplicações de integrais de superfície, podemos pensar como 
exemplo uma folha de papel alumínio. Se essa folha de alumínio obtiver a forma de uma 
superfície S e a sua densidade em relação a (x, y, z) for p(x, y, z) , qual a expressão para obter a 
massa da folha?
Comentário da resposta: No exemplo citado, 
temos uma função de f com três variáveis, 
cujo domínio contém S. Sendo assim, no 
exemplo dado, se pensarmos em uma folha 
de alumínio com uma superfície S, e se a 
densidade em (x,y,z) for ρ(x, y, z), então é 
correto dizermos que a função para esse 
exemplo é
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Quando você liga a torneira, a água faz um percurso da fonte até a saída. O fluido
(água) fez um percurso por meio de alguma superfície (pode ser a superfície de um cano, por
exemplo) e chegou até a torneira. É possível quantificar o fluido por uma superfície por
unidade de tempo. Qual o conceito envolvido nesta descrição?
.
A. Domínio
B. Matrizes exponenciais.
C. Fluxo.
D. Campos vetoriais.
E. Gráficos de curvas.
Comentário da resposta: O fluxo de um fluido por meio de uma superfície ocorre quando 
ele escoa e passa através de uma superfície. É possível quantificar o fluido que passa de 
uma lado para o outro de uma determinada superfície em relação a uma unidade de 
tempo. Essa é a ideia do conceito intrínseco ao termo "fluxo".
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Assinale a alternativa que contenha a equação que calcule a integral de superfície S com 
equação z = g(x, y) de um campo escalar.
Comentário da resposta: 
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Quando falamos sobre superfícies parametrizadas X = X (x ( u, v), y ( u, y), z ( u, y)), é 
possível obter vetores Xu e Xv tangentes em um ponto da mesma. Tendo isto como base, 
qual das afirmações abaixo está correta?
A. Caso os vetores sejam linearmente dependentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor nulo 
e perpendicular à superfície.
B. Caso os vetores sejam linearmente dependentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor não 
nulo e perpendicular à superfície.
C. Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor 
não nulo e perpendicular à superfície.
D. Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço a somatória vetorial e obtenho um vetor 
não nulo e perpendicular à superfície.
E. Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço a divisão vetorial e obtenho um vetor nulo 
e perpendicular à superfície.
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Assinale a alternativa que contenha a equação que calcula a integral de uma superfície S, 
de um campo escalar, parametrizada por X(u, v) = (x ( u, v), y ( u, y), z ( u, y) Є D
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No processo de parametrização de uma superfície, três variáveis podem ser 
definidas em função de outras duas variáveis independentes cada, atentando para o seu 
limite no espaço. Dessa forma, ao passarmos para o espaço, qual variável relevante pode 
ser obtida?
A. Um elemento circular.
B. Um elemento de área.
C. Um elemento de volume.
D. Uma reta.
E. Um elemento variável.
Comentário da resposta: 
Quando falamos em parametrizar uma função, sabemos que é necessário 
visualizar três variáveis e escrevê-las em função de duas variáveis. 
Lembrando sempre que é de suma importância escolhermos um limite, 
pois, nesse caso, não teremos superfícies infinitas. Sendo assim, quando 
passamos tudo isso para um plano gráfico, nosso principal objetivo é 
obter um elemento de área.
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Sendo o campo vetorial , calcule o valor da integral de linha 
abaixo, usando o teorema de Green. Considere que a curva fechada simples C delimita 
no plano uma região D, onde esta possuiárea A.
A. 2A
B. 5A/2
C. 3A/2
D. A
E. 3A
Comentário da resposta: 
Resposta válida no sitema é a B: 5A/2
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Dentre os conjuntos de funções apresentados logo abaixo, selecione aquele que representa 
corretamente a relação entre os sistemas de coordenadas cartesiana e cilíndrica.
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Sendo S uma superfície com equação z = f(x,y) (gráfico da função), reconheça a equação que 
calcule a área dessa superfície:
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Um subconjunto é denominado de superfície S se existe uma região R e uma função injetora f, 
de forma que:
a. A função f junto com a região R é chamada de somatória de S.
b. A função f junto com a região R é chamada de domínio de S.
c. A função f junto com a região R é chamada de não nulidade de S.
d. A função f junto com a região R é chamada de divisão de S.
e. A função f junto com a região R é chamada de parametrização de S.
JUSTIFICATIVA
Quando falamos sobre parametrização de um plano, um subconjunto é chamado superfície se existe um
subconjunto e uma função injetora, tal que é correto afirmar que a função junto com a região é chamada de
parametrização.
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O cálculo de onde 𝑆 é a superfície esférica x² + y² + z² = 16 é:
a. 2048 π
b. 2048 π / 2
c. 2048 π / 4
d. 2048 π / 3
e. 2048 π / 5
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Assinale a alternativa que contenha a equação que calcula o fluxo de uma superfície S dada por um gráfico
z = g(x, y), com F = (P, Q, R)
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O valor de onde S é a superfície plana 3x + 2y + z = 12 delimitada pelos planos y = 0, y = 2, x = 1 e x = 0 
é:
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Assinale a alternativa que contenha a equação do cálculo da área de uma superfície S 
parametrizada por X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
A. .
B. .
C. .
D. .
E. .
Comentário da resposta: Dado uma superfície S parametrizada por 
X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) a equação do cálculo da área dessa 
superfície é dada por:
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Assinale a alternativa que contenha a equação do cálculo do fluxo de um campo F 
através de uma superfície S na direção de n(u,v), onde a superfície S é parametrizada 
por X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
Comentário da resposta: . Dado uma superfície S parametrizada por 
X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) a equação do cálculo do fluxo de um 
campo F através de uma superfície S na direção de n(u,v) é dada por: 
A. .
B. .
C. .
D. .
E. .
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A. 116/5
B. 29
C. 116/3
D. 116/7
E. Nenhuma das anteriores
Calcule a massa do pedaço do cilindro x² + y² = 4 , acima do plano z = - 1 e abaixo da 
superfície z = 10 – xy, com x ≥ 0, y ≥ 0 e com densidade 
Comentário da resposta:
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Calcule sendo S o pedaço do paraboloide
, com , orientado com a normal de cota positiva.
Comentário da resposta:
A. 180 π
B. 60 π
C. 10 π
D. 90 π
E. Nenhuma das anteriores
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A. 12 π
B. 24 π
C. 6 π
D. π
E. Nenhuma das anteriores
Calcule sendo S o pedaço do paraboloide
, com , orientado com a normal de cota positiva.
Comentário da resposta:
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Comentário da resposta: Se for possível escolher um vetor norma n em cada ponto 
(x, y, z) de modo que n varie continuamente sobre S, então S é chamada superfície 
orientada e a escolha dada de n fornece orientação para S
Questão referente ao Texto-base – Cálculo: volume 2.
Uma superfície S é dita superfície orientada se:
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Questão referente ao Texto-base – Teorema de Green e integrais de superfícies: roteiro de 
estudos.
Assinale a alternativa que contenha uma aplicação do Teorema de Green.
Comentário da resposta: Uma aplicação do Teorema de Green é a 
simplificação do cálculo de integrais de linha, transformando-as em integrais 
duplas. Essa aplicação funciona principalmente quando a expressão do 
rotacional do campo vetorial é mais simples que a expressão do campo.
A. Associar o campo vetorial com seu rotacional
B. Simplificar o cálculo de integrais de linha, transformando-as em integrais duplas
C. Associar o contorno (ou fronteira) de uma região com a região
D. Aplicar o cálculo do rotacional no cálculo do trabalho
E. Entender a dificuldade do cálculo da integral de linha
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Turma 2021
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a. É dada pela regra da mão esquerda da física onde o dedo polegar fica na direção do vetor normal e o 
movimento dos dedos palmares orienta o bordo
b. É dada pela regra da mão direita da física onde o dedo polegar fica na direção do vetor normal e o 
movimento dos dedos palmares orienta o bordo
c. É dada pela regra da mão direita da física onde o dedo polegar fica na direção oposta do vetor normal e o 
movimento dos dedos palmares orienta o bordo
d. É dada pela regra da mão direita da física onde o dedo polegar fica na direção do vetor tangente a um 
ponto e o movimento dos dedos palmares orienta o bordo
e. É dada pela regra da mão direita da física onde o dedo polegar fica na direção do vetor normal e o 
movimento dos dedos palmares é a orientação oposta o bordo
Assinale a alternativa que contenha o modo de obter a orientação coerente e uma superfície.
Comentário da resposta: Para obter a orientação coerente de uma superfície devemos 
utilizar a regra da mão direita da física, onde o dedo polegar fica na direção do vetor normal 
e o movimento dos dedos palmares orienta o bordo.
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Em qual dos casos abaixo pode ser usado o Teorema de Gauss?
a. Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas permeáveis que sejam abertas. É 
importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na física espacial.
b. Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas impermeáveis que sejam 
fechadas. É importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria 
e na física
c. Cálculo de fluxos de campos circulares através de membranas permeáveis que sejam 
fechadas. É importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria 
e na física.
d. Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas permeáveis que sejam fechadas. É 
importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria e na física
e. Cálculo de fluxos de campos circulares através de membranas impermeáveis que sejam 
fechadas. É importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria 
e na física
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Qual a principal característica do Teorema de Gauss, para que ele seja 
relevante em diversas aplicações?
a. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da divergência, é uma ferramenta 
para corrigir integrais de superfície e integrais triplas
b. O Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, é uma das 
ferramentas para relacionar as integrais de superfície e as integrais duplas de um sistema
c. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da convergência, é uma 
ferramenta para relacionar integrais de superfície e integrais triplas
d. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da convergência, é uma 
ferramenta para relacionar integrais de superfície e integrais quadráticas
e. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da divergência, é uma ferramenta 
para relacionar integrais de superfície e integrais triplas
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	Slide 1: Assinale a alternativa que contenha uma função de várias variáveis e seu respectivo domínio.
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