Aula - Calculo Diferencial e Integral II

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Cálculo Diferencial e Integral II
Professora Mr. Rúbia Maria Pereira
Sumário
Geral	2
Aula 1 – U1T1 – Cálculo de área e integral e Riemnann	4
Aula 2 – U1T2 – Teorema Fundamental do Cálculo	5
Aula 3 - U1T3 – Técnicas de Integração	10
Aula 4 - U1T3 – Técnicas de Integração	15
Geral
Cronograma das aulas:
	Aula
	Data
	Conteúdo
	1
	21/02
	U1T1 - Cálculo De Área E Integral De Riemann
	2
	28/02
	U1T2 - Teorema Fundamental Do Cálculo
	3
	06/03
	U1T3 – Técnicas de Integração
	4
	13/03
	U1T3 – Técnicas de Integração
	5
	20/03
	U1T4 – Aplicações Das Integrais Definidas
	6
	27/03
	U2T2 – Funções com Mais de uma variável
	7
	03/04
	U2T2 – Limites e continuidades de Funções com + de uma variável
	8
	10/04
	AV1
	9
	17/04
	U2T3 – Derivadas Parciais 
	10
	24/04
	U2T4 – Integrais Múltiplas
	11
	01/05
	FERIADO
	12
	08/05
	U2T5 – Aplicações de Integrais Múltiplas
	13
	15/05
	U3T1 – Equação diferencial de Primeira Ordem
	14
	22/05
	U3T2 – Equação diferencial de Segunda Ordem
	15
	29/05
	U3T3 – Soluções em Series de Potência
	16
	05/06
	U3T4 – Transformadas Integrais
	17
	12/06
	AV2
	18
	19/06
	Semana TCC
	19
	26/06
	AV3
	20
	
	
Ementa:
Integral indefinida. Técnicas de integração. Integrais múltiplas em coordenadas cartesianas. Integrais múltiplas em outros sistemas de coordenadas. Aplicações das integrais múltiplas. Integrais curvilíneas. Integrais de superfície. Equações diferenciais de primeira ordem. Equações diferenciais de segunda ordem. Soluções em séries de potências. Transformadas integrais.
Referências: 
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre : Bookman, 2000. nv, il. Tradução de: Calculus, a new horizon. 
STEWART, James. Cálculo.4. ed. São Paulo : Pioneira Thomson Learning, 2001. 2v, il. 
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica.2. ed. São Paulo : Makron Books, c1995. 2v, il. 
THOMAS, George Brinton; 
FINNEY, Ross L. Cálculo e geometria analítica. Rio de Janeiro : Livros Tecnicos e Cientificos, 1988. 3v, il. 
GONÇALVES, Mirian Buss; FLEMMING, Diva Marília. Cálculo B: funções de várias variáveis integrais duplas e triplas. São Paulo: Makron Books, 1999. xii, 372p, il. 
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo : Harbra, c1990. 2v, il. 
PISKUNOV, N. S. (Nikolai Semenovich). Cálculo diferencial e integral. 7. ed. Porto : Lopes da Silva, 1984. 2v, il. 
BRONSON, Richard. Moderna introdução as equações diferenciais. São Paulo : McGraw Hill, 1977. 387p, il. (Coleção Schaum). Tradução de: Schaum´s outline series : theory and problems of modern introductory differencial equations. 
BOYCE, William E; DIPRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno.3. ed. [Rio de Janeiro] : Guanabara Dois, [1979]. 587 p. 
BOULOS, Paulo. Pré-cálculo. São Paulo : Pearson Education, c2001. x, 101p, il. 
BOULOS, Paulo. Introdução ao cálculo. São Paulo : Edgard Blucher, c1973-1978. 3v, il.
Conteúdo:
UNIDADE 1 – INTEGRAL DE RIEMANN
1.1 Cálculo De Área E Integral De Riemann
1.2 Teorema Fundamental Do Cálculo
1.3 Técnicas De Integração
1.4 Integrais Impróprias
1.5 Aplicações de Integrais
UNIDADE 2 – DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MÚLTIPLAS
2.1 Funções com mais de uma variável
2.2 Limite e Continuidade de Funções de várias variáveis
2.3 Derivadas Parciais
2.4 Integrais Múltiplas 
2.5 Aplicações das integrais múltiplas
UNIDADE 3 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
3.1 Equações diferenciais de primeira ordem.
3.2 Equações diferenciais de segunda ordem
3.3 Soluções em séries de potências
3.4 Transformadas integrais
Avaliações:
AV1 – Prova (80%) + Trabalho (20%) 
AV2 – Prova (80%) + Trabalho (20%)
AV3 – Prova
Aula 1 – U1T1 – Cálculo de área e integral e Riemnann
Pré-aula:
https://www.youtube.com/watch?v=5T3XUtRtsX8&t=239s
https://www.youtube.com/watch?v=9W49euBM0KE&t=614s
Conteúdo da aula:
Aula 1.pptx
Pós aula:
Aula 2 – U1T2 – Teorema Fundamental do Cálculo
PRÉ AULA:
1.2.1 Integrais Indefinidas
Definição: dada uma função F(x) definida num intervalo I, dizemos que F(x) é uma primitiva de f (x) nesse intervalo se:
 
para todo x ϵ I.
Exemplo: Determine a primitiva da função 
Agora, uma pergunta: Qual função que quando eu derivo tenho o resultado 1.
Se derivarmos f(x) temos, 1, portanto encontramos a primitiva da função f. Mas ela será única?
Logo, ela não é única.
Proposição: seja F(x) uma primitiva da função f(x), então para toda constante c ϵ temos que G(x) = F(x) + c também é primitiva de f(x).
Exemplos:
	Função
	Primitiva
	
	
	
	
	
	
Definição: dada f (x) uma função F (x) e uma primitiva de f (x), a integral indefinida de f (x) é:
e para toda constante c ϵ .
Exemplo:
1. Calcule a integral indefinida de f (x) = 3x²
 
2. Calcule a integral indefinida de f (x) = sen (x)
3. Calcule a integral indefinida de 
1.2.2 Teorema Fundamental do cálculo
Teorema (Fundamental do Cálculo): considere uma função f contínua no intervalo [a,b], então:
, com F uma função tal que 
Exemplo:
Exemplo: 
Vamos gráficar essa função:
· Derivando uma vez:
	x
	
	y
	0
	
	0
	1
	
	0
	-1
	
	4
	2
	
	32
	-2
	
	0
O caso de R2 “descontará” a quantidade de área de R1, caso calculemos a integral como um todo. Veja:
Para calcular a área real, devemos dividir o cálculo em dois. A primeira integral R1, contemplando o intervalo de -2 até 0, e a segunda integral R2, contemplando o intervalo de 0 até 1. Calculando R1:
Calculando R2: Neste caso, como a parte do gráfico está abaixo do eixo X, devemos inverter o sinal da integral definida:
E assim, a área da região completa é dada por:
Exemplo: Calcule o saldo de área e a área real, dada pela integral: 
A primitiva da função f (x) = sen(x) é F(x) = –cos (x). Logo:
Perceba que o cálculo do saldo de área foi igual a zero. 
Analise o gráfico da função f (x) = sen (x):
O valor resulta em zero, pois as áreas acima e abaixo do gráfico são iguais. Desta forma, devemos, caso objetivemos calcular a área real, realizar o seguinte procedimento:
Pós aula:
Aula 3 - U1T3 – Técnicas de Integração
1.5.1 Método da Substituição
Algumas integrais são resolvidas aplicando uma das fórmulas básicas (integrais imediatas) depois de ser feita uma mudança de variável (substituição). O método da substituição é motivado pela regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação. Assim, sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F´(x) = f(x) e suponhamos que g seja uma outra função diferenciável. Vamos derivar a função composta F (g (x)). 
Veja como se dá a substituição na integral em que a função integrante é uma derivada de uma função composta:
Ou seja, 
O objetivo da técnica de integração é tornar a integral tão simples que a integral fique semelhante a uma das integrais da tabela de integrais imediatas.
Exemplo 1: Calcule a integral 
Escolhendo como (possui maior grau), então 
Assim, escrevemos a integral como:
	
	
Exemplo 2: Calcule a integral 
Escolhendo como (possui maior grau), então 
Assim, escrevemos a integral como:
	
	
Exemplo 3: Calcule a integral 
Escolhendo como (possui maior grau), então 
Assim, escrevemos a integral como:
	
	
Exemplo 4: Calcule a integral 
Escolhendo como (possui maior grau), então 
Assim, escrevemos a integral como:
	
	
Exemplo 5: Calcule a integral 
Escolhendo como (possui maior grau), então 
Assim, escrevemos a integral como:
	
	
Exemplo 6: Calcule a integral .
Escolhendo como , então 
Assim, escrevemos a integral como:
	
	
Exemplo 7: Calcule a integral .
Escolhendo como , então 
Assim, escrevemos a integral como:
	
	
Exemplo 8: Calcule a integral .
Escolhendo como 
Assim, escrevemos a integral como:
	
	
Exemplo 9: Calcule a integral .
Escolhendo como 
Assim, escrevemos a integral como:
	
	
Exemplo 10: Calcule a integral 
Escolhendo como 
Assim, escrevemos a integral como:
	
	
Pós Aula:
Aula 4 - U1T3 – Técnicas de Integração 
1.5.2 Integração por partes
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