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Função Exponencial
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1 Definição e Propriedades Básicas de Potência
Dado um número real a e n um número inteiro positivo, definimos a potência de
base a e exponente n, também chamada de a n-ésima potência de a, como:
• a1 = a;
• an = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n vezes
.
• a−n =
1
an
=
1
a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n vezes
, com a 6= 0.
• Definimos a0 = 1, para a 6= 0.
Desse modo, para qualquer número real a 6= 0 e n um número inteiro, a potência an
está bem definida.
O conceito de potências pode ser estendido para expoentes racionais. Quando
estudamos potências, vimos que
( m
√
a)m = (a1/m)m = am/m = a.
Assim, definimos agora a potência de a e expoente racional n
m
como sendo
an/m = (a1/m)n = ( m
√
a)n, com a > 0.
Seja a um número real positivo (a ∈ R+) e x um número irracional (x ∈ I),
definimos ax utilizando aproximações de x por números racionais.
Desse modo, definimos ax para qualquer número real x.
Lembremos a seguir algumas propriedades das potências. No quadro abaixo, a
e b são números reais positivos e x e y quaisquer números reais.
1
Propriedades das
potências
• ax · ay = ax+y
•
ax
ay
= ax−y, a 6= 0
• ax · bx = (a · b)x
•
ax
bx
=
(a
b
)x
, b 6= 0
• (ax)y = ax·y
2 Função Exponencial
Definição 1. A função exponencial com base a é definida como sendo a função
dada pela lei
f(x) = ax,
onde a é um número real maior que zero e diferente de um, isto é, a ∈ R∗+ e a 6= 1.
Observação 1.
a) Na função exponencial, a variável aparece no expoente e não dever ser confundida
com a função potência f(x) = xn, já que nesta última a variável está na base.
Exemplo:
• Funções exponênciais
• f(x) = 2x
• f(x) = 21(x+1)
• Funções Polinomiais
• f(x) = x2
• f(x) = (x+ 1)21
b) A condição a > 0, foi imposta para garantir que f(x) esteja definida para todo
número real.
Por exemplo, se a = −1 então f(x) = (−1)x. Calculando f(1
2
):
f(
1
2
) = (−1)
1
2 =
√
(−1)
Assim, não teremos um valor real para f(
1
2
). Daí a necessidade de se colocar a
condição a > 0.
c) Se a = 0, temos três pontos a considerar:
• se x > 0 , f(x) = 0x = 0, função constante;
• se x = 0 , f(x) = 00, não é definido;
2
• se x < 0 , f(x) = 0x = 0, não é definido, por exemplo, 0−2.
d) a = 1 foi excluído, pois para qualquer x, f(x) = 1x = 1 é uma função constante.
Notemos que se a é um número real maior que zero e diferente de um, isto é,
a ∈ R∗+ e a 6= 1, f(x) = ax é um número real maior que zero. Além disso, se
y = ax, temos que
loga y = loga a
x,
e como,
loga a
x = x,
concluímos que
loga y = x.
2.1 Gráficos
Para entender um pouco melhor as funções exponenciais, apresentaremos alguns
gráficos e tiraremos, a partir destes, algumas conclusões.
Para isso, consideraremos dois casos:
I) Se 0 < a < 1
A base é um número real, maior que zero e menor que um (0 < a < 1). A
função é decrescente, isto é, à medida que a variável x aumenta, o valor da
função diminui.
Assim, mais formalmente podemos dizer que se x1 e x2 são números reais
tais que x1 < x2, então f(x1) > f(x2) (no nosso caso é o mesmo que dizer
ax1 > ax2).
Vejamos o gráfico abaixo da função quando a =
1
2
, ou seja , f(x) =
(
1
2
)x
:
3
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
7
0
g(x) = (1/2)x
Após uma análise do gráfico apresentado acima, três fatos podem ser conside-
rados:
a) A função é decrescente, isto é, se x1 < x2, então ax1 > ax2 ;
b) Quando x vai para menos infinito, isto é, os valores de x estão cada vez mais
a esquerda na reta real horizontal, os valores da função vão para infinito;
c) Quando x vai para mais infinito, isto é, os valores de x estão cada vez
mais a direita na reta real horizontal, os valores da função se aproximam
indefinidamente de zero.
II) Se a > 1
Neste caso, a função f(x) = ax é crescente, ou seja, à medida que a variável x
aumenta, a imagem f(x) aumenta.
A seguir apresentamos o gráfico da função quando a = 2, ou seja, f(x) = 2x:
4
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
7
0
f(x) = 2x
Após uma análise do gráfico apresentado acima, três fatos podem ser conside-
rados:
a) A função é crescente, isto é, se x1 < x2, então ax1 < ax2 ;
b) Quando x vai para menos infinito, isto é, quando os valores de x estão
cada vez mais a esquerda na reta real horizontal, os valores da função se
aproximam indefinidamente de zero;
c) Quando x vai para mais infinito, isto é, quando os valores de x estão cada
vez mais a direita na reta real horizontal, os valores da função vão para
infinito.
3 Características e Propriedades
Seja f(x) = ax uma função exponencial, com a > 0 e a 6= 1, temos que:
1) Quando x = 0, então f(x) = a0 = 1, ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence
a função; graficamente corresponde a cortar o eixo das ordenadas em 1.Observe
que isso acontece am ambos os gráficos apresentados anteriormente.
2) Se 0 < a < 1, a função f é decrescente. Assim, por exemplo, as funções
f(x) =
(
1
2
)x
, f(x) =
(
1
π
)x
, e f(x) = (0, 9)x
são funções decrescentes.
5
3) Se a > 1, a função é crescente. Assim, por exemplo, as funções
f(x) = 2x, f(x) = ex, e f(x) = (4, 5)x
são funções crescentes.
4) Para todo a > 0 e a 6= 1, temos que ax1 = ax2 se e somente se, x1 = x2, para
quaisquer números reais x1 e x2.
5) O domínio de f, denotado por Dom(f), é o conjunto dos números reais, isto é,
Dom(f) = R.
6) O seu conjunto imagem de f, denotado por Im(f), é dado por Im(f) = R∗+.
Exemplo 1. Dada a função
f(x) =
(
2
3
)1−x
,
notemos que ela está definida para qualquer número real x. Assim, seu domínio
é Dom(f) = R. Além disso, uma vez que a = 2
3
< 1, temos que esta função é
decrescente.
Exemplo 2. Consideremos agora a função
g(x) = 2(
x
3−x).
Neste caso, observemos que no expoente aparace a fração x
3−x . Assim, o denomina-
dor 3− x não pode ser zero, isto é,
3− x 6= 0,
ou seja,
x 6= 3.
Dessa forma, o domínio da função é Dom(g) = R − {3}. Além disso, uma vez que
a = 2 > 1, temos que esta função é crescente.
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4 Sugestão de leitura
[1] FILHO, B. , SILVA, C., Matemática aula por aula. Volume único., São Paulo,
FTD, 2000.
Referências
[1] IEZZI, G. et al., Matemática: Volume Único, 5ª Ed., São Paulo, Atual, 2011.
[2] IEZZI, G., DOLCE, O., DEGENSZAJN, D., PÉRIGO, R., ALMEIDA, N. de.
Matemática: ciência e aplicações. Vol 1. São Paulo: Atual, 2001.
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