TD DE MATEMÁTICA - AULA 2 - Frente 1 - versão 13

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RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Consideremos a seguinte afirmação: 
Na 2.
a
 fase do vestibular da Fuvest (São Paulo), o número de vagas está para o número de candidatos na razão de 
1 para 3. 
 
 Esta afirmação significa que a cada vaga existente correspondem três candidatos; e ela pode ser representada em 
matemática por 
1
3
 (lê-se: um para três). 
 
 Quando fazemos esta afirmação, estamos comparando o número de vagas existentes com o número de candidatos 
inscritos, por meio de uma divisão do primeiro número pelo segundo, e usando a palavra razão para designar o 
quociente obtido. 
 Nesta Unidade, veremos a importância do estudo da razão de dois números para conhecimentos futuros e para 
aplicação na vida real. 
 
 
2. RAZÃO 
 Vimos que: 
  Comparamos dois números, dividindo um deles pelo outro; 
  Chama-se razão o resultado obtido. 
 
 Então, de modo geral, diz-se que: 
 
Razão de dois números racionais (com o segundo diferente de zero) é o quociente do primeiro pelo segundo. 
 
A razão de dois números racionais a e b pode ser representada na forma 
a
b
 ou na forma a : b; em ambos os casos 
lê-se: “razão de a para b” ou “a está para b” ou “a para b”. 
 O primeiro número denomina-se antecedente e o segundo, consequente. 
 


antecedentea
consequenteb
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
1) Determinar a razão de 20 para 16. 
 

20 5
fração irredutível que corresponde à razão pedida16 4
 
 
2) Uma prova de Matemática tem 10 questões. Um aluno acertou 8 dessas questões. Determinar: 
a) a razão do número de questões que acertou para o número total de questões 

8 4
10 5
 
 
b) a razão do número de questões que errou para o número de questões que acertou: 

2 1
8 4
 
 
OBSERVAÇÕES 
1.
a
) Sendo a razão de dois números racionais um número racional, valem para as razões todas as considerações e 
propriedades dos números racionais. 
2.
a
) Razão de duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que exprimem as suas medidas racionais, 
tomadas na mesma unidade. 
 
Exemplo 
Observar os cubos das figuras abaixo, e calcular a razão do volume do volume do primeiro para o volume do segundo. 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 2 
 
2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
  
 
  
3 3
(razão)3 3
Volume do primeiro (2cm) 8cm 8 1
64 8Volume do segundo (4cm) 64cm
 
 
 
3. RAZÕES INVERSAS 
Sejam as razões 
3 4
e
4 3
 
Vemos que: 
 O antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa; 
 O produto das duas é igual a 1 
 
  
 
3 4
1 .
4 3
 
 
 Duas razões nestas condições são denominadas inversas. 
 
 Deve-se notar que a razão de antecedente zero não possui inversa. 
 
 
4. ALGUMAS RAZÕES ESPECIAIS 
 Estudaremos algumas razões especiais que serão úteis em nossa vida. 
 
4.1. Velocidade Média 
 Denomina-se velocidade média a razão entre uma distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la 
 

distância
velocidade média
tempo
 
 
 
Exemplo 
Um automóvel percorreu 384 km em 5 horas. Qual foi a velocidade média desse automóvel? 
Distância percorrida = 384 km 
Tempo gasto = 5h 
Velocidade média = 
384 km
5 h
 = 76,8 km/h (lê-se: 76,8 quilômetros por hora) 
 
4.2. Escala 
 Denomina-se escala de um desenho a razão entre um comprimento considerado no desenho e o correspondente 
comprimento real, medidos com a mesma unidade. 
 

comprimento no desenho
escala
comprimento no real
 
 
 
Exemplo 
No desenho de uma casa, o comprimento da sala, que é de 6 m, está representado por um segmento de 3 cm. Qual foi a 
escala utilizada para o desenho? 
Comprimento no desenho = 3 cm 
Escala = 
3 1
ou 1 : 200
600 200
 
 
As escalas têm grande aplicação nos esboços de objetos (móveis, automóveis, etc.), nas plantas de casas e terrenos, 
nos mapas, nas cartas geográficas. 
 
3 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
No quadro abaixo, vemos uma parte de um mapa do Estado de São Paulo, feito numa escala de 1/4 000 000, ou seja, 
cada 1 cm no desenho representa 40 km no real. 
 
 
5. PROPORÇÃO 
 
Sejam os números 6, 9, 12 e 18. 
Nessa ordem, vamos calcular: 
 
A razão do 1.
o
 para o 2.
o
: A razão do 3.
o
 para o 4.
o
: 
 
6 2
9 3
 
12 2
18 3
 
 
Observando que a razão do primeiro para o segundo é igual à razão do terceiro para o quarto, podemos escrever: 
6 : 9 = 12 : 18 ou 
6 12
9 18
 
Nesse caso, dizemos que os números 6, 9, 12 e 18, nessa ordem, formam uma proporção. 
Na proporção 6 : 9 = 12 : 18 ou 
6 12
9 18
, destacamos: 
I) A sua leitura é: 6 está para 9, assim como 12 está para 18. 
II) Os números 6, 9, 12 e 18 são denominados termos da proporção. 
III) O primeiro e o quarto termos são denominados extremos, enquanto o segundo e o terceiro termos são 
denominados meios. 
 
De uma forma geral: 
 
Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, foram uma proporção quando a razão do 
primeiro para o segundo é igual à razão do terceiro para o quarto. 
a : b = c : d ou 
a c
b d
 (lê-se: a está para b assim como c, está para d) 
 
 
OBSERVAÇÃO 
Sendo a proporção uma igualdade de duas razões, os antecedentes e os consequentes das razões iguais são 
chamados antecedentes e consequentes da proporção. 
 
 
6. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES 
 
Considerando as seguintes proporções, observe: 
 
1) 
6 15
8 20
 
 Produto dos extremos = 6 . 20 = 120 
 Produto dos meios = 8 . 15 = 120 
 
4 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 O produto dos extremos e o produto dos meios são iguais. 
 
2) 
1 4
3 12
 
 Produto dos extremos = 1 . 12 = 12 
 Produto dos meios = 3 . 4 = 12 
 O produto dos extremos e o produto dos meios são iguais. 
 
 Então: 
     
produto dos produtos dos
extremos meios
6 15
6 20 8 15
8 20
 
     
produtos dosproduto dos
meiosextremos
1 4
1 12 3 4
3 12
 
 
Daí a propriedade fundamental: 
 
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, e vice-versa. 
    
produto dos produtos dos
extremos meios
a c
a d b c
b d
 
 
 
7. RESOLUÇÃO DE UMA PROPORÇÃO 
 
Resolver uma proporção significa determinar o valor do termo desconhecido dessa proporção. 
 
a) Resolver a proporção:  

  

x 3 3
x 1
x 1 5
 
 
 Aplicando a propriedade fundamental: 
   



    
x 3 3
x 1 5
5 x 3 3 x 1
 
 Resolvendo a equação: 5 + 15 = 3x + 3 
 5x - 3x = 3 - 15 
 2x = - 12 
 x = -
12
2
 
 Logo: x = - 6 x = - 6 
 
 
 
b) Numa maquete, a altura de um edifício é de 90 cm. Qual a altura real do prédio, sabendo que a maquete foi 
construída na escala 
1
30
? 
 Altura na maquete: 90 cm. 
 Altura no real: x 
 Escala = 
altura na maquete
altura no real
 
 
1 90
30 x
 
 1 . x = 30 . 90  aplicamos a propriedade fundamental 
 
x = 2.700 cm = 27 m. 
 
 
 
 
 
 
5 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
8. QUARTA PROPORCIONAL DE TRÊS NÚMEROS DADOS 
 
Dados três números racionais, a, b e c, denomina-se quarta proporcional desses números, número x, tal que 
a c
b x
 
 
Exemplo 
Calcular a quarta proporcional dos números 3, 10 e 6. 
  a
3 6
pela definição de 4. proporcional
10 x
 
  



3 x 10 6
3x 60
60
x
3
x 20
 
 
Resposta: A 4.
a
 proporcional dos números dados é 20. 
 
 
9. TERCEIRA PROPORCIONAL DE DOIS NÚMEROS DADOS 
Dados dois números racionais, a e b, denomina-se terceira proporcional desses números um número x, tal que 
a b
b x
 
Exemplo 
Calcular a terceira proporcional dos números 2 e 6. 
  a
2 6
pela definição de 3. proporcional
6 x
 
  



2 x 6 6
2x 36
36
x
2
x 18
 
 
Resposta: A 3.
a
 proporcional dos números dados é 18. 
 
 
10. OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 
1.
a
 propriedade (P1) 
Seja a proporção: 
5 10
4 8
 
Partindo desta proporção, vamos escrever outras proporções: 
   
     
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 9 18 1. 2. 3. 4.
4 8 5 10 5 10 1. 3.
 
   
      
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 9 18 1. 2. 3. 4.
4 8 4 8 4 8 2. 4.
 
   
      
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 1 2 1. 2. 3. 4.
4 8 5 10 5 10 1. 3.
 
   
      
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 1 2 1. 2. 3. 4.
4 8 4 8 4 8 2. 4.
 
 
Logo: 
Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim 
como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto). 
   
   
a c a b c d a b c d
ou
b d a c b d
 
 
6 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
   
   
a c a b c d a b c d
ou
b d a c b d
 
2.
a
 propriedade (P2) 
Seja a proporção: 
10 5
8 4
 
Partindo desta proporção, vamos escrever outras proporções: 
 
      
 
o
o
10 5 10 5 10 15 10 antec. antec. 1. antec.
8 4 8 4 8 12 8 conseq. conseq. 1. conseq.
 
 
      
 
o
o
10 5 10 5 5 15 5 antec. antec. 2. antec.
8 4 8 4 4 12 4 conseq. conseq. 2. conseq.
 
 
      
 
o
o
10 5 10 5 10 5 10 antec. antec. 1. antec.
8 4 8 4 8 4 8 conseq. conseq. 1. conseq.
 
 
      
 
o
o
10 5 10 5 5 5 5 antec. antec. 2. antec.
8 4 8 4 4 4 4 conseq. conseq. 2. conseq.
 
 
Logo: 
Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o seu consequente. 
 
   
 
a c a c a a c c
ou
b d b d b b d d
 
 
   
 
a c a c a a c c
ou
b d b d b b d d
 
 
 
11. APLICAÇÃO DAS PROPRIEDADES 
 
Veremos, por meio de exemplos práticos, como aplicar essas propriedades na resolução de exercícios. 
1.
o
 exemplo: Determinar x e y na proporção 
x 3
y 4
, sabendo-se que x + y = 28. 
   
     1
x 3 x y 3 4 x y 3 4
ou aplicando-se P
y 4 x 3 y 4
 
Como x + y = 28, resulta: 
          
28 7 84
x 7 28 3 7x 84 x x 12
x 3 7
 
          
28 7 112
y 7 28 4 7y 112 y y 16
x 4 7
 
 
Logo: x = 12 e y = 16. 
 
2.
o
 exemplo: A razão de dois números é de 5 para 2, e a diferença entre eles é 60. 
Determine os dois números. 
 
Resolução 
Representando os números por x e y, temos: 
 
  
   
     1
x 5
a razão é de 5 para 2
y 2
x y 60 a diferença é 60
x 5 x y 5 2 x y 5 2
ou aplicando-se P
y 2 x 5 y 2
 
Como x - y = 60, resulta: 
          
          
60 3 300
x 3 60 5 3x 300 x x 100
x 5 3
60 3 120
y 3 60 2 3y 120 y y 40
y 2 3
 
Logo: Os números são 100 e 40. 
 
7 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
3.
o
 exemplo: Sabendo-se que 
a b
3 2
 e a + b = 30, determinar a e b. 
 
    
 
2
a b a b a a b b
ou aplincando-se P
3 2 3 2 3 3 2 2
 
Como a + b = 30, resulta: 
          
30 a 90
5 a 30 3 5a 90 a a 18
5 3 5
 
          
30 b 60
5 b 30 2 5b 60 b b 12
5 2 5
 
Logo: a = 18 e b = 12. 
 
 
12. SEQUÊNCIA DE RAZÕES IGUAIS (PROPORÇÃO MÚLTIPLA) 
Consideremos as razões: 
3 10 16
, ,
6 20 32
 
Verificamos que todas são iguais, pois: 
  
3 1 10 1 16 1
6 2 20 2 32 2
 
 
Podemos, então, escrever: 
 
3 10 16
6 20 32
 
 
Ao igualarmos as razões acima, formamos uma sequência de razões iguais ou uma proporcional múltipla. 
 
Exemplo 
Resolver a proporção múltipla  
x y z
3 5 2
, sabendo-se que x + y + z = 200. 
Como vale para as proporções múltiplas a propriedade P3, temos: 
 
   
 
x y z x y z x y z
ou ou
3 5 2 3 5 2 3 5 2
 
Como x + y + z = 200, resulta: 
       
200 x 20 x
x 20 3 x 60
10 3 1 3
 
 
       
200 y 20 y
y 20 5 y 100
10 5 1 5
 
       
200 z 20 z
z 20 2 z 40
10 2 1 2
 
 
Logo: x = 60, y = 100 e z = 40. 
 
 
PARTE I: NÚMEROS PROPORCIONAIS 
 
1. Introdução 
 Consideremos o seguinte problema: 
 Dois amigos jogaram na loteria esportiva e ganharam Cr$ 6 000 000. Como o primeiro entrou com Cr$ 1 200 e o 
segundo com Cr$ 1 800, combinaram que o prêmio seria dividido em partes proporcionais a estas quantias. Quanto 
coube a cada um? 
 Para darmos a resposta a esta situação, devemos aprender a dividir um número (no caso, Cr$ 6 000 000) em partes 
proporcionais a dois outros (no caso, Cr$ 1 200 e Cr$ 1 800). 
 É o que estudaremos nesta Unidade. 
 
2. Números Diretamente Proporcionais 
 Sejam dois conjuntos, A e B, de números racionais em correspondência biunívoca: 
A = {2, 3, 5, 6, 10} 
 
8 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
B = {6, 9, 15, 18, 30} 
 
Determinando as razões entre os elementos correspondentes, verificamos que são iguais, isto é: 
    
2 3 5 6 10 1
6 9 15 18 30 3
 
 
Neste caso, dizemos que os elementos dos conjuntos A e B são diretamente proporcionais. 
O número 
1
3
 é chamado fator de proporcionalidade. 
 
Exemplos: 
1) Verificar se os elementos das sucessões (2, 5, 12) e (4, 10, 24) são diretamente proporcionais. 
  
2 1 5 1 12 1
,
4 2 10 2 24 2
 
Como   
2 5 12 1
4 10 24 2
, as sucessões são diretamente proporcionais. 
 
2) As sucessões (4, x, 10) e (y, 14, 20) são diretamente proporcionais. Calcular o valor de x e de y. 
  
          
          
4 x 10
pela definição
y 14 20
4 10 80
10 y 4 20 10y 80 y y 8
y 20 10
x 10 140
20 x 14 10 20x 140 x x 7
14 20 20
 
 
Logo: x = 7 e y = 8. 
 
 
3. DIVISÃO DE UM NÚMERO N EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Seja o problema: 
Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais aos números 4, 2 e 3. 
 
Para resolver o problema, devemos: 
 Representar os números procurados por x, y e z; 
 Considerar as sucessões (x, y, z) e (4, 2, 3) como diretamente proporcionais. 
 
Então 
   


  

x y z 180 a soma dos três números é igual a 180
x y z
os números são diretamente proporcionais a 4, 2 e 3
4 2 3
 
 
    
 
       
       
       
x y z x y z x y z
ou ou pela propriedade das proporções
4 2 3 4 2 3 4 2 3
180 x 20 x
x 20 4 x 80
9 4 1 4
180 y 20 y
y 20 2 y 40
9 2 1 2
180 z 20 z
z 20 3 z 60
9 3 1 3
 
 
Resposta: Os números são 80, 40 e 60. 
 
 
4. NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Consideremos dois conjuntos, A e B, em correspondência biunívoca: 
 A = {2, 3, 5, 6, 10} 
 
B = {45, 30, 18, 15, 9} 
 
9 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
Determine o produto entre os elementos correspondentes, vemos que são iguais, isto é: 
2 . 45 = 3 . 30 = 5 . 18 = 6 . 15 = 10 . 9 = 90 
 
Neste caso, dizemos que os elementos dos conjuntos A e B são inversamente proporcionais. 
O número 90 é chamado fator de proporcionalidade. 
 
Considerando que: 
2 . 45 = 3 . 30 = 5 . 18 = 6 . 15 = 10 . 9, vem que: 
   
2 3 5 6 10
1 1 1 1 1
45 30 18 15 9
 
 
Podemos dizer que: 
Os elementos do conjunto A são diretamente proporcionais aos inversos dos elementos do conjunto B. 
 
Exemplo: 
1) Verificar se os elementos das sucessões (2, 6, 9) e (18, 6, 4) são inversamente proporcionais. 
2 . 18 = 36 , 6 . 6 = 36 9 . 4 = 36 
 
Como 2 . 18 = 6 . 6 = 9 . 4 = 36, as sucessões são inversamente proporcionais. 
 
2) As sucessões (2, x, 15) e (y, 12, 4) são inversamente proporcionais. Calcular o valor de x e de y. 
     
        
        
2 y x 12 15 4 pela definição
60
2 y 15 4 2y 60 y y 30
2
60
x 12 15 4 12x 60 x x 5
12
 
Logo: x = 5 e y = 30. 
 
 
5. DIVISÃO DE UM NÚMERO N EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Seja o problema: 
Dividir o número 390 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 4 e 3. 
 
Para resolver o problema, devemos: 
 Representar os números procurados por x, y, z; 
 Considerar as sucessões (x, y, z) e (2, 4, 3) como inversamente proporcionais. 
 
Então: 
   

  


 
   
 
x y z 390 a soma dos trêsnúmeros é 390
x y z
os números são diretamente proporcionais aos inversos de 2,4 e 3
1 1 1
2 4 3
x y z x y z x y z
ou ou
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 3 2 4 3 2 4 3
 
 
Como x + y + z = 390, resulta: 
  
 
 
390 390 390
390
1 1 1 6 3 4 13
2 4 3 12 12

30
12
13

1
360 
 
10 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
     
     
     
360 x 1
x 360 x 180
11 2
2
360 y 1
y 360 y 90
11 4
4
360 z 1
z 360 z 120
11 3
3
 
 
Logo: Os números são 180, 90 e 120. 
 
 
PARTE II: REGRA DE TRÊS 
 
1. Introdução 
Consideremos os seguintes problemas: 
 
1.
o
) Um automóvel, com uma velocidade média de 60 km/h, leva 5 horas para percorrer a distância entre duas cidades A 
e B. Se a sua velocidade média fosse de 80 km/h, qual seria o tempo gasto para percorrer a mesma distância? 
 
Representando por x o tempo pedido, observamos que: 
 Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade média (60 km/h e 80 km/h) com dois valores da 
grandeza tempo (5h e xh) 
 Queremos determinar um desses quatro valores, conhecendo os outros três. 
 
2.
o
) Uma rua mede 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua. 
Supondo que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? 
 
Representando por x o tempo pedido e observando que faltam 420 m para terminar o asfalto, temos: 
 Estamos relacionando dois valores da grandeza comprimento (180 m e 420 m) com dois valores da grandeza tempo 
(6 d e x d); 
 Queremos determinar um desses quatro valores, conhecendo os outros três. 
 
 
2. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 Quando colocamos gasolina em nosso carro, despendemos certa importância dinheiro. A quantidade colocada e o 
preço que pagamos por ela são duas grandezas variáveis dependentes. 
 O mesmo ocorre quando compramos arroz, feijão, batata, açúcar ... O peso e o custo da mercadoria comprada são 
grandezas variáveis dependentes. 
 Consideremos, então, o exemplo seguinte, tomando como base o preço da batata em janeiro de 1985: 
1 kg de batata custa Cr$ 1 000 
2 kg de batata custam Cr$ 2 000 
3 kg de batata custam Cr$ 3 000 
4 kg de batata custam Cr$ 4 000 
.................................................. 
 
Pelos valores encontrados, verificamos que: 
 Variando o peso, o custo também varia; 
 Duplicando, triplicando, ... o peso, o custo duplica, triplica, ... 
 
Neste caso, dizemos que as grandezas peso e custo são diretamente proporcionais. 
 
Daí a definição: 
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando, ao dobro, ao triplo ... de uma, 
corresponde o dobro, o triplo ... da outra. 
 
Observemos, agora, o quadro com os valores do exemplo dado: 
Quantidade (em kg) Peço (em Cr$) 
1 1 000 
2 2 000 
3 3 000 
4 4 000 
 
11 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
Considerando, duas a duas, as razões dos números que exprimem as medidas das grandezas, temos: 
1 1000 1 1000 1 1000
e , e , e
2 2 000 3 3 000 4 4 000
2 2 000 2 2 000 3 3 000
e , e , e
3 3 000 4 4 000 4 4 000
 
 
Vemos que, duas a duas, as razões são iguais: 
1 1000 1 1000 1 1000
e , e , e
2 2 000 3 3 000 4 4 000
2 2 000 2 2 000 3 3 000
e , e , e
3 3 000 4 4 000 4 4 000
 
 
Então: 
 
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre os dois valores de uma é igual à razão entre os 
dois valores correspondentes da outra. 
 
 
3. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
 Consideremos a velocidade de um automóvel (suposta constante) e o tempo que ele gasta para percorrer certa 
distância: 
Com velocidade de 40 km/h, gasta 6 horas para percorrer a distância. 
Com velocidade de 80 km/h, gastará 3 horas para percorrer a mesma distância. 
Com velocidade de 120 km/h, gastará 2 horas para percorrer a mesma distância. 
 
Pelo valores encontrados, verificamos que: 
 Variando a velocidade, o tempo também varia; 
 Duplicando, triplicando ... a velocidade, o tempo fica reduzido à metade, à terça parte ... 
 
Neste caso, dizemos que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. 
Daí a definição: 
 
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando, ao dobro, ao triplo ... de uma, 
corresponde a metade, a terça parte ... da outra. 
 
Observemos, agora, o quadro com os valores do exemplo dado: 
Velocidade Tempo 
40 km/h 6 h 
80 km/h 3 h 
120 km/h 2 h 
 
Considerando, duas a duas, as razões dos números que exprimem as medidas das grandezas, temos: 
40 6 40 6 80 3
e , e , e
80 3 120 2 120 2
 
 
Vemos que uma razão é igual ao inverso da outra: 


40 3
6
80 6 inverso de
3
 

40 2
6
120 6 inverso de
2
 


80 2
3
120 3 inverso de
2
 
 
Então: 
 
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, a razão dos dois valores de uma é igual ao inverso da razão 
dos dois valores correspondentes da outra. 
 
 
 
12 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
4. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
 Aprenderemos, agora, a resolver problemas que relacionam dois valores de uma grandeza A com dois valores de 
uma grandeza B, chamados problemas de regra de três simples. 
 Resolver esses problemas significa determinar um desses quatro valores, conhecendo os outros três. 
 
Técnica Operatória 
Representaremos por 



1 2
1 2
a e a os dois valores da grandeza A.
b e b os dois valores da grandeza B.
 
 
Teremos, então, o seguinte esquema: 
Grandeza A Grandeza B 
 a1 ______________ b1 
 a2 ______________ b2 
 
Quando as grandezas A e B são diretamente proporcionais, escrevemos a proporção: 
 1 1
2 2
a b
as razões são iguais
a b
 
 
Quando as grandezas A e B são inversamente proporcionais, escrevemos a proporção: 
  a a1 2
2 1
a b
a 1. razão é igual ao inverso da 2.
a b
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1.
o
 exemplo: Uma máquina, trabalhando durante 40 minutos, produz 100 peças. Quantas peças iguais a essas serão 
produzidas pela máquina em 2h 30min? 
 
Tempo Produção 
40 min _____________ 100 peças 
150 min ____________ x peças (lembrete: 2h 30min = 150 min) 
 
As grandezas são diretamente proporcionais, pois, dobrando-se o tempo de funcionamento, o número de peças 
produzidas também dobrará. 
 
Então: 
40 100
150 x
 
        
15 000
40 x 150 100 40x 15 000 x x 375
40
 
Resposta: Em 2h 30min, a máquina produzirá 375 peças. 
 
2.
o
 exemplo: Para realizar um serviço de terraplenagem, 4 máquinas levam 15 dias. Em quantos dias 6 máquinas iguais 
às primeiras fariam o mesmo serviço? 
N.
o
 de máquinas Tempo 
 4 máq. _________ 15 dias 
 6 máq. _________ x dias 
 
As grandezas são inversamente proporcionais, pois, dobrando-se o número de máquinas, o tempo gasto para fazer o 
mesmo serviço fica reduzido à metade. 
 
Então: 

        
4 x
6 15
60
6 x 4 15 6x 60 x x 10
6
 
 
Resposta: As 6 máquinas fariam o serviço em 10 dais. 
 
 
 
 
 
13 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Estudaremos, agora, problemas que relacionam três ou mais grandezas. 
 
1.
o
 exemplo: 4 operários produzem, em 10 dias, 320 peças de certo produto. Quantas peças desse produto serão 
produzidas por 10 operários em 16 dias? 
 
N.
o
 de operários N.
o
 de dias N.
o
 de peças 
 4 _____________ 10 ______________ 320 
 10 ____________ 16 ______________ x 
 
Para verificar a proporcionalidade, consideremos separadamente a grandeza que possui a incógnita com cada uma das 
outras grandezas. 
 
Assim: 
Número de operários e número de peças são grandezas diretamente proporcionais. 
Número de dias e número de peças são grandezas diretamente proporcionais. 
 
Teremos, então, as razões: 
4 10 320
10 16 x
 
 
Escrevemos a proporção igualando a razão que contém o termo desconhecido com o produto das outras razões: 

320 4
x
1
10

1
10
1
16
     
4
320 1
x 320 4 x 1 280
x 4
 
 
Resposta: Serão produzidas 1 280 peças. 
 
2.o
 exemplo: 18 operários, trabalhando 7 horas por dia, fazem determinado serviço em 12 dias. Em quantos dias, 12 
operários que trabalham 9 horas por dia farão serviço idêntico? 
N.
o
 de operários N.
o
 de horas por dias N.
o
 de dias 
 18 _____________ 7 ______________ 12 
 12 _____________ 9 ______________ x 
 
Número de operários e número de dias são grandezas inversamente proporcionais. 
Número de horas por dia e número de dias são grandezas inversamente proporcionais. 
 
As razões são: 

12
18
18 inverso de
12
 , 

9
7
7 inverso de
9
 , 
12
x
 
 
A proporção é: 
12 12
x
6
18
2

1
9
1
7
 
      
12 6 84
6x 84 x x 14
x 7 6
 
 
Resposta: Farão serviço idêntico em 14 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Sabendo que: 
a b c
7 3 2
a b c 16

 

   
 
Calcule os valores de a, b e c 
 
Questão 02 
Dois números estão entre si como 2 está para 1. 
Sabendo que a diferença entre eles é 40, calcule os 
dois números. 
 
Questão 03 
A diferença entre dois números é 75. O maior deles está 
para 5, assim como o menor está para 2. Quais são 
esses números? 
 
Questão 04 
Divida: 
a) 357 em partes diretamente proporcionais a 1, 7 e 13; 
b) 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6; 
 
Questão 05 
Precisamos repartir R$ 5000,00 entre Marcelo, 7 anos, 
Luciano, 8 anos, e Alexandre, 10 anos, de modo que 
cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. 
Como devemos fazer a divisão? 
 
Questão 06 
Marlene está lendo um livro com 352 página. Em 3 
horas ela já leu 48 páginas. Quanto tempo Marlene vai 
levar para ler o livro todo? 
 
Questão 07 
Três torneiras idênticas, abertas completamente, 
enchem um tanque com água em 2h24min. Se, em vez 
de 3, fossem 5 dessas torneiras, quanto tempo levariam 
para encher o mesmo tanque.? 
 
Questão 08 
Para alimentar 50 coelhos durante 15 dias são 
necessários 90 kg de ração. Quantos coelhos é possível 
alimentar em 20 dias com 117 kg de ração? 
 
Questão 09 
Para produzir 1 000 livros de 240 páginas, uma editora 
consome 360 Kg de papel. Quantos livros de 320 
páginas é possível fazer com 720 kg de papel? 
 
Questão 10 
Se 12 operários, trabalhando 10 horas diárias, levantam 
um muro de 20 m de comprimento 6 dias, em quanto 
tempo 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, 
levantarão um muro de 30 m com a mesma altura e 
largura do anterior? 
 
 
 
 
 
 
15 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
Questão 11 
(UNICAMP) Na planta de um edifício em construção, 
cuja escala é 1 : 50, as dimensões de uma sala 
retangular são 10 cm e 8 cm. Calcule a área real da sala 
projetada. 
 
Questão 12 
Qual a medida do maior ângulo de um quadrilátero, se 
os ângulos têm medidas inversamente proporcionais a: 
1, 1/2, 1/4, 0,2. 
 
Questão 13 
A média aritmética de um conjunto de 50 números é 38. 
Se dois números, a saber, 45 e 55, são retirados, a 
média do conjunto restante é: 
a) 36,5. 
b) 37. 
c) 37,2. 
d) 37,5. 
e) 37,52 
 
Questão 14 
A média aritmética entre dois números é 5. E a média 
harmônica entre eles é 
24
5
. Calcule a média geométrica 
desses dois números. 
 
Questão 15 
José e Carlos organizaram uma firma comercial com um 
capital social de R$ 3.000,00 devendo cada um deles 
entrar com R$ 1.500,00. No ato da organização, 1º de 
janeiro, José integralizou sua quota e Carlos contribuiu 
com apenas R$ 1.000,00, integralizando sua quota após 
5 meses. Em 31 de dezembro foi procedido o balanço, 
tendo sido apurado um lucro de R$ 670,00. Qual a parte 
a ser creditada a cada sócio? 
 
Questão 16 
(UFJF – Adaptada) Num terreno retangular, deseja-se 
construir uma casa, uma área de lazer, uma área de 
serviço e uma garagem. O terreno possui comprimento 
igual a 15 metros e está dividido em quatro quadrados, 
conforme mostra a figura abaixo. 
Qual a largura do terreno? 
 
a) 7m 
b) 8m 
c) 9m 
d) 10m 
e) 12m 
 
 
FARADAY
Destacar
FARADAY
Destacar
FARADAY
Destacar
 
16 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
Questão 17 
Uma indústria tem um reservatório de água com 
capacidade para 900m
3
. Quando há necessidade de 
limpeza do reservatório, toda a água precisa ser 
escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e 
dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta 
indústria construirá um novo reservatório, com 
capacidade de 500m
3
, cujo escoamento da água deverá 
ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver 
cheio. Os raios utilizados no novo reservatório deverão 
ser idênticos aos do já existente. A quantidade de, ralos 
do novo reservatório deverá ser igual a: 
a) 2 
b) 4 
c) 5 
d) 8 
e) 9 
 
Questão 18 
(PUC) Dois ângulos complementares A e B, sendo A < 
B, têm medidas na razão de 13 para 17. 
Consequentemente, a razão da medida do suplemento 
do âgulo A para o suplemento do ângulo B vale: 
a) 
43
47
 
b) 
17
13
 
c) 
13
17
 
d) 
119
48
 
e) 
47
43
 
 
Questão 19 
Doze pedreiros constroem 27 m² de um muro em 30 
dias, trabalhando 8 h por dia. Quantas horas devem 
trabalhar por dia, dezesseis pedreiros durante 24 dias, 
para construírem 36 m² do mesmo muro? 
a) 20 horas 
b) 12 horas 
c) 10 horas 
d) 8 horas 
 
Questão 20 
Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 
30 dias, iniciando a obra com 12 operários, trabalhando 
6 horas por dia. Decorridos 10 dias, quando já havia 
realizado 1/3 da obra, a empresa teve que deslocar 4 
operários para outro projeto. Nessas condições, para 
terminar a obra no prazo pactuado, a empresa deve 
prorrogar o turno por mais: 
a) 2h e 30min. 
b) 2h. 
c) 3h. 
d) 1h. 
e) 1h e 30min. 
 
 
 
 
 
 
 
FARADAY
Destacar
FARADAY
Destacar
 
17 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Se x – y = 20 e 
x
3
y
 , pode-se dizer corretamente que 
x
2
 + y
2
 vale: 
a) 900 b) 1000 
c) 1100 d) 1200 
 
Questão 02 
Na proporção 
2 6
5 5
x 2 x 4

 
, o valor de x é elemento do 
conjunto: 
a) {–20, –10} 
b) {–5, 1} 
c) {5, 10} 
d) {4, 20} 
 
Questão 03 
A diferença entre dois números é 45. O maior deles está 
para 9 assim como o menor está para 4. Logo, o maior 
número é: 
a) 60 
b) 72 
c) 75 
d) 81 
 
Questão 04 
João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou 
com R$ 20000,00 e Maria, com R$ 30000,00. Se ao fim 
de um ano eles obtiverem um lucro de R$ 7500,00, 
quanto vai caber a cada um? 
 
Questão 05 
O relógio de Nanci atrasa 26 segundos a cada 48 horas. 
Quanto vai atrasar em 30 dias? 
 
Questão 06 
Um navio foi abastecido com comida suficiente para 
alimentar 14 pessoas durante 45 dias. Se 18 pessoas 
embarcarem nesse navio, para quantos dias, no 
máximo, as reservas de alimento serão suficientes? 
 
Questão 07 
Para revestir uma parede de 3 m de comprimento por 
2,25 m de altura, são necessários 300 azulejos. 
Quantos azulejos seriam necessários se a parede 
medisse 4,5 m x 2 m? 
 
Questão 08 
Uma montadora de automóveis demora 8 dia; para 
produzir 200 veículos; trabalhando 9 horas por dia. 
Quantos veículos montará em 15 dias, funcionando 
12 horas por dia? 
 
 
 
 
FARADAY
Máquina de escrever

16) C
17) C
18) E
19) C
20) C
 
18 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
 
 
Questão 09 
Para abrir uma valeta de 50 m de comprimento e 2 m de 
profundidade, 10 operários levam 6 dias. Quantos dias 
serão necessários para abrir 80 m de valeta com 3 m de 
profundidade, dispondo de 16 operários? 
 
Questão 10 
Se 5 homens podem arar um campo de 10 hectares em 
9 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos homens 
serão necessários para arar 20 hectares em 10 dias, 
trabalhando 9 horas por dia? 
 
Questão 11 
O produto de dois números positivos é 72 e a razão 
entre eles 
2
9
. Determiná-los. 
 
Questão 12 
 (UFRJ) Um automóvel de 4,5 m de comprimento é 
representado, em escala, por modelo de 3 cm de 
comprimento.Determine a altura do modelo que 
representa, na mesma escala, uma casa de 3,75m de 
altura. 
 
Questão 13 
Dividindo-se 1.650 em partes diretamente proporcionais 
a 4, 
1
6
4
 e 
7
2
 a soma das duas partes menores é: 
a) 720. 
b) 800. 
c) 870. 
d) 900. 
 
Questão 14 
Se a média geométrica de dois números vale 2 5 e a 
média aritmética é 
9
2
. Calcule esses números. 
 
Questão 15 
Aplicou-se uma prova de uma classe de vinte rapazes e 
trinta moças. Os rapazes e trinta moças. Os rapazes 
obtiveram média 8 e as moças média 7. A média da 
classe foi: 
a) 7,40 
b) 7,45 
c) 7,50 
d) 7,55 
e) 7,60 
 
Questão 16 
Reparti 230 balas entre minhas três sobrinhas que tem 
respectivamente 4, 5 e 8 anos quantas balas recebeu 
cada uma se a divisão foi feita em partes inversamente 
proporcionais à idade. 
a) 100, 80 e 50. 
b) 90, 70 e 40. 
c) 80, 60 e 30. 
d) 70, 50 e 20. 
e) 60, 40 e 10. 
 
 
 
 
 
19 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
Questão 17 
Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais 
de R$ 18.000,00, R$ 22.500,00 e R$ 27.000,00 e 
obtiveram um lucro líquido de R$ 27.000,00. Qual será a 
parte de cada um? 
 
Questão 18 
Uma obra é construída em 8 dias, por 9 pedreiros 
trabalhando 5 horas por dia. Em quantos dias 12 
pedreiros, trabalhando 6 horas por dia, poderia realizar 
a mesma obra? 
a) 5 dias 
b) 8 dias 
c) 15 dias 
d) 25 dias 
e) 32 dias 
 
Questão 19 
Quinze operários, trabalhando 9h por dia, construíram 
36 m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 
operários terão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8h 
por dia? 
a) 25 dias 
b) 42 dias 
c) 45 dias 
d) 50 dias 
e) 55 dias 
 
Questão 20 
Trabalhando 10 horas por dia, durante 16 dias, 8 
pedreiros fizeram uma parede de concreto de 48 m
2
. Se 
tivesse trabalhando 12 horas diárias, e se o número de 
operários fosse reduzido de 2, quantos dias levariam 
para fazer outra parede cuja área fosse o dobro 
daquela? 
a) 33 dias 
b) 33 dias e 8 horas 
c) 34 dias e 4 horas 
d) 33 dias e 6 horas 
e) 35 dias 13 horas e 20 minutos 
 
 
*F4. João: R$ 3000,00 ; Maria: R$ 4500,00 
 
11) 4 e 18 
12) 2,5 cm 
13) D 
14) 4 e 5 
15) A 
16) A 
17) 9000, 12500 e 13500 
18) A 
19) A 
20) E 
 
GABARITO 
Questões F1 F2 F3 F4 F5 
Respostas 1000 C D * 390 seg. 
Questões F6 F7 F8 F9 F10 
Respostas 35 dias 
400 
azulejos 
500 
9 
dias 
8 homens 
 
 
 
RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Resolução: Do enunciado, temos: 
x – y = 20 
x
3
y
 x
2
 + y
2
 = ? 
Sabe-se que x = y + 20, então 
y 20 3
y 1

 
Logo 3y = y + 20  2y = 20  y = 10 
 x = 30 
Assim: x
2
 + y
2
 = 30
2
 + 10
2
 = 900 + 100 = 1000 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 02 
Resolução: Do enunciado, temos: 
 
2 6
2 65 5 x 4
x 2 x 4 5 5
    
 
 x 2 2x 8 6x 12 20 4x x 5          
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 03 
Resolução: Do enunciado, podemos escrever: 
 x – y = 4 
x y
9 4
 
Usando as propriedades das proporções: 
x y x y x y 45
9
9 4 9 4 5 5
 
    

 
Então 
x
9
9
 e 
y
9
4
 então x = 81 e y = 36 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 04 
Resolução: Vamos chamar a parte que cabe a João de J e a de Maria de M, logo usando as propriedades da 
proporção, temos: 
J 20000 2 J 2 J M
J M 7500
M 30000 3 M 3 2 3
J M J M 7500 J M
1500 Logo: 1500 1500
2 3 2 3 5 2 3
       

     

 
Portanto J = 3000 e M = 4500 
 
Resposta: J = 3000 e M = 4500 
 
Questão 05 
Resolução: Fazendo uma regra de três simples: 
26 segundos  48 h 
x segundos  24 . 30 h 
48 . x = 26 . 24 . 30 
x = 
26 24 30
48
 26

30
2

390segundos 
Passando para minutos, temos: 
x = 390 segundos = 6 . 60 segundos + 30 segundos = 6 min e meio 
 x = 6,5 min 
 
 
21 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
  
  
Resposta: 6,5 minutos 
 
Questão 06 
Resolução: Fazendo o esquema abaixo: 
Pessoas Dias 
 14 45 
 18 x 
 
7
45 18
18 x 14 45
x 14
14
x
    

9
45
18

5
7 45

9
35
 
 
Resposta: 35 dias 
 
Questão 07 
Resolução: Fazendo o esquema abaixo: 
Área Azulejos 
6,75 m
2
 300 
9 m
2
 x 
 
6,75 300
6,75 x 300 9
9 x
     
x = 
300 9
400
6,75

 
 
Resposta: 400 azulejos 
 
Questão 08 
Resolução: Fazendo o esquema abaixo: 
Dias Veículos Horas/dia 
 8 200 9 
 15 x 12 
2
200 8
x

5
15
3
9

3
12
200 2
2x 1000
x 5
x 500
  

 
 
Resposta: 500 veículos 
 
Questão 09 
Resolução: Fazendo o esquema abaixo: 
Comprimento Profundidade Operários Dias 
 50 2 10 6 
 80 3 16 x 
2
6 16 2 50 6 16
x 10 3 80 x
    
2
10
1
2 5
3
 
1
8
6 2
x 3
2x 6 3 x 9
 
   
 
 
Resposta: 9 dias 
 
 
 
 
 
22 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
   
 
Questão 10 
Resolução: Fazendo o esquema abaixo, temos: 
 Homens Hectares Dias Horas/dia 
 5 10 9 8 
 x 20 10 9 
 
1
5 10
x

2
20
5
10

1
9
1
9

4
8
5
1 1
5
x
 x 8
8
 
 
 
Resposta: 8 homens 
 
Questão 11 
Resolução: Sejam a e b os números requeridos, temos: 
a.b = 72 e 
a 2 2b
 a
b 9 9
   . Substituindo o valor de a, fica. 
2 22b 9.72.b 72 b b 324 b 324 b 18
9 2
         
Assim, temos que o valor de a é: 
2b 2.18
a a a 4
9 9
     
Resposta: 4 e 18. 
 
Questão 12 
Resolução: A escala é dada por: 
desenho d 3
Escala E E
real r 4,5
     , não calculamos até o final para efeito de 
calculo (para facilitar os cálculos). Agora faremos com a casa: 
 casa
casa casa casa
3. 3,75dd 3 11,25
E d d d 2,5
r 4,5 3,75 4,5 4,5
         
 
Resposta: A altura do modelo da casa é 2,5 cm. 
 
Questão 13 
Resolução: Primeiramente transformaremos a fração mista em fração imprópria: 
1 4.6 1 24 1 25
6
4 4 4 4
 
   . 
Sejam a, b e c os números procurados, temos: 
a b c a 4b 2c
 
25 74 4 25 7
4 2
     e a + b + c = 1650. Pondo tudo em função de b: 
16b
a
25
 e 
14b
c
25
 , substituindo na soma: 
16b 25b 14b 55b
1650 1650 b 30.25 b 750
25 25 25 25
         
16b 16.30.25
a a a 16.30 a 480
25 25
       
14b 14.30.25
c c c 14.30 c 420
25 25
       
 
Resposta: 480, 750 e 420. 
 
 
 
 
23 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
Questão 14 
Resolução: Pelos dados da questão, temos: 
ab 2 5 ab 4.5 ab 20     e 
a b 9
 a b 9 a 9 b
2 2

       . Substituindo na outra: 
 
 
 
2 2
2
ab 20 9 b b 20 9b b 20 b 9b 20 0
9 4.1.20 81 80 1
9 1 9 1
b b b 4 ou b 5
2 2
          
        
   
     
 
Logo a = 5 ou a = 4. 
 
Resposta: 4 e 5. 
 
Questão 15 
Resolução: Usando a média ponderada temos: 
8.20 7.30 160 210 370
M M M M 7,4
20 30 50 50
 
      

 
 
Resposta: A média da classe é 7,4. 
 
Questão 16 
Resolução: Sejam a, b e c os números procurados, temos: 
a b c
 4a 5b 8c
1 1 1
4 5 8
     e a + b + c = 230 
Pondo tudo em função de c: a = 2c e 
8c
5b 8c b
5
   . Substituindo na soma fica: 
8c 10c 8c 5c
2c c 230 230 23c 230.5 c 50
5 5
 
         . 
Logo: a = 100 e 
8c 8.50
b b b 80
5 5
     
 
Resposta: a = 100, b = 80 e c = 50. 
 
Questão 17 
Resolução: A constante de proporcionalidade k é dada por: 
lucro 35000 35000 1
k k k k
capital 18000 25000 27000 70000 2
      
 
 
Assim os lucros C1, C2 e C3 serão: 
1 1 1
1
C 18000.k C 18000. C 9000
2
     
2 2 2
1
C 25000.k C 25000. C 12500
2
     
3 3 3
1
C 27000.k C 27000. C 13500
2
     
 
Resposta: 9000,12500 e 13500. 
 
 
 
24 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 


  
   
Questão 18 
Resolução: Fazendo uma tabela: 
Dias Pedreiros Horas/Dias 
8 9 5 
x 12 6 
 
Assim, temos: 
8 12 6 8 72 8 8
 x 5
x 9 5 x 45 x 5
        
 
Resposta: 5 dias. 
 
Questão 19 
Resolução: Fazendo uma tabela: 
Dias Operários Horas/Dias Muro (m) 
16 15 8 36 
x 18 9 60 
 
Assim, temos: 
2
16 18
x

15
6
5
8 36
9
 
3
10
60
5
16 16
 x 25
x 25
    
 
Resposta: 25 dias. 
 
Questão 20 
Resolução: Fazendo uma tabela: 
Dias Horas/Dias Pedreiros Parede 
16 10 8 48 
x 12 6 96 
 
Assim temos: 
16 12
x

3
6
10

3
48
8

1
96 2
16 9 320 315 5 315 5 5
 x x x x 35 dias
x 20 9 9 9 9 9

            
Agora transformaremos em horas: 
5 5 5 40 5 39 1 5 1
dias .24h dias h dias h dias 13h h
9 9 9 3 9 3 9 3
 
        
 
 
Agora transformaremos em minutos: 
1 1 1
h 60minutos h 20minutos
3 3 3
    
 
Resposta: 35 dias, 13 horas e 20 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
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