Lista_1_Funções_Limites_Continuidade_e_Derivadas_Parciais

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GOVERNO FEDERAL 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO 
CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA 
PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA 
CÁLCULO II – 2015.2 
 
Discente ___________________________________________CPF 
Turma A2 – Sala NT 01 CCA – Data 25 de Janeiro de 2016 
 
Lista – 1: Funções, Limites, Continuidade e Derivadas Parciais 
 
1ª Parte Funções de duas variáveis 
 
Problema 01 Seja a função dada . Encontrar: 
a) b) c) d) e) 
 
Problema 02 Seja a função dada por . Determinar: 
a) b) c) d) e) 
 
Problema 03 Seja a função dada por 
 
 
 . Determinar: 
a) b) c) d) e) a representação gráfica do 
 
Problema 04 Seja 
 
 
 . Determinar: 
a) b) c) d) e) a representação gráfica do 
 
Problema 05 Determina e representa graficamente os domínios das seguintes funções: 
a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
Problema 06 Esboça as curvas de nível das funções: 
a) – para e b) – para e 
c) – para e d) para e 
 
Problema 07 Seja a função dada por 
a) Faz as curvas de nível para e . 
b) Representa graficamente a função. 
 
Respostas 
1) a) 5 b) 0 c) 25 d) 
2IR e) ),0[  
 
2) a) 0 b) 2 c) 5 d) 2IR e) ),0[  
 
3) a) –3 b) 
10
9
 c) 
2
3
 d) }/),{( 2 xyIRyx  
 
4) a) 1 b) 
4
1
 c) 
2
2
 d) }/),{( 22 xyIRyx  
 
5) a) }1/),{( 2  xyIRyx b) }12/),{( 2  xyIRyx 
 
 c) }1/),{( 22  xyIRyx d) }10/),{( 2  xexIRyx 
 
2ª Parte Limite e continuidade 
 
Problema 01 Calcule os limites 
a) 
)0,0(),(
lim
yx 2
53
22
22


yx
yx
 
b) 
)4,0(),(
lim
yx y
x
 
c) 
)4,3(),(
lim
yx
122  yx 
d) 2
)3,2(),(
)
11
(lim
yxyx


 
i) 
)0,0(),(
lim
yx x
e xx sen
 
j) 3
)1,1(),(
1coslim 

xy
yx
 
k) 
)0,1(),(
lim
yx 1
sen
2 x
yx
 
l) 
)0,
2
(),(
lim

yx xy
y
sen
1cos


 
e) 
)
4
,0(),(
lim

yx
sec x .tg y 
f) 
)0,0(),(
lim
yx
cos 
1
32


yx
yx
 
g) 
)0,0(),(
lim
yx
e
yx
 
h) 
)1,1(),(
lim
yx
ln 221 yx 
m) 
)2,1(),(
lim
yx
e 1 yxy e 
n) 
)0,0(),(
lim
yx
x 22 yx  
o) 
)2,1(),(
lim
yx
(3x )22 22 xyxyy  
p) 
)0,0(),(
lim
yx xy
1
senx seny 
q
)2,1(),(
lim
yx
(sen )2cos22  yy 
 
Problema 02 Calcule os limites utilizando dois caminhos 
a) 
)1,1(),(
lim
yx yx
yxyx

 22 2
 
 x y 
b) 
)1,1(),(
lim
yx yx
yx

 22
 
 x y 
c) 
)1,1(),(
lim
yx 1
22


x
xyxy
 
 x 1 
d) 
)4,2(),(
lim
yx xxxyyx
y
44
4
22 

 
 x 2,4 xx  
e) 
)0,0(),(
lim
yx yx
yxyx

 22
 
 x y 
m 
)0,2(),(
lim
yx 42
22


yx
yx
 
 4 
f) 
)1,1(),(
lim
yx yx
yxyx

 22 2
 
 x y 
g) ) 
)2,2(),(
lim
yx 2
4


yx
yx
 
 x+y 4 
h) 
)1,2(),(
lim
yx xyyx
xxy
4
85
22
2


 
i) 
)1,0(),(
lim
yx 22
22 33
yx
xyx


 
j) 
)1,1(),(
lim
yx 22
2
yx
xyx


 
k) 
)2,1(),(
lim
yx 42
1
ln


xy
xy
 
l) 
)0,0(),(
lim
yx y
x
1
sen 
n) 
)2,2(),(
lim
yx 22
23
yx
yxx


 
 
 
 
Problema 03 Calcule os limites usando a substituição , quando for necessário 
a) 
)4,3,1(
lim
P
( )
111
zyx
 
b) 
)4,3,1(
lim
P
( )
2
2
x
yzxy 
 
c ) 
)1,1,1(
lim
P
( )
2
22 zx
yzxy


 
 
d) 
)0,3,3(
lim
P
( )seccossen 222 zyx  
e) 
)2,
2
,
4
1
(
lim

P
( ))(xyztgarc 
f) 
)3,0,(
lim
P
( )2cos2 xze y 
g) 
)4,3,1(
lim
P
( )
34
zyx
yx


 
 Problema 04 Verifique se a função é contínua no ponto . Calcule 
também o limite quando . 
 
Problema 05 Se 
 
 
 , verifique se é continua em . 
 
Problema 06 Verifique se a função 
 
 
 , é continua em . 
 
Problema 07 Verifique se a função 
 
 
 
 
 é continua em 
 
3ª Parte Derivadas Parciais 
 
Problema 01 Verificar se as funções a seguir são diferenciáveis no . 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
e) 
f) 
g) 
Problema 02 Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
 
 
h) 
 
 
 
i) 
 
 
 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
 
 
 
o) 
 
p) 
q) 
r) 
s) 
 
 
t) – 
u) 
 
 
 
v) 
 
 
w) 
x) 
 
 
 
 
 
y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z) , com e constante. 
 
 
Problema 03 Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem 
1) 
2) 
 
 
 
3) 
4) 
5) 
 
 
 
6) 
 
 
 
7) 
8) 
9) 
10) 
 
 
 
 
Problema 04 Verificar se a função satisfaz a equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
para e 
 
Problema 05 Verificar se a função satisfaz a equação 
 
 
 
 
 
 
Problema 06 Sabendo-se que a diferencial total de uma função é dada por 
 
 
 
 
 
 , 
calcule a diferencial total nos casos. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
Problema 08 Calcule a diferencial total nos pontos indicados 
a) 
 
 
 
b) 
c) 
d) 
e) Aplicação da diferencial: O volume de um cilindro é dado por , onde é o 
raio do cilindro e é a altura, calcule o aumento de volume quando o raio varia de 3 para 
3,1 e a altura varia de 21 para 21,5 . 
f) Um terreno retangular tem lados estimado em 1200 m e 1800 m, com erro máximo de 10 
m e 15 m respectivamente. Determine o erro máximo no cálculo da área do terreno.