Aula Teórica Crescimento e Produção

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CCGBEF/CPCE055 - MANEJO FLORESTAL
Prof. Antonio Carlos Ferraz Filho 
- Crescimento: Ganhos periódicos de variáveis dendrométricas ao longo do tempo. 
- Possui unidade relacionada com o tempo em sua escala:
cm/ano
m3/ha/ano
...
Crescimento e produção
Importância: 
 - Independente do tipo de floresta (plantada ou nativa), sem informação de 
crescimento não se maneja a floresta;
 - A taxa de crescimento da floresta determina o momento de importantes 
intervenções silviculturais;
 - Fundamental para o planejamento florestal.
- Produção: É o crescimento acumulado em um dado ponto do tempo.
cm
m3/ha
...
1) Maneiras de expressar o crescimento
 a) Incremento médio anual – IMA
 Indica o quanto a floresta cresceu em média por ano até uma idade qualquer.
Exemplo: 
 Plantio – 2016
 Inventário em 2020
 Volume = 100 m3/ha
 Qual o IMA em volume aos 4 anos de idade?
𝐼𝑀𝐴𝑣 =
100 ൗ𝑚
3
ℎ𝑎
4 𝑎𝑛𝑜𝑠
𝐼𝑀𝐴𝑣 = 25 𝑚3 ∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
1) Maneiras de expressar o crescimento
 a) Incremento médio anual – IMA
𝐼𝑀𝐴𝑣 = 25 𝑚3 ∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
Qual será o volume aos 7 anos?
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 7 𝑎𝑛𝑜𝑠 ∙ 25 𝑚3 ∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 175 𝑚3 ∙ ℎ𝑎−1
Quando a floresta atingiu 7 anos (2023), um novo inventário quantificou a produção em:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑎𝑜𝑠 7 𝑎𝑛𝑜𝑠 = 190 𝑚3 ∙ ℎ𝑎−1
𝐼𝑀𝐴𝑣 =
190 ൗ𝑚
3
ℎ𝑎
7 𝑎𝑛𝑜𝑠
𝐼𝑀𝐴𝑣 = 27,1 𝑚3 ∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
Porque os dois IMAs em 
volume não foram iguais?
Idade
Volume
𝐼𝑀𝐴𝑣 = 25 𝑚3 ∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
4 anos
100 m3/ha
7 anos
175 m3/ha
190 m3/ha
Motivo: 
 O crescimento de variáveis dendrométricas não possui comportamento linear em 
relação ao tempo.
- Deve-se referenciar a idade quanto reportando valores de crescimento.
𝐼𝑀𝐴 𝑣4 = 25 𝑚3 ∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
𝐼𝑀𝐴 𝑣7 = 27,1 𝑚3 ∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
- O IMA deve ser apresentado próximo da idade de rotação 
b) Incremento corrente anual – ICA
 Indica o quanto a floresta (ou árvore) cresce no período exato de um ano.
Exemplo: 
 Plantio – 2010
 1º inventário em 01/01/2013
 d = 7,0 cm
 2º inventário em 31/12/2013
 d = 9,2 cm
𝐼𝐶𝐴 𝑑4 = 9,2 𝑐𝑚 − 7,0 𝑐𝑚
𝐼𝐶𝐴 𝑑4 = 2,2 𝑐𝑚 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
c) Incremento periódico – IP
 Igual ao ICA, porém não necessariamente anual, geralmente aplicado em florestais 
nativas.
Exemplo: 
 1º inventário em 2010
 volume = 100 m3/ha
 2º inventário em 2015
 volume = 120 m3/ha
𝐼𝑃 𝑣 = 20 𝑚3 ∙ ℎ𝑎−1 ∙ 5 𝑎𝑛𝑜𝑠−1
𝐼𝑃𝐴 𝑣 = 4 𝑚3 ∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
2) Usos dos crescimento e produção para definir a rotação da floresta
 Rotação: Período entre o estabelecimento do talhão e o corte final
Bettinger, P., Boston, K., Siry, J.P., Grebner, D.L., 2017. Forest Management and Planning (second edition). Academic Press, 
New York, NY. 349 p.
Tipos de rotação (conforme apresentado por Bettinger et al. 2017):
a) Rotação física: tempo de vida natural das árvores.
 
 - Importante no escopo de serviços e bens não madeireiros, como florestas de proteção 
ou para estoque de carbono.
b) Rotação técnica: tempo necessário para árvores produzirem um determinado produto ou 
atingir certa dimensão.
 
 Por exemplo, para florestas de eucalipto:
 - Mourão de cerca = 4 anos
 - Postes = 7 anos
 - Madeira serrada = 12 anos
Tipos de rotação (conforme apresentado por Bettinger et al. 2017):
c) Rotação silvicultural: idade na qual as árvores são capazes de se regenerar naturalmente com 
sucesso.
 Por exemplo, Pinus taeda nos EUA:
 - Aos 25 anos produz sementes suficiente para regeneração
 - Aos 40 anos produz 3 a 5 x mais, aumentando a chance de sucesso da regeneração 
d) Rotações financeiras: rotação é associada a algum aspecto financeiro.
 
 Por exemplo: 
 - Rotação de geração de renda
 - Rotação de crescimento do valor percentual
 - Rotação econômica
 
Leva em conta todo fluxo de caixa do empreendimento
Como é possível associar preço mais elevado para madeira mais grossas, as rotações 
financeiras são aplicadas nos Regimes de Manejo para Produtos de Madeira Sólida
e) Rotação de produção volumétrica máxima.
 - No Brasil, esta rotação é também denominada de silvicultural ou técnica.
 - É a rotação que gera maior produção em volume, considerando que o talhão será 
replantado perpetuamente.
 - Identificado como o ponto do máximo IMA, quando o IMA e ICA se cruzam.
Exemplo: Produtividade de eucalipto na região do sul de Minas Gerais (clone, sítio bom) 
Idade Volume (m
3
/ha) IMA ICA
2 50 25,0 -
3 100 33,3 50
4 170 42,5 70
5 220 44,0 50
6 250 41,7 30
7 280 40,0 30
8 300 37,5 20
9 320 35,6 20
10 330 33,0 10
Informação do 
inventário florestal
𝐼𝑀𝐴2 =
50 ൗ𝑚
3
ℎ𝑎
2 𝑎𝑛𝑜𝑠
= 25 𝑚3∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
𝐼𝑀𝐴3 =
100 ൗ𝑚
3
ℎ𝑎
3 𝑎𝑛𝑜𝑠
= 33,3 𝑚3∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
𝐼𝑀𝐴10 =
330 ൗ𝑚
3
ℎ𝑎
10 𝑎𝑛𝑜𝑠
= 33,0 𝑚3∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
...
𝐼𝐶𝐴3 = 100 − 50 = 50 𝑚3∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
𝐼𝑀𝐴4 = 170 − 100 = 70 𝑚3∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
𝐼𝑀𝐴10 = 330 − 320 = 10 𝑚3∙ ℎ𝑎−1 ∙ 𝑎𝑛𝑜−1
...
ITC = Idade Técnica de 
Colheita http://www.mensuracaoflorestal.com.br/crescimento-e-producao-florestal
http://www.mensuracaoflorestal.com.br/crescimento-e-producao-florestal
ICA > IMA
 IMA está aumentando
ICA = IMA
 Ponto da rotação (máximo IMA)
ICA < IMA
 IMA está diminuindo
Idade Volume (m
3
/ha) IMA ICA
2 50 25,0 -
3 100 33,3 50
4 170 42,5 70
5 220 44,0 50
6 250 41,7 30
7 280 40,0 30
8 300 37,5 20
9 320 35,6 20
10 330 33,0 10
Rotação de produção volumétrica máxima 
é no ponto de máximo IMA ≈ 5 anos
0
50
100
150
200
250
300
350
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
V
o
lu
m
e 
(m
3
/h
a)
Idade (anos)
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
V
o
lu
m
e 
(m
3
/h
a/
an
o
)
Idade (anos)
Rotação ≈ 5 anos
Rotação ≈ 5,5 anos
5,5 anos é considerado a idade de produção volumétrica máxima considerando que o 
talhão será replantado perpetuamente e cortado com 5,5 anos.
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
V
o
lu
m
e 
(m
3
/h
a)
Idade (anos)
∞
A Rotação de Produção Volumétrica Máxima pode ser aplicada a diferentes 
variáveis dendrométricas ou produtos.
DAP
Área basal
Volume
... 
Celulose
Carvão
Madeira serrada
...
Id Densidade Básica (kg/m
3
)
3 a 4 350
5 525
6 a 7 700
Alta correlação com peso seco da árvore
Peso seco (kg) = Volume (m3) * Densidade Básica (kg/m3)
Efeito da idade na Densidade Básica do eucalipto
Idade Volume (m
3
/ha) Peso seco (kg/ha) IMA ICA
2 50 18 8,8 -
3 100 35 11,7 18
4 170 60 14,9 25
5 220 116 23,1 56
6 250 175 29,2 60
7 280 196 28,0 21
8 300 210 26,3 14
9 320 224 24,9 14
10 330 231 23,1 7
IMA e ICA do Peso seco 
por hectare
Peso seco 2 anos (kg/ha) = 50 (m3/ha) * 350 (kg/m3)
Peso seco 2 anos (kg/ha) = 18000
Peso seco 2 anos (t/ha) = 18
(t/ha)
0
50
100
150
200
250
0 2 4 6 8 10 12
V
o
lu
m
e 
(m
3
/h
a)
Idade (anos)
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
0 2 4 6 8 10 12
V
o
lu
m
e 
(m
3
/h
a)
Idade (anos)
Idade Volume (m
3
/ha) Peso seco (kg/ha) IMA ICA
2 50 18 8,8 -
3 100 35 11,7 18
4 170 60 14,9 25
5 220 116 23,1 56
6 250 175 29,2 60
7 280 196 28,0 21
8 300 210 26,3 14
9 320 224 24,9 14
10 330 231 23,1 7
Rotação ≈ 6 anos
Rotação ≈ 6,5 anos
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20 25
Idade (anos)
IM
A
 v
o
lu
m
e
 (
m
3
/h
a
/a
n
o
)_
_
0
1
2
3
4
5
0 5 10 15 20 25
Idade (anos)
IM
A
 á
re
a
 b
a
s
a
l (
m
2
/h
a
/a
n
o
)_
_
0
1
2
3
4
0 5 10 15 20 25
Idade (anos)
IM
A
 D
A
P
 (
c
m
/a
n
o
)_
_
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 5 10 15 20 25
Idade (anos)
IM
A
 a
ltu
ra
 (
m
/a
n
o
)_
_
Pinus taeda – 667 N/ha – Norte do Uruguai – Sítio ótimo
Máx IMA V = 20 anos Máx IMA G = 13 anos
Máx IMA DAP = 7 anos Máx IMA H = 2 anos
Rotação de Máxima Produção aplicado a diferentes variáveis dendrométricas.
Ferraz Filho, A. C. Sistema de prognose do crescimento e produção para Pinus taeda L. sujeito a regimes de desbastes e podas. 2009. 140 p. 
Dissertação (Mestradoem Engenharia Florestal)-Universidade Federal de Lavras, Lavras, 2009.
Interação do ponto do máximo IMA e o sítio.
Quanto melhor o sítio
Mais rápido a ocupação do talhão
Mais cedo ocorre o máximo IMA
Interação do ponto do máximo IMA e o espaçamento de plantio.
Quanto menor o espaçamento
Mais rápido a ocupação do talhão
Mais cedo ocorre o máximo IMA
Quanto menor o espaçamento
Maior a produção do povoamento (m3/ha)
Menor a dimensão das árvores (DAP)
Espaçamento x Produção florestal
Sítios mais produtivos 
ocupam melhor seu 
espaço de crescimento.
IS12 = 3 m2
X
IS20 = 4,6 m2
Fonte do dados: Schneider et al. (2001) Produção de madeira e casca verde por índice de sítio e espaçamento 
inicial de acácia-negra (Acacia mearnsii De Wild). Ciência Florestal. 
Exemplo: Considerando um projeto florestal com 3 sítios (ruim, médio, bom), 
qual deve ser o espaçamento aplicado em cada?
Colheita será de uma só vez?
Podemos aplicar único 
espaçamento para toda floresta, 
mas colheita irá começar nos 
melhores sítios, pois máximo 
IMA ocorre primeiro no melhor 
sítio.
Variar o espaçamento conforme 
o sítio, de forma a todos 
atingirem máximo IMA em 
idades semelhantes:
Sítio ruim - 3 x 2 m
Sítio médio - 3 x 3 m
Sítio bom - 4 x 3 m
Sítio x Espaçamento x Rotação
Em sítios frágeis (solos pobres, 
déficit hídrico...) deve voltar a 
abrir espaçamentos para evitar 
mortalidade
Florestas nativas
Produção de florestas brasileiras
Cerrado sensu lato
Cerrado sensu stricto
Volume = 50 m3/ha
50% fuste
50% galhos
Volume = 110 mst/ha Fator de empilhamento = 2,2
Árvores = 1000 N/ha
DAP = 10 cm
Altura = 6 m
Campo cerrado
Volume = 20 m3/ha
Volume = 44 mst/ha
Árvores = 370 N/ha
DAP = 8 cm
Altura = 4 m
Fonte: www.icmbio.gov.br/educacaoambiental/images/stories/biblioteca/permacultura/Manual_recuperacao_cerrado.pdf
Cerrado sensu lato
60% fuste
40% galhos
Fator de empilhamento = 2,0
Cerradão / Floresta semidecidual
Volume Fuste = 100 m3/ha
Volume = 200 mst/ha
Árvores = 1600 N/ha
DAP = 12 cm
Altura = 7 m
Floresta Amazônica Explorado
Volume Fuste ≥ 45 cm
Volume Fuste ≥ 25 cm
Volume Fuste ≥ 15 cm
40 – 120 
Volume (m3/ha)
150 – 200 
250 – 350 
20 – 30 
Volume (m3/ha)
– 
– 
N/ha
3 – 8 
Fonte: http://dx.doi.org/10.4322/rca.ao1401
Florestas plantadas
Produção de florestas brasileiras
Eucalyptus
Baixo
Médio
Alto
DAP - 7 anos
150
Volume 7 anos (m3/ha)Sítio IMADAP7 (cm/ano)
1,8
2,2
3,3
12,6
15,4
23,1
200
300
Pinus
I
II
III
Volume no corte raso (m3/ha)Sítio
800
IV
600
450
Não faz desbaste
Serraria, 2 desbastes (10 e 15 anos), 
rotação 20 – 23 anos
I
II
III
Volume no corte raso (m3/ha)Sítio
600
IV
500
400
Celulose, sem desbastes, rotação 14 – 
17 anos
300
Florestas plantadas
Produção de florestas brasileiras
IMA de outras espécies plantadas no Brasil
Idade da rotação
Volume (m3/ha/ano)
Mogno africano
5
Pau BalsaTeca
20 -30
2
15 - 20
3
120
14Diâmetros (cm/ano)
15 15 - 20
- Permitem estimar volume no futuro, auxiliando no 
planejamento de atividade silviculturais.
Modelos de crescimento e produção
- Rotação máxima produção volumétrica = 3,6 anos
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 1 2 3 4 5 6 7 8
V
o
lu
m
e 
(m
3
/h
a)
Idade (anos)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5 6 7 8
V
o
lu
m
e 
(m
3
/h
a/
an
o
)
Idade (anos)
IMA ICA
- Inventário Florestal Contínuo 3 ano
- Inventário Florestal Contínuo 4 ano
Identifico a rotação apenas após ela ocorrer, problema 
que é resolvido estimando os volumes por modelos de 
regressão
Modelos de crescimento e produção
ICA apresenta comportamento 
inesperado (4 a 6 anos), motivo 
é a realização do IFC em datas 
diferentes.
Idade V (m3/ha) IMA ICA
2,0 46,4 23,2 -
3,0 84,5 28,2 38,2
4,0 114,1 28,5 29,6
4,8 133,3 27,6 19,2
6,3 159,0 25,1 25,7
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
V
o
lu
m
e 
(m
3
/h
a/
an
o
)
Idade (anos)
IMA ICA
Idade Idade V (m3/ha) IMA ICA
24 2,0 46,4 23,2 -
36 3,0 84,5 28,2 38,2
48 4,0 114,1 28,5 29,6
58 4,8 133,3 27,6 23,0
76 6,3 159,0 25,1 17,1
Correção:
𝐼𝐶𝐴 =
𝑉2 − 𝑉1
𝐼𝑑2 − 𝐼𝑑1
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
V
o
lu
m
e 
(m
3
/h
a/
an
o
)
Idade (anos)
IMA ICA
Esta correção não leva em 
conta o comportamento não 
linear do crescimento e 
produção.
Classificação de modelos de crescimento e produção
Modelos 
empíricos 
Modelos 
mecanísticos
Modelos 
globais
Modelos de 
árvores 
individuais
Modelos de 
ecossistemas 
Modelos 
híbridos
Equações de 
crescimento
Modelos de 
classes 
diamétricas 
Agregação da 
informação do 
talhão 
Modelos 
empíricos 
Modelos 
mecanísticos
Construídos com base em muitas observações 
Crescimento = Função ( Idade, Sítio, Densidade ) 
Modelos 
híbridos
Usam funções estatísticas entre fatores
Construídos com base em relações fisiológicas 
Crescimento = Função ( Recursos, Eficiência de 
conversão dos recursos em biomassa ) 
Resposta em volume de madeira 
Resposta em total de carbono 
Combinação entre as duas metodologias 
Biosfera
Ecossistema
Comunidade
População
Indivíduo
Órgão
Tecido
Células
Moléculas 
N
ív
e
l 
d
e
 i
n
te
g
ra
ç
ã
o
Alto
Baixo
Ecologia 
da 
paisagem
Dinâmica, 
estrutura e 
composição 
vegetal
Fisiologia 
vegetal e 
biologia 
molecular
Ecofisiologia
Ecofisiologia – ligação das ciências tradicionais que estudam sistemas de altas e 
baixas integrações, base dos modelos mecanísticos
Beyschlag & Ryel, 2007
3PG (Landsberg & Waring, 1997)
Physiological Principles to Predict Growth 
Modelo da família do “APAR” 
absorbed photosynthetically active radiation 
Exemplo de modelo mecanístico:
Equação de produção ecológica (Monteith, 1977) 
Produção = Recurso disponível 
 x Recurso Captado 
 x Eficiência da convenção do recurso em biomassa (ε)
ε = mol C / mol APAR
Estratégia do 3PG é usar vários fatores para restringir o ε máximo
PAR
APAR
GPP
NPP
Estrutura de cálculo do 3PG
Radiação 
fotossinteticamente ativa 
absorvida
Calculada usando a Lei de Beer
R
a
d
ia
ç
ã
o
 i
n
te
rc
e
p
ta
d
a
 (
%
)
Índice de área foliar (IAF)
Landsberg, 2009
Stape, 2009
IAF = m2 de folhas por m2 de solo 
IAF = 1 2 3 4 5
PAR
APAR
GPP
NPP
Estrutura de cálculo do 3PG
“Gross primary productivity”
Produção primaria bruta
GPP = APAR x ε
ε = 0,08 mol c / mol APAR
Eucalyptus grandis (Stape, 2002)
Importância do coeficiente de conversão, 
corresponde a eficiência do uso da luz
PAR
APAR
GPP
NPP
Estrutura de cálculo do 3PG
“Net primary productivity”
Produção primaria liquida, 
carbono alocado na planta 
NPP = GPP x respiração
Respiração 0,5 
+
H20 Rain
gC
Soil H20
ET
+
+
+
_
_
+
wSx
Dead
trees
Stocking
+
+
_
wS
+
w S>w Sx
_ _
N
+
+
_
_
Stress
VPD
T
FR
f
+

_
+
_
+
++
+
+
DBH
F/SR
LAILUE
SLA
+
+
_
+
NPP
Stem
Foliage
Roots
GPP
CO2
C,N
Litter
Sequência de calculo do 3PG
Landsberg, 2009
36
Desenvolvimento dos modelos empíricos de crescimento
Desenvolvimento dos modelos empíricos de crescimento
Leis primárias de crescimento de uma árvore, Pressler (1864) 
(1) O crescimento anual seccional dos anéis de uma árvore a um determinado ponto de 
altura é proporcional à quantidade de folhas a montante deste ponto 
(2) em todas as partes do fuste sem galhos, o crescimento dos anéis será igual 
(3) dentre a copa, o crescimento em área seccional dos anéis diminuirá de baixo para 
cima em relação à quantidade de folhas acima do ponto de referência 
Mostrou que padrões definitivos de crescimento de madeira podiam ser formulados 
Metzger em 1894, definiu que a forma do fuste segue uma parábola cúbica 
Desenvolvimento da classificação de sítio
“solo argiloso de baixa altitude e capacidade mediana de produção de madeira” 
1700 – Métodosgeocêntricos, identificando características do local de plantio 
1764 – Oettelt foi o primeiro a sugerir a altura do talhão como um indicador de 
produtividade 
1841 – Carl Justus Heyer foi o primeiro pesquisador a identificar, de uma maneira 
científica, a correlação entre crescimento em altura e crescimento em volume 
1877 – Adolf Gregor von Baur foi o primeiro a construir uma tabela de produtividade 
com classificação de sítio utilizando altura do talhão. 
Desenvolvimento dos modelos empíricos de crescimento
Modelos de densidade variável
1939 – Schumacher desenvolve o modelo de produção de densidade variável
Desenvolvimento dos modelos empíricos de crescimento
Schumacher, F. X. (1939).A new growth curve and its application to timber-yield studies. Journal of 
Forestry,37, 819–820.
Sullivan, A.D.; Clutter, J.L. A simultaneaous growth and yield model for loblolly pine. Forest Science, v. 18, 
p. 76-86, 1972.
ln 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
𝑆í𝑡𝑖𝑜
+ 𝛽2 ∙
1
𝐼𝑑𝑎𝑑𝑒
 +𝛽3 ∙ ln 𝐺 + 𝜀
1972 – Sullivan e Clutter aperfeiçoam o modelo de Schumacher, estimando volume 
em função da idade, sítio e área basal presente e idade futura.
( ) ( ) S
I
I
I
I
G
I
I
IS
V 





−+





−+





+++=
2
1
5
2
1
41
2
1
3
2
21
02 11lnln 


✓ Von Bertalanffy (1951), desenvolveu um modelo baseado no metabolismo 
considerando que a taxa anabólica era proporcional a área da superfície externa do 
organismo, enquanto a taxa catabólica era proporcional ao volume do organismo;
 
3/21/1)])^(exp[1( −−−−= totKAw
Onde:
w = variável dependente;
A = valor assintótico; 
K = taxa constante que determina o espalhamento da curva ao longo do tempo;
t = idade.
Modelos Biomátematicos 
Desenvolvimento dos modelos empíricos de crescimento
✓ Richards em 1959, estudando o crescimento de plantas, desenvolveu uma 
função de crescimento baseada em modelos monomoleculares, logísticos e Von 
Bertalanffy;
✓ Chapman em 1961, estudando o crescimento de peixes também desenvolveu 
uma função baseada nos trabalhos anteriores;
✓ Ambos autores concluíram que o expoente 2/3 era muito restritivo e 
propuseram um expoente estimado para cada caso (organismo)
✓ No meio florestal, os modelos biológicos foram introduzidos por Turnbull em 
1963, que consolidou o uso modelo biológico que o mesmo denominou de 
Chapman & Richards.
Modelos Biomátematicos 
Desenvolvimento dos modelos empíricos de crescimento
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 = 𝜷𝟎 ∙ (𝟏 − 𝒆𝒙𝒑(𝜷𝟏 ∗ 𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆))
𝜷𝟐
Modelos empíricos de crescimento e produção
Modelos de predição X Modelos de projeção
Modelos de predição: Retrata comportamento médio da varável dependente, independente 
do estado original.
ln ℎ𝑑2 = 𝑙𝑛 ℎ𝑑1 + 𝛽1 ∙(
1
𝑖𝑑2
−
1
𝑖𝑑1
)
ln(ℎ𝑑) = 𝛽0 + 𝛽1 ∙(1/𝑖𝑑)
Modelos de projeção: Retrata comportamento no futuro baseado em informações do 
presente.
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6 7
A
lt
u
ra
 d
o
m
in
an
te
 (
m
)
Idade (anos)
Hdom HDom Est 
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6 7
A
lt
u
ra
 d
o
m
in
an
te
 (
m
)
Idade (anos)
Modelos de crescimento e produção de predição
Exemplo: Zoneamento Ecológico-Econômico do Estado de Minas Gerais.
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑓(𝐼𝑑𝑎𝑑𝑒; 𝑆í𝑡𝑖𝑜)
1º) Divisão da área de estudo em 8 regiões (bacias hidrográficas).
Modelos de crescimento e produção de predição
Exemplo: Zoneamento Ecológico-Econômico do Estado de Minas Gerais.
2º) Obtenção dos dados de altura dominante e volume para cada região.
Modelos de crescimento e produção de predição
Exemplo: Zoneamento Ecológico-Econômico do Estado de Minas Gerais.
3º) Classificação de sítio em cada região de estudo.
Modelos de crescimento e produção de predição
Exemplo: Zoneamento Ecológico-Econômico do Estado de Minas Gerais.
4º) Ajuste do modelo de Chapman e Richards para cada sítio da região.
Modelos de crescimento e produção de predição
Exemplo: Zoneamento Ecológico-Econômico do Estado de Minas Gerais.
5º) Obtenção das tabelas de produção por sítio.
- Por usarem informação da densidade da floresta (N/ha; G) como variáveis independentes, os 
modelos de crescimento e produção de projeção possuem alto poder para estimar o 
crescimento do talhão no futuro.
Modelos de crescimento e produção – Modelos de projeção
Modelo de produção de densidade variável de Schumacher (1939)
ln 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
𝑆í𝑡𝑖𝑜
+ 𝛽2 ∙
1
𝐼𝑑𝑎𝑑𝑒
+ 𝛽3 ∙ ln 𝐺 + 𝜀
Para conhecer o volume presente de uma floresta:
 - Realizo inventário florestal, obtenho valores de sítio (altura dominante) e área 
basal (obtida dos DAP’s e área da parcela) e idade.
 - Estes valores são usados como variáveis de entrada do modelo de Schumacher, 
que estima o volume (m3/ha) no talhão inventariado.
 - Para estimar o volume no futuro, devo antes estimar a área basal no futuro.
Sub modelo que projeta a área basal para o futuro
Modelos de crescimento e produção – Modelos de projeção
Modelo de produção de densidade variável de Sullivan e Clutter (1972)
ln 𝑉2 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
𝑆
+ 𝛽2 ∙
1
𝐼2
+ 𝛽3 ⋅
𝐼1
𝐼2
⋅ ln 𝐺1 + 𝛽4 ⋅ 1 −
𝐼1
𝐼2
+ 𝛽5 ⋅ 1 −
𝐼1
𝐼2
⋅ 𝑆
ln 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
𝑆í𝑡𝑖𝑜
+ 𝛽2 ∙
1
𝐼𝑑𝑎𝑑𝑒
 𝛽3 ∙ ln 𝐺
Igual ao modelo de Schumacher (1939)
( ) ( ) S
I
I
I
I
G
I
I
G 





−+





−+





=
2
1
1
2
1
01
2
1
2 11lnln 
𝛼0 =
𝛽4
𝛽3
𝛼1 =
𝛽5
𝛽3
Modelo de produção de densidade variável de Sullivan e Clutter (1972)
ln 𝑉2 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
𝑆
+ 𝛽2 ∙
1
𝐼2
+ 𝛽3 ⋅
𝐼1
𝐼2
⋅ ln 𝐺1 + 𝛽4 ⋅ 1 −
𝐼1
𝐼2
+ 𝛽5 ⋅ 1 −
𝐼1
𝐼2
⋅ 𝑆
Exemplo de aplicação para encontrar o volume no futuro (7 anos de idade):
Inventário florestal
 Idade = 4 anos
 Área basal = 10 m2/ha
 Hdom = 20 m 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
2 3 4 5 6 7 8
A
lt
u
ra
 d
o
m
in
an
te
 (
m
)
Idade (anos)
Hdom LI classeV LS classe V
LS classeIV LS classeIII LS classeII
S = 25,5 m 
Entrada do modelo
 I1 = 4 anos
 I2 = 7 anos
 G1 = 10 m2/ha
 S = 25,5 m 
ln 𝑉2 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
25,5
+ 𝛽2 ∙
1
7
+ 𝛽3 ⋅
4
7
⋅ ln 10 + 𝛽4 ⋅ 1 −
4
7
+ 𝛽5 ⋅ 1 −
4
7
⋅ 25,5
Modelo de produção de densidade variável de Sullivan e Clutter (1972)
ln 𝑉2 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
𝑆
+ 𝛽2 ∙
1
𝐼2
+ 𝛽3 ⋅
𝐼1
𝐼2
⋅ ln 𝐺1 + 𝛽4 ⋅ 1 −
𝐼1
𝐼2
+ 𝛽5 ⋅ 1 −
𝐼1
𝐼2
⋅ 𝑆
Exemplo de aplicação para encontrar a área basal no futuro (7 anos de idade):
Inventário florestal
 Idade = 4 anos
 Área basal = 10 m2/ha
 S = 25,5 m 
Entrada do modelo
 I1 = 4 anos
 I2 = 7 anos
 G1 = 10 m2/ha
 S = 25,5 m 
ln 𝐺2 =
4
7
⋅ ln 10 +
𝛽4
𝛽3
⋅ 1 −
4
7
+
𝛽5
𝛽3
⋅ 1 −
4
7
⋅ 25,5
Modelo de produção de densidade variável de Sullivan e Clutter (1972)
Exemplo de aplicação para encontrar o volume no passado (3 anos de idade):
Inventário florestal
 Idade = 4 anos
 Área basal = 10 m2/ha
 S = 25,5 m
Entrada do modelo
 I1 = 4 anos
 I2 = 3 anos
 G1 = 10 m2/ha
 S = 25,5 m 
ln 𝑉2 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
25,5
+ 𝛽2 ∙
1
3
+ 𝛽3 ⋅
4
3
⋅ ln 10 + 𝛽4 ⋅ 1 −
4
3
+ 𝛽5 ⋅ 1 −
4
3
⋅ 25,5
ln 𝑉2 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
𝑆
+ 𝛽2 ∙
1
𝐼2
+ 𝛽3 ⋅
𝐼1
𝐼2
⋅ ln 𝐺1 + 𝛽4 ⋅ 1 −
𝐼1
𝐼2
+ 𝛽5 ⋅ 1 −
𝐼1
𝐼2
⋅ 𝑆
Modelo de produção de densidade variável de Sullivan e Clutter (1972)
Exemplo de aplicação para encontrar o volume no presente (4 anos de idade):
Inventário florestal
 Idade = 4 anos
 Área basal = 10 m2/ha
 S = 25,5 m
Entrada do modelo
 I1 = 4 anos
 I2 = 4 anos
 G1 = 10 m2/ha
 S = 25,5 m 
ln 𝑉2 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
25,5
+ 𝛽2 ∙
1
4
+ 𝛽3 ⋅
4
4
⋅ ln 10 + 𝛽4 ⋅ 1 −
4
4
+ 𝛽5 ⋅ 1 −
4
4
⋅ 25,5
ln 𝑉2 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
𝑆
+ 𝛽2 ∙
1
𝐼2
+ 𝛽3 ⋅
𝐼1
𝐼2
⋅ ln 𝐺1 + 𝛽4 ⋅ 1 −
𝐼1
𝐼2
+ 𝛽5 ⋅ 1 −
𝐼1
𝐼2
⋅ 𝑆
= 0= 0= 1
ln 𝑉2 = 𝛽0 + 𝛽1 ∙
1
25,5
+ 𝛽2 ∙
1
4
+ 𝛽3 ⋅ ln 10
Quando estimado volume 
presente, volta a forma do 
modelo de Schumacher
Método de ajuste recomendado para o modelo de Sullivan e Clutter (1972)
Como o modelo estima tanto o volume futuro quanto o presente, recomenda-se organizar a 
base de dados tratandoas parcelas como temporárias e permanentes ao mesmo tempo, 
denominado Método Simultâneo de ajuste.
Parcela Idade (anos) S (m) G (m2/ha) V (m3/ha)
1 5 32,5 6,5 55,3
1 7 32,5 8,9 120,1
1 9 32,5 10,1 155,7
1 12 32,5 14,5 235,6
2 6 20,5 4,7 29,5
2 9 20,5 7,5 65,6
2 11 20,5 13,4 126,6
2 13 20,5 14,7 152,1
... ... ... ... ...
100 15 26,5 17,5 201,5
Parcela Id1 Id2 S G1 G2 V1 V2
1 5 7 32,5 6,5 8,9 55,3 120,1
1 7 9 32,5 8,9 10,1 120,1 155,7
1 9 12 32,5 10,1 14,5 155,7 235,6
2 6 9 20,5 4,7 7,5 29,5 65,6
2 9 11 20,5 7,5 13,4 65,6 126,6
2 11 13 20,5 13,4 14,7 126,6 152,1
... ... ... ... ... ... ... ...
100 13 15 26,5 15,7 17,5 177,9 201,5
1 5 5 32,5 6,5 6,5 55,3 55,3
1 7 7 32,5 8,9 8,9 120,1 120,1
1 9 9 32,5 10,1 10,1 155,7 155,7
1 12 12 32,5 14,5 14,5 235,6 235,6
2 6 6 20,5 4,7 4,7 29,5 29,5
2 9 9 20,5 7,5 7,5 65,6 65,6
2 11 11 20,5 13,4 13,4 126,6 126,6
2 13 13 20,5 14,7 14,7 152,1 152,1
... ... ... ... ... ... ... ...
100 15 15 26,5 17,5 17,5 201,5 201,5
Base de dados do inventário
Parcelas p
erm
an
en
tes
Parcelas tem
p
o
rárias
Base de dados para ajustar modelo
Para parcelas temporárias, repete informação 
do Id1 e Id2, G1 e G2, V1 e V2
Passos para realizar a prognose do volume de uma floresta
1) Obtém a última medição de cada parcela.
Parcela Idade (anos) S (m) G (m2/ha) V (m3/ha)
1 5 32,5 6,5 55,3
1 7 32,5 8,9 120,1
1 9 32,5 10,1 155,7
1 12 32,5 14,5 235,6
2 6 20,5 4,7 29,5
2 9 20,5 7,5 65,6
2 11 20,5 13,4 126,6
2 13 20,5 14,7 152,1
... ... ... ... ...
100 15 26,5 17,5 201,5
2) Projetar o volume de cada parcela para as idades de 3 a 18 anos usando o modelo de 
Sullivan e Clutter.
Parcela Idade (anos) S (m) G (m2/ha) V (m3/ha)
1 12 32,5 14,5 235,6
2 13 20,5 14,7 152,1
... ... ... ... ...
100 15 26,5 17,5 201,5
Base de dados para prognose
3) Agrupar as parcelas por sítio e encontrar o comportamento médio do volume ao longo das 
idades.
4) Encontrar a Rotação de Máxima Produção Volumétrica por parcela/talhão/sítio.
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