CAMPOS & LEITE Mensuração florestal perguntas e respostas 2017 (capítulo 10 Classificação da Capacidade Produtiva e capítulo 11 Crescimento, Produção e Mortalidade)

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Capítulo
Classificação da Capacidade 
Produtiva
0 crescimento e a produção de um povoamento florestal dependem 
da idade, da capacidade produtiva, do grau de utilização do potencial 
produtivo do lugar e de tratamentos silviculturais. Qualidade do local, ou 
capacidade produtiva do local, pode ser definida como o potencial para 
produção de madeira (ou outro produto) de determinado lugar, para 
determinada espécie ou clone. Essa qualidade pode ser expressa de modo 
empírico em alta, média e baixa, ou por meio de algum índice quantitativo, 
como o índice de local. índice de local é a altura dominante média do 
povoamento em uma idade especifica (idade-índice), sendo, portanto, uma 
medida quantitativa da capacidade produtiva do lugar. O conhecimento da 
qualidade do lugar de cada unidade de manejo é importante para o manejo 
florestal.
Os métodos de avaliação da capacidade produtiva podem ser 
definidos em três categorias: avaliação da qualidade do lugar pela 
vegetação indicadora; avaliação por fatores climáticos, edáficos, 
fisiográficos e bióticos; e avaliação por meio da relação altura dominante 
e idade, com a definição de índices de local (JONES, 1969). Esta última 
categoria representa um método direto de classificação.
Avaliação baseada em fatores edáficos visa, principalmente, à 
indicação de espécies, à estratificação do terreno, à indicação de 
adubação e à definição de unidades de manejo. Tem a vantagem de não 
exigir a presença de árvores ou povoamentos estabelecidos.
290 Campos e Leite
Embora as informações edáficas ou de alturas dominantes tenham 
objetivos diferentes, elas podem ser utilizadas de maneira complementar. 
Conforme Beck e Trousdell (1973) e demonstrado por Oliveira (1998), o 
emprego de curvas de índices de local específicas por tipo de solo resulta 
em maior eficiência na classificação da capacidade produtiva.
Neste capítulo é exemplificado o método baseado na relação 
altura dominante versus idade do povoamento, devido à aplicabilidade 
usual deste em modelagem do crescimento e da produção. Cabe lembrar 
que, para a maioria das espécies, áreas de alta capacidade produtiva são 
também aquelas cujo crescimento em altura é elevado, podendo-se 
inferir que existe correlação significativa entre a altura dos indivíduos 
dominantes do povoamento e a capacidade produtiva do lugar. Os 
exemplos apresentados neste capítulo contemplam os principais 
métodos de construção de curvas de índices de local e a consequente 
classificação da capacidade produtiva.
Com a rápida expansão do uso de fertilizantes, principalmente 
em reflorestamentos com eucalipto, uma classificação de local, pelo 
método dos índices de local, poderá sofrer uma revisão, em virtude da 
possível mudança de capacidade produtiva que ocorre em consequência 
da adubação.
Além da adubação, povoamentos florestais oriundos de brotação 
ou corte de talhadias podem também apresentar crescimento um pouco 
diferente do povoamento original.
A possibilidade de constatação de mudanças no crescimento em 
altura demonstra a sensibilidade do método em classificar locais pela 
relação altura dominante versus idade, o que obriga o manejador a 
manter-se atento a qualquer alteração na taxa de crescimento e, 
consequentemente, interpretar melhor a prognose da produção.
Este capítulo considera também que, para planejamento florestal 
hierárquico, muitas vezes é necessário estimar índices de local (5) e 
mapear a capacidade produtiva, de modo quantitativo, sem o 
conhecimento da altura dominante. Isto é necessário em duas situações. 
A primeira é quando são empregados modelos de crescimento e 
produção que incluem a variável S e diante da inexistência de parcelas 
permanentes em todos os talhões. A segunda situação é quando se 
pretende estratificar a floresta para classificação de terras, considerando 
fatores edáficos, fisiográficos e climáticos. Para esses dois casos uma 
alternativa é o emprego de métodos de inteligência computacional 
(CONCENZA et al., 2015).
Classificação da capacidade produtiva 291
Exemplo 10.1 - Curvas de índices de local
O que são as curvas de índices de local e para que servem?
Considerações
A classificação por índices de local constitui um método prático, 
quantitativo e consistente de avaliação da qualidade do local, pois todos 
os fatores ambientais são refletidos de modo interativo no crescimento 
em altura, a qual também está relacionada com o volume. Some-se a 
isso a vantagem de a altura das árvores mais altas quase não ser afetada 
pela competição. Outra vantagem é o fato de a classificação ser feita 
por uma expressão numérica, em lugar de uma descrição qualitativa. 
Como desvantagem, pode-se citar a não aplicação em áreas sem árvores 
da espécie a ser cultivada e, também, em áreas de regiões tropicais com 
espécies folhosas, pelo desconhecimento da idade.
Curvas de índices de local são construídas a partir de equações 
de índices de local e utilizadas para classificar, de modo quantitativo, a 
capacidade produtiva do lugar. Essas equações são derivadas de 
relações funcionais envolvendo a variável dependente altura dominante 
(Hd) e a variável independente idade (7). Vários modelos podem ser 
utilizados, sendo comum os exponenciais e os sigmoides. Conforme 
ilustração na Figura 10.1, cada curva representa um índice de local, o 
qual corresponde à altura média das árvores dominantes numa idade de 
referência denominada idade-índice (7,).
A idade de referência (7,) indicada na Figura 10.1 é escolhida 
arbitrariamente, mas, em geral, ela deve ser próxima da idade técnica de 
colheita. Ainda, conforme a figura, uma altura dominante igual a 28 m na 
idade de 60 meses resulta em um índice de local igual a 
28 m. Essa classificação é independente da idade; por exemplo, uma 
altura dominante de 25,0 m aos 48 meses também resulta em um índice 
de local igual a 28,0 m. Os dados utilizados para ajuste do modelo de 
crescimento em altura dominante devem abranger idades que vão desde 
uma idade jovem, após o estabelecimento do povoamento (cerca de 2 
anos de idade para eucalipto), até pelo menos dois anos após a idade de 
máxima produtividade média (IMA) em volume. Isso garante 
consistência entre a curva-guia estimada e a verdadeira tendência de 
crescimento em altura dominante ao longo da rotação. No caso de 
kesya
Destacar
kesya
Destacar
kesya
Destacar
292 Campos e Leite
povoamentos submetidos a desbaste, a abrangência necessária pode ser 
conseguida em uma rotação completa.
Idade (Meses)
Figura 10.1 - Exemplo de curvas de índices de local.
Para melhor ilustrar as relações entre curvas de índices de local 
(a) e curvas de volume versus altura (b) e de volume versus idade (c), 
foi elaborada a Figura 10.2. Dessas relações gerais, conclui-se que 
maiores índices de local estão relacionados a uma produção maior.
O índice de local não é uma medida exata. As três principais 
fontes de erro ao classificar a capacidade produtiva por meio de índices 
ou classes de local são: uso de método de amostragem inadequado, 
resultando em representatividade apenas em uma ou duas classes de 
local; uso de curvas anamórficas em povoamentos onde a tendência de 
crescimento é diferenciada por classe de local; e mau uso da curva-guia.
Classificação da capacidade produtiva 293
Figura 10.2 - Tendência geral das relações entre curvas de índices de 
local (a) e curvas de produção em volume em relação à 
altura (b) e em relação à idade (c).
Exemplo 10.2 - Fonte de dados para construção de curvas de 
índices de local
Quais são as principais fontes de dados para construção de curvas 
de índices de local?
Considerações
Curvas de índices de local podem ser construídas utilizando-se 
dados de altura de árvores dominantes e idade, obtidos a partir de 
parcelas temporárias; de alturas de árvores dominantes e idades, 
oriundos de uma rede de parcelas permanentes; e de alturas de árvores 
dominantes e idades, obtidos a partir de análise completa do tronco.
294 Campos e Leite
Quando possível, a primeiraalternativa deve ser evitada, já que 
resulta em classificação eficiente somente com a aceitação da hipótese 
de que todos os índices de local estejam representados em todas as 
classes de idade da população. Se essa hipótese ou pressuposição não 
for verdadeira, a classificação pode ser tendenciosa.
Uma alternativa eficiente consiste no uso de parcelas perma­
nentes, em geral oriundas de uma rede de parcelas de inventários 
florestais contínuos, em que árvores dominantes são marcadas e 
remedidas por alguns anos. Mesmo nesse caso, é importante garantir 
que todas as classes de produtividade estejam representadas na amostra 
de parcelas permanentes, o que, não necessariamente, implica o 
emprego da totalidade das parcelas permanentes.
Dados oriundos de técnicas de análise de tronco também são 
eficientes para o propósito de classificação e se equiparam aos dados de 
parcelas permanentes, podendo ser coletados num tempo mais curto. 
No entanto, nem sempre é possível identificar com precisão os anéis de 
crescimento em espécies de folhosas, ficando a técnica restrita a 
espécies de coníferas e algumas folhosas.
Árvores medidas para avaliação de qualidade de local devem ser 
livres de supressão (efeito de dominância) e danos; são aquelas árvores 
cuja copa se situa no dossel superior, recebendo luz direta. São sadias, 
livres de doença, com copa e fuste bem definidos, sem bifurcação e 
tortuosidade, com dap e alturas maiores que os das árvores 
circunvizinhas. É muito importante, ao se classificar a capacidade 
produtiva de locais, seguir um mesmo critério para construção e 
aplicação das curvas. Se as curvas foram construídas com médias das 
alturas totais de cinco árvores dominantes por parcela, então, ao aplicar 
essas curvas, deve-se utilizar uma média também de cinco árvores 
dominantes.
Se as curvas foram construídas com médias das alturas totais das 
cinco árvores de maior dap por parcela, esse mesmo tipo de identificação 
deverá ser usado ao aplicar as curvas. Esta opção de não marcar as 
árvores dominantes só se aplica em plantios de clones de eucalipto com 
variação insignificante na altura em cada parcela e idade.
Dados para o emprego do método da curva-guia, demonstrado no 
exemplo 10.5, podem ser obtidos por meio de levantamentos Laser 
Scanner aerotransportados, em uma única ocasião (ano), em toda a 
floresta. Nesse caso, é feito um “censo”, sendo obtidas as alturas de todas 
Classificação da capacidade produtiva 295
as árvores em cada talhão. Assim, é possível definir a altura dominante 
do talhão diretamente, pela média das maiores árvores. Essas alturas, 
juntamente com a informação da idade, obtida do cadastro florestal, 
geram a base de dados necessária para construção das curvas de índices 
de local.
A definição de Hd em cada talhão pode ser feita assumindo Hd 
como a média das alturas das 100 melhores árvores em 1 hectare do 
talhão. Por uma regra de três, define-se o número de alturas do talhão 
para cálculo dessa média. A curva-guia obtida deve ser semelhante 
àquela que seria obtida utilizando os dados de idade e Hd das parcelas 
que se encontram nos talhões, porém, com uma menor dispersão em cada 
classe de idade (Figura 10.3). A diferença aqui, em relação ao emprego 
de dados de um inventário temporário, feito numa floresta com diferentes 
classes de idade, é a forma de obtenção do dado e o fato de ser em nível 
de talhão, em vez da parcela de inventário.
Exemplo 10.3 - Tipos de curvas de índices de local
Quais são os tipos de curvas de índices de local?
Considerações
A capacidade produtiva por meio de índices de local pode ser 
representada por um feixe de curvas ou tabela, que são organizados a 
partir de uma equação de regressão. Dependendo do método de análise 
utilizado e da procedência dos dados, as curvas de índices de local 
geradas podem ser anamórfícas (harmônicas) ou polimórficas.
Curvas anamórfícas são aquelas em que a tendência do 
crescimento em altura é a mesma em todos os locais, ou seja, em cada 
idade, a distância entre as curvas é idêntica. São curvas com inclinação 
comum e constante, mas variando o ponto de interseção; elas 
apresentam mesma forma para todos os índices de local e, quando a 
tendência é do tipo sigmoidal, o ponto de inflexão ocorre em uma 
mesma idade em todos os locais. Já as curvas polimórficas não 
apresentam mesma tendência de incremento em altura em todos os 
locais (Figura 10.3).
296 Campos e Leite
A manifestação de uma ou outra tendência, além da técnica 
empregada, depende de condições locais, usualmente ligadas a 
determinadas propriedades do solo, como textura de horizontes. No 
entanto, para que a condição de anamorfísmo ou polimorfismo se 
manifeste, é necessário que a fonte de dados seja adequada. Enquanto 
qualquer fonte de dados permite gerar curvas anamórficas, curvas 
polimórfícas só podem ser geradas com dados de parcelas permanentes 
ou de análise completa de tronco e empregando algum método 
específico de análise que proporcione flexibilidade nas diferentes 
formas das curvas.
Exemplo 10.4 - Alternativas para construção de curvas de índices 
de local
Quais são as alternativas principais de construção de curvas de 
índices de local?
Considerações
Algumas das alternativas de construção de curvas de índices de 
local são:
a) Método da curva-guia.
b) Método de atribuição preliminar de índices de local.
c) Método da equação das diferenças.
d) Método de Hammer.
e) Método da predição de parâmetros.
Classificação da capacidade produtiva 297
Os métodos da curva-guia e de Hammer geram curvas 
anamórficas e podem ser empregados com dados de parcelas 
permanentes ou temporárias, sendo o primeiro o mais difundido. Os 
demais métodos requerem dados de parcelas permanentes ou de análise 
completa do tronco. Um método eficiente para construção de curvas 
polimórficas é o da predição de parâmetros, conforme Exemplo 10.10.
Exemplo 10.5 - Método da curva-guia
Como construir curvas de índices de local utilizando-se o método 
da curva-guia?
Considerações
Inicialmente, deve ser selecionado um modelo de regressão 
envolvendo as variáveis altura dominante (Hd) e idade (/). Considere, 
a título de exemplo, a forma linearizada do modelo de Schumacher, 
cujas variáveis já foram definidas:
Ln (Hd)
A equação resultante representa a curva média de índices de 
local, denominada curva-guia, que mostra a estimativa do crescimento 
médio ao longo do tempo.
A partir da equação da curva-guia, uma equação de índices de 
local é obtida ao observar o conceito de índice de local, ou seja, quando 
a idade (?) do povoamento for igual à idade-índice (Z,), a altura 
dominante é igual ao índice de local (Hd = S <=> I — It) (Figura 
10.1).
Então:
Ln (Hd) (10.1)
Seguindo as considerações anteriores, pode-se escrever: 
m
(10.2)
298 Campos e Leite
Isolando /3o na expressão 10.1 e substituindo na expressão 10.2, 
tem-se:
^=Ln(Hd)-f\
Ln (S) = Ln (Hd) -
fl
Colocando /3\ em evidência, na expressão anterior, tem-se:
pY
p
ou, isolando LnHd.
Ln (Hd) = Ln (S) + /3} rpppY[l/J
(10.3)
(10.4)
A expressão 10.4 permite a construção de curvas e, ou, tabelas 
de índices de local e a expressão 10.3 é usada para determinar o índice 
de local para uma altura dominante numa idade qualquer. A título de 
exemplo, considere a equação:
Ln (Hd)= 3,733970-34,363520
Ao plotar os dados observados de altura dominante e idade 
verificou-se que Hd variava entre 14,0 e 36,0 m na idade-índice definida 
(72 meses). Isso significa que as curvas de índices de local deveríam 
abranger essa amplitude.
Considerando que o índice de local (S) é igual à altura dominante 
(Hd) quando a idade (I) for igual à idade-índice (I)) e que esta seja de 
72 meses, pode-se escrever:
Ln (S) = 3,733970-34,363520 
3,733970 = Ln (S) + 34,363520 í — 
Classificação da capacidade produtiva 299
que, substituindo na equação inicial, resulta em:
Ln (Hd) = Ln (S) + 34,363520 - 34,363520
ou ainda:
Ln (Hd) = Ln (S) - 34,3 63 520 [j -
Esta expressão é utilizada paraconstruir as curvas, ou tabela, de 
índices de local. Atribuindo-se valores para S compatíveis com a 
variação da altura dominante na idade-índice e variando a idade (7), são 
geradas as curvas de índices de local (Figura 10.4). Neste exemplo, 
optou-se por agrupar os índices de local em três classes de local, 
observando-se uma amplitude de 8 m em cada classe, na idade-índice. 
Por exemplo, a classe de local I abrange os índices 29 a 37 m.
Figura 10.4 - Exemplo de curvas anamórfícas de índices de local 
geradas pelo método da curva-guia, admitindo-se 
uma idade-índice de 72 meses e a equação 
Ln (Hd) = Ln (S) - 34,363520 (z_1 - 72’1 )•
300 Campos e Leite
Sendo objetivo definir o índice de local para qualquer altura 
dominante e idade, e para evitar interpolação na tabela ou gráfico de 
índices de local, utiliza-se a expressão:
Ln(S) = Ln(Hd) + 34,363520
O uso desta expressão é particularmente necessário ao se 
empregar um sistema de prognose, quando o input índice de local é 
determinado para as alturas dominantes médias observadas em parcelas 
permanentes.
Cabe ressaltar que, ao utilizar uma rede de parcelas permanentes 
para obter o índice de local e mapear classes de produtividade de 
talhões, é recomendável usar as médias dos índices de local 
determinados nas duas ou três últimas medições das parcelas, a fim de 
garantir mais consistência aos resultados.
Experiências com o modelo Ln (Hd)= + /?j I~l + e, acrescido
de um coeficiente fh, indicam haver aumento de precisão da equação 
resultante, como consequência direta do aumento de flexibilidade do 
modelo original. Assim, da forma simples inicial, o modelo passa para a 
forma Ln Hd = /?0 + I~^ + e. Considerando ser um modelo muito
empregado no processo de classificação de locais, é oportuno comentar 
mais sobre o modelo modificado.
Para gerar curvas ou tabelas de índices de local, as mesmas 
transformações feitas no modelo simplificado são também realizadas 
aqui. Pela definição de índice de local, se L for a idade-índice para a 
qual as curvas serão traçadas, e sendo as alturas dominantes (Hd) iguais 
aos índices de local (S) na idade-índice, tem-se:
que, substituído no modelo modificado original, resulta em:
ou ainda:
Classificação da capacidade produtiva 301
Ln(Hd) = Ln (S) +
que serve para gerar curvas ou tabelas de índices de local.
Pretendendo determinar o índice de local em qualquer lugar, a 
partir de observações de Hd e I, basta substituí-las na expressão:
7if2 ^2- -l/J
Em povoamentos de pinus e de eucalipto, o valor de /?2 
geralmente encontra-se entre 0 e 2.
Exemplo 10.6 - Tabelas de limites de alturas dominantes
Como construir uma tabela contendo os limites de alturas 
dominantes por índice de local?
Considerações
As curvas de índices de local geralmente são utilizadas com 
propósito ilustrativo. Uma forma mais precisa e eficiente de 
classificação, em comparação com a Figura 10.4, consiste no emprego 
de uma tabela contendo os limites de alturas dominantes para cada 
índice de local ou classe de capacidade produtiva. Uma classe de 
capacidade produtiva engloba dois ou mais índices de local, sendo 
usada algumas vezes para propósito de estratificação de florestas ou 
povoamentos.
Considere a expressão
Ln (Hd) = Ln (S) - 34,363520 [j “
que, da mesma forma que serviu para a construção de curvas (Figura 
10.4), também foi útil para organizar uma tabela de índices de local 
(Tabela 10.1).
302 Campos e Leite
Para acessar a classe ou o índice de local, é necessário 
conhecer a altura dominante média do lugar, além da idade atual do 
povoamento. Por exemplo, o local de maior capacidade produtiva 
entre aqueles relacionados a seguir, de acordo com a Tabela 10.1, é 
o B.
Local Hd (m) I (Meses) S (índice de Local)
A 32,7 96 28
B 28,4 48 36
C 23,6 60 26
Observe que aqui foram utilizados os mesmos índices de local 
representados na Figura 10.4.
Tabela 10.1 - Limites de altura dominante por idade e índices de local 
com definição de três classes de capacidade produtiva, 
considerando-se uma idade-índice de 72 meses
Continua...
Idade Classe I
Meses 30 32 34 36
36 18,1 - 19,2 19,3 - 20,5 20,6 21,7 21,8 - 23,0
48 23,0 24,4 24,5 - 26,0 26,1 27,6 27,7 - 29,1
60 26,5 28,2 28,3 - 30,0 30,1 31,8 31,9 - 33,6
72 29,1 31,0 31,1 - 33,0 33,1 35,0 35,1 - 37,0
84 31,2 33,2 33,3 - 35,3 35,4 37,5 37,6 - 39,6
96 32,8 34,9 35,0 - 37,2 37,3 39,4 39,5 - 41,7
108 34,1 36,4 36,5 - 38,7 38,8 41,0 41,1 - 43,4
120 35,2 37,5 37,6 - 39,9 40,0 42,4 42,5 - 44,8
132 36,1 38,5 38,6 - 41,0 41,1 43,5 43,6 - 46,0
144 36,9 39,4 39,5 - 41,9 42,0 44,4 44,5 - 47,0
Idade Classe II
Meses 22 24 26 28
36 13,1 14,3 14,4 15,5 15,6 - 16,8 16,9 - 18,0
48 16,7 18,1 18,2 19,7 19,8 - 21,3 21,4 - 22,9
60 19,2 20,9 21,0 22,7 22,8 - 24,5 24,6 - 26,4
72 21,1 23,0 23,1 25,0 25,1 - 27,0 27,1 - 29,0
84 22,6 24,6 24,7 26,8 26,9 - 28,9 29,0 - 31,1
Classificação da capacidade produtiva 303
Tabela 10.1 - Cont.
Idade
Meses
Classe II
22 24 26 28
96 23,8 25,9 26,0 28,2 28,3 30,4 30,5 - 32,7
108 24,7 27,0 27,1 29,3 29,4 31,7 31,8 - 34,0
120 25,5 27,8 27,9 30,3 30,4 32,7 32,8 - 35,1
132 26,2 28,6 28,7 31,1 31,2 33,5 33,6 - 36,0
144 26,8 29,2 29,3 31,7 31,8 34,3 34,4 - 36,8
Idade Classe III
Meses 14 16 18 20
36 8,2 9,3 9,4 10,6 10,7 11,8 11,9 - 13,0
48 10,3 11,8 11,9 13,4 13,5 15,0 15,1 - 16,6
60 11,9 13,6 13,7 15,5 15,6 17,3 17,4 - 19,1
72 13,1 15,0 15,1 17,0 17,1 19,0 19,1 - 21,0
84 14,0 16,1 16,2 18,2 18,3 20,3 20,4 - 22,5
96 14,8 16,9 17,0 19,2 19,3 21,4 21,5 - 23,7
108 15,3 17,6 17,7 19,9 20,0 22,3 22,4 - 24,6
120 15,8 18,2 18,3 20,6 20,7 23,0 23,1 - 25,4
132 16,3 18,6 18,7 21,1 21,2 23,6 23,7 - 26,1
144 16,6 19,0 19,1 - 21,6 21,7 24,1 24,2 - 26,7
Exemplo 10.7 - Classificação utilizando índices de local definidos 
preliminarmente
Como classificar a capacidade produtiva atribuindo índices de 
local preliminarmente?
Considerações
Por este método, além da idade e da altura dominante, é 
necessário dispor de uma informação preliminar sobre o índice de local 
de cada parcela permanente. Assim, duas situações podem ocorrer: 
parcelas com medição em uma idade coincidente com a idade-índice 
escolhida e parcelas em que não há essa coincidência. No primeiro caso, 
o índice de local preliminar é igual à altura dominante observada na 
idade-índice. No segundo caso, os índices de local são determinados 
por meio de equações de regressão obtidas para cada parcela. Quando 
o número de medições por parcela for inferior a três, o índice preliminar 
é obtido por interpolação ou extrapolação. Modelos usuais para obter 
304 Campos e Leite
índices preliminares são o modelo do Exemplo 10.5 e as funções 
Logística, Gompertz e Richards.
Seguindo esse procedimento, estarão disponibilizadas as 
variáveis idade (7), altura dominante (Hd) e índice de local preliminar 
(5) para cada uma das parcelas. O passo seguinte consiste em ajustar 
um modelo para construir as curvas de índices de local, isto é, Hd = 
f(I,S). Supondo que o modelo escolhido seja o de Richards, então, ao 
se incluir neste a variável S, tem-se:
Hd = p0 s(l+e^1 + e
f. - / " \~^3 I
A equação resultante, expressa por Hd = /30S\ 1 + e^1 _/?2/ I , é 
agora utilizada para construção de curvas ou tabelas de índices de local. 
Cabe lembrar que esta expressão já contém, implicitamente, a idade- 
índice escolhida. Outro modelo que pode ser testado neste método de 
classificação da capacidade produtiva é o de Payandeh e Wang (1995):
Ao contrário do método da curva-guia, neste método não há 
garantia de que Hd=S <=> I = li. Esta condição irá ocorrer somente se 
for empregado um modelo restrito, por exemplo, para o modelo 
logístico:
Hd = s( 1 + Ae 'P11)/(1 + Ae )+ £
Aplicação
Quais são os índices de local preliminares para as duas parcelas 
permanentes indicadas a seguir, considerando-se uma idade-índice de 
60 meses?
Continua...
Parcela Idade (Meses) Altura Dominante (m) índice de Local Preliminar
1 30 15,0 ?
1 42 19,5 ?
1 54 23,0 ?
Classificação da capacidade produtiva 305
Cont.
ParcelaIdade (Meses) Altura Dominante (m) índice de Local Preliminar
1 66 25,0 ?
1 78 27,5 ?
2 36 20,5 ?
2 48 26,5 ?
2 60 28,5 ?
2 72 29,0 ?
2 84 30,5 ?
Solução
Para a parcela 2, o índice de local preliminar corresponde à altura 
dominante observada na idade-índice de 60 meses, sendo igual a 
28,5 m. Para a parcela 1, é necessário ajustar um modelo de regressão. 
Ao se empregar o modelo do Exemplo 10.5, tem-se:
3.6732- 29,1317-
Hd = e 2 (r2 =0,998).
Substituindo a idade de 60 meses nesta equação, obtém-se:
3.6732- 29,1317—
Hd = e 60 = 24,2 m,
que é o índice de local preliminar para a parcela 1.
Uma vez conhecidos os índices preliminares, resta definir e 
ajustar o modelo a ser utilizado para construção das curvas de índices 
de local. Com essa alternativa, Oliveira (1998), empregando dados de 
872 parcelas permanentes de eucalipto, obteve a equação: 
Hd = 1,3805 5(1- e~O209(/) )0’9434 .
Esta equação presta para gerar diretamente as curvas ou tabelas 
de índices de local. Para determinar 0 índice de local para qualquer 
altura dominante e idade, e evitar interpolação em tabela ou gráfico de 
índices de local, pode ser usada a expressão:
„ Hd
1,3805(1-e-°'0209(/))0'9434
306 Campos e Leite
Exemplo 10.8 - Método da equação das diferenças
Como classificar a capacidade produtiva utilizando-se o método 
da equação das diferenças?
Considerações
Neste método, conforme Clutter et al. (1983), são empregados 
somente dados provenientes de parcelas permanentes ou de análise de 
tronco, podendo resultar curvas anamórfícas ou polimórficas, 
constituindo uma vantagem em relação ao método da curva-guia.
Uma forma de demonstrar sua aplicação consiste em empregar o 
modelo LnHd = /?0 + +e.
Inicialmente, utilizando pares consecutivos de idade e altura 
dominante, determinam-se as diferenças sucessivas, LnHd., - LnHd, e 
-i~l, em que 1 refere-se à medição atual e 2 à medição imediatamente 
posterior. Em seguida, ajusta-se o modelo Y = /3xX + e , em que Y = 
LnHd2 - LnHd, e X = I~' -Zf1 , resultando na expressão:
Ln Hd2 = Ln Hd, + (Z-T1 - Zf1), com 
sendo n o número de pares XiYi.
Fazendo I\ igual à idade-índice, tem-se que Hdx é igual ao índice 
de local, ou seja:
Ln Hd = LnS + -Z;1)
ou ainda:
Ln S = LnHd - j3,(Tx -1,)
Considere os dados de seis medições de 16 parcelas permanentes 
provenientes de um povoamento de eucalipto (Tabela 10.2). Nas duas 
últimas colunas dessa tabela já se encontram calculadas as diferenças 
sucessivas. Ajustando o modelo linear simples aos dados dessa tabela, 
obtém-se Y = -20,3 869A, ou ainda:
Classificação da capacidade produtiva 307
LnHd = LnS- 20,0078 (?’ - Tf1)
que serve para gerar curvas ou tabela de índices de local.
Tabela 10.2 - Dados de alturas dominantes e idades de 16 parcelas 
permanentes de um povoamento de eucalipto
Parcela Idade (Meses) Altura Dominante (m) LnHd2 - LnHd,
(D Wh h 1 2
1 27 40 14,5 18,2 0,227 -0,012
1 40 50 18,2 20,5 0,119 -0,005
1 50 58 20,5 20,5 0,000 -0,003
1 58 61 20,5 21,7 0,057 -0,001
1 61 76 21,7 23,3 0,071 -0,003
2 27 40 13,6 17,8 0,269 -0,012
2 40 50 17,8 21,5 0,189 -0,005
2 50 58 21,5 21,5 0,000 -0,003
2 58 61 21,5 21,8 0,012 -0,001
2 61 76 21,8 22,8 0,047 -0,003
3 27 40 14,3 17,8 0,219 -0,012
3 40 50 17,8 21,0 0,163 -0,005
3 50 58 21,0 21,0 0,002 -0,003
3 58 61 21,0 21,4 0,018 -0,001
3 61 76 21,4 23,2 0,082 -0,003
4 27 40 14,0 17,5 0,221 -0,012
4 40 50 17,5 21,2 0,196 -0,005
4 50 58 21,2 21,2 -0,002 -0,003
4 58 61 21,2 21,4 0,008 -0,001
4 61 76 21,4 22,9 0,069 -0,003
5 27 40 13,4 18,0 0,296 -0,012
5 40 50 18,0 20,8 0,144 -0,005
5 50 58 20,8 20,8 -0,001 -0,003
5 58 61 20,8 23,2 0,110 -0,001
5 61 76 23,2 23,0 -0,010 -0,003
6 27 40 13,2 17,4 0,275 -0,012
6 40 50 17,4 20,3 0,155 -0,005
6 50 58 20,3 20,3 0,000 -0,003
Continua...
308 Campos e Leite
Tabela 10.2 - Cont.
Parcela Idade (Meses) Altura Dominante (m) LnHd-, - LnHdi
(Y)
12 1i
(A)h h 1 2
6 58 61 20,3 22,0 0,080 -0,001
6 61 76 22,0 22,9 0,041 -0,003
7 27 40 13,2 17,8 0,299 -0,012
7 40 50 17,8 21,3 0,180 -0,005
7 50 58 21,3 21,3 0,000 -0,003
7 58 61 21,3 22,5 0,057 -0,001
7 61 76 22,5 23,3 0,033 -0,003
8 27 40 13,1 17,4 0,283 -0,012
8 40 50 17,4 20,8 0,181 -0,005
8 50 58 20,8 20,8 -0,001 -0,003
8 58 61 20,8 22,6 0,081 -0,001
8 61 76 22,6 22,7 0,006 -0,003
9 27 40 14,3 17,3 0,192 -0,012
9 40 50 17,3 20,4 0,165 -0,005
9 50 58 20,4 20,4 -0,001 -0,003
9 58 61 20,4 20,9 0,022 -0,001
9 61 76 20,9 22,3 0,067 -0,003
10 27 40 14,2 17,1 0,185 -0,012
10 40 50 17,1 20,0 0,159 -0,005
10 50 58 20,0 20,0 -0,001 -0,003
10 58 61 20,0 20,0 0,000 -0,001
10 61 76 20,0 23,3 0,153 -0,003
11 27 40 14,3 17,3 0,189 -0,012
11 40 50 17,3 20,6 0,176 -0,005
11 50 58 20,6 20,6 0,000 -0,003
11 58 61 20,6 21,2 0,031 -0,001
11 61 76 21,2 22,4 0,053 -0,003
12 27 40 14,4 17,2 0,180 -0,012
12 40 50 17,2 19,7 0,133 -0,005
12 50 58 19,7 19,7 0,000 -0,003
12 58 61 19,7 20,7 0,048 -0,001
12 61 76 20,7 22,3 0,076 -0,003
Continua...
Classificação da capacidade produtiva 309
Tabela 10.2 - Cont.
Parcela Idade (Meses) Altura Dominante (m) LnHd2 - LnHd,
(n (A)h h 1 2
13 27 40 13,8 17,0 0,209 -0,012
13 40 50 17,0 20,6 0,192 -0,005
13 50 58 20,6 20,6 0,000 -0,003
13 58 61 20,6 20,5 -0,004 -0,001
13 61 76 20,5 22,5 0,092 -0,003
14 27 40 14,3 17,9 0,222 -0,012
14 40 50 17,9 21,5 0,185 -0,005
14 50 58 21,5 21,5 0,000 -0,003
14 58 61 21,5 21,3 -0,011 -0,001
14 61 76 21,3 23,0 0,079 -0,003
15 27 40 14,2 17,9 0,234 -0,012
15 40 50 17,9 21,0 0,156 -0,005
15 50 58 21,0 21,0 0,002 -0,003
15 58 61 21,0 21,0 -0,002 -0,001
15 61 76 21,0 22,5 0,071 -0,003
16 27 40 14,4 17,6 0,200 -0,012
16 40 50 17,6 20,9 0,174 -0,005
16 50 58 20,9 20,9 -0,001 -0,003
16 58 61 20,9 21,0 0,003 -0,001
16 61 76 21,0 22,7 0,080 -0,003
Outros modelos de regressão também podem ser utilizados neste 
método. Assim, considerando o exposto no Exemplo 10.5, sobre a 
vantagem de acrescentar um parâmetro no modelo de Schumacher, tem- 
se que:
7 = LnHd2 - LnHd\ e
Fazendo 7= (3\X, obtém-se um modelo não linear, isto é:
310 Campos e Leite
Observe que, neste caso, as diferenças sucessivas não são 
calculadas, e sim empregadas na relação funcional a ser ajustada. 
Utilizando novamente os dados da Tabela 10.2 e um procedimento 
iterativo de ajuste de modelos não lineares, obteve-se a equação:
LnHd2 —LnHdx - -15,1616
8827
e, de forma semelhante ao modelo original, fazendo I\ = idade-índice, 
obtém-se:
LnHd = LnS~ 15,1616
8827
e
LrtS = LnHd +15,1616
Se se deseja empregar o modelo:
Hd = fc [l-e-^1-^,
considerando os pares consecutivos Z2>A e Hd2, Hdl, pode-se escrever 
que:
Hdi = A [1 - ]<1_A)' A! = Hdl [1 - e~hI' ]4H?3) ‘
Hd2 = ^[1 - e~hh ](1_A)' /. #2 =Hd2 [1 - e~hh '
Fazendo Pw = Pn, tem-se:
Hdx [1 - ]"(1_A)' = Hd2 [1 - e^2 ]41_Ã) *
Isolando Hd2 na expressão anterior, pode-se escrever:
Hd2 = Hdi
Classificação da capacidade produtiva 311
Este modelo pode ser ajustado empregando um procedimento de 
mínimos quadrados não linear. Obtida a equação e considerando a 
idade-índice como I\, tem-se:
Hd-S e
S-Hd
[l-e-v]-1'-11’1"
que servem, respectivamente, para construir curvas ou tabela de índices 
de local e para estimar índices de local.
Exemplo 10.9 - Construção de curvas de índices de local pelo 
método de Hammer
Como construir curvas de índices de local utilizando-se o método 
de Hammer?
Considerações
Neste método, conforme Hammer (1981), o parâmetro fin do 
modelo escolhido para estimar a altura dominante é substituído por uma 
equação, de forma que as curvas de índices de local passem por alturas 
prefixadas coincidentes com índices de local definidos. Considerando ter 
sido escolhida a função Hd = /?0(l -e-^17), os passos principais do 
método são:
• Ajustar a função, obtendo as estimativas de fio e fi\.
• Fixar índices de local, compatíveis com a variação de altura 
dominante na idade-índice escolhida.
• Substituir esses índices na equação inicial no lugar da variável Hd e a 
idade-índice no lugar da variável Ze obter fio para cada índice de local, 
isto é:
312 Campos e Leite
• Com os pares de dados obtidos no passoanterior (/?0, S), ajustar a 
regressão linear simples j30 = a0 + o^S + E e substituir a equação 
resultante na equação inicial, obtendo a expressão:
Hd = (â0 +ô'1S)(l-e"Â/) (10.5)
A expressão 10.5 é utilizada para construir curvas ou tabelas de 
índices de local.
Na verdade, este método constitui uma variação do método da 
curva-guia (Exemplo 10.5).
Aplicação
Utilizando os mesmos dados da Tabela 10.2, construir um feixe 
de curvas de índices de local pelo método de Hammer.
Solução
A partir dos dados da Tabela 10.2, obtém-se, por procedimento 
de mínimos quadrados não lineares, a equação:
Hd=26,l0412(l-e^02S684").
Ao fixar índices de local iguais a 14, 16, ..., 36, obtêm-se os 
seguintes valores de ffc.
s 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
A 17,05 19,49 21,92 24,36 26,79 29,23 31,66 34,10 36,54 38,97 41,41 43,84
Ainda, seguindo os passos mencionados, obtém-se a equação 
= 1,217849(5), que, após substituída na expressão 10.5, resulta em: 
Hd = (1,2178495) (1 - e-°.°28684C)).
Classificação da capacidade produtiva 313
Utilizando os índices de local estabelecidos e a idade-índice de 60 
meses, são obtidas as curvas, representadas na Figura 10.5.
Figura 10.5 - Curvas de índices de local construídas pelo método de 
Hammer (Ti = 60 meses), a partir da equação 
Hd = (1,217849 5)(1 - e^028684(/)).
Exemplo 10.10 - Método da predição de parâmetros
Como classificar a capacidade produtiva utilizando o método da 
predição de parâmetros?
Considerações
Dados para o emprego do método da predição de parâmetros são 
os oriundos de parcelas permanentes ou análise completa de tronco. Os 
passos essenciais na implementação do método são:
• Ajustar um modelo relacionando altura dominante e idade para cada 
parcela permanente.
314 Campos e Leite
• Substituir a idade-índice em cada uma das regressões e encontrar o 
índice de local para cada parcela.
• Relacionar cada parâmetro estimado com os índices de local, por 
regressão linear ou não linear.
• Substituir as equações obtidas conforme item anterior no modelo 
inicial, obtendo a expressão a ser utilizada para construção das curvas 
de índices de local.
Considerar, por exemplo, um conjunto de n parcelas, cada uma 
mensurada em seis ocasiões (idades de 2 a 7 anos). Como primeiro 
passo, pode-se ajustar o modelo de Richards para cada parcela, 
resultando em n equações. Em cada uma delas deve ser substituída a 
idade-índice, obtendo-se n expressões do tipo: 
S = A [l-e-^jí1^!
e, consequentemente, n valores de índices de local (S), sendo um para 
cada parcela.
Utilizando as n estimativas de cada um dos parâmetros do 
modelo de Richards e os n índices de local obtidos, os seguintes 
modelos podem ser adotados:
$ = a0 + S + s,
/?2 = + ^3 + @4 "1"
/?3 = Otj + (Xg S + (X-j S2 + £
Substituindo os parâmetros do modelo pelas três equações 
resultantes, obtém-se a expressão de índices de local, isto é:
Hd = (â + â S) o 1 '
-(â + â S + â S^)I
1-e 23 4
(1 - (â + â S + â S2))'1
V V 5 6 7 "
Ao relacionar com S podem ser empregados modelos lineares 
ou não lineares, devendo o usuário testar diferentes relações funcionais.
Classificação da capacidade produtiva 315
Aplicação
Construir um feixe de curvas polimórfícas de índices de local a 
partir de dados de parcelas permanentes indicados na Tabela 10.3.
Tabela 10.3 - Altura dominante (Hd) e idade observadas em um 
povoamento de eucalipto
Continua...
Parcela Idade Hd Parcela Idade Hd Parcela Idade Hd
1 36 13,6 11 36 14,4 21 36 15,5
1 48 17,8 11 48 17,2 21 48 20,5
1 60 21,5 11 60 19,7 21 60 26,5
1 72 21,5 11 72 19,7 21 72 30,5
1 84 21,8 11 84 20,7 21 84 32,5
2 36 14,3 12 36 13,8 22 36 13,5
2 48 17,8 12 48 17,0 22 48 18,5
2 60 21,0 12 60 20,6 22 60 24,5
2 72 21,0 12 72 20,6 22 72 28,5
2 84 21,4 12 84 20,5 22 84 30,5
3 36 14,0 13 36 14,3 23 36 16,8
3 48 17,5 13 48 17,9 23 48 21,8
3 60 21,2 13 60 21,5 23 60 27,8
3 72 21,2 13 72 21,5 23 72 31,8
3 84 21,4 13 84 21,3 23 84 33,8
4 36 13,4 14 36 14,2 24 36 14,8
4 48 18,0 14 48 17,9 24 48 19,8
4 60 20,8 14 60 21,0 24 60 25,8
4 72 20,8 14 72 21,0 24 72 29,8
4 84 23,2 14 84 21,0 24 84 31,8
5 36 13,2 15 36 14,4 25 36 18,1
5 48 17,4 15 48 17,6 25 48 23,1
5 60 20,3 15 60 20,9 25 60 29,1
5 72 20,3 15 72 20,9 25 72 33,1
5 84 22,0 15 84 21,0 25 84 35,1
6 36 13,2 16 36 14,0 26 36 17,0
6 48 17,8 16 48 19,0 26 48 22,0
316 Campos e Leite
Tabela 10.3 - Cont.
Parcela Idade Hd Parcela Idade Hd Parcela Idade Hd
6 60 21,3 16 60 25,0 26 60 28,0
6 72 21,3 16 72 29,0 26 72 32,0
6 84 22,5 16 84 31,0 26 84 34,0
7 36 13,1 17 36 12,0 27 36 15,0
7 48 17,4 17 48 17,0 27 48 20,0
7 60 20,8 17 60 23,0 27 60 26,0
7 72 20,8 17 72 27,0 27 72 30,0
7 84 22,6 17 84 29,0 27 84 32,0
8 36 14,3 18 36 15,3 28 36 18,3
8 48 17,3 18 48 20,3 28 48 23,3
8 60 20,4 18 60 26,3 28 60 29,3
8 72 20,4 18 72 30,3 28 72 33,3
8 84 20,9 18 84 32,3 28 84 35,3
9 36 14,2 19 36 13,3 29 36 16,3
9 48 17,1 19 48 18,3 29 48 21,3
9 60 20,0 19 60 24,3 29 60 27,3
9 72 20,0 19 72 28,3 29 72 31,3
9 84 20,0 19 84 30,3 29 84 33,3
10 36 14,3 20 36 16,6 30 36 19,6
10 48 17,3 20 48 21,6 30 48 24,6
10 60 20,6 20 60 27,6 30 60 30,6
10 72 20,6 20 72 31,6 30 72 34,6
10 84 21,2 20 84 33,6 30 84 36,6
Solução
Ao plotar os dados da Tabela 10.3, verifica-se uma tendência 
polimórfica no crescimento em altura dominante, sugerindo que o 
método de predição de parâmetros é adequado nessa circunstância 
(Figura 10.6).
Classificação da capacidade produtiva 317
£ 30,0
■4-í 
s
1 20,0 
O 
Q
2
5 10,0
<
0,0
24 36 48 60 72 84
Idade (Meses)
Figura 10.6 - Altura dominante versus idade de 30 parcelas permanentes.
Para relacionar as alturas dominantes e idades de cada parcela, 
foi empregado o modelo Hd=/3Q + e , obtendo as estimativas
indicadas na Tabela 10.4. Ao substituir a idade-índice em cada uma das 
30 equações, foi obtido o correspondente índice de local.
Tabela 10.4 - Coeficientes do modelo de Richards e índice de local para 
cada parcela na idade-índice de 60 meses
Parcela A A índice de Local
1 22,27875 0,078594 8,275543 20,7
2 21,82365 0,072785 5,703356 20,3
3 21,99235 0,072314 6,028612 20,3
4 23,39119 0,056202 3,879759 20,4
5 22,15171 0,06276 4,69135 19,8
6 22,71682 0,071943 7,027761 20,7
7 22,9233 0,06018 4,613944 20,2
8 21,37188 0,065606 4,148385 19,7
9 20,4946 0,074897 5,381323 19,3
10 21,73697 0,06266 3,871925 19,8
11 21,06464 0,057062 2,801007 19,2
Continua...
318 Campos e Leite
Tabela 10.4 - Cont.
Parcela A A A índice de Local
12 21,16028 0,074237 6,15337 19,7
13 21,94838 0,079675 7,52175 20,6
14 21,4652 0,082651 8,042065 20,3
15 21,54512 0,073144 5,541057 20,1
16 37,9525 0,031735 2,658818 24,7
17 35,34068 0,034209 3,211522 22,7
18 39,62552 0,030356 2,385012 26,0
19 37,04538 0,032543 2,830766 24,0
20 41,28261 0,029117 2,158425 27,3
21 39,85927 0,030171 2,350549 26,2
22 37,27954 0,032332 2,784567 24,2
23 41,50931 0,028961 2,130437 27,5
24 38,96414 0,030879 2,48709 25,5
25 43,1585 0,027838 1,943442 28,8
26 41,74948 0,028779 2,100948 27,7
27 39,19529 0,030695 2,450545 25,7
28 43,40542 0,027678 1,921708 29,0
29 40,85711 0,029418 2,212627 27,0
30 45,00066 0,026722 1,766598 30,3
Ao relacionar cada coeficiente do modelo com os índices de 
local, foram obtidas as seguintes equações:
pc= -138,3768 + 11,8809476(5) - 0,1933185 (S2)
$ = 0,487976 - 0,03217(5) + 0,0005606 (S2)
& _ e 3,99668 - 0,1176311 (S)
Substituindo essas equações no modelo de Richards, obtém-se a 
expressão dos índices de local, sendo:
Hd = (-138,3768 + 11,88094765 - 0,19331855*)
, \ 3,99668-0,11763115 
0,487976-0,03217S+0,0005860652) I )
Atribuindo índices de locais compatíveis com a variação da 
altura dominante aos 60 meses, obtém-se o feixe de curvas 
polimórficas (Figura 10.7 e Tabela 10.5).
Classificação da capacidade produtiva 319
Idade (Meses)
Figura 10.7 - Curvas polimórfícas de índices de local para uma idade- 
índice de 60 meses, empregando a expressão dos índices 
de local do Exemplo 10.10.
Tabela 10.5 - Altura dominante por índice de local, para uma idade- 
índice de 60 meses, empregando a expressão dos índices 
de localdo Exemplo 10.10
índices de Local
Idade 20 22 24 26 28 30
24 7,3 7,2 7,0 7,5 9,4 13,8
30 10,9 11,1 10,6 10,8 12,8 17,5
36 13,9 14,7 14,1 14,1 16,2 20,9
42 16,3 17,9 17,5 17,4 19,3 24,0
48 18,1 20,5 20,5 20,4 22,2 26,8
54 19,3 22,7 23,2 23,1 24,8 29,2
60 20,1 24,4 25,4 25,5 27,1 31,3
66 20,7 25,6 27,3 27,6 29,2 33,1
72 21,1 26,6 28,9 29,5 31,1 34,7
78 21,4 27,3 30,2 31,1 32,7 36,1
84 21,6 27,9 31,2 32,5 34,1 37,2
90 21,7 28,3 32,0 33,6 35,3 38,3
96 21,8 28,6 32,7 34,6 36,4 39,1
320 Campos e Leite
Exemplo 10.11 - Comparação de índices de local com diferentes 
idades-índice
Como comparar curvas de índices de local construídas pelo 
método da curva-guia com diferentes idades-índice?
Considerações
Ao comparar índices de local de lugares diferentes, mas entre curvas 
com um mesmo padrão de tendência, deve-se assegurar-se de que as 
idades-índice sejam as mesmas. Isso porque um índice de local baseado 
numa certa idade-índice não pode ser comparado com outro que foi 
determinado para outra idade-índice. No entanto, uma tabela de índices de 
local pode ser modificada para uma nova idade-índice a partir de alterações 
na equação de índice de local.
Seja a expressão de índices de local:
Ln (St) = Ln (Hd)-f\
Schumacher.
obtida a partir do modelo de
Ao modificar esta expressão para uma nova idade-índice (Zlí), 
tem-se:
e, finalmente, sendo Ia a nova idade-índice, por definição de índice de 
local, Hdia = Sm, isto é:
Ln (SIi2) = Ln (SJ + fi, (10.6)
Classificação da capacidade produtiva 321
Aplicação
Considerando a expressão obtida no Exemplo 10.5 e aplicando a 
expressão 10.6, para uma nova idade-índice de 60 meses, tem-se:
Ln (S60) = Ln (S72) - 34,363520
= Ln(S72)~0,095454 -> S6o = 27,3 m
Então, um índice de local igual a 30 para uma idade-índice de 72 
meses (S72 = 30) pode ser comparado a um índice de local igual a 27,3 
numa idade-índice de 60 meses (Sço = 27,3 m).
Um exemplo mais compreensivo consiste na comparação da 
capacidade produtiva de locais que foram classificados segundo 
equações e idades-índice diferentes. Como comparar os projetos 1 e 2 
da Tabela 10.6, considerando que os índices de local foram obtidos, 
respectivamente, por:
Ln (5) = Ln (Hd) + 31,124210 (1/1 -1/60)
Ln (S) = Ln (Hd) + 34,363520 (1/1 -1/72)
Tabela 10.6 - índices de local obtidos para dois projetos, empregando 
equações e idades-índice diferentes
Projeto Idade (meses) Altura Dominante (m) índice de Local Idade-índice
1 84 32,5 27,6 60
2 66 28,5 29,8 72
Para efeito comparativo, o índice de local do projeto 1 deve ser 
modificado para uma idade-índice de 72 meses (ou o índice de local do 
projeto 2 deve ser alterado para 60 m), resultando em:
ln (560)+31,12421] ~ |
Sn=e k 72 60 -30,1 m
Sendo 30,1 > 29,8, verifica-se que o projeto 1 tem maior 
capacidade produtiva que o projeto 2.
322 Campos e Leite
A mudança de idade-índice, empregando-se a equação do projeto 
1, é representada na Figura 10.8. Observe que os índices de local, iguais 
a 27,6 e 30,1 m, respectivamente para as idades-índice de 60 e 72 meses, 
são obtidos a partir da referida equação.
Idade
Figura 10.8 - Correspondências entre índices de local para idades-índice 
de 60 e 72 meses no projeto 1.
Generalizando o procedimento para o modelo de Richards:
Hd = — e e, sendo por definição S = (1 - h, tem-se:
S = Hd
Seguindo o mesmo procedimento descrito para a expressão 
obtida a partir do modelo de Schumacher, chega-se a:
(l-e-^>
Si = Hd,.I e Sr =S^----------- +----- (10.7).
Esta expressão serve para comparar índices de local 
estabelecidos com equações e idades-índice diferentes, ao adotar o 
modelo de Richards. Observe que Sr é o índice de local para a nova 
idade-índice (1^).
Classificação da capacidade produtiva 323
As comparações ilustradas neste exemplo são aplicáveis apenas 
no caso de uso dos métodos da curva-guia e da equação das diferenças 
(Exemplo 10.4).
Exemplo 10.12 - Estratifícação de reflorestamentos para definição 
de unidades de manejo
Como estratificar reflorestamentos utilizando-se classes de 
local?
Considerações
Para melhor entendimento, sabe-se que no Brasil os termos 
regional, região e fazenda, entre outros, são utilizados como referência 
a áreas contendo um ou mais povoamentos florestais. Dentro desses 
povoamentos existem os menores compartimentos da floresta, que são 
os talhões (ou quadras), onde são instaladas as parcelas permanentes. 
Essas parcelas permanentes, medidas periodicamente, constituem a 
base de dados para monitoramento do crescimento, incluindo a 
avaliação da capacidade produtiva.
A estratifícação dos reflorestamentos pode ser feita via 
capacidade produtiva do lugar e, ou, qualquer característica edáfica ou 
climática. A estratifícação em classes de capacidade produtiva é feita 
usualmente por meio de curvas de índices de local.
Em se tratando de diferentes povoamentos, ao comparar a 
capacidade produtiva via índices de local, é importante observar alguns 
requisitos, uma vez que para cada conjunto de povoamentos é 
desenvolvido um feixe de curvas de índices de local. Por vezes, esses 
feixes podem não ser comparáveis entre si, pelo fato de as curvas não 
guardarem um mesmo padrão de forma.
Causas que refletem diferenciação de formas entre feixes de 
curvas podem ser diversas, sobressaindo: a idade-índice considerada, uma 
vez que, conforme Heger (1973), mesmo empregando um mesmo conjunto 
de dados, curvas preparadas com idades-índice diferentes têm formas 
desiguais; o tipo de habitat ou ecorregião, principalmente devido ao efeito 
dos horizontes do solo; a composição dos dados que originam as curvas, 
que não deve estar desbalanceada quanto à frequência dos índices de local 
encontrados; e a presença de diferentes genótipo, espaçamentos e regimes 
de corte.
324 Campos e Leite
Para ilustração, considere uma floresta com diversos povoamentos, 
com uma rede específica de parcelas permanentes medidas periodicamente. 
Em razão das tendências do crescimento em altura dominante, os 
povoamentos foram agrupados em cinco estratos (Tabela 10.7). Observe que 
esses agrupamentos podem ser feitos também utilizando-se testes 
estatísticos, ou, ainda, empregando métodos estatísticos multivariados. Neste 
caso, os agrupamentos são feitos considerando-se diferentes variáveis, como 
solo, precipitação e tendência de crescimento, entre outras.
Tabela 10.7 - Equações de altura dominante por estrato e amplitudes de 
alturas dominantes observadas (Hd) na idade-índice
Estrato Equação Amplitude 
deTtó(m)
1
_ 29 17912(1 1 179-0,035959/ ) 0,268886 16-26
1 1
5 _ + g-0-368179-0,03595972)) 0,268886q + e~0,368179-0,03595#) 0,268886
1
Hd = 30,085279(1 + ^5,203609-0,0743497^ 4,755263
1 1
5 _ ^5.203609-0,074349-72) 4,755263q + ^5,2036050,074345 )+ 4,755263
14-30
1
Hd = 21,397571(1 + e15’008338~°’222036/) n’499827 12-24
i i
S = Hd(l + e’ ^33 W2203((72) j 11,499827^ + gl 5,0008338-0,2220367 )+ 11,499827
26,359985
Hd l + 6,871538e“°’067137W 14-30
1
2
3
4
s_fíd 1 + 6,871538<T()’067137 rz)
1 +6,871538e~0,067137(72)
5 43,428311Hd 1 + 4,73O486e-0’024259
16-26
<,„,! + 4,730486e~°’°24259 (/)
" l + 4,730486e-°’()24259(72)
Classificação da capacidade produtiva 325
O uso de modelos diferentes (Tabela 10.7) se deve às diferenças 
de tendência de crescimento em altura dominante. Nos estratos 4 e 5, o 
modelo Chapman-Richards foi inadequado. Utilizando uma idade- 
índice de 72 meses, obtiveram-se as curvas-guia apresentadas na Figura 
10.9.
5 -
35 -
30 -
o 25 -
§
g 
o 
Q
20 -
15 -
<
10 -
i-------1-------------- 1------- 1-------------- 1------ 1-------------- i------- 1---------- 1--------- 1--------------- 1
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120
Idade (Meses)
Figura 10.9 - Curvas-guia por estrato geradas a partir das equações 
indicadas na Tabela 10.7, para uma idade-índice de 72 
meses.
Observe na, Tabela 10.7, que a altura dominante na idade-índice 
variou de 12 a 30 m, considerando todos os estratos. Assim, para 
estratificação de povoamento e definição de unidades de manejoforam 
arbitradas três classes de capacidade produtiva (I, II e III), 
respectivamente com as seguintes amplitudes de altura dominante: 
Hd > 25,0 m, 19,0 < Hd <=25 m e Hd<= 19,0 m.
Na Figura 10.10 foram representadas as curvas de índices de 
local para os cinco estratos. Suponha que uma altura dominante de 25 m 
foi observada em uma idade de 72 meses num determinado local da 
floresta em foco. Qual é a classe de capacidade produtiva desse lugar, 
considerando o feixe único construído para os cinco estratos? Como 
25 m se encontram entre 19 e 25 m, esse lugar pertence à classe II.
326 Campos e Leite
A inconsistência que pode ocorrer na classificação de locais 
utilizando curvas específicas de cada estrato se deve ao caráter 
qualitativo (alta, média e baixa capacidade produtiva).
Para efeito de modelagem de crescimento e produção, devem ser 
utilizadas as curvas específicas do lugar.
Idade (meses) Idade (meses)
Idade (meses) Idade (meses)
Idade (meses)
Figura 10.10 - Representação das curvas de índices de local para os 
cinco estratos da Tabela 10.7 e curvas gerais para todos 
os estratos.
Classificação da capacidade produtiva 327
índices de local podem ser agrupados em classes de local, 
abrangendo um mesmo número de curvas (Figura 10.4). Usualmente 
são três as classes de local, representando capacidades produtivas 
“alta”, “média” e “baixa”. Entretanto, para definição de unidades de 
manejo, uma vez conhecido o índice de local de cada talhão, a floresta 
pode ser estratificada de modo que a homogeneidade seja a maior 
possível dentro de cada estrato. Esse tipo de mapeamento pode ser feito 
utilizando ferramentas de SIG (Sistema de Informações Geográficas). 
Redes neurais artificiais e máquina de vetor de suporte também podem 
ser empregadas para o mapeamento da capacidade produtiva, 
principalmente para uso em planejamento hierárquico de longo prazo, 
conforme Consenza et al. (2015). Nesses casos podem ser incluídas 
variáveis de entrada (explicativas), edáficas, climáticas e fisiográficas.
Exemplo 10.13 - Uso da produtividade média para classificação da 
capacidade produtiva
Por que não utilizar o incremento médio anual para mapear a 
capacidade produtiva?
Considerações
Em alguns casos a produtividade média (incremento médio 
anual, IMA}, observada ou estimada em certa idade, é utilizada como 
referência à capacidade produtiva do lugar. Para dois locais com mesma 
idade técnica de corte, quanto maior o IMA nessa idade, maior a 
capacidade produtiva do lugar. Porém, no caso de clones de eucalipto, 
esse tipo de classificação pode resultar em inconsistência devido à 
existência de tendências diferenciadas de crescimento. Considere por 
exemplo a Figura 10.11 com curvas de crescimento para um mesmo 
clone em dois locais diferentes. Para a idade de referência indicada 
nessa figura, os dois locais seriam mapeados com mesma capacidade 
produtiva. Porém, a figura mostra que a capacidade produtiva dos dois 
locais é muito diferente. Isto é confirmado ao observar as idades de 
maximização da produtividade média indicada na figura.
328 Campos e Leite
Volume 
(m’/ha)
Figura 10.11 - Curvas de produção para um mesmo clone em dois 
locais.
Exemplo 10.14 - Classificação da capacidade produtiva empregando 
o diâmetro das árvores dominantes
Como e em que situação classificar a capacidade produtiva 
empregando o diâmetro?
Considerações
Conforme Exemplo 10.1, na classificação por índices de local 
definidos pela altura dominante, é admitido que o crescimento em altura 
das árvores dominantes é o reflexo das interações entre todos os fatores 
e que essas árvores são aquelas menos afetadas pela competição. 0 
diâmetro geralmente não é usado para classificação da capacidade 
produtiva, devido à suposição de que este é muito afetado pela 
competição, consequência da densidade de plantio.
Porém, em certos casos, em povoamentos superestocados, 
quando não houver alta incidência de mortalidade regular ou ocorrência 
de desbastes, o dap também pode ser utilizado para classificação da 
capacidade produtiva (AVERY; BURKHART, 1994).
O emprego da variável dapa (média dos diâmetros das árvores 
dominantes na parcela) em lugar de pode resultar em redução de custos 
Classificação da capacidade produtiva 329
de inventário e modelagem; porém, quando a mortalidade regular for 
significativa poderão ocorrer inconsistências na classificação por meio 
dessa variável. Na Figura 10.12 são apresentadas curvas de índices de local 
construídas para um mesmo povoamento de eucalipto empregando a altura 
e o diâmetro dominante (dapd).
Figura 10.12 - Curvas de índice de local para povoamentos de clones 
de eucalipto, construídas pelo método da curva-guia 
empregando a altura (A) e o diâmetro (B) das árvores 
dominantes (LEITE et al., 2011).
Referências
AVERY, T.E.; BURKHART, H.E. Forest measurements. 4. ed. New York: McGraw- 
Hill Book Co, 1994. 408 p.
BECK, D.E., TROUDELL, K.B. Site index: accuracy of prediction. Asheville, North 
Carolina: USDA, Southeastem Forest Experiment Station, 1973. 8 p. (Forest Service 
Research Paper SE-108).
CONCENZA, D.N., LEITE, H.G., MARCATTI, G.E., BINOTI, D.H.B.B, 
ALCÂNTRA, A.E.M., RODE, R. Classificação da capacidade produtiva de sitios 
florestais utilizando máquina de vetor de suporte e rede neural artificial. Scientia 
Forestalis, v. 43, n. 108. p. 955-963, 2015.
CLUTTER, J. L. Timber management: a quantitative approach. New York: John 
Willey&Sons, 1983.333 p.
HAMMER, G. L. Site classification and tree-diameter-height relationships for cypress pine 
in the top and of the Northem Territory. Australian Forestry, v. 44, n. l,p. 35-41,1981.
HEGER, L. Effect of index age on the precision of site index. Canadian Journal of Forest 
Research, v. 3, n. 1, p. 1-6, 1973.
330 Campos e Leite
JONES, J. R. Review and comparison of site evaluation methods. Rocky Mountain 
For. Exp. Station: USDA, Forest Service, 1969. 27 p. (Research Paper, RM-51).
LEITE, H; CASTRO, R.; CASTRO; SILVA, A.; JÚNIOR C.; BINOTI, B.; CASTRO, 
A.F.; BINOTI M. Classificação da capacidade produtiva de povoamentos de eucalipto 
utilizando diâmetro dominante. Silva Lusitana, v. 19, n. 2, p. 169-183, 2011.
OLIVEIRA, R. A. Classificação de sítios em plantações de eucalipto pelo método 
de índices de local e por classes de solos e de precipitação. 1998. 84 f. Dissertação 
(Mestrado em Ciência Florestal) - Universidade Federal de Viçosa, Viçosa, MG.
PAYANDEH, B.; WANG, Y. Comparison of the modified Weibull and Richards 
growth function for developing site index equations. New For, n. 9, p. 147-155,1995.
Capítulo
Crescimento, Produção e 
Mortalidade
Os três principais elementos do manejo de florestas equiâneas 
são: 1) classificação de terras (quanto a localização, tamanho das 
árvores, estoques de crescimento e de colheita, espécies, solos, 
fisiografia e outros atributos); 2) prescrições, envolvendo rotação 
regulatória, regime de corte e tratamentos silviculturais (preparo do 
solo, espaçamento, desbaste, método de colheita entre outros); e 3) 
predição ou projeção do crescimento e da produção (descrição numérica 
de quanto de madeira é esperado nos cortes parciais e final). Isso 
implica que, para gerenciar florestas, é necessário compreender os 
processos de crescimento e de produção, uma vez que o manejo tem 
que ser decidido em grande parte pela prognose de produções futuras a 
partir de informações correntes.
O primeiro elemento engloba ainda o mapeamento da floresta em 
classes de produtividade. Portanto, este elemento inclui a classificação 
da capacidade produtiva (Capítulo 10). O terceiro elemento diz respeito 
a crescimento, produção e mortalidade.
De maior interesse em mensuração florestal é o enfoque 
quantitativo do crescimento e da produção, mais que o biológico. 
O crescimento é um processo caracterizado por mudanças na forma e 
no tamanho do tronco, com a adição contínua de novas camadas de 
lenho ao longo de todo o material lenhoso. A produção expressa a 
332 Campos e Leite
quantidadetotal do volume, ou outra variável, acumulada num 
determinado tempo.
Biologicamente, diz-se que a produção expressa o tamanho de 
um organismo em função do tempo. Expressões do crescimento em 
volume são de uso mais comum, embora algumas outras características 
sejam usuais, como área basal, altura e massa. Para melhor entender o 
crescimento de um povoamento, foram enfocadas aqui as definições 
dos principais termos e componentes do crescimento relacionados ao 
processo.
Exemplo 11.1 - Componentes do crescimento
Quais são os componentes do crescimento e da produção?
Considerações
Os principais componentes do crescimento são: mortalidade, 
ingresso, corte e produções corrente e futura.
Mortalidade (M) refere-se ao volume ou número de árvores que 
havia inicialmente e que morreram num determinado período. As 
árvores mortas, na maioria das vezes, geralmente não são utilizadas. Em 
plantações com desbastes periódicos comumente não ocorre 
mortalidade. Sua medição é feita a partir de parcelas permanentes, em 
que cada árvore pode ser localizada por ocasião das medições 
periódicas. Na maioria das vezes, o volume considerado para M é o 
volume das árvores que morreram em determinado período, 
quantificado no início deste.
Ingresso ou Ingrowth (Iri) refere-se às árvores medidas numa 
idade qualquer e que não foram medidas numa idade anterior por não 
terem alcançado diâmetro mínimo predeterminado. E expresso em 
volume, área basal ou frequência por hectare e também só pode ser 
medido a partir de medições periódicas em parcelas permanentes. Ao 
calcular a produção numa idade qualquer, o ingresso já estará incluído 
naturalmente, caso ocorra.
Corte (C) refere-se ao volume ou número de árvores vivas 
colhidas num determinado período (desbastes).
Produção corrente (K/) é o crescimento remanescente acumu­
lado até uma idade atual.
Crescimento, produção e mortalidade 333
Produção futura (YI) é 0 crescimento remanescente acumulado 
até uma idade futura.
Exemplo 11.2 - Tipos de crescimento
Quais os tipos mais usuais de crescimento florestal?
Considerações
0 crescimento, ou incremento, de um povoamento florestal, com 
frequência, é expresso por um dos seguintes tipos:
a) Incremento corrente anual (ICA) - corresponde ao valor do aumento 
da produção no período de um ano. Geralmente é expresso por 
hectare, como todos os outros tipos de crescimento.
b) Incremento médio anual (IMA) - é a produção até uma idade 
particular dividida por essa idade, ou seja, a taxa média do aumento 
da produção desde a implantação do povoamento até uma idade 
particular. Em povoamento submetido a desbastes, o IMA deve ser 
computado a partir do crescimento líquido, ou seja, incluindo os 
cortes parciais.
c) Incremento periódico (IP) - é a diferença de produção entre duas 
idades quaisquer.
d) Incremento periódico anual (IPA) - representa a diferença de produ­
ção entre duas idades dividida pelo período, em anos. Às vezes este 
incremento é também denominado incremento periódico anual 
médio. Em clima temperado, caracterizado por baixo incremento, o 
IP A às vezes é empregado no lugar do ICA.
Em plantações de eucalipto, o crescimento muitas vezes é 
expresso em incremento mensal em vez de anual, isto é, IMM em lugar 
de IMA e ICM em lugar de ICA, por exemplo.
Em manejo florestal é comum o uso dos termos crescimento 
bruto (Gb) e crescimento líquido (Gl), os quais são assim expressos:
Gb = V2 - Vi + M + C (crescimento bruto entre as idades h e I2, 
incluindo o ingresso);
Gb = V2 - Vi + M + C - In (crescimento bruto entre as idades h e I2, 
excluindo o ingresso);
kesya
Nota
1ª derivada no ponto de inflexão da curva de produção.
Representa o crescimento máximo.
334 Campos e Leite
Gi= V2-V1 + C (crescimento líquido entre as idades h e I2, incluindo 
o ingresso); e
Gi = V2 - Vi + C - In (crescimento líquido entre as idades h e I, 
excluindo o ingresso).
Observe que esses tipos de crescimento de fato são de incremento 
periódico. O incremento periódico (IP) pode ser calculado com ou sem 
a inclusão da mortalidade (M), resultando no Gb ou Gl, 
respectivamente.
O crescimento acumulado (produção) pode ser calculado com ou 
sem a inclusão da mortalidade, resultando em:
Produção líquida (})) refere-se à produção ocorrida num 
período, incluindo as colheitas parciais (Q, se houver, porém excluindo 
a mortalidade. Esta deve ser a produção usada para determinar a 
produtividade média ao final da rotação de povoamento submetido a 
desbastes, isto é, E/idade.v
Produção bruta (Yb)é aquela ocorrida num período que inclui 
as colheitas parciais por desbaste e também a mortalidade. A sua 
grandeza é utilizada, até certo ponto, para avaliar a capacidade 
máxima de produção de um local sob definido regime de manejo.
As seguintes notações exprimem e ilustram esses dois tipos de 
produção:
i) = rç+c
yè = rç + 3/+c
em que:
Vj = produção remanescente numa idade i;
M = mortalidade havida até a idade i; e
C = cortes de desbastes até a idade i.
Exemplo 11.3 - Incrementos em povoamentos não desbastados
Como calcular os incrementos definidos no Exemplo 11.2 
utilizando-se os dados da Tabela 11.1?
Crescimento, produção e mortalidade 335
Tabela 11.1 - Volumes médios observados em parcelas permanentes
Idade (Anos) 1 2 3 4 5 6
Volume (mW) 16,0 34,0 65,0 88,2 95,0 98,0
Solução
Efetuando os cálculos, obtém-se:
• ICA nas idades de 1 a 3 anos:
ICA na idade de 1 ano: 16,0 - 0,0 = 16,0 m3ha_l
ICA na idade de 2 anos: 34,0 - 16,0 = 18,0 m3ha_1
ICA na idade de 3 anos: 65,0 - 34,0 = 31,0 m3ha'’
• IMA aos 3 anos:
IMA = 65,0/3 = 21,7 nAa^ano1
• IP entre 1 e 3 anos:
IP = 65,0 - 16,0 = 49,0 m3ha_1 no período
• IPA entre 1 e 3 anos:
IP A = 49,0/2 = 24,5 m3ha-] ano'1
Exemplo 11.4 - Crescimento e produção em povoamentos desbas- 
tados
Calcular os tipos mais frequentes de crescimento e produção 
utilizando dados médios observados em parcelas permanentes de pinus 
até a idade de 13 anos e com dois desbastes (Tabela 11.2).
Tabela 11.2 - Dados de produção provenientes de parcelas permanentes
Idade 
(Anos)
Produção
(m3ha 1)
Mortalidade
(m3ha 1)
Colheita
(Desbaste, m3ha 1)
3 30,0
6 115,0 6,0 15,0
9 235,0 16,0
13 316,0
336 Campos e Leite
Melhor interpretação é proporcionada ao traçar a curva de 
produção correspondente (Figura 11.1).
Idade (anos)
Figura 11.1 - Curvas de produção em plantação desbastada.
• Produção líquida aos 13 anos: Yi = 316 + 15 +16 = 347,0 m3ha'.
• Produção bruta aos 13 anos: Yb = 316 + 15 + 16 + 6 = 353,0 m3ha ’.
• Incremento líquido entre 3 e 13 anos: IPi(ou Gi) = 316 -30 + 15 + 
+16 = 317,0 mW.
• Incremento bruto entre 3 e 13 anos: IPb(ou Gb) = 316-30+15 + 16 + 
+ 6 = 323,0 m3ha-’.
• Incremento médio anual líquido aos 13 anos: IMA\ = Yi/13 = 347/13 = 
= 26,7 m3ha'1ano‘1.
• Produção remanescente aos 13 anos: Yr = 316,0 m3ha_1.
• Incremento periódico entre 6 e 9 anos: IP = 235-100 = 135,0 m3ha*.
• Incremento periódico líquido entre 6 e 13 anos: IPi = 316 -100 + 16 = 
= 232,0 m3ha_I. ou 235-100 + 316-219 = 232 mW1.
Esses incrementos podem também ser calculados em nível de 
árvore. Na Tabela 11.3 constam dados de 12 árvores medidas em duas
Crescimento, produção e mortalidade 337
ocasiões. Observe que a árvore 9 morreu, a 4 foi colhida e a 12 foi 
mensurada apenas na segunda ocasião.
Tabela 11.3 - Cálculo do incremento em volume numa parcela de 100,0
m2 medida em duas ocasiões
Arvore
Idade
1
Idade
2
Incremento _ ... ,
, . Mortalidadeno período Corte Ingresso
Incremento 
bruto
1 0,0543 0,0934 0,0391 0,0391
2 0,1856 0,3072 0,1216 0,1216
3 0,8585 1,0945 0,2360 0,2360
4 0,0396 0 - 0,0396 -
5 0,0657 0,1200 0,0543 0,0543
6 0,8983 1,3300 0,4317 0,4317
7 0,9716 1,5861 0,6145 0,6145
8 0,3842 0,5534 0,1692 0,1692
9 0,0138 0 - 0,0138 -
10 0,1988 0,2979 0,0991 0,0991
11 0,3444 0,5779 0,2335 0,2335
12 0 0,0148 - 0,0148 -
Soma 4,0150 5,9752 1,9990 0,0138 0,0396 0,0148 1,9990
W (K2) (M) (Q (/«) (/A)
As expressões IPb = V2-Vi+M+C-In e IPi = V2-Vi+C-In são 
utilizadas para dados de volumejá totalizados por área. Portanto, 
usando as somas indicadas na Tabela 11.3, tem-se:
IPb = V2 - Vi + M + C-In = 5,9752 - 4,0150 + 0,0138 + 0,0396 - 
-0,0148 = = 1,9990 m3/100 m2; e
IPi = V2 - Vi + C-In = 5,9752 - 4,0150 + 0,0396 - 0,0148 = 
= 1,9851 m3/100m2.
Partindo dos volumes por árvore, observados nas duas ocasiões, 
esses incrementos são assim obtidos:
IPb = Fs2 - Ki = 5,9605 - 3,9615 = 1,9990 m3/100 m2; e
IPi= Vi2-V^-M= 5,9605-3,9615-0,0138 = 1,9851 m3/100m2.
338 Campos e Leite
Note que Ki é o volume das árvores vivas na idade 1 que 
permaneceram vivas na idade 2 (3,9615 = 4,0150 - 0,0158 - 0,0396). 
Ks2 é o volume das árvores sobreviventes na idade 2 que foram medidas 
também na idade 1.
Exemplo 11.5 - Relações matemáticas entre crescimento e produção
Como relacionar matematicamente as expressões do crescimento 
e da produção em povoamentos equiâneos?
Considerações
A produção é obtida ao somar os incrementos correntes até a 
idade de interesse. A produção de um povoamento pode ser expressa 
por uma equação de produção obtida ao integrar a expressão da taxa de 
crescimento.
Como exemplo, se a taxa de crescimento é proporcional ao 
produto do tamanho presente e da quantidade de crescimento futuro, 
com um valor assintótico a, e /> 0, tem-se que:
dV yVía-V)ICA =----=------------- . Então, conforme Drapper e Smith (1983),
dl a
ao integrar ICA resulta na função Autocatalítica ou Logística, definida 
por:
1= idade do povoamento;
V = produção;e
a, /d, parâmetros, sendo a a assíntota, ou seja, o valor da produção 
quando o ICA é igual a zero.
Nesta função, para /= 0, V= a!(\+P) e para 1= °°,V= a, que 
é o limite de crescimento.
A derivada segunda desta função resulta em
Considere a equação:
Crescimento, produção e mortalidade 339
_______ 325,87171________
1 + 70,200978 g(_0>4963392 n
que, por derivação resulta, em:
ICA =—
0,4963392
__ 325,87171_______
1 + 70,200798 e-5^5’2^ 325,87171
f _ 325,87171 _ _Y
(1 +70,200798 e*"'4963392 (,) J
325,87171
Como o incremento médio anual é obtido ao dividir a produção 
pela idade, tem-se:
325,87171________
V_ = 1 + 70,200978 e~0'4963392 <■> _ 325,87171
I ~ I ~ 7(1 + 70,200978 e 0-4963392 <'>)
A idade em que IMA = ICA é denominada idade de máxima 
produtividade ou idade técnica de corte. Assim, igualando as expressões 
do IMA e ICA, obtém-se:
/1 /1 q 4963392 ______ >i________________ 325 87171 — 1 11h 111 + 70,200798 T”4’933’27’ ’ [ 1 + 70,200798 e'”'4963392 J ’ 1,1 + 70,200798P"4’6™2 ) j
I 325,87171
Resolvendo a expressão para a variável I, obtém-se I = 11,7 anos. 
Então, a idade de corte neste exemplo é de 11 anos e 8 meses. Esses 
resultados são expressos graficamente na Figura 11.2, que ilustra as 
relações entre as curvas de produção e de incrementos corrente e médio. O 
máximo IMA é alcançado no ponto onde as duas curvas se encontram. Este 
ponto define a máxima taxa média de incremento da produção que 
determinada espécie pode alcançar num local particular. A forma dessas 
curvas varia com a espécie, com o espaçamento inicial de plantio, com a 
capacidade produtiva do lugar e com as práticas silviculturais aplicadas 
após o plantio, especialmente o desbaste. Pode-se verificar que, quando a 
produção for máxima, o ICA é zero, ocorrendo, neste exemplo, após 22 
anos de idade. Nessa figura foi incluída também a curva que expressa a 
aceleração do crescimento, que é nula quando a taxa de crescimento (ICA) 
é máxima.
O decréscimo da curva de produção, algum tempo depois de atingir 
a produção máxima, justifica-se pela decrepitude do povoamento florestal, 
kesya
Nota
2ª derivada da curva de produção.
ICA Máximo.
kesya
Destacar
340 Campos e Leite
ocorrendo mortalidade mais acentuada de árvores, causada principalmente 
por competição.
Outras relações significativas entre as curvas dos dois sistemas 
de coordenadas são o ponto de inflexão da curva de produção 
(coincidente com o máximo ICA) e o ponto de tangente de uma reta, 
partindo da origem, que indica a idade técnica de corte. A idade de 
máximo ICA é obtida por diferenciação do ICA, isto é, ao fazer
= o, resulta na idade de máximo ICA. A idade de máximo IM 
dl
também pode ser obtida fazendo-se = o. Portanto,
dl
dIM
dl
=> d
325,87171_________
í(l + 70,200978 e-0’4963392 ®
-i = 0-= 0
A idade em que se verifica a interseção entre as duas curvas de 
incremento (IMA e ICA) é definida como a ideal para o corte raso, 
quando se considera apenas a maior eficiência na produção em volume 
ou massa; essa é definida como rotação técnica com base na 
produtividade média e pode ser usada também como referência para 
aplicação de desbaste. No entanto, não corresponde, necessariamente, à 
rotação técnica definida com base em considerações de ordem 
econômica, uma vez que, para essa rotação, são considerados fatores 
outros, como valor da produção e taxas de juros e de inflação.
A tendência de como a taxa de incremento corrente (dVIdl) está 
modificando com uma mudança unitária da idade é explicada pela 
segunda derivada da função original, isto é, d^V/dl1. Essa curva, 
denominada aceleração, cai para zero no ponto de inflexão da curva de 
produção. Neste exemplo, a aceleração é explicada pela expressão:
d2V
dl2
-(a-2V) 
a
As relações apresentadas na Figura 11.2 são importantes e 
utilizadas com vários propósitos. No caso de plantio de clones de 
eucalipto com corte em uma idade fixa, por exemplo, de 7 anos, quanto 
mais cedo ocorrer o máximo de VII, maior poderá ser a queda na 
produtividade média desde essa idade de máximo VII até a idade fixada 
para colheita (no caso, 7 anos). Isto explica, em parte, os casos em que 
a produtividade média aos 7 anos está se mantendo ou declinando.
kesya
Destacar
Crescimento, produção e mortalidade 341
Figura 11.2 - Relações entre crescimento e produção em povoamento 
equiâneo, sendo p o ponto de inflexão da curva de produção.
342 Campos e Leite
Exemplo 11.6 - Relações entre crescimento, produção e idade
A partir da equaçao V — e , com a idade
em meses, derivar as equações de incremento médio mensal (IMM) 
e de incremento corrente mensal (ICM), e determinar a idade técnica 
de colheita (ITC).
Considerações
O grande incremento e a rotação curta, características de 
plantações de eucalipto, têm levado os manej adores a considerar a idade 
em valores mensais, em lugar de anuais, o que pode trazer alguma 
confusão ao transformar os volumes desta unidade em valores anuais. 
Para melhor esclarecimento acerca das equivalências de produção, 
entendeu-se serem ilustrativos o preenchimento e a interpretação da 
Tabela 11.4, gerada ao aplicar as expressões indicadas a seguir.
Solução
Sendo IMM = V/I e ICM a derivada de V, tem-se que:
Se IMM = ICM, obtém-se:
=> / = /7’C = -A
A idade técnica de colheita é, portanto, de 57,22 meses, que 
corresponde aproximadamente a 4,8 anos.
A idade de culminação do ICM é assim obtida:
d2V
dl2
à A+Y, í 1 Y
e -A(-2//7 ) + (-^)e 1 = 0
Crescimento, produção e mortalidade 343
A(-27//4)
W
B A+Ay—- p 1
z2
Simplificando esta expressão e isolando a variável idade, tem-se
I = -^PX =57,22/2 = 28,61 meses = 2,4 anos. Em povoamentos de 
eucalipto, a idade de máxima taxa de crescimento geralmente ocorre 
entre 18 e 30 meses.
As colunas 5 e 8 da Tabela 11.4 têm o mesmo significado. 
Enquanto a primeira determina o incremento corrente por subtração de 
produções obtidas em duas idades consecutivas, a segunda define o 
incremento corrente por procedimento analítico de diferenciação. 
Pequenas diferenças entre os valores dessas duas colunas não são 
significativas, sendo explicadas pela teoria de diferenciação e 
integração matemática.
Tabela 11.4 - Valores de produção e incrementos em diferentes idades 
obtidos a partir da aplicação da equação 
V = g5,1302084-57,2228611T1
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (?) (8)
Anos Meses m3ha-'
ICA
(mW)
ICM
(m3ha 1)
IMA
(nPha^ano’1)
IMM
(m3ha‘1mês1) dV/dt*
23 14,0449 0,6106
2 24 15,5790 1,5341 7,7895 0,6491 1,5477
25 17,1379 1,5589 0,6855 1,5691
26 18,7151 1,57710,7198 1,5842
27 20,3045 1,5894 0,7520 1,5938
28 21,9011 1,5965 0,7822 1,5985
29 23,5001 1,5991 0,8103 1,5990
30 25,0978 1,5976 0,8366 1,5957
31 26,6906 1,5928 0,8610 1,5893
Continua...
344 Campos e Leite
Tabela 11.4 - Cont.
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
ICA ICM IMA IMM
Anos Meses rrrW (m3ha‘‘) (m3ha‘) (nPha^ano1) (nAa^mês1) dV/dt*
32 28,2755 1,5849 0,8836 1,5801
33 29,8499 1,5745 0,9045 1,5685
34 31,4118 1,5619 0,9239 1,5549
35 32,9592 1,5474 0,9417 1,5396
3 36 34,4905 18,9115 1,5313 11,4968 0,9581 1,5229
37 36,0045 1,5140 0,9731 1,5050
38 37,5001 1,4956 0,9868 1,4861
39 38,9764 1,4763 0,9994 1,4664
40 40,4326 1,4563 1,0108 1,4460
41 41,8683 1,4357 1,0212 1,4252
42 43,2830 1,4147 1,0305 1,4041
43 44,6763 1,3934 1,0390 1,3826
44 46,0482 1,3719 1,0466 1,3611
45 47,3984 1,3502 1,0533 1,3394
46 48,7270 1,3286 1,0593 1,3177
47 50,0339 1,3069 1,0646 1,2961
4 48 51,3192 16,8287 1,2853 12,8298 1 0697
49 52,5831 1,2639 1,0731 1,2532
50 53,8257 1,2426 1,0765 1,2320
51 55,0472 1,2215 1,0794 1,2111
52 56,2479 1,2007 1,0817 1,1903
53 57,4280 1,1801 1,0835 1,1699
54 58,5878 1,1598 1,0850 1,1497
55 59,7275 1,1398 1,0860 1,1298
56 60,8476 1,1200 1,0866 1,1103
57 61,9482 1,1006 1,0868 1,0911
58 63,0298 1,0816 1,0867 1,0722
59 64,0926 1,0628 1,0863 1,0536
5 60 65,1371 13,8179 1,0445 13,0274 1,0856 1,0354
61 66,1635 1,0264 1,0846 1,0175
62 67,1722 1,0087 1,0834 0,9999
63 68,1635 0,9913 1,0820 0,9827
64 69,1378 0,9743 1,0803 0,9659
65 70,0954 0,9576 1,0784 0,9494
Continua...
Crescimento, produção e mortalidade 345
* Incremento corrente mensal obtido por derivação, também denominado “taxa de 
crescimento instantâneo”.
Tabela 11.4 - Cont.
(D (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
Anos Meses m3ha'
ICA
(m3ha')
ICM
(mW)
IMA 
(m3ha'ano'1)
IMM
(nPha^mês1) dV/dt*
66 71,0366 0,9412 1,0763 0,9332
67 71,9618 0,9252 1,0741 0,9173
68 72,8714 0,9095 1,0716 0,9018
69 73,7655 0,8942 1,0691 0,8866
70 74,6447 0,8791 1,0664 0,8717
71 75,5091 0,8644 1,0635 0,8571
6 72 76,3590 11,2220 0,8500 12,7265 1,0605 0,8429
Exemplo 11.7 - Crescimento de povoamentos inequiâneos
Quais as características básicas do crescimento de um 
povoamento inequiâneo, considerando um manejo em que é mantido 
um estoque residual após intervenções cíclicas?
Considerações
Semelhantemente a um povoamento equiâneo, em que um 
estoque de árvores remanescentes permanece após o desbaste, em 
povoamento inequiâneo, as árvores remanescentes são consideradas 
estoque de crescimento.
No povoamento inequiâneo existem árvores de idades diferentes, 
não conhecidas, em que o primeiro corte de árvores pode ocorrer a 
qualquer tempo, não havendo vínculo com a idade das árvores. Esse 
início de intervenção é o começo do primeiro ciclo de corte (Figura 
11.3), cujo intervalo de tempo até o próximo corte pode variar com o 
tipo de manejo. O volume remanescente cresce por um número de anos, 
e uma nova intervenção é feita, ou seja, árvores comerciais e não 
comerciais são removidas.
Em cada corte procura-se seguir motivos de ordem sanitária e de 
liberação de árvores, além do aspecto comercial, garantindo nova 
regeneração e o crescimento das árvores jovens residuais, sempre 
seguindo a legislação vigente. Na Tabela 11.5 constam os dados de 
manejo de um povoamento em que foram feitos cortes a cada 10 anos, 
346 Campos e Leite
considerando-se um estoque remanescente inicial de 80,0 m3ha'. 
Exemplo semelhante foi descrito por Davis e Johnson (1987).
povoamento inequiâneo em dois ciclos de corte de 10 
anos cada um.
Tabela 11.5 - Volume remanescente, crescimento e cortes parciais em 
um povoamento inequiâneo, em m3 por hectare
VAE - volume adicionado ao estoque inicial (reserva inicial).
Ponto no ciclo de 
corte
Volume 
antes do 
corte
Volume 
após o 
corte
IP Líquido 
em 10 anos
Corte no 
início do ciclo 
(Q
VAE
Início do le ciclo 107 80 33 27
Início do 22 ciclo 113 85 45 28 5
Início do 32 ciclo 130 90 40 10
O mesmo procedimento para povoamentos equiâneos é aplicado 
no cálculo de incremento e produção em povoamentos inequiâneos, 
conforme casos a seguir:
• Incremento periódico líquido no primeiro ciclo:
IPi = 85 - 80 + 28 = 33 mW
• Incremento periódico líquido nos dois ciclos:
IPi = 90 - 80 + 28 + 40 = 78 mW
• Incremento periódico anual líquido no período de 20 anos:
IPAt = 78/20 = 3,9 m3ha-1
Crescimento, produção e mortalidade 347
Exemplo 11.8 - Modelos e simuladores de crescimento e produção
O que são modelos e simuladores de crescimento e produção 
florestal?
Considerações
Em estatística, a expressão modelo é uma relação funcional a ser 
ajustada a dados de uma amostra. Por exemplo, a relação 
lj= +/3{X}., +Ej é denominada modelo linear simples. Já a
expressão Y = /3{.+ /3,X}, Qm que 3oe  sã° os estimadores dos 
parâmetros /?0 e 0x,é denominada equação.
Em mensuração florestal, um modelo de crescimento eprodução 
pode ser representado por um ou mais modelos estatísticos; uma ou 
mais equações; uma ou mais tabelas ou gráficos; ou, ainda, um conjunto 
de modelos estatísticos, equações, tabelas e gráficos. Então, um modelo 
de crescimento e produção pode ser constituído de uma ou mais equa­
ções, incluindo uma ou mais variáveis independentes, e é empregado 
para estimar crescimento e produção florestal, sendo essencial na 
avaliação de alternativas de manejo. Outra aplicação é na atualização 
de resultados de inventários florestais partindo de medições feitas em 
diferentes épocas e áreas.
Os modelos de crescimento e produção, de acordo com o nível 
de resolução destes, podem ser assim classificados:
- Modelos em nível de povoamento, os quais não explicam diretamente a 
variação do tamanho das árvores dentro do povoamento.
- Modelos de distribuição por classe de diâmetro.
- Modelos em nível de árvores individuais.
Os modelos dessas três categorias podem ser ajustados 
empregando-se dados oriundos de inventários florestais contínuos, ou 
de parcelas permanentes estabelecidas para gerar dados para 
modelagem de crescimento e produção, ou (para algumas espécies) de 
análises de tronco. A escolha de uma dessas categorias depende da 
quantidade e qualidade dos dados disponíveis e dos objetivos do 
manejo, conforme Capítulo 13.
Um simulador de crescimento e produção é um programa de 
computador que, através do modelo, vai prognosticar o desenvolvimento 
de um povoamento florestal, segundo um definido manejo realizado ou 
348 Campos e Leite
simulado. Historicamente, informações sobre crescimento e produção 
foram publicadas na forma de tabelas, conforme os definidos níveis de 
idade, índice de local e área basal. Hoje, todavia, as informações são 
geradas de acordo com uma especificação exata do dado de entrada.
O simulador é uma ferramenta que proporciona uma visão futura 
do povoamento florestal e do efeito de práticas de manejo. De acordo 
com o modelo utilizado, diferencia-se entre simulador em nível de 
povoamento, simulador de distribuições diamétricas e simulador em 
nível de árvore individual. Todo simulador tem um manual, que 
constitui a melhor fonte de informação sobre o programa e modelo nele 
codificado. Segundo Ritchie (1999), simuladores são conhecidos por 
nomes e estão sujeitos a contínuas modificações nos algoritmos, sendo 
recomendável utilizar a versão mais recente.
Exemplo 11.9 - Importância, causas e tipos de mortalidade de 
árvores
Mencionar a importância, as causas e os tipos de mortalidade.
Considerações
O estudo da mortalidade (M) serve para predizer o número de 
árvores sobreviventes por hectare, informação essa que muitas vezes 
constitui input de um modelo de crescimento e produção. Já o 
conhecimento da taxa de mortalidade permite ao manejador avaliar melhor 
o potencial da floresta e decidir por alguma estratégia de manejo.
Com o aumento da idade do povoamento florestal, a competição 
e também a taxa de mortalidade se elevam. O processo de competição 
é iniciado a partir da sobreposição de zonas de influência de duas ou 
mais árvores, o que, segundo Opie (1968, citado por KLISTER, 1972),