INTERVALO DE CONFIANCA PARA A MEDIA

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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA
 
 
1º) O valor de face dos títulos depositados em um banco para cobrança simples tem distribuicão normal 
com variância de R$ 400,00. Uma amostra de 10 títulos escolhidos ao acaso, com reposição, forneceu os 
seguintes valores: R$ 80,00, R$ 120,00, R$ 71,00, R$ 120,00, R$ 140,00, R$ 200,00, R$ 180,00, R$ 70,00, 
R$ 45,00 e R$ 87,00. A partir desta amostra, o encarregado pelo setor afirmou ao seu superior imediato, 
com 90% de confiança, que o valor médio dos títulos é de R$125,00. Ele esta correto? 
 
 SOLUÇÃO 
 
Inicialmente vamos determinar a média da amostra: 
 
111,30 R$ 
10
87 45 70 180 200 140 120 71 120 80 x =+++++++++= 
 
20,00 400,00 2 =⇒= σσ 
 
n = 10 
 
 
 
 
z̄
fHz̄L
0,05
0,45 
 2/αz
 
 
Da tabela Normal temos: 
 
0,4495 ⇒ 2/zα = 1,64 
 
0,4505 ⇒ 2/zα = 1,65 
 
Como as diferenças são iguais vamos efetuar uma 
escolha aleatória: 
 
 2/zα = 1,64 
 
n
σ
2/zα = 
10
20 1,64 = 10,37 (erro cometido) 
 
Assim: 
 
IC ( μ ; 90%) = [ 111,30 – 10,37 ; 111,30 + 10,37 ] = [ 100,93 ; 121,67 ] 
 
ou ainda: 
 
p ( 100,93 90% ) 121,67 =≤≤ μ 
 
Em outras palavras, podemos dizer com 90% de confiança, que o valor médio dos títulos depositados 
no banco para cobrança simples está entre R$ 100,93 e R$ 121,67. Assim sendo o encarregado pela 
carteira de títulos não está correto. 
 1 
2.) Para avaliar a situação salarial em uma empresa, um consultor levantou uma amostra aleatória 
com reposição, de 50 salários recebidos na empresa. Sabe-se por experiência com empresas similares, 
que os salários tem distribuição normal com desvio-padrão de R$ 40,00. O salário médio amostral foi 
calculado em R$ 245,00. Determine um intervalo de confiança de 94% para o salário médio pago por 
esta empresa. 
 SOLUÇÃO 
 
 
x = R$ 245,00 
 
40,00 =σ 
 
n = 50 
 
z̄
fHz̄L
0,03
0,47 
 
2/αz
 
Da tabela Normal temos: 
 
0,4699 ⇒ 2/zα = 1,88 
 
0,4706 ⇒ 2/zα = 1,89 
 
Escolhemos: 
 2/zα = 1,88
 
n
σ
2/zα = 
50
40 1,88 = 10,63 (erro cometido) 
 
Assim: 
 
IC ( μ ; 90%) = [ 245,00 – 10,63 ; 245,00 + 10,63 ] = [ 234,37 ; 255,63 ] 
 
ou ainda: 
 
p ( 234,37 94% ) 255,63 =≤≤ μ 
 
Podemos assim dizer com 94% de confiança, que o valor médio dos salários pagos pela empresa está 
entre R$ 234,37 e R$ 255,63. Em outras palavras, podemos também dizer com 95% de confiança, que 
não estamos errando por mais de R$ 10,63 (para menos ou para mais). 
 
 
3º) Uma loja tem os valores de suas vendas diárias distribuídos normalmente com desvio-padrão de 
R$ 530,00. O gerente da loja quando questionado pelo dono, afirmou vender em média R$ 34.700,00 
por dia. Posteriormente, levantou-se uma amostra casual com reposição, dos valores das vendas de 
um determinado dia, obtendo-se os valores: R$ 33.840,00, R$ 32.960,00, R$ 41.811,00, R$ 35.080,00, 
R$ 35.060,00,R$ 32.947,00, R$ 32.120,00, R$ 32.740,00, R$ 33.580,00 e R$ 33.002,00. 
a) Construa um Intervalo de Confiança para o valor da venda média diária ao nível de 95%; 
b) Construa um Intervalo de Confiança para o valor da venda média diária ao nível de 99%; 
c) Em qual dos Intervalos de Confiança o gerente se baseou para responder ao questionamento do 
 dono da loja. 
 2 
SOLUÇÃO 
 
a) 
 
10
33.002 33.580 32.740 32.120 32.947 35.060 35.080 41.811 960.32 33.840 x +++++++++= 
 34.314,00 R$ x = 
 
530,00 =σ 
 
n = 10 
 
 Da tabela Normal temos: 
 
0,4750 ⇒ 2/zα = 1,96 
 
 
 
 
 
 
n
σ
2/zα = 
10
530 1,96 = 328,50 (erro cometido) 
 
ssim: 
 (
A
 
IC μ ; 95%) = [ 34.314,00 – 328,50 ; 34.314,00 + 328,50 ] = [ 33.985,50 ; 34.642,50 ] 
u ainda: 
 ( 33.985,50
 
o
 
p 95% ) 34.642,50 =≤≤ μ 
 
Podemos assim dizer com 95% de confiança, que o valor médio das vendas diárias da loja está entre 
 
) 
Da tabela Normal temos: 
,4949 
R$ 33.985,50 e R$ 34.642,50. Em outras palavras, se tomarmos 100 amostras, e para cada uma delas 
construirmos um intervalo de confiança, podemos esperar que 95 destes intervalos contenham o ver- 
dadeiro valor da média diária das vendas da loja. 
 
b
 
 
0 ⇒ 2/zα = 2,57 
,4951 
 
0 ⇒ 2/zα = 2,58 
omo as diferenças são iguais vamos efetuar uma 
 
 
C
escolha aleatória: 
 
 2/zα = 2,57
 
 
fHz̄L
0,475 
0,025 
 
z̄
2/
_
zα
fHz̄L
0,495 
0,005
z̄
 2/
_
zα
 3
n
σ
2/zα = 
10
530 2,57 = 430,73 (erro cometido) 
 
Assim: 
 
IC ( μ ; 99%) = [ 34.314,00 – 430,73 ; 34.314,00 + 430,73 ] = [ 33.883,27 ; 34.744,73 ] 
 
ou ainda: 
 
p ( 33.883,27 99% ) 34.744,73 =≤≤ μ 
 
Podemos assim dizer com 99% de confiança, que o valor médio das vendas diárias da loja está entre 
R$ 33.883,27 e R$ 34.744,73. 
 
c) 
Podemos assim dizer que o gerente da loja ao responder o questionamento do dono da loja se baseou 
em um nível de confiança de 99%. 
 
 
4º) Um fabricante sabe que a vida útil das lâmpadas que fabrica tem distribuição aproximadamente 
normal com desvio-padrão de 200 horas. Para estimar a vida média destas lâmpadas selecionou ao a- 
caso, uma amostra de 400 lâmpadas, obtendo uma vida útil média de 1000 horas. 
a) Construa um Intervalo de Confiança para a vida média destas lâmpadas ao nível de 99%; 
b) Qual o tamanho necessário da amostra para se obter um erro de 5 horas, com 99% de probabilida- 
 de de acerto? 
SOLUÇÃO 
 
Vamos supor que o tamanho da amostra (400 lâmpadas) é inferior a 5% do tamanho da população. 
 
 1.000 x = 
 
200 =σ 
 
n = 400 
 
a) 
 
 
Da tabela Normal temos: 
 
0,4949 ⇒ 2/zα = 2,57 
 
0,4951 ⇒ 2/zα = 2,58 
 
Como as diferenças são iguais vamos efetuar uma 
escolha aleatória: 
 
 2/zα = 2,57
 
fHz̄L
0,495 
0,005 
z̄
 2/
_
z α
 
 
 4 
n
σ
2/zα = 
400
200 2,57 = 25,70 (erro cometido) 
 
Assim: 
 
IC ( μ ; 99%) = [ 1.000 – 25,70 ; 1.000 + 25,70 ] = [ 974,30 ; 1.025,70 ] 
 
 
ou ainda: 
 
p ( 974,30 99% ) 1.025,70 =≤≤ μ 
 
Podemos assim dizer com 99% de confiança, que a vida útil média das lâmpadas está entre 974,30 
(974 horas 18 minutos) e 1.025,70 (1.025 horas e 42 minutos). 
 
 
b) 
 
n
σ
2/zα = 5 ⇒
n
200 2,57 = 5 ⇒ 10.568 n 102,80 n 
5
2,57 . 200 n =⇒=⇒= 
 
Assim, seria necessária uma amostra com aproximadamente 10.568 lâmpadas, para trabalhar com um 
erro de 5 horas com 99% de probabilidade de acerto. 
 
 
 
 
5º) Com a finalidade de estabelecer o custo de um novo produto, o encarregado de custos levantou os 
possíveis fornecedores de um dos componentes deste produto. Dos 60 fornecedores cadastrados foram 
sorteados e consultados seis deles. Os preços apresentados geraram uma média de R$ 4,83. A experiên 
cia do encarregado indica que os preços se distribuem normalmente com desvio-padrão de 10% sobre 
o preço médio. 
a) Determine um intervalo de confiança para o preço médio deste componente ao nível de 93%? 
b) Qual é a precisão da estimativa acima. 
 
 RESPOSTA 
 
 
OBSERVAÇÃO
Como a amostra foi selecionada sem reposição e o seu tamanho (6) é superior ao tamanho da população (60) 
devemos utilizar o fator de correção (FC). 
 
0,96 
1 - 60
6 - 60 
1 - N
n - N FC === 
 
 4,83 R$ x = 
 
0,48 4,83 sobre 10% ==σ 
 
n = 6 
 
 5 
 
z̄
fHz̄L
 
0,035 
0,465 
2/
_
zα 
Da tabela Normal temos: 
 
0,4649 ⇒ 2/zα = 1,81 
 
0,4656 ⇒ 2/zα = 1,82 
 
Como as diferenças são iguais vamos efetuar uma 
escolha aleatória: 
 
 2/zα = 1,81
 
n
σ
2/zα . FC = 
6
48,0 1,81. 0,96 = 0,34 
 
Assim: 
 
IC ( μ ; 93%) = [ 4,83 – 0,34 ; 4,83 + 0,34 ] = [ 4,49 ; 5,17 ] 
 
ou ainda: 
 
p ( 4,49 93% ) 5,17 =≤≤ μ 
 
Podemos assim dizer com 93% de confiança,que o preço médio do componente está entre R$ 4,49 e 
R$ 5,17. 
 
b) 
Podemos ter 93% de confiança que não estamos errando por mais de R$ 0,34 (para mais ou para me- 
nos) nesta estimativa. 
 
 
6º) Um pequeno empresário está estudando a possibilidade de fazer cobrança bancária para os 230 pe- 
didos já recebidos que ele deverá atender no próximo mês. Ele sabe que este é o processo mais indica- 
do se o custo da cobrança representar no máximo 3% do valor do pedido. Sua experiência indica que 
o valor dos pedidos tem distribuição normal com desvio padrão de R$ 20,00. Uma amostra com 10 pe- 
didos foi selecionada ao acaso, sem reposição, e apresentou um valor médio de R$ 120,00. Verifique se 
a cobrança bancária é o processo mais indicado a um nível de confiança de 95%, supondo que: 
a) o custo da cobrança bancária é de R$ 3,00; 
b) o custo da cobrança bancária é de R$ 4,00. 
 
 SOLUÇÃO 
 
 OBSERVAÇÃO
Como a amostra foi selecionada sem reposição e o seu tamanho (10) é inferior ao tamanho da população 
(230) não há necessidade de utilizar o fator de correção (FC). 
 
 120,00 R$ x = 
20,00 R$ =σ 
n = 10 
 
 6 
 
 
 
z̄
fHz̄L
 
0,,025
0,475 
2/
_
zα
Da tabela Normal temos: 
 
0,4750 ⇒ 2/zα = 1,96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
σ
2/zα = 
10
20 1,96 = 12,40 
 
Assim: 
 
IC ( μ ; 95%) = [ 120,00 – 12,40 ; 120,00 + 12,40 ] = [ 107,60 ; 132,40 ] 
 
ou ainda: 
 
p ( 107,60 95% ) 132,40 =≤≤ μ 
 
Podemos assim dizer com 95% de confiança, que o valor médio dos pedidos está entre R$ 107,60 e 
R$ 132,40. 
Ora, como 3% de R$ 107,60 (menor valor possível de um pedido ao nível de confiança de 95%) é igual 
a R$ 3,23 e como o custo da cobrança bancária é de R$ 3,00 podemos concluir que este é o processo 
mais indicado, ao nível de confiança de 95%. 
 
b) 
Isto já não ocorre quando o custo da cobrança bancária é de R$ 4,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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