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Física Experimental
5° Experimento - Oscilador massa-mola
Discente: Samuel Rufino da Silva Coutinho
Docente:Wilton Pereira
Introdução:
O principal objetivo desse experimento foi verificar de forma experimental o
comportamento do período de um oscilador de um sistema massa-mola em relação
a uma certa quantidade de massa colocada sobre a bandeja, com tal mola
suspensa na vertical.Após a parte experimental,nesse relatório será analisado,
teoricamente sobre todo o processo feito na prática contando com erro experimental
e determinação da constante de elasticidade molar obtida através da comparação
da teoria com a parte experimental.
Procedimentos e análises:
Primeiro passo para a realização do experimento foi receber o corpo básico do
experimento após isso na bancada nos foi dada a mola que continha o nome de “𝑍
2
"
e a prendemos em um de seus ganchos, de preferência no gancho do meio pois ele
está na mesma linha das medidas do corpo básico e isso facilita o processo de
visualização da medição obtida, depois da mola presa em uma extremidade do
gancho, a outra extremidade foi usada para colocarmos a bandeja que armazenaria
os pesos a serem colocados, então após a bandeja ser devidamente colocada,
foram colocados pesos em gramas que variavam de 0 até 100, e em todo peso
aplicamos uma força contrária ao a da gravidade para criar uma periodização e
dessa forma calcularmos o tempo com um cronômetro que também nos foi dado,
após 10 períodos, analisamos esse tempo e dividimos o mesmo por 10 para obter o
tempo necessário para realizar uma única oscilação, todos esses valores foram
anotados numa folha que também nos foi dada, além de anotarmos o peso da
bandeja e da mola.Neste experimento, fizemos ele de forma que começamos a
calcular de a partir de 160 gramas (máximo de gramas utilizado), pois se não
houvesse elongação suficiente em 20 gramas não conseguiríamos realizar o
período.Vale ressaltar que o período para ser obtido, foi necessário realizar a
medição 3 vezes por 3 colegas diferentes e com esses valores obter uma média
para assim, colocarmos na tabela.
Imagens abaixo do que foi usado:
O corpo básico se refere a essa estrutura de maior porte, o gancho está na parte de
cima do corpo básico onde foi presa a mola e a bandeja ficou suspensa na parte
que tem a mão do indivíduo.Não há imagens das massas padronizadas.
Dados obtidos:
Massa da bandeja: 6,852 gramas
Massa da mola: 19,403 gramas
Mola identificada pela mola: 𝑍
2
TABELA I: massas adicionais e período
1 2 3 4 5 6 7 8
(g)𝑚
𝑎
20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0 160,0
T (s) 0,626 0,766 0,893 1,010 1,086 1,168 1,291 1,330
TABELA II: massa da balança somada à massas adicionais mantendo o período.
Porém, é necessário arredondar o resultado para o número de casa da medida mais
imprecisa.
1 2 3 4 5 6 7 8
(g)𝑚
𝑎
26,9 46,9 66,9 86,9 106,9 126,9 146,9 166,9
T (s) 0,626 0,766 0,893 1,010 1,086 1,168 1,291 1,330
Através do lab fit, o gráfico e os parâmetros da tabela II estão explanados abaixo:
A = (86,2 1,7) (±
𝑈
𝑌
𝑈
𝑋
2,27 ) 
B = (2,27 0,08)±
Breve comentário sobre a relação entre a força elástica e o peso da bandeja
suspensa:
Bom, primeiro analisa-se essa animação para visualizar o que ocorre de uma forma
visual mais facilitada.
Através da imagem, é perceptível que a oposição de forças,mas o “y” que denota a
posição de equilíbrio está alinhado ao centro dos pesos configurando um
equilíbrio.Notoriamente a oposição entre a força peso (bandeja mais massas
adicionadas) contra a força elástica aplicada pela mola.A força peso está sendo
representada pela gravidade que tem fórmula representada pela produto da massa
pela aceleração e a força elástica pelo produto da constante de elasticidade da mola
pela elongação, Nesse caso a força elástica será dada com sinal negativo pois vai
contra a gravidade e consequentemente uma força “para cima”. Dessa forma,
teremos que, estando em um sistema em equilíbrio, a força elástica será igual a
força da gravidade,logo em uma representação:
, com isso passando a força elástica para o outro lado da− (𝐾. 𝑥
0
) + 𝑚. 𝑎 = 0
equação ou somando +K. em toda equação, conclui-se que:𝑥
0
𝑚. 𝑎 = 𝐾. 𝑥
0
Entretanto, pode-se concluir a partir desta outra figura abaixo que:
Analisando percebe-se que o PE (ponto de equilíbrio) está acima da linha medial
dos pesos, isso implica que nesse exato momento a força elástica é maior do que o
peso total delas, pois há um aumento da elongação da mola em relação aos pesos,
usando da segunda lei de newton que diz que a força resultante é obtida através do
produto da massa pela aceleração,assim nota-se que teremos que a força
resultante na bandeja com massas serão as seguintes:
𝐹𝑟
𝑥
= − 𝐾(𝑋
0
+ 𝑋) + 𝑚𝑔 
Essa fórmula condiz apenas em relação à força na bandeja com massas.
No eixo Y, temos que que a força resultante será apenas o peso do objeto, ou seja o
produto da massa pela sua aceleração.Para chegar a uma fórmula que possibilite
calcular a constante da mola substitui a aceleração pela função posição e deriva
duas vezes para encontrar a aceleração logo,
− 𝐾. 𝑋
0 
+ 𝐾. 𝑋 + 𝑚. 𝑔 = 𝑚 . 𝑑
2𝑋
𝑑𝑡2
 
Como o -K. = m.g, simplificando os termos da equação, tem-se que:𝑋
0
+ = 0 (equação 1), a solução para a equação é complexa, mas, via𝑑
2𝑋
𝑑𝑡2
𝐾
𝑚 · 𝑋
regra o “X” é igual à seguinte equação:
(equação 2)𝑋 = 𝑋
𝑚𝑎𝑥
+ 𝑐𝑜𝑠(ω𝑡 + ϕ) 
O X máximo se refere a maior distância da bandeja em relação ao ponto de
equilíbrio, a letra grega se refere à frequência angular do movimento periódico eω
a outra letra grega é o ângulo de fase (posição inicial no instante do movimento).ϕ
Derivando a equação 2, tem-se que:
→ Primeiro derivada em relação ao tempo𝑑𝑋𝑑𝑡 = − 𝑋𝑚𝑎𝑥 · 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡 + ϕ) 
para encontrar a função da velocidade.
→ Segunda derivada em relação ao𝑑
2𝑡
𝑑𝑡2
= − 𝑋
𝑚𝑎𝑥
· ω2𝑐𝑜𝑠(ω𝑡 + ϕ)
tempo para encontrar a função da aceleração. (equação 3)
Substituindo a equação 2 e 3 na equação 1:
+ = 0− 𝑋
𝑚𝑎𝑥
· ω2𝑐𝑜𝑠(ω𝑡 + ϕ) 𝐾𝑚 𝑋𝑚𝑎𝑥 + 𝑐𝑜𝑠(ω𝑡 + ϕ)
Simplificando…
( - = 0𝐾𝑚 ω
2)𝑋
𝑚𝑎𝑥
𝑐𝑜𝑠(ω𝑡 + ϕ)
Porém, percebe-se que o resultado só resultará em 0 se o primeiro membro ( -𝐾𝑚
forem iguais pois dessa forma zeraria e no produto com oω2)
retornaria 0 e estaria correto. Portanto para que a equação𝑋
𝑚𝑎𝑥
𝑐𝑜𝑠(ω𝑡 + ϕ)
seja verdadeira:
( - = 0𝐾𝑚 ω
2)
=𝐾𝑚 ω
2 
Olhando por outro lado a frequência angular é dada por:
ω = 2π𝑇
Substituindo na equação anterior teremos que a massa será igual a:
m = 𝐾
4π2
𝑇2
𝑚 = 𝐴. 𝑇2
Em conclusão geral a fórmula usada para o cálculo da constante de elasticidade
molar é:
=𝐴 𝐾
4π2
Agora, basta substituir os valores e determinar a constante supracitada
86,22 =
𝐾
4.(3,14)2
K = 3400,41 g/s
Porém, é necessário transformar de g/s para newton/metro, usando a definição da
segunda lei de Newton afirmando que é necessário 1 newton para acelerar 1 kg em
1 m/ , basta transformar o resultado que está em gramas e dividir por mil para𝑠2
transformar para quilogramas, sobre os segundos não é necessário, pois ambos
estão na proporção de 1 para 1 em relação ao metro por segundo. Logo, o
K,finalmente, será igual a:
K = 3,40 𝑁𝑚
Cálculo do erro percentual usando o parâmetro B:
X 100ϵ
𝑃
= 
𝐵
𝑒𝑥𝑝
− 𝐵
𝑡𝑒𝑜
 𝐵
𝑡𝑒𝑜
= 2,27𝐵
𝑒𝑥𝑝
= 2 𝐵
𝑡𝑒𝑜
X 100 =13,5% de chance de erro.ϵ
𝑃
= 2,27−22 → ϵ𝑃
Conclusão
1) Podemos confiar no valor sim, porém é necessário que tenhamos feito um
bom trabalho na sua procura que foi o que ocorreu, mesmo com erros
sistemático ainda sim é um número que podemos usá-lo em experimentos
que o necessitem, além disso a taxa de acerto do valor da constante é maior
que 85% então, creio que seja sim um valor confiável a um experimento.
2) Um pouco de imprecisão nas medidas pois foram feitas a mão e a olho nu, os
efeitos das aproximações pois a medida imprecisa vai se espalhando, o peso
da mola não foi levado em conta, atrito da bandeja se movimentando com o
ar, creio que esses sejam osprincipais que possam prejudicar o experimento,
porém ainda assim os valores e fórmulas obtidas são bastante confiáveis.
3) o “T” é a variável dependente pois só há sentido no experimento quando está
junto de “m” que seria a variável independente.
Outras conclusões:
Foi um ótimo trabalho de se realizar contribuiu bastante e mostrou de onde advém
tantas fórmulas que antes já eram conhecidas, creio que poderíamos realizar
também o cálculo de outras fórmulas de pêndulo simples, por exemplo.
Apêndice
Consideração do efeito da massa da mola no experimento distribuída
uniformemente ao longo de seu comprimento
Nessa imagem, há um instantâneo da mola (de massa e comprimento L),𝑀
𝑚
oscilando.
Agora, irei deduzir a fórmula de energia cinética de um elemento infinitesimal dm da
mola
→ = ( )[𝑑𝐸
𝐶𝑚
= 12 (𝑑𝑚)𝑣
2 𝑑𝐸
𝐶𝑚
1
2
𝑚
𝑀
𝐿 𝑑𝑙
𝑉
𝐿 𝑙)
2
Simplificando:
𝑑𝐸
𝑐𝑚
= 12 𝑉
2 𝑚𝑀
𝐿3
𝑑𝑙
Agora, da energia cinética da mola:𝐸
𝑐𝑚
Integrando a equação acima de 0 até L
= → =𝐸
𝑐𝑚
1
2 𝑉
2 𝑚𝑀
𝐿3 0
𝐿
∫ 𝑙2 𝑑𝑙 𝐸
𝑐𝑚
1
2 𝑉
2 𝑚𝑀
𝐿3
1
3 𝐿
3
Simplificando, resultado da fórmula ficará:
= (equação 4)𝐸
𝑐𝑚
1
3 ·
1
2 𝑉
2𝑚
𝑀
somando a energia cinética total com a equação 4, resultará na expressão que
relaciona a energia da bandeja com massas somado a energia da mola:
+ →13 ·
1
2 𝑉
2𝑚
𝑀
1
2 𝑚𝑉
2 𝐸
𝑐𝑡
= 12 (𝑚 +
1
3 𝑚𝑀) 𝑉
2
Criação de uma nova tabela:
Massa da mola: 19,403 g
Foi solicitado no comando que a massa da mola seja dividida por 3 e, após a
divisão, somar às outras massas da tabela II
19,403
3 = 6, 467 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
1 2 3 4 5 6 7 8
(g)𝑚
𝑎
33,3 53,3 73,3 93,3 113,3 133,3 153,3 173,3
T (s) 0,626 0,766 0,893 1,010 1,086 1,168 1,291 1,330
A = (92,00 1,60) (±
𝑈
𝑌
𝑈
𝑋
2,27 ) 
B = (2,11 0,07)±
Para o cálculo da constante de elasticidade, usaremos a mesma fórmula:
=𝐴 𝐾
4π2
92,00 = → K = 3628,33 g/s𝐾
4·(3,14)2
Por razões já explicadas, temos que transformar para newton por metro, logo:
K = 3,628 N/m → K = 3,62 N/m
Cálculo do erro percentual usando o parâmetro B:
X 100ϵ
𝑃
= 
𝐵
𝑒𝑥𝑝
− 𝐵
𝑡𝑒𝑜
 𝐵
𝑡𝑒𝑜
= 2,11𝐵
𝑒𝑥𝑝
= 2 𝐵
𝑡𝑒𝑜
X 100 = 5,5% de chance de erro.ϵ
𝑃
= 2,11−22 → ϵ𝑃
Comparando com os resultados anteriores, percebemos que é mais preciso quando
há o uso da massa da mola, de qualquer forma ambos ainda são confiáveis, porém
é evidente que é mais confiável, o uso do segundo resultado, pois nele há uma taxa
de erro bem menor em relação ao primeiro valor e ainda sim é válido comentar que
faz mais sentido ao experimento o uso da massa da mola, de modo que ela impacta
diretamente na progressão do experimento com seu peso “apontando” para baixo.