Assunto 08 - Equações diferenciais não Lineares ENIAC

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Equações diferenciais não Lineares
APRESENTAÇÃO
Normalmente, as equações não lineares são de difícil solução ou, até mesmo, não têm solução 
analítica. No entanto, existem casos em que é possível solucionar a equação não linear de forma 
rápida e simples, por meio dos métodos de Bernoulli e Riccati ou até mesmo por separação de 
variáveis. Essas equações descrevem alguns fenômenos físicos, como o movimento de um 
pêndulo, o escoamento de fluidos, fenômenos de transferência de calor, etc.
Para maior facilidade de compreensão deste tópico, é necessário que você esteja familiarizado 
com definições de cálculo integral e derivativo e equações diferenciais. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá sobre as equações diferenciais não lineares 
por meio de alguns problemas aplicados, e também conhecerá as equações separáveis, de 
Bernoulli e de Riccati, e como resolvê-las. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer as equações diferenciais não lineares.•
Resolver equações separáveis, de Bernoulli e de Riccatti.•
Identificar equações diferenciais não lineares em problemas aplicados.•
DESAFIO
Modelos populacionais são utilizados em modelamentos onde existe uma taxa de crescimento 
ou decaimento de uma população, que pode ser de qualquer tipo. Esses modelos são utilizados 
para estimar o avanço de doenças, o crescimento de populações e de negócios, etc. 
Considere que você precisa determinar a quantidade de lojas no Brasil, após um período de 
tempo. 
O número de lojas é a função L(t), sendo t baseado em anos. Sabe-se que a taxa de crescimento 
das lojas é dada pela seguinte função logística:
Considerando que L(0) = 1, determine a quantidade de lojas após 10 anos.
INFOGRÁFICO
Populações são um assunto estudado por muitos matemáticos, biólogos e filósofos, desde a 
antiguidade. Existem casos em que o estudo de populações é modelado por equações 
diferenciais não lineares que representam como a população cresce ou decai.
No Infográfico a seguir, você vai ver como é tratado o problema da função logística, que modela 
o crescimento e o decaimento de vários tipos de populações, sejam humanas, de bactérias, de 
estabelecimentos, decaimento radioativo, etc.
CONTEÚDO DO LIVRO
Equações diferenciais não lineares estão presentes em problemas de física, como decaimento 
radioativo ou movimento pendular, reações químicas, dinâmica de sólidos, etc. Essas equações 
não se restringem a fenômenos físicos, pois alguns modelos populacionais também podem ser 
descritos por meio delas.
No capítulo Equações diferenciais não lineares, da obra Cálculo II, você vai entender o que são 
essas equações e aprender a resolver alguns casos particulares utilizando-as.
Boa leitura.
CÁLCULO II 
Everton Coelho de Medeiros
Equações diferenciais 
não lineares
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer as equações diferenciais não lineares.
 � Resolver equações separáveis de Bernoulli e de Riccati.
 � Identificar equações diferenciais não lineares em problemas aplicados.
Introdução
Normalmente, as equações não lineares são de difícil solução ou, até 
mesmo, não apresentam solução analítica. Entretanto, existem alguns 
casos particulares em que é possível solucionar a equação não linear de 
forma rápida e simples. Para isso, são usados os métodos de Bernoulli e 
de Riccati, a separação de variáveis e a integração direta. Isso não quer 
dizer que as equações não lineares que não se enquadrem nesses casos 
particulares não tenham solução. Com o uso de cálculo numérico, é 
possível obter soluções aproximadas muito precisas.
Essas equações descrevem alguns fenômenos físicos, como o mo-
vimento de um pêndulo, o escoamento de fluidos, os fenômenos de 
transferência de calor, etc. Neste capítulo, você reconhecerá as equações 
diferenciais não lineares, resolverá equações por meio dos métodos de 
Bernoulli e de Riccati, assim como verá problemas aplicados.
Definição
As equações diferenciais não lineares, diferentemente das equações lineares 
nas quais os coeficientes dependem apenas da variável independente x, também 
têm coeficientes dependendo da variável dependente y (ZILL; CULLEN, 2001):
Na equação anterior, o termo y é um coeficiente que depende da variável 
dependente. Este exemplo também serve para ilustrar outra equação não linear:
Essa equação é não linear, pois existe um termo y com expoente diferente 
de 1.
Independentemente de ser linear ou não linear, qualquer função em um 
intervalo definido, quando substituída na equação diferencial, reduz-se a 
uma identidade, é chamada de solução no intervalo (ZILL; CULLEN, 2001).
Por exemplo, para verificar que é solução para a equação 
 
num intervalo I (–∞,∞), primeiramente, escreve-se a equação diferencial como:
Agora, deve-se substituir na equação e verificar se o resultado 
 
obtido é zero em todo o intervalo I.
Inicialmente, deriva-se a função y:
A equação fica:
Portanto, para todo valor real, a função é solução para .
Equações diferenciais não lineares2
Uma equação diferencial normalmente apresenta um número infinito de 
soluções devido à constante de integração. Para encontrar uma solução especí-
fica, é necessário ter um ponto em que a solução e/ou suas derivadas passam. 
Para resolver problemas simples, é preciso relembrar as equações separáveis e 
o fator de integração. A seguinte equação é um exemplo de equação separável:
Resolva o problema de valor inicial
Deve-se salientar que esse problema não é contínuo quando y = 0. Assim, será 
considerado intervalo I, onde y ≠ 0.
Essa é uma equação separável, podendo ser reescrita da seguinte forma:
Deve-se integrar os dois lados da equação:
Da integração, obtém-se:
Isolando-se y, encontra-se a solução:
3Equações diferenciais não lineares
Aplicando-se a condição inicial y(0) = 0:
Para satisfazer a condição inicial, é necessário que c = 0, e a solução para o problema é:
As equações diferenciais não lineares, de primeira ordem, podem ser re-
solvidas por meio da separação de variáveis e integração direta. É necessário 
dominar bem esses assuntos para solucionar tais equações. Entretanto, em 
muitas situações, esses métodos não serão possíveis, e a equação deverá ser 
solucionada por outros métodos, como analítico ou numérico.
Métodos de Bernoulli e de Riccati
Equação de Bernoulli
Algumas vezes, a solução de equação diferencial não linear é possível ao se 
fazer uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação 
linear (BOYCE; DIPRIMA, 2010). A equação de Bernoulli é um exemplo:
Para y ≠ 0, a equação pode ser escrita como:
Equações diferenciais não lineares4
Se for feita a substituição:
e derivando implicitamente w em relação a x, tem-se:
Agora, multiplica-se a equação diferencial por (1 – n):
Assim, faz-se a substituição para w:
Resolvendo a equação em w, basta substituir w = y1–n e se obtém a solução 
para a equação inicial.
Resolver a equação diferencial .
Primeiramente, é necessário identificar os termos da equação de Bernoulli:
e, em seguida, fazer a mudança de variável w = y–1 
5Equações diferenciais não lineares
Sendo assim, a equação fica:
A equação tem fator de integração:
Assim:
Integrando os dois lados da equação:
encontra-se:
Sendo w = y–1, então:
Equações diferenciais não lineares6
Equação de Riccati
A equação de Riccati tem a seguinte forma:
Inicialmente, deve-se considerar que existe uma solução y1 para a equação. 
Assim, é possível substituir y1 da seguinte maneira:
Substituindo na equação de Riccati, em v, encontra-se:
Como y1 é solução da equação, então:
Sendo assim, podemos substituir novamente e chegamos a:
Pode-se notar que a equação de Riccati é um caso particular da equação 
de Bernoulli com n = 2. 
7Equações diferenciais não lineares
Resolver a equação de Riccati , sabendo que y1 = x.
Para a equação anterior, temos os termos:
Sendo assim, aequação de Riccati toma a forma:
Substituindo os coeficientes da equação, temos:
Trata-se de uma equação separável, podendo ser escrita como:
Integrando os dois lados:
Como solução geral, temos:
e substituindo as funções:
Equações diferenciais não lineares8
As equações de Bernoulli e de Riccati são uteis na solução de equações 
diferenciais não lineares, pois, com o uso desses métodos, é possível transfor-
mar equações, que a princípio eram complexas e sem solução, em equações 
mais simples e possíveis de serem resolvidas aplicando separação de variáveis 
e integração direta.
Problemas aplicados
Existem diversos problemas em que as equações diferenciais não lineares estão 
presentes. Por exemplo: na taxa de crescimento ou decaimento de populações, 
em biologia; com o decaimento radioativo de certa substância, na física; para 
se determinar a quantidade de uma substância em uma reação, na química; 
na mecânica de sólidos, como a velocidade de escape de um corpo para se 
livrar da gravidade de um planeta.
Comportamento de populações
Uma população P pode ser descrita como:
Analisando-se essa equação, é possível notar que o crescimento da popu-
lação se torna ilimitado, o que não pode ser verdade. O matemático e biólogo 
P. F. Verhulst estudou a equação:
que ficou conhecida como equação logística (ZILL; CULLEN, 2001), sendo 
a e b constantes positivas.
9Equações diferenciais não lineares
Resolver a equação logística mostrada anteriormente, encontrando a função p.
Aplicaremos o método das frações parciais visto no cálculo diferencial e integral.
Somando-se as duas frações parciais, temos a função anterior. Logo:
Multiplicando toda a igualdade por p ∙ (a – bp), temos: 
Podemos ver que essa igualdade é um polinômio de primeiro grau. Encontraremos 
seus coeficientes por meio da separação dos termos de ambos os lados.
Integrando a equação:
Agora, eleva-se e pela equação anterior e chega-se a:
Equações diferenciais não lineares10
A função logística é um modelo preciso de previsão de populações de bacté-
rias, protozoários, propagação de epidemias, quando trazida por um indivíduo 
infectado a uma população, possibilitando estimar quantas pessoas estarão 
infectadas em um determinado tempo. Atualmente, o modelo populacional 
é usado para estudar o impacto de anúncios publicitários em certos grupos.
No link a seguir, estão alguns exemplos para aprofundar mais os conhecimentos sobre 
a equação de Bernoulli e suas aplicações.
https://qrgo.page.link/H353M
Muitas aplicações de engenharia são modeladas por meio de equações 
não lineares, o que faz necessário saber reconhecê-las e conhecer bem os 
métodos para solucioná-las. Equações não lineares, a princípio, parecem não 
ter resolução analítica. Entretanto, muitos casos permitem esse tipo de solução, 
os quais, por sua vez, não são muito complexos, sendo necessário ter bom 
domínio de cálculo de integrais e derivadas.
Isolando p, temos:
Dividindo a fração por eat no numerador e denominador, encontramos:
Se a condição p(0) é conhecida e p(0) = p0 ≠ a/b, pode-se definir a constante c1 como:
11Equações diferenciais não lineares
Acessando o link a seguir, é possível visualizar uma aula com exercícios, disponibilizada 
pelo Prof. Marcos Eduardo Valle, da UNICAMP.
https://qrgo.page.link/D53EN
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. 607 p. 
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais, volume 1. 3. ed. São Paulo: Pearson; 
Makron Books, 2001. 496 p.
Leitura recomendada
STEWART, J. Cálculo, volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. 672 p.
Equações diferenciais não lineares12
DICA DO PROFESSOR
As equações diferenciais não lineares, muitas vezes, são de solução complexa e demandam 
muito tempo; porém, caso sejam uma equação separável, sua resolução é muito fácil. 
Nesta Dica do Professor, você vai ver como definir e resolver uma equação não linear separáve
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
 
EXERCÍCIOS
1) Classifique a equação (1 – x)y" – 4xy' + 5y² = cos x por linearidade e grau.
A) Linear de terceira ordem.
B) Não linear de segunda ordem.
C) Linear de primeira ordem. 
D) Não linear de primeira ordem.
E) Não linear de terceira ordem.
2) Resolva a equação diferencial não linear y' = y² com a condição inicial y(0) = 1.
A) 
 
 
 
B) 
 
C) 
D) 
E) 
 
3) Faça a mudança para a variável w da equação de Bernoulli:
y' + x/y = 1/xy–2.
A) 
 
B) 
 
C) 
D) 
 
E) 
 
4) Determine os termos p(x), q(x) e r(x) para a equação de Riccati: 
y' = –2 – y + y2. 
A) p(x) = –2, q(x) = –1, r(x) = –1. 
B) p(x) = 2, q(x) = –1, r(x) = 1. 
C) p(x) = –2, q(x) =1, r(x) =1. 
D) p(x) = –2, q(x) = –1, r(x) = 1. 
E) p(x) = 2, q(x) = 1, r(x) = 1. 
Um estudante está com uma doença contagiosa e vai para a faculdade, onde estudam 1.000 5) 
alunos. A taxa com que o vírus se espalha pode ser modelada pela função logística: 
Determine i(6), ou seja, a quantidade de alunos infectados após seis dias.
A) 275.
B) 276.
C) 278.
D) 300.
E) 200.
NA PRÁTICA
As equações diferenciais ordinárias não lineares são muito utilizadas nos modelos de população; 
tanto o modelo logístico quanto o malthusiano são descritos por meio de equações não lineares.
Veja, a seguir, o uso do modelo logístico no modelamento da biomassa de um tipo de peixe do 
Atlântico.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Fator de integração
Para entender mais sobre fator de integração, veja este material. Com ele, será mais fácil 
entender a aplicação do fator de integração.
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Equação de Bernoulli
Este material ajudará você a compreender melhor a aplicação da equação de Bernoulli.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Cursos Unicamp – Cálculo III – Equações separáveis e métodos de substituição
Neste vídeo, você verá mais sobre equações separáveis e como reconhecer as equações de 
Bernoulli e Riccati.
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Lista de exercícios
Para aprender equações diferenciais não lineares, é importante que você exercite o conteúdo. 
Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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