Livro de Cálculo Diferencial e Integral II

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL II
ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
AULA 01
AULA 02
AULA 03
AULA 04
AULA 05
AULA 06
AULA 07
AULA 08
AULA 09
AULA 10
AULA 11
AULA 12
AULA 13
AULA 14
PRIMITIVAS 
INTEGRAL INDEFINIDA 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
APROXIMANDO ÁREAS 
INTEGRAL DEFINIDA 
O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO E 
INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS 
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES 
PARCIAIS
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: ÁREA ENTRE 
CURVAS E VOLUME
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: SÓLIDOS 
DE REVOLUÇÃO E ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE 
REVOLUÇÃO
06
10
15
18
22
26
31
35
40
49
52
61
65
71
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AULA 15
AULA 16
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: 
COMPRIMENTO DE UMA CURVA PLANA y = f(x) E 
TRABALHO
SISTEMAS DE COORDENADAS ESPECIAIS
76
81
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INTRODUÇÃO
Olá, aluno(a)! É com prazer que apresento a você o livro de “Cálculo Diferencial e Integral II”. 
Sou a professora Rebecca Manesco Paixão, graduada em Engenharia Ambiental e Sanitária 
e licenciada em Matemática, especialista em Segurança do Trabalho, mestre em Engenharia 
Química e atualmente cursando o doutorado em Engenharia Química, com estágio de 
doutoramento realizado em Portugal.
Preparei este material com o objetivo de apresentar a você os conceitos básicos do 
Cálculo Integral para que eles sejam aplicados em diversas áreas do conhecimento que 
fazem uso desta teoria.
Após você ter estudado funções de uma variável real e o processo de derivação de tais 
funções, acredito que você esteja preparado para conhecer o universo das integrais. Ao 
longo da nossa jornada veremos que derivação e integração são processos inversos, ou 
seja, integrais consistem de um processo de antiderivação.
Iniciaremos os estudos com as integrais indefinidas e conheceremos o Teorema 
Fundamental do Cálculo, um dos mais importantes na disciplina de Cálculo Diferencial e 
Integral. 
Em um segundo momento, conheceremos alguns métodos de integração que nos auxiliarão 
no cálculo de integrais, cujo integrando seja um pouco complicado.
Na sequência, veremos as integrais definidas, além também das integrais impróprias. Por 
fim, veremos que as integrais nos permitem o cálculo de áreas e volumes, mas não somente 
isso é uma ferramenta muito poderosa que apresenta diversas aplicações na engenharia, 
estatística, econômica, física e química.
Sugiro que você estude o texto, acompanhe os exemplos e resolva os exercícios propostos. 
A leitura das referências bibliográficas indicadas também é fundamental.
Bons Estudos!
Professora Me. Rebecca Manesco Paixão.
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AULA 1
PRIMITIVAS
Caro(a) aluno(a), nesta primeira aula vamos iniciar nossos estudos retomando ao problema 
de encontrar a velocidade de uma determinada partícula em um instante t, conhecendo a 
função posição s = f(t).
Se nós conhecêssemos a velocidade da partícula em qualquer instante t, será que seríamos 
capazes de determinar a sua função posição? A seguinte definição responde esta pergunta: 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo I. Uma função F é dita primitiva 
(ou antiderivada) de f em I se F’(x) = f(x) para todo x∈I.
A definição acima nos diz que as primitivas de uma função f(x) sempre estão definidas 
em algum intervalo. Nos casos em que não explicitarmos o intervalo e nos referirmos a duas 
primitivas da mesma função f, então ficará subentendido que essas funções são primitivas 
de f no mesmo intervalo I.
Por exemplo, considerando a função f(x)=x3. Se tivermos a regra da potência em mente, 
então não será difícil descobrir uma primitiva de f, certo? Se F(x)= , então F’(x)=x3=f(x).
Vamos ver mais exemplos?
Exemplo 1.1: G(x)=√x é uma primitiva de g(x)= , uma vez que G’ (x)= =g(x).
Exemplo 1.2: H(x)=cos x é uma primitiva de h(x)=-sen x, uma vez que H’(x) = -sen x = h(x).
Voltando para a função f(x)=x3, vimos que F(x)= é uma primitiva. No entanto, note 
que G(x)= +10 também satisfaz G’(x)=x3. Isto significa que ambas F e G são primitivas da 
função f. 
Portanto, podemos concluir que qualquer função H(x)= +C, em que C é uma constante, 
é uma primitiva de f.
Teorema. Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então F(x)+C é uma primitiva geral 
de f em I, em que C é uma constante arbitrária.
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Podemos comprovar o teorema acima, caro(a) aluno(a), derivando F(x)+C:
(F(x)+C)’ = F’ (x)+(C)’= f(x) + 0 = f(x)
Pensando novamente na função f(x)=x3, a sua primitiva geral é +C. E, se atribuirmos 
valores para esta constante C, então, poderemos obter uma família de funções cujos gráficos 
serão translações verticais uns dos outros.
Figura 1.1: Representação gráfica da família de primitivas F(x)=x4/4+C. Fonte: elaborado pela autora.
Proposições:
a) Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se C é uma constante qualquer, significa 
que a função G(x)=F(x)+C também é primitiva de f(x);
b) Se f’(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I;
c) Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante 
C tal que G(x)-F(x)=C para todo x∈I.
Na Tabela 1.1 listamos algumas das primitivas particulares, tal que para obtermos a 
primitiva mais geral, em um dado intervalo, é preciso adicionar uma constante. Observe.
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Função Primitiva particular
c.f(x) c.F(x)
f(x)+g(x) F(x)+G(x)
xn (n ≠ -1)
ln|x|
ex ex
cos x sen x
sen x -cos x
Tabela 1.1: Fórmulas de primitivação. Fonte: elaborado pela autora, adaptado de Stewart (2014, p. 312)
Exemplo 1.3: Vamos encontrar todas as funções f tais que f’(x)=sen x+3x5-ln x.
O primeiro passo é achar uma primitiva de f’(x)=sen x+3x5-ln x. Utilizando as fórmulas 
apresentadas na Tabela 1.1 e o teorema visto anteriormente, então:
f(x)=-cos x+ -xlnx+x+C
Exemplo 1.4: Vamos encontrar f sabendo que f’’ (x)=3x2-6x+5, f(0)=1 e f(1)=2.
O primeiro passo é encontrar uma primitiva geral de f’’ (x)= 3x2 - 6x + 5:
f ’(x)= +5x+C
f ’(x)= x3 -3x2 +5x+C
Novamente, agora precisamos encontrar uma primitiva geral de f ’(x)=x3 - 3x2+5x+C:
f(x)= +Cx+D
f(x)= -x3+ +Cx+D
Sabendo que f(0)=1, então:
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1=0+0+0+0+D
D=1
E, sabendo que f(1)=4 e que D=1, então:
4= -(1)3+5. +C(1)+1
C=kp
Isto significa que a função f é:
f(x)= -x3+ +1
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AULA 2
INTEGRAL INDEFINIDA
Caro(a)aluno(a), agora que entendemos o que são primitivas estamos prontos para a 
seguinte definição:
Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral 
indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C.
O símbolo ∫ é denominado de sinal de integração, a função f a ser integrada é denominada 
de integrando, a constante C é chamada de constante de integração, e o símbolo dx serve 
para identificar a variável de integração.
O processo que nos possibilita encontrar a integral indefinida é denominado de integração. 
E a partir da definição de integral indefinida, podemos concluir que: 
∫f(x)dx = F(x)+C ↔ F ’(x) (C)’= f(x)+0=f(x)
Por definição, considerando f, g: I↔ℝ e k uma constante, então uma integral indefinida 
tem as seguintes propriedades elementares:
i)∫ k.f(x) dx = k ∫ f(x) dx
Demonstração:
∫ k.f(x) = k.F(x)+k.C
=k [F(x)+C]
=k ∫ f(x) dx
ii)∫ f(x)+g(x) dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
Demonstração: 
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∫ f(x)+g(x) dx = [F(x) + G(x)] + C
=[F(x) + G(x)] + C1 + C2, onde C = C1 + C2
=[F(x) + C1] + [G(x) + C2]
=∫f(x) dx + ∫ g(x) dx
Exemplo 2.1: ∫ 2x2 dx = 2 +C, pois = 2x2
Caro(a) aluno(a), nas palavras de Flemming e Gonçalves (2006, p. 333) “o processo de 
integração exige muita intuição, pois conhecendo apenas a derivada de uma função nós 
queremos descobrir a função”. Assim, podemos nos utilizar de tabelas de integrais, chamadas 
de imediatas, a partir do conhecimento das derivadas das funções elementares.
Tabela 2.1: integrais imediatas. Fonte: elaborado pela autora.
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Utilizando as propriedades das integrais indefinidas e as integrais imediatas podemos 
calcular a integral indefinida de algumas funções. Veja os exemplos que seguem:
Exemplo 2.2: ∫ x5/2 dx:
Exemplo 2.3: ∫5x4 - 2 + ex dx:
Exemplo 2.4: ∫ 3 sen x + 1/√x dx:
Um problema de valor inicial é aquele em que precisamos determinar uma função y de 
x quando sabemos sua derivada e seu valor y0 em um ponto particular x0 (THOMAS et al., 
2012). Este tipo de problema é resolvido em dois passos. Veja o exemplo a seguir:
Exemplo 2.5: Vamos determinar a curva cujo coeficiente angular no ponto (x,y) é 2x3 
sabendo que ela deve passar pelo ponto (0,1).
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O primeiro passo é resolver a equação diferencial , sabendo que o coeficiente 
angular da curva é 2x3:
Em que C é a constante de integração, resultante da combinação de C1 e C2.
Utilizando a condição y(0) = 1, podemos determinar o valor da constante C:
1=0+C
C=1
Isto significa que a curva que estamos procurando é:
y=x^4/2+1
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Figura 2.1: Representação gráfica de y=x4/2+1. Fonte: elaborado pela autora.
Perceba, caro(a) aluno(a), que no exemplo anterior nós resolvemos a equação diferencial 
para obter a solução geral. E, na sequência resolvemos o problema de valor inicial para enfim 
obter uma solução particular que satisfaz y(x0 ) = y0.
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AULA 3
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Caro(a) aluno(a), até o momento, nós vimos que encontrar primivitas era basicamente 
um “processo inverso” ao da derivação. No entanto, em algumas situações poderemos nos 
deparar com funções que não possuem primitivas elementares.
Nesta aula, veremos que é possível determinar a integral de uma determinada função, 
a partir da aplicação de uma das fórmulas básicas depois de ser feita uma mudança de 
variável (FLEMMING; GONÇALVES, 2006). Este processo é o “inverso” da regra da cadeia 
para derivação.
Considerando f(x) e F(x) duas funções tais que F’ (x) = f(x). Supondo que g seja outra 
função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de f, então pela regra da 
cadeia temos que:
[F(g(x))]’ = F ’(g(x)).g ’(x) = f(g(x)).g ’(x)
Isto significa que F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g ’(x).
Temos então que:
∫ f(g(x)).g ’(x) dx = F(g(x)) + C (1)
Fazendo u = g(x), du = g ’(x) dx e substituindo em (1), obtemos que:
∫ f(g(x)).g’ (x) dx =∫ f(u) du = F(u)+C
Isto significa, caro(a) aluno(a), que podemos definir uma função u = g(x) conveniente, de 
modo que a integral resultante seja mais simples de ser calculada.
Em suma, os seguintes passos devem ser tomados:
1) Em ∫ f(g(x)).g ’(x) dx substitua u = g(x) e du = g ’(x) dx para obter a integral ∫ f(u) du
2) Integre em relação a u
3) Substitua u por g(x) no resultado
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Vamos ver alguns exemplos?
Exemplo 3.1: ∫ x2 sen x3 dx:
Fazendo u = x3, du = 3x2 dx ↔ x2 dx = du
Substituindo u = x3, então:
Exemplo 3.2: ∫ dx
Fazendo u = 1+x2, du = 2x dx
=ln|u|+C
Substituindo u = 1+x2:
=ln|1+x2 |+C
Exemplo 3.3: ∫ dx
Fazendo u = 2x-4, du= 2 dx → dx = du
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Substituindo u = 2x-4:
Exemplo 3.4: ∫ sen2 x cos x dx
Fazendo u = sen x, du = cos x dx
∫ sen2 x cos x dx = ∫ u2 du
Substituindo u = sen x:
Exemplo 3.5: ∫ e3x dx
Fazendo u = 3x, du = 3 dx → dx = du
Substituindo u = 3x:
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AULA 4
INTEGRAÇÃO POR PARTES
 
Considerando f(x) e g(x) funções que são deriváveis em um intervalo I, então, pela regra 
do produto temos que:
 [f(x).g(x)] = f(x).g ’(x)+g(x).f ’(x)
Ou ainda que:
f(x).g ’(x) = [f(x).g(x)]-g(x).f ’(x)
Ao integrarmos ambos os lados, obtemos que:
∫ f(x).g ’(x) dx = ∫ [f(x).g(x)]’ dx - ∫ g(x).f ’(x) dx
∫ f(x).g ’(x) dx = f(x).g(x) - ∫ g(x).f ’(x) dx
Fazendo u = f(x), du = f ’(x) dx e v = g(x), dv = g ’(x) dx, então, a expressão anterior pode 
ser reescrita como:
∫ u dv = u.v - ∫ v du
Que é a fórmula da integração por partes que utilizaremos neste estudo.
Atente-se, caro(a) aluno(a), a algumas observações:
1) É importante certo cuidado na escolha de u e dv, tal que ela seja feita de forma conveniente.
2) Deixamos para introduzir uma única constante de integração ao final dos cálculos.
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Anote isso
“Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração. Por exemplo, a 
regra de substituição para integração corresponde à regra da cadeia para a derivação. 
Aquela que corresponde à regra do produto para a derivação é chamada integração 
por partes” (STEWART, 2014, p. 420).
Exemplo 4.1: ∫ x sen x dx
Chamando u = x → du = dx e dv = sen x dx → v = ∫ sen x dx = -cos x, então:
∫ x sen x dx = x(-cos x) - ∫ (-cos x) dx
=-x cos x + sen x + C
Exemplo 4.2: ∫ xe3x dx
Chamando u = x → du = dx e dv = e3x → v = ∫ e3x dx = e3x, então:
Para a integral ∫ e3x dx devemos utilizar a substituição u = 3x, du = 3 dx → dx = du:
Substituindo u = 3x:
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Exemplo 4.3: ∫ ln x dx
Chamando u = ln x → du = dx e dv = dx → v = ∫ dx = x, então:
∫ ln x dx = ln x.x -∫ x. dx
=x ln x - ∫ dx
=x ln x - x + C
Exemplo 4.4: e2x sen x dx
Chamando u = e2x → du = 2e2x dx e dv = sen x dx → v = ∫ sen x dx = -cos x, então:
∫ e2x sen x dx = e2x.(-cos x) - ∫ (-cos x).2e2x dx
=-e2x cos x+2 ∫ e2x cos x dx
A integral ∫ e2x cos x dx também precisa ser resolvida por partes. Chamando u = e2x → du 
= 2e2x dx e dv = cos x dx → v = ∫ cos x dx = sen x, então:
=-e2x cos x + 2[e2x.sen x - ∫ sen x.2e2x dx]
=-e2x cos x + 2e2xsen x - 4 ∫ e2xsen x dx
Note, caro(a) aluno(a), que a integraldo 2º membro é exatamente igual a integral que 
queremos calcular. Somando 4 ∫ e2x sen x dx a ambos os lados da última equação, obtemos 
que:
5 ∫ e2x sen x dx = -e2x cos x+2e2x sen x
∫ e2x sen x dx = (-e2x cos x + 2e2x sen x)+C
Exemplo 4.5: ∫ x2 ex dx
Chamando u = x2 → du = 2x dx e dv = ex dx → v =∫ ex dx = ex, então:
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∫ x2 ex dx = x2. ex - ∫ ex.2x dx
=x2 ex - 2∫ x ex dx
A integral ∫x ex dx também precisa ser resolvida por partes. Chamando u = x → du = dx e 
dv = ex dx → v = ∫ ex dx = ex, então:
=x2 ex - 2[x.ex - ∫ ex dx ]
=x2ex - 2xex +2ex + C
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AULA 5
APROXIMANDO ÁREAS 
Caro(a) aluno(a), nesta aula iremos conversar sobre o problema de determinação de uma 
área. Já é de nosso conhecimento o cálculo de áreas de algumas figuras geométricas, 
como a de um retângulo (comprimento×largura) ou de um triângulo ((base×altura)/2). No 
entanto, como poderíamos determinar a área que surge entre o gráfico de uma função f(x)=x2, 
delimitada pelo eixo dos x e por duas retas x=0 e x=1?
Figura 5.1: f(x) = x2 no intervalo [0,1]. Fonte: elaborado pela autora.
Para resolver este problema que envole um contorno curvilíneo, podemos aproximar a área 
desejada por retângulos, cujas áreas são calculadas pelos métodos da geometria elementar.
Inicialmente, vamos dividir o intervalo [0,1] em quatro subintervalos iguais:
Na sequência, vamos construir quatro retângulos com esses subintervalos como base e 
com alturas dadas pelos valores da função nas extremidades dos subintervalos 
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Figura 5.2: Aproximação da área abaixo de f(x) = x2 no intervalo [0,1] pela soma da área de quatro retangulos. Fonte: elaborado pela autora.
Agora, vamos somar as áreas dos quatro retângulos:
Isto significa que, aproximadamente, é a área da função f(x)=x2, no intervalo [0,1] que 
estamos procurando.
Caso nós aumentássemos o número de retângulos, então seríamos capazes de obter 
uma melhor estimativa. Na tabela seguinte apresentamos a área resultante com o aumento 
dos retângulos, observe:
n A
10 ≅ 0,38500
20 ≅ 0,35875
30 ≅ 0,35018
50 ≅ 0,34340
100 ≅ 0,33835
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1000 ≅ 0,33383
Tabela 5.1: Valores aproximados da área da região de interesse. Fonte: elaborado pela autora, adaptado de Stewart (2014).
Olhando para os valores da Tabela acima, caro(a) aluno(a), podemos concluir que a área 
da região que estamos interessados em determinar é . Isto significa que à medida que n 
foi crescendo, a soma das áreas retangulares foram cada vez mais se aproximando do que 
intuitivamente entendemos como a área que estávamos procurando.
Obviamente que esse não é um método muito prático de se calcular a área. Dessa forma, 
caro(a) aluno(a), a partir de agora precisamos de uma forma mais eficiente e robusta.
Vamos considerar que queremos definir a área de uma região plana S, que é delimitada pelo 
gráfico de uma função f contínua e não negativa pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b.
Para isto, vamos particionar o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais de comprimento
Considerando que a = x0< x1<...<xi-1<xi<...<xn = b sejam os pontos dessa divisão, então, 
em cada um desses subintervalos escolhemos pontos quaisquer ci, tal que formamos n 
retângulos, todos com base ∆x e altura dada por f(ci ).
A soma das áreas desses retângulos, representada por S_n pode ser escrita com a notação 
de somatório da seguinte forma:
Sn=f(c1 ).∆x1 + f(c2 ).∆x2 + ... + f(cn ).∆xn = ∑
n
i=1 f(ci ).∆xi 
Que é a chamada soma de Riemann da função f(x), em homenagem a Georg Friedrich 
Bernhard Riemann.
Definição. Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a,b]. A área sob a curva 
y= f(x), de a até b, é definida por: 
Em que para cada i = 1,…,n, ci é um ponto arbitrário pertencente aos n subintervalos de [a,b].
 
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Anote isso
A letra grega maiúscula ∑significa “soma”. O indice i nos diz onde começa a soma (no 
número sob o ∑) e onde ela termina (no número acima do ∑). Quando o símbolo ∞ 
aparece acima do ∑, significa que os termos continuam indefinidamente.
Fonte: (THOMAS et al., 2012).
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AULA 6
INTEGRAL DEFINIDA
 
Caro(a) aluno(a), a integral definida se associa ao limite do conceito que vimos na aula 
anterior e “nasceu” com a formalização matemática dos problemas de se encontrar áreas.
De acordo com Thomas et al. (2012, p. 285), “a ideia por trás da integração é que podemos 
efetivamente calcular tais quantidades dividindo-as em pequenas partes e, em seguida, 
somando as contribuições de cada parte”. Assim, se no processo somatório levarmos em 
conta partes cada vez menores, como vimos anteriormente, se o número de termos tendem 
ao infinito e ainda, se tomarmos o limite dessas somas, o resultado será uma integral definida.
Definição. Considerando f uma função definida no intervalo [a,b], e P uma partição qualquer 
de [a,b], então a integral definida de f de a até b, denotada por ∫a
b f(x) dx é dada por:
Desde que o limite exista.
O símbolo ∫ foi introduzido por Leibniz e é denominado sinal de integral. 
Ele é um S alongado e foi assim escolhido porque uma integral é um 
limite de somas. Na notação ∫a
b f(x) dx, f(x) é chamado integrando, a e b 
são ditos limites de integração, a é o limite inferior, b, o limite superior. Por 
enquanto, o símbolo dx não tem significado sozinho; ∫a
b f(x) dx é apenas 
um simbolo. O dx simplesmente indica que a variável dependente é x. O 
procedimento de calcular a integral é chamado integração (STEWART, 
2014, p. 337).
Figura 6.1: Integral de f de a até b. Fonte: Thomas et al. (2012, p. 302).
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Além disso, Thomas et al. (2012, p. 349) nos lembra que “todas as funções são integráveis. 
Isto é, se uma função f é contínua em um intervalo [a,b], então sua integral definida em [a,b] 
existe”.
Ainda, quando a função f é contínua e não negativa no intervalo [a,b], então a definição 
da integral definida coincide com a definição da área (FLEEMING; GONÇALVES, 2006). Isto 
significa que a integral definida ∫a
b f(x) dx nada mais é do que a área da região sob o gráfico 
de f de a até b.
Exemplo 6.1: Vamos esboçar a região cuja área está representada por ∫-12 x+2 dx e calcular 
a integral usando uma fórmula da geometria apropriada.
A área que estamos buscando é um trapézio, delimitado pela reta y = x+2 e cuja base se 
estende de x = -1 até x = 2:
Figura 6.2: ∫-12 x+2 dx. Fonte: elaborado pela autora.
Assim, para encontrarmos a área desejada, basta utilizarmos a fórmula da área do trapézio:
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Tal que:
6.1 Propriedades da integral definida
A integral definida possui algumas propriedades que são importantes aqui no nosso 
estudo, caro(a) aluno(a). Considerando que f(x) e g(x) são funções integráveis, então, elas 
satisfazem as seguintes propriedades:
1. Mudança de ordem de integração: ∫a
b f(x) dx = - ∫b
a f(x) dx.
2. Se a = b e f(a) existe, então ∫a
a f(x) dx=0.
3. Multiplicação por uma constante: ∫a
b k.f(x) dx = k ∫a
b f(x) dx, em que k é uma constante real.
4. Soma e diferença de integrais: ∫a
b [f(x)±g(x)] dx = ∫a
b f(x) dx ± ∫a
b g(x) dx.
5. Aditividade no domínio: ∫a
b f(x) dx + ∫b
c f(x) dx = ∫a
c f(x) dx.
6. Se f(x) ≤ g(x) no intervalo [a,b], então ∫a
b f(x) dx ≤ ∫a
b g(x) dx.
7. Desigualdade max-min: se f tem o valor máximo maxf e o valor mínimo minf em [a,b], 
então minf.(b-a)≤∫ab f(x) dx ≤ maxf.(b-a).
8. Dominação: f(x) ≥ g(x) em [a,b]→∫ab f(x) dx ≥ ∫ab g(x) dx.
Exemplo 6.2: Seja ∫12 f(x) dx = -4, então:
∫21 f(x) dx = -∫12 f(x) dx
=-(-4)
=4
Exemplo 6.3: Seja ∫-15 f(x) dx = 2 e ∫-15 g(x) dx = 8, então:
∫-1
5 [2.f(x)-g(x)] dx = 2∫-1
5 f(x) dx - ∫-1
5 g(x) dx
=2(2)-(8)
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=4-8
=-4
Exemplo 6.4: Seja ∫010 f(x) dx = 15 e ∫05 g(x) dx = 7, então:
∫5
10 f(x) dx = ∫0
10 f(x) dx - ∫0
5 g(x) dx
=(15)-(7)
=8
6.2 Teorema do valor médio
O próximo teorema que veremos, cuja demonstração será omitida, apresenta uma 
interpretação geométrica interessante para funções não negativas no intervalo [a,b].
Teorema do valor médio. Se f é uma função contínua em [a,b], então existe um ponto c 
entre a e b tal que ∫a
b f(x) dx = (b-a).f(c).
 
O teorema nos diz que se f(x) ≥ 0,⊃ x ∈ [a,b], então a área abaixo da curva y = f(x), entre 
a e b, é igual a área de um retângulo de base b-a e altura f(c).
Exemplo 6.5: Vamos determinar o valor médio de f(x) = 4-x no intervalo [0,3].
O teorema do valor médio nos diz que ∫a
b f(x) dx = (b-a).f(c), ou ainda que
Assim:
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Isto significa que o valor médio de f(x)=4-x no intervalo [0,3] é 5/2.
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AULA 7
O TEOREMA FUNDAMENTAL DO 
CÁLCULO
 
Caro(a) aluno(a) o Teorema Fundamental do Cálculo é um importantíssimo teorema aqui 
no nosso estudo, e que estabelece uma relação entre o cálculo diferencial e o cálculo integral. 
Foi Isaac Barrow, mentor de Newton em Cambridge quem descobriu que o problema da 
tangente (derivada) e o problema da área (integral) estão relacionados, tal que a derivação 
e a integração são processos inversos.
Quando relacionamos ambos os processos (derivação e integração), podemos calcular 
integrais a partir da primitiva da função integranda, ao invés da determinação dos limites 
das somas de Riemann, que vimos anteriormente.
Para demonstrarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos considerar a integral 
definida ∫a
b f(t) dt, em que fixaremos o limite inferior e faremos variar o limite superior. Dessa 
forma, o valor da integral dependerá desse limite superior variável, que vamos chamar de x. 
Fazendo x variar no intervalo [a,b], então a função F: [a,b]→ℝ será definida por:
F(x)= ∫a
x f(t) dt
De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, F(x) é uma função derivável em todos 
os pontos x∈[a,b], cuja derivada é f em si, ou seja:
F ’(x) = f(x)
Assim, podemos estabelecer o Teorema parte 1, observe:
Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1: se f é contínua em [a,b], então F(x) = ∫ax f(t) dt 
é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), e sua derivada é f(x):
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Caro(a) aluno(a), agora que definimos o Teorema Fundamental do Cálculo parte 1, 
demonstraremos a segunda parte que descreve como calcular integrais definidas, encontrando 
uma antiderivada do integrando nos limites de integração superior e inferior.
Anteriormente, vimos que existe uma primitiva da função f, tal que:
G(x)= ∫a
x f(t) dt
Assim, se F for qualquer primitiva de f, então F(x)=G(x)+C, em que C é uma constante.
Como F e G são contínuas em [a,b], então F(x)=G(x)+C também se aplica quando x=a e 
x=b, considerando-se os limites laterais, ou seja, quando x→a+ e x→b -.
Dessa forma, calculando F(b)-F(a), encontramos que:
F(b)-F(a)=[G(b)+C]-[G(a)+C]
=G(b)-G(a)
=∫a
b f(t) dt - ∫a
a f(t) dt
=∫a
b f(t) dt-0
=∫a
b f(t) dt
Usualmente, a diferença F(b)-F(a) é denotada por [F(t)]a
b.
Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2: se f é contínua em [a,b] e se F é qualquer 
primitiva de f em [a,b], então: 
∫a
b f(x) dx = F(b)-F(a)
Isto significa, caro(a) aluno(a), que a integral definida de qualquer função contínua f pode 
ser calculada sem a necessidade de se tomar limites e de calcular as somas de Riemann, 
desde que uma primitiva da função f possa ser encontrada.
Exemplo 7.1: Vamos calcular ∫01 e
x dx usando uma primitiva.
Sabendo que uma primitiva de ex é F(x)=ex, então:
∫0
1 ex dx = [F(x)]0
1
=[ex ]0
1
=[F(1)-F(0)]
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=(e1 )-(e0)
=e1-1
Exemplo 7.2: Vamos calcular ∫13 x2+1 dx usando uma primitiva.
Sabendo que uma primitiva de x2+1 é F(x)= +x, então:
Exemplo 7.3: Vamos calcular ∫01 x
2 - 4x+1 dx usando uma primitiva.
Sabendo que uma primitiva de x2 - 4x + 1 é F(x)= - + x, então:
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Perceba, caro(a) aluno(a), que nos exemplos anteriores, ao calcularmos uma integral 
definida, a constante de integração não se faz necessária. Quando encontramos a primitiva 
que naturalmente deve carregar uma constante temos que a própria parte 2 do teorema se 
encarrega de eliminar essa constante no cálculo da integral definida. Isto significa que ao 
calcularmos a antiderivada, automaticamente devemos incluir a constante de integração ao 
final do cálculo. No entanto, quando calculamos uma integral definida, então essa constante 
poderá ser descartada sem problemas.
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AULA 8
INTEGRAIS DEFINIDAS POR 
SUBSTITUIÇÃO E INTEGRAIS DE 
FUNÇÕES SIMÉTRICAS
 
Caro(a) aluno(a), lembra-se que anteriormente aprendemos a integração indefinida por 
substituição? Nesta aula veremos como calcular uma integral definida por substituição.
Existem dois métodos para calcular uma integral definida por substituição. Um dos métodos 
consiste em encontrar por substituição a integral indefinida correspondente e usar uma das 
primitivas para calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Veja 
o Exemplo abaixo:
Exemplo 8.1: Vamos calcular ∫04 √2x+1 dx, e para isto, vamos recorrer à integral indefinida 
correspondente, que será resolvida por substituição:
∫√2x+1 dx
Vamos chamar de u = 2x+1, du = 2 dx → dx = du
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Substituindo u = 2x+1:
Como estamos trabalhando com a integral definida ∫0
4 √2x+1 dx, então:
O outro método de substituição que veremos nesta aula é a alteração dos limites de 
integração ao mudar a variável, veja a definição que segue:
Regra da substituição para integrais definidas. Se g’ for uma função contínua em [a,b] e 
f for uma função contínua na imagem de u = g(x), então
 g(b)
∫a
b f(g(x)).g’ (x) dx = ∫g(a) f(u) du
Exemplo 8.2: Vamos calcular ∫04 √2x+1 dx novamente, mas agora por este novo método 
de substituição que acabamos de aprender.
Vamos chamar de u = 2x+1, du = 2 dx → dx = du
Para obtenção dos novos limites de integração, devemos fazer:
Quando x = 0, u = 2.(0)+1=1
Quando x = 4, u = 2.(4)+1=9
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Assim:
Perceba, caro(a) aluno(a), neste exemplo que vimos, nós não retornamos à variável x após 
a integração. Ou seja, nós simplesmente calculamos a expressão em u entre os valores 
apropriados de u.
Vamos ver mais um exemplo:
Exemplo 8.3: Vamos calcular ∫12
Vamos chamar de u = 3-5x, du = -5 dx → dx = du
Quando x = 1, u = 3-5.(1) = -2
Quando x = 2, u = 3-5.(2) = -7
Assim:
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8.1 Integrais definidas de funções simétricas
A regra da substituição para integrais definidas pode ser utilizada para simplificar o cálculo 
de integrais de funções simétricas. Vamos considerar a função f como contínua no intervalo 
simétrico [-a,a]:
• Se f é uma função par, então ∫-a
a f(x) dx = 2 ∫0
a f(x) dx
• Se f éuma função ímpar, então ∫-a
a f(x) dx = 0
Exemplo 8.4: Vamos calcular ∫-22 x
4 - 4x2 + 6 dx. Para isto, o primeiro passo é identificar 
se a função é par ou ímpar.
f(x) = x4 - 4x2 + 6 é uma função par, porque satisfaz f(-x) = f (x) no intervalo simétrico [-2,2]. 
Assim:
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Figura 8.1: f(x) = x4 - 4x2 + 6. Fonte: elaborado pela autora.
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AULA 9
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
 
Caro(a) aluno(a), nesta aula veremos que é possível utilizar identidades trigonométricas 
para a solução de problemas que envolvam a integração de potências de seno e cosseno, 
integração de produtos de seno e cosseno, integrais de funções envolvendo seno e cosseno de 
arcos diferentes, integração de potências de tangente e de secante e integração de produtos 
de tangente e de secante.
9.1 Integrais de potências de seno e cosseno
Sempre que tivermos integrais que envolvam potências de seno e cosseno podemos 
recorrer às seguintes identidades trigonométricas:
sen2x + cos2 x = 1
Exemplo 9.1: Vamos calcular ∫ cos3 x dx. Para isto, podemos separar um fator cosseno e 
converter o fator cos2 x restante em uma expressão envolvendo o seno, a partir da identidade 
trigonométrica sen2 x + cos2 x = 1. Assim:
∫ cos3 x dx = ∫ cos2 x .cos x dx
= ∫ (1-sen2 x) cos x dx
Para resolvermos esta integral, precisaremos recorrer ao método de substituição que já 
estudamos:
Vamos chamar de u = sen x, du = cos x dx
Assim: 
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∫ (1-sen2 x) cos x dx = ∫ 1 - u2 du
Substituindo u = sen x:
Exemplo 9.2: Vamos calcular ∫ sen4 x dx. Para isto, vamos utilizar a identidade sen2 x = 
(1-cos⁡2 . Assim:
Vamos chamar de u = 2x, du = 2 dx → dx = du na segunda integral e chamar de u = 4x, 
du = 4 dx → dx = du na terceira integral. Assim, temos que:
Substituindo u = 2x e u = 4x, no segundo e no terceiro termo, respectivamente, então, 
temos que:
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9.2 Fórmulas de redução ou recorrência
Caro(a) aluno(a), o método da integração por partes pode ser utilizado para obtermos 
fórmulas de redução ou recorrência. Estas fórmulas expressam uma integral com uma 
potência de uma função em termos de uma integral que envolve uma potência “mais baixa” 
daquela função. De acordo com Anton et al. (2007), se n for um número inteiro positivo e 
n≥2, então podemos utilizar as seguintes fórmulas de redução:
Exemplo 9.3: Utilizando a fórmula de recorrência, vamos calcular ∫⁡⁡s⁡en⁡^5 2x dx⁡. Para 
isto, vamos utilizar a substituição u = 2x, du = 2 dx → dx = du :
Substituindo u = 2x, temos que:
 9.3 Integrais de produtos de seno e cosseno
Caro(a) aluno(a), sempre que tivermos que resolver integrais que envolvem o produto de 
seno e de cosseno, podemos recorrer ao Quadro 9.1:
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∫ senm x cosn x dx Procedimento Identidades relevantes
Se a potência do cosseno é ímpar - separe um fator de cos x
- aplique a identidade relevante
- faça a substituição u = sen x
cos2 x = 1 - sen2 x
Se a potência do seno é ímpar - separe um fator de sen x
- aplique a identidade relevante
- faça a substituição u = cos x
sen2 x = 1 - cos2 x
Se a potência de cosseno é par - use a identidade relevante 
para reduzir as potências de 
cos x
cos2 x = (1 + cos 2x)
Se a potência de seno é par - use a identidade relevante 
para reduzir as potências de 
sen x
sen2 x = (1 - cos 2x)
Quadro 9.1: Procedimentos para o cálculo de ∫ senm x cosn x dx. Fonte: elaborado pela autora, adaptado de Anton et al. (2007, p. 524) e de Stewart (2014, p. 427).
Exemplo 9.4: Vamos calcular ∫ sen4 x cos5 x dx. Para isto, como a potência de cosseno é 
ímpar, primeiramente separamos um fator de cosseno:
∫ sen4 x cos5 x dx = ∫ sen4x . cos4x . cos x dx
Agora, fazemos a substituição, conforme Quadro 9.1 para potência de cosseno par:
∫ sen4 x . cos4 x . cos x dx = ∫ sen4x(1 - sen2x)2 cos x dx
Vamos chamar de u = sen x, du = cos x dx
∫ sen4x(1 - sen2x)2 cos x dx =∫ u2(1 - u2 )2 du
=∫ u4 - 2u6 + u8 du
=∫ u4 du - 2 ∫ u6 du + ∫ u8 du
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Substituindo u = sen x:
Exemplo 9.5: Vamos calcular ∫0π sen2 x dx. Para isto, vamos utilizar a identidade sen2x =1/ 
(1 - cos2x), conforme Quadro 9.1:
Para a segunda integral, vamos chamar u = 2x, du = 2 dx → dx = 1/ du:
Como estamos trabalhando com a integral definida ∫0
π cos2x dx:
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9.4 Integrais de funções envolvendo seno e cosseno de arcos 
diferentes
Para calcularmos integrais da forma ∫ sen mx cos nx dx, ∫ sen mx sen nx dx ou ∫ cos mx cos 
nx dx podemos utilizar as identidades correspondentes, respectivamente dadas por:
Exemplo 9.6: Vamos calcular ∫ sen4x cos2x dx. Para isto, vamos utilizar a identidade sen 
A cos B = 1/ [sen (A - B) + sen (A + B)]. Assim:
Vamos chamar de u = 2x, du = 2 dx → dx = 1/ du na primeira integral, e de u = 6x, du = 1/ 
dx na segunda integral:
Substituindo de u = 2x no primeiro termo, e u = 6x no segundo termo, temos que:
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9.5 Integração de potências de tangente e de secante
Caro(a) aluno(a), da mesma forma como fizemos para seno e cosseno, podemos utilizar 
as fórmulas de redução para a integração de potências de tangente e de secante com vistas 
a reduzir o expoente do integrando, até que a integral possa ser calculada:
No entanto, atente-se, caro(a) aluno(a), que nos casos em que n for ímpar, o expoente 
pode ser reduzido a 1, cujas integrais são dadas por:
∫ tg x dx = ln|sec x|+C
∫ sec x dx = ln|sec x + tg x|+C
Exemplo 9.7: Vamos calcular ∫ tg3 x dx. Para isto, vamos utilizar a identidade tg2 x = sec2x - 1:
∫ tg3 x dx = ∫ tg x . tg2 x dx
=∫ tg x(sec2x -1) dx
=∫ tg x sec2 x dx - ∫ tg x dx
Para a primeira integral vamos chamar u = tg x, du = sec2 x dx:
=∫ u du - ∫ tg x dx
=u^2/2-ln|sec⁡x |+C
Substituindo u = tg x:
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9.6 Integração de produtos de tangente e de secante
Para finalizarmos esta aula, caro(a) aluno(a), uma estratégia semelhante à que vimos 
para a integração do produto de seno e cosseno pode ser utilizada quando da integração 
do produto de tangente e de secante, conforme Quadro abaixo: 
∫ tgm x secn x dx Procedimento Identidades relevantes
Se a potência da tangente é 
ímpar
- separe um fator de sec2x
- aplique a identidade relevante
- faça a substituição u = tg x
sec2 x = tg2x + 1
Se a potência da secante é 
ímpar
- separe um fator de sec x tg x
- aplique a identidade relevante
- faça a substituição u = sec x
tg2x = sec2x - 1
Se a potência da tangente é 
par e a potência da secante 
é ímpar
- use a identidade relevante para 
reduzir o integrando a potências 
somente de sec x
- use a fórmula de redução para 
potências de sec x
tg2x = sec2 x-1
Quadro 9.2: Procedimentos para o cálculo de ∫ tgm x secn x dx. Fonte: elabordo pela autora, adaptado de Anton et al. (2007, p. 526) 
Exemplo 9.8: Vamos calcular ∫ tg6 x sec4 x dx. Para isto, primeiramente vamos reescrever 
o integrando, tal que:
∫ tg6 x sec4 x dx = ∫ tg6 x . sec2 x . sec2 x dx
=∫ tg6 x (1+tg2 x) sec2 x dx
Vamos chamar u = tg x, du = sec2 x dx, assim:
=∫ u6 (1+u2) du
=∫ u6 du + ∫ u8 du
=u^7/7+u^9/9+C
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Substituindo u = tg x:
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AULA 10
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃOTRIGONOMÉTRICA
 
Caro(a) aluno(a), a substituição trigonométrica é empregada em integrais que contêm 
expressões da forma √a2 + x2, √a2 - x2, √x2 - a2 no integrando, nos permitindo substituir os 
binômios pelo quadrado de um único termo, transformando “várias integrais que contêm 
raízes quadradas em integrais que podemos calcular diretamente” (THOMAS, 2012, p. 542). 
Figura 10.1: Triângulos de referência para substituições trigonométricas que transformam binômios em quadrados de um único termo. Fonte: Thomas et al. (2012, p. 542).
As substituições representadas na Figura acima encontram-se resumidas na Tabela abaixo:
Tabela 10.1: Tabela de substituições trigonométricas. Fonte: Stewart (2014, p. 432).
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Exemplo 10.1: Vamos calcular ∫ dx. Para isto, vamos utilizar a substituição x = 
2sen θ.
Assim: 
√4 - x2 = √4 - 4sen2 θ = √4(1 - sen2 θ) = 2√cos2 θ = 2|cosθ | = 2 cosθ
Além disso, para x = 2 sen θ, dx = 2 cosθ dθ:
Como esta é uma integral indefinida, precisamos retornar a variável original x. Para 
escrevermos o resultado na variável x, caro(a) aluno(a), podemos utilizar a Figura 10.2 abaixo:
Figura 10.2: Substituição x=2sen θ. Fonte: Pinto (2009, p. 80)
A partir da Figura acima, podemos inferir que cot θ = , portanto:
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Exemplo 10.2: Vamos calcular ∫ dx. Para isto, vamos utilizar a substituição x = 2tg θ.
Além disso, a fim de que a função possa ser invertida, considera-se θ variando no intervalo 
fundamental de .
Assim:
√4 + x2 = √4 + 4tg2 θ = √4(1 + tg2 θ) = 2√sec2 θ = 2|secθ | = 2 secθ
Além disso, para x = 2 tg θ, dx = 2 sec2θ dθ:
=∫ secθ dθ
=ln|sec θ + tg θ|+C
Para escrevermos o resultado na variável x, caro(a) aluno(a), podemos utilizar a Figura 
10.3 abaixo:
Figura 10.3: Substituição x=2tg θ. Fonte: Thomas et al. (2012, p. 543)
A partir da Figura acima, podemos inferir que sec θ = e que tg θ = , portanto:
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AULA 11
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES 
RACIONAIS POR FRAÇÕES 
PARCIAIS
 
Caro(a) aluno(a), é possível expressar uma integral de uma função racional como uma 
soma de frações mais simples de serem integradas, as chamadas frações parciais.
Vamos nos lembrar que uma fração racional é da forma f(x)= , em que p(x) e q(x) ≠ 0 
são duas funções polinomiais.
Proposição. Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, então pode ser expresso como 
um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.
Segundo Flemming e Gonçalves (2006), para desenvolvimento do método, precisamos 
considerar que o coeficiente de mais alto grau do polinômio do denominador q(x) é 1; caso 
isto não ocorra, então precisamos dividir o numerador e o denominador da função racional 
f(x) por esse coeficiente. Também precisamos supor que p(x) é menor que o grau de q(x); e 
caso isto não ocorra, então devemos primeiramente efetuar a divisão de p(x) por q(x).
O primeiro exemplo que veremos aplica-se quando o denominador q(x) é um produto 
de fatores lineares distintos, ou seja, significa que podemos escrever q(x) = (a1x + b1)(a2x + 
b2)…(anx + bn), em que nenhum fator é múltiplo do outro (se repete). Neste caso, a função 
racional em frações mais simples é dada por:
Exemplo 11.1: Vamos calcular ∫ dx. Para isto, primeiramente, vamos fatorar 
o denominador:
2x3 + 3x2 - 2x = x(2x-1)(x+2)
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Assim, a decomposição em frações fraciais se torna:
Para encontrarmos os valores de A, B e C, multiplicamos ambos os lados por x(2x-1)
(x+2), tal que:
Agora, basta compararmos ambos os lados, tal que:
Resolvendo o sistema, concluimos que A = , B = e C = - , e assim:
Vamos chamar u = 2x-1, du = 2 dx → dx = du no segundo termo, e u = x + 2, du = dx no 
terceiro termo:
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Substituindo u = 2x-1 no segundo termo, e u = x+2 no segundo termo, temos que:
O segundo exemplo que veremos é utilizado sempre que q(x) for um produto de fatores 
lineares, tal que alguns dos fatores são repetidos. Supondo que um fator linear x - ai de q(x) 
tem multiplicidade r, então:
Exemplo 11.2: Vamos calcular ∫ dx. Para isto, primeiramente vamos dividir 
os polinômios:
Agora, vamos fatorar o denominador:
x3 - x2 - x+1 = (x-1)2 (x+1)
Assim, a decomposição em frações parciais se torna:
CÁLCULO DIFERENCIAL E 
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Para encontrarmos os valores de A, B e C, multiplicamos ambos os lados por (x-1)2 (x+1) 
tal que:
Agora, basta compararmos ambos os lados, tal que:
Resolvendo o sistema, concluimos que A=1, B=2 e C=-1, e assim:
Vamos chamar de u = x-1, du=dx na primeira e na segunda integral, e de u = x+1, du=dx 
na terceira integral:
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Substituindo u = x-1 no terceiro e no quarto termo, e u = x+1 no último termo, temos que:
O terceiro exemplo que veremos aplica-se aos casos em que os fatores de q(x) são lineares 
e quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores quadráticos não se repetem. Neste caso, a 
cada fator quadrático ax2 + bx + c de q(x), corresponderá uma fração parcial da forma:
Exemplo 11.3: Vamos calcular ∫ dx. Para isto, primeiramente, precisamos obter 
a decomposição em fatores lineares e quadráticos do denominador:
x3 + x2 + x-3 = (x-1)(x2 +2x+3)
Assim, a decomposição em frações parciais se torna:
Para encontrarmos os valores de A, B e C, multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x2+2x+3) 
tal que:
CÁLCULO DIFERENCIAL E 
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Agora, basta compararmos ambos os lados, tal que:
Resolvendo o sistema, concluimos que A = , B = e C = , e assim:
Vamos chamar de u = x-1, du = dx na primeira integral:
Substituindo u = x-1 no primeiro termo, temos que:
Para a segunda integral, também temos uma função racional, cujo denominador é um 
polinômio quadrático irredutível, em que teremos que fazer:
x2 + 2x + 3 = (x+1)2 + 2
Assim:
Para resolver esta integral, vamos chamar u = x+1, du=dx:
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Substituindo u = x+1:
 
Para finalizarmos esta aula, caro(a) aluno(a), vamos ver um exemplo, em que os fatores 
de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, sendo que alguns dos fatores quadráticos se 
repetem. Neste caso, o fator quadrático ax2+bx+c de q(x), corresponderá a uma soma de 
frações parciais da forma:
Exemplo 11.4: Vamos calcular ∫ dx. Neste caso, a forma em frações parciais é:
Multiplicando ambos os lados por x(x2+1)2, temos que:
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Comparando ambos os lados, temos que:
Resolvendo o sistema, concluimos que A=1, B=-1, C=-1, D=1 e E=0 e assim:
Vamos chamar de u = x2+1, du=2x dx → x dx = du na primeira integral e na última integral:
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Substituindo u = x2 +1 no segundo termo e no último, temos que:
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AULA 12
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
 
Caro(a) aluno(a), até o momento, vimos integrais definidas com integrandos contínuos em 
intervalos de integração finitos. E assim, nesta aula, ampliaremos os conceitos de integral 
definida para intervalos infinitos de integração e integrandos com assíntotas verticais dentrodo intervalo de integração.
Integrais impróprias são aquelas com limites de integração infinitos, enquanto que assíntotas 
verticais são denominadas de descontinuidades infinitas. Veja alguns exemplos abaixo:
1. Integrais impróprias com intervalos de integração infinitos:
2. Integrais impróprias com descontinuidades infinitas no intervalo de integração:
3. Integrais impróprias com descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração:
12.1 Integrais sobre intervalos infinitos 
Integrais sobre intervalos infinitos são integrais em domínios ilimitados, na forma
Nestes casos, como infinito não é um número e não pode ser tratado como tal, então não 
podemos fazer a integração definida da forma como fizemos até o momento. As integrais 
acima são calculadas através dos limites, conforme definição abaixo:
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• Se f(x) é contínua em [a,∞), então
Desde que o limite exista.
• Se g(x) é contínua em (-∞,⁡ b], então
Desde que o limite exista.
• Se h(x) é contínua em (-∞,∞), então
Assim, por definição, dizemos que quando os limites existem, a integral imprópria é 
convergente e que o limite é o próprio valor da integral, por outro lado, quando esses limites 
não existem, por exemplo, no caso em que dizemos que a integral 
imprópria é divergente.
 
Exemplo 12.1: Vamos calcular , para isto, devemos utilizar nossos conhecimentos 
de limites e de integrais, e fazer:
Isto significa que a integral converge para .
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Exemplo 12.2: Vamos calcular , para isto, neste caso em que ambos os 
limites são infinitos, precisamos dividir a integral em duas integrais.
Como nós podemos escolher qualquer número real para dividir essa integral em duas, 
vamos convenientemente escolher o ponto b=0, assim:
Isto significa que a integral converge para 0.
Atente-se, caro(a) aluno(a), que em alguns casos, pode ser impossível encontrar o valor 
exato de uma integral imprópria, embora ainda seja importante saber se a mesma converge 
ou diverge. Para estes casos, o teorema abaixo pode ser utilizado (STEWART, 2014):
Definição. Supondo que f e g sejam funções contínuas com f(x)≥g(x)≥0 para x≥a.
a) Se ∫a
∞ f(x) dx é convergente, então ∫a
∞ g(x) dx é convergente.
b) Se ∫a
∞ g(x) dx é divergente, então ∫a
∞ f(x) dx é divergente.
A definição acima é válida tanto para integrais sobre intervalos infinitos como para integrais 
cujos integrandos têm descontinuidades infinitas.
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12.2 Integrais cujos integrandos têm descontinuidades infinitas
Neste estudo, caro(a) aluno(a), consideraremos integrais cujos integrandos têm 
descontinuidades infinitas as seguintes situações:
• Se f(x) é contínua em (a,b] e descontínua em a, então:
• Se g(x) é contínua em [a,b) e descontínua em b, então:
• Se h(x) é contínua em c, onde a<c<b, e contínua em [a,c)⁡(c,⁡ b] então:
Novamente, para estes casos, caro(a) aluno(a), se o limite existir dizemos que a integral 
imprópria converge, e que o limite é o valor da própria integral, no entanto, se o limite não 
existir, então dizemos que a integral imprópria diverge.
Exemplo 12.3: Vamos calcular ∫12 dx, para isto, é importante observar que o integrando 
f(x)= é contínuo em (1,2], descontínuo em x=1, e se torna infinito quando x→1+. Assim:
Logo, podemos concluir que a integral diverge.
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AULA 13
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 
DEFINIDAS: ÁREA ENTRE CURVAS 
E VOLUME
13.1 Área entre curvas
Já estudamos anteriormente, caro(a) aluno(a) ,que as integrais definidas surgiram do 
problema de determinação da área abaixo do gráfico de uma função e acima do eixo x, 
e por isso é natural pensarmos que também podemos utilizar uma integral definida para 
encontrarmos a área entre duas funções contínuas.
Considerando duas funções f(x) e g(x) definidas no intervalo [a,b] (Figura 13.1), então a 
área entre ambas funções é dada pela diferença da área abaixo do gráfico da f(x) e o gráfico 
da área da g(x), ou seja:
A=∫a
b f(x) dx - ∫a
b g(x) dx
=∫a
b [f(x)-g(x)]dx
 
Figura 13.1: S={(x,y) |a≤x≤b,g(x)≤y≤f(x)}. Fonte: Stewart (2014, p. 382).
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Exemplo 13.1: Vamos determinar a área da região limitada acima por f(x)=x2+4, abaixo 
por g(x)=x e nas laterais por x=0 e x=2. Ou seja, o intervalo é de [0,2], conforme ilustrado na 
Figura abaixo:
Figura 13.2: A=∫02 (x2+4)-(x) dx. Fonte: elaborado pela autora.
Assim:
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Exemplo 13.2: Vamos determinar a área entre as funções f(x)=1 e g(x)= cos2 (x) no intervalo 
[0,π]. A área que precisamos encontrar encontra-se na Figura abaixo:
 
Figura 13.3: A=∫0π (1)-(cos2 x) dx. Fonte: elaborado pela autora.
Já sabemos que a área será dada por:
A = ∫0
π (1)-(cos2 x) dx
Para resolvermos esta integral, precisamos nos lembrar que são duas as relações 
trigonométricas que possuem um termo cos2 x:
cos2 x + sen2 x = 1
cos2 x - sen2 x = cos 2x
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Se somarmos ambas as relações, obtemos que:
Assim, temos que:
Para a segunda integral, vamos utilizar a substituição u=2x, du=2 dx→dx= du:
Substituindo u=2x
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13.2 Volume
Caro(a) aluno(a), nós utilizaremos uma integral definida para definirmos o volume de um 
sólido utilizando as áreas de suas seções transversais. Da geometria clássica, sabemos que 
o volume de um sólido cilíndrico é dado por: V=A.h, em que A é a área e h é a altura.
Supondo que S seja um sólido delimitado por dois planos perpendiculares ao eixo x em 
x = a e x = b, então temos que o volume do sólido é dado por:
V=∫a
b A(x) dx
Se para cada x em [a,b], a área da seção transversal S perpendicular ao eixo x for A(x).
Exemplo 13.3: Vamos determinar o volume de uma pirâmide que tem 3 metros de altura 
e uma base quadrada com 3 metros de lado. A seção transversal da pirâmide, perpendicular 
à altura e a x metros abaixo do vértice é um quadado com x metros de lado.
A pirâmide encontra-se ilustrada na Figura abaixo:
Figura 13.3: V=∫03 x
2 dx. Fonte: Thomas et al. (2012, p. 353).
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Do enunciado sabemos que a área transversal em x é um quadrado com x metros, então: 
A(x) = x2. Também sabemos que os quadrados se estendem de x = 0 até x = 3. Assim, temos 
que o volume da pirâmide é dado por:
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AULA 14
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 
DEFINIDAS: SÓLIDOS DE 
REVOLUÇÃO E ÁREA DE UMA 
SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO
 
Caro(a) aluno(a), um sólido de revolução é uma figura sólida obtida a partir da rotação 
de uma curva plana qualquer em torno de alguma linha reta que situa-se no mesmo plano. 
Alguns exemplos encontram-se ilustrados na Figura abaixo, observe:
Figura 14.1: Alguns sólidos de revolução. Fonte: Anton et al. (2007, p. 453)
14.1 Sólidos de revolução: método do disco 
Para determinarmos o volume de um sólido de revolução, precisamos observar que a 
área da seção transversal é dada por:
A(x) = π (raio)2 = π(R(x))2
Logo, o volume é dado por:
V =∫a
b A(x) dx = ∫a
b π(R(x))2 dx
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Anote isso
O método adotado para o cálculo do volume de um sólido de revolução é denominado 
de método do disco, visto queuma seção transversal é um disco circular de raio R(x).
Fonte: Thomas et al. (2012, p. 354).
Exemplo 14.1: Vamos determinar o volume do sólido ilustrado na Figura abaixo: 
Figura 14.2: V=∫04 πx dx. Fonte: Thomas et al. (2009, p. 400).
A partir da Figura acima, podemos inferir que o sólido está entre a curva f(x)=√x, 0≤x≤4 e 
que gira em torno do eixo x.
Assim, temos que o volume do sólido é dado por: 
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14.2 Sólidos de revolução: método do anel 
Caro(a) aluno(a), nem todo sólido de revolução tem interior sólido e para estes casos que 
possuem um orifício no meio, as seções transversais perpendiculares ao eixo de revolução 
são anéias, cuja área é dada pela diferença do raio externo (R) e do raio interno (r), ou seja:
A(x) = π(R(x))2 - π(r(x))2
Logo, o volume do sólido será dado por:
V = ∫a
b π(R(x))2 - π(r(x))^2 dx
Exemplo 14.2: Vamos determinar o volume do sólido ilustrado na Figura abaixo: 
Figura 14.3: V = π∫-21 -x4 - x2 - 6x+8 dx. Fonte: Thomas et al. (2009, p. 403).
A partir da Figura acima podemos inferir que o sólido está entre a região limitada pela 
reta f(x)= -x+3 e pela curva g(x) = x2+1, no intervalo [-2,1], e girando em torno do eixo x.
Isto significa que R(x)= -x+3 e r(x)=x2+1, logo, o volume do sólido será dado por:
CÁLCULO DIFERENCIAL E 
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14.3 Área de uma superfície de revolução
Uma superfície de revolução é uma superfície gerada a partir da rotação de uma curva 
plana em torno de um eixo que situa-se no mesmo plano da curva. Observe alguns exemplos 
ilustrados abaixo:
Figura 14.4: Algumas superfícies de revolução. Fonte: Anton et al. (2007, p. 471).
A área da superfície gerada pela rotação da curva y=f(x) em torno do eixo x é dada por:
Se a função f(x)≥0 é continuamente derivável em [a,b].
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Exemplo 14.3: A curva f(x) = √4-x2, -1≤ x ≤1, é um arco do círculo x2+y2 = 4. Sabendo disso, 
vamos calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.
A área da superfície gerada pela rotação da curva f(x)=√4-x2 em torno do eixo x é dada por:
 pode ser obtido, fazendo:
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AULA 15
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 
DEFINIDAS: COMPRIMENTO DE 
UMA CURVA PLANA Y=F(X) E 
TRABALHO
Caro(a) aluno(a), até o momento nós calculamos áreas e volumes obtidos a partir da 
revolução de uma curva. Assim, nesta aula, veremos que é possível utilizar uma integral 
para calcular o comprimento de uma curva no plano e o trabalho exercido por uma força 
atuando sobre um corpo.
15.1 Comprimento de uma curva plana y=f(x)
 
Para o cálculo do comprimento de uma curva cujo gráfico da função y = f(x) vai de x = a 
até x = b, utilizamos a seguinte expressão:
Exemplo 15.1: Vamos determinar o comprimento da curva f(x)= x3/2 - 1, 0≤ x ≤1. A 
curva encontra-se ilustrada na Figura abaixo, observe:
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Figura 15.1: L=∫01 √1-8x dx. Fonte: elaborado pela autora. 
O comprimento da curva é dado por:
Em que é dado por:
Assim:
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Exemplo 15.1: Considerando a função f(x) = -√x, vamos calcular o comprimento dessa 
curva no intervalo [1,4], conforme Figura abaixo:
Figura 15.2: L= dx. Fonte: elaborada pela autora.
O comprimento da curva é dado por:
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Em que é dado por:
Assim:
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15.2 trabalho
Caro(a) aluno(a), o termo trabalho se refere “a uma força que atua sobre um corpo (ou 
objeto) e ao deslocamento subsequente desse corpo” (THOMAS et al., 2012, p. 381). O 
trabalho W realizado pela força F no deslocamento do corpo a uma distância d pode ser 
expresso como:
W=F.d
Cuja unidade de trabalho é newton-metro (N.m), ou joule (J).
Supondo que um objeto se move no sentido positivo ao longo de um eixo coordenado 
pelo intervalo [a,b], quando sujeito a uma força variável F(x), o trabalho será definido como:
W = ∫a
b F(x) dx
Exemplo 15.2: Quando uma partícula está localizada a uma distância de x metros da 
origem, uma força de x2 + 4x N age sobre ela. Sabendo disso, vamos calcular quanto trabalho 
é realizado movendo-a de x=1 até x=3.
O trabalho será dado por:
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AULA 16
SISTEMAS DE COORDENADAS 
ESPECIAIS
Caro(a) aluno(a), um sistema de coordenadas representa um ponto P no plano por um 
par ordenado de números (chamados de coordenadas). Até o momento, estudamos as 
coordenadas cartesianas (ou coordenadas retangulares). No entanto, em algumas situações, 
é conveniente utilizarmos outros sistemas de coordenadas. No R^2 as coordenadas polares 
são utilizadas; e já no R^3, as coordenadas cilíndricas e esféricas são utilizadas.
16.1 coordenadas polares
As coordenadas polares de um ponto dão a sua posição em função de um ponto referencial 
O chamado de pólo (ou origem) e de um raio que parte do pólo chamado de eixo polar. Neste 
sistema, caro(a) aluno(a), cada ponto P no plano é associado a um par de coordenadas 
polares (r,θ), em que r é a distância de P ao pólo e θ é o ângulo entre o eixo polar e o raio OP. 
Figura 16.1: Sistema de coordenadas polares. Fonte: Stewart (2007, p. 665).
Caro(a) aluno(a), frequentemente é útil sobrepor ao sistema de coordenadas polares um 
sistema de coordenadas retangulares xy de modo que o eixo x positivo coincida com o eixo 
polar. As equações que fazem essa relação são:
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x = r.cosθ
y = r.senθ
x2 + y2 = r2
tg θ= 
Exemplo 16.1: As coordenadas retangulares do ponto P cujas coordenadas polares são 
(r,θ)=(2, ), são:
Ou seja, em coordenadas retangulares, o ponto é (x,y)=(1,√3).
16.2 COORDENADAS CILÍNDRICAS
Caro(a) aluno(a), o sistema de coordenadas cilíndricas é uma generalização do sistema 
de coordenadas polares; ou seja, as coordenadas cilíndricas (r,θ,z) de um ponto no espaço 
são uma composição de coordenadas polares (r,θ) de um ponto no plano xy e o uso da 
mesma coordenada retangular z.
Figura 16.2: As coordenadas cilíndricas de um ponto no espaço são r, θ e z. Fonte: elaborado pela autora.
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Por meio da Figura 16.2, podemos estabelecer as seguintes relações entre coordenadas 
retangulares e coordenadas esféricas:
x=r.cosθ
y=r.senθ
z=z
x2+y2=r2
Exemplo 16.2: As coordenadas retangulares do ponto P com coordenadas cilíndricas 
(r,θ,z)=(4, ,-3) são:
Logo, em coordenadas retangulares, (x,y,z)=(2,2√3,-3). 
16.3 coordenadas esféricas
A Figura 16.3 ilustra o sistema de coordenadas esféricas (ρ,φ,θ) de um ponto P do espaço. 
A componente ρ é a medida da origem ao ponto P, a componente φ é o ângulo entre OP e 
o semi-eixo positivo dos z’s, e a componente θ diz respeito a coordenada angular do ponto 
Q com o eixo dos x’s, em que Q é o ponto obtido da projeção vertical do ponto P sobre o 
plano xy. 
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Figura 16.3: Coordenadas esféricas ρ, φ e θ e sua relação com x, y, z e r. Fonte: Thomas et al. (2012, p. 340).
A conversão de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas resulta em:
x=ρ.sen φ cos θ
y=ρ.sen φ sen θ
z=ρ .cos φ
x2+y2+z2=ρ2
Exemplo 16.3: As coordenadas retangulares do ponto P com coordenadas esféricas 
(ρ,θ,φ)=(4,) são:
Logo, em coordenadas retangulares, (x,y,z)=(√2,√6,2√2).
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CONCLUSÃO
Caro(a) aluno(a), chegamos ao fim da nossa jornada pelo Cálculo Diferencial e Integral 
II. Ao longo da leitura do material, tivemos a oportunidade de nos debruçarmos sobre o 
universo das integrais.
Para relembrar, iniciamos os estudos com o processo de encontrar primitivas de uma 
função de uma variável real, ou seja, o processo de antiderivação, e na sequência, fomos 
introduzidos ao Teorema Fundamental do Cálculo que nos permitiu estabelecer uma conexão 
com o cálculo diferencial e o cálculo integral.
Além de obter algumas fórmulas básicas de integração, nós também vimos algumas 
técnicas que podem ser usadas para o cálculo de integrais mais complexas, como o método 
da substituição e a integração por partes.
Também tivemos a oportunidade de discutir sobre o conceito de integral definida para 
limites de integração infitnitos; essas integrais são chamadas de integrais impróprias.
Finalizamos nossos estudos com aplicações das integrais, como no cálculo de área entre 
curvas, volume, comprimento de uma curva plana e trabalho.
Espero que este material tenha fornecido a você os conceitos fundamentais do cálculo 
integral. A sua participação nas aulas, bem como a leitura das aulas, a resolução dos 
exemplos e exercícios propostos, além da busca por informações complementares nos 
livros recomendados são essenciais para o aprendizado. 
Professora Me. Rebecca Manesco Paixão.
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ELEMENTOS COMPLEMENTARES
LIVRO
Título: Cálculo integral
Organizadora: Daniela Barude Fernandes
Editora: Pearson Education do Brasil
Descrição: sugere-se a leitura da unidade 3 “Integrais imediatas e integral definida” e da 
unidade 4 “Outros métodos de integração, coordenadas e aplicações de integral definida”.
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REFERÊNCIAS
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo v. 1. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 
6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
PINTO, M. M. F. Introdução ao cálculo integral. Belo Horizonte: UFMG,
2009.
STEWART, J. Cálculo v.1. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014.
THOMAS, G. B.; FINNEY, R. L.; WEIR, M. D.; GIORDANO, F. R. Cálculo v. 1. 10. ed. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil: 2009.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS J. Cálculo v. 1. 12. ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil: 2012.