Lista 1 ARA0018 2023 2

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CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS – ARA0018 2023.2 
Prof. MSc. Adjairon Coelho 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1 
 
FUNÇÕES VETORIAIS 
1. Determine o domínio das funções vetoriais: 
a) F(t) = √4 − t2i + e−3tj + ln(t − 1) k b) F(t) =
t − 2
t + 2
 
i + sen(t)j + ln(9 − t2) k 
2. Calcule os limites das seguintes funções vetoriais: 
a) lim
t→0
(e−3ti +
t2
sen2(t)
j + cos(2t) k) b) lim
t→0
(
t2−1
t−1
i + √t − 8 j +
sen(2t)
ln(t)
k) 
c) lim
t→∞
〈 
1+t2
1−t2
, tg−1(t),
1−e−2t
t
 〉 d) lim
t→∞
〈 te−t,
t3+t
2t3−1
, tsen (
1
t
) 〉 
 
3. Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com retas a direção na qual o 
parâmetro t cresce. 
a) r(t) = 〈 sen(t), t 〉 b) r(t) = 〈 1, cos(t) , 2sen(t) 〉 
c) r(t) = 〈 sen(πt), t, cos (πt) 〉 d) r(t) = t2i + tj + 2k 
 
4. Determine a derivada das funções vetoriais: 
a) F(t) = 〈 tsen(t), t2, tcos (2t) 〉 b) F(t) = i − j + e4tk 
c) F(t) =
1
1+t
i +
t
1+t
j +
t2
1+t
k d) F(t) = et
2
i − j + ln(1 + 3t) k 
 
5. Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor do parâmetro t = 0 : 
a) r(t) = 〈 te−2t, 2arctg(t), 2et 〉 b) r(t) = cos(t) i + 3tj + 2sen(2t)k 
 
6. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações 
paramétricas no ponto especificado. 
a) x = 1 + 2√t; y = t3 − t; z = t3 + t; P = (3, 0, 2) 
b) x = et; y = tet; z = tet
2
; P = (1, 0, 0) 
c) x = √t2 + 3; y = ln(t2 + 3) ; z = t; P = (2, ln4, 1) 
 
 
 
2 
7. Calcule a integral 
a) ∫ (ti − t3j + 3t5k)dt
2
0
 
b) ∫ ([3sen(t) cos(t)]i + [3sen(t) cos2(t)]j + [2sen(t) cos(t)]k)dt
π
2
0
 
c) ∫ (cos(πt) j + sen(πt) j + tk)dt
2
0
 
 
8. Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição 
é dada por t. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para 
os vetores de t. 
a) r(t) = t i + t2 j + 2 k; t = 1 b) r(t) = t i + 2 cos(t) j + sen(t) k; t = 0 
 
DERIVADAS PARCIAIS 
9. Encontre as derivadas parciais 
∂f
∂x
 e 
∂f
∂y
. 
a) f(x, y) = 2x2 − 3y − 4 b) f(x, y) = (xy − 1)2 c) f(x, y) = (x3 + (
y
2
))
2
3
 
d) f(x, y) = e–xsen(x + y) e) f(x, y) = exy ln y f) f(x, y) = cos2(3x – y2) 
 
10. Encontre fx, fy e fz. 
a) f(x, y, z) = 1 + xy2 − 2z2 b) f(x, y, z) = xy + yz + xz 
c) f(x, y, z) = x − √y2 + z2 d) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−
1
2 
 
11. Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções: 
a) f(x, y) = x + y + xy b) g(x, y) = sen(xy) c) s(x, y) = xey + y + 1 
d) h(x, y) = x2y + cos y + y sen x e) r(x, y) = ln(x + y) 
 
12. A equação de Laplace tridimensional 
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0 
é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário T = f(x, y, z) no espaço, 
pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace 
bidimensional 
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0 
3 
obtida eliminando-se o termo 
∂2f
∂z2
 da equação anterior, descreve potenciais e distribuições de 
temperatura no estado estacionário no plano. O plano (a) pode ser tratado como uma fatia fina do 
sólido (b) perpendicular ao eixo z. 
 
Mostre que cada função satisfaz uma equação de Laplace: 
a) f(x, y, z) = x2 + y2 − 2z2 b) f(x, y, z) = 2z3 − 3(x2 + y2)z 
c) f(x, y) = e–2y cos(2x) d) f(x, y) = ln√x2 + y2 
 
13. Dados w = x2 + y2, x = cos t, y = sen t; t = π. 
a) Expresse dw/dt como uma função de t, utilizando a regra da cadeia, expressando w em termos 
de t e diferenciando diretamente com relação a t. 
b) Calcule dw/dt no valor dado de t. 
 
14. Dados z = 4exlny, x = ln(u cos(v)), y = usen(v); (u, v) = (2,
π
4
) 
a) Expresse dz/du e dz/dv como funções de u e v utilizando a regra da cadeia e expressando z 
diretamente em termos de u e v antes de diferenciar. 
b) Calcule dz/du e dz/dv no ponto dado (u, v). 
 
15. Encontre os valores de dz/dx e dz/dy nos pontos. 
a) z3 − xy + yz + y3 − 2 = 0, P = (1, 1, 1) 
b) 
1
x
+
1
y
+
1
z
− 1 = 0, P = (2, 3, 6) 
c) sen(x + y) + sen(y + z) + sen(x + z) = 0, P = (π, π, π) 
4 
 
16. Mostre que, se w = f(u, v) satisfaz a equação de Laplace fuuu + fyy = 0 e se u =
x2−y2
2
 e v =
xy, então w satisfaz a equação de Laplace wxx + wyy = 0. 
 
17. Encontre fxyxz das funções: 
a) f(x, y, z) = 125x − 3xy2z3 + x2yz b) f(x, y, z) = ex
2+y2+z2 c) f(x, y, z) = x3yz ∙ e–xyz 
 
18. Seja 
f(x, y) = {
xy2
x2 + y4
, se (x, y) = (0, 0)
 0 , se (x, y) ≠ (0, 0)
 
Mostre que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f não é diferenciável em (0, 0) e que f não é contínua 
em (0, 0). 
 
19. Encontre a derivada parcial da função da lei do gás ideal P(n, R, T, V) =
nRT
V
 com relação a 
cada variável. 
 
20. Se resistores elétricos de R1, R2 e R3 ohms são conectados em paralelo para formar um 
resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a partir da equação: 
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
 
 
 
Encontre o valor de 
∂R
∂R2
 quando R1 = 30 Ω, R2 = 45 Ω e R3 = 90 Ω. 
 
INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 
21. Esboce e descreva as regiões de integração. 
a) 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 2x b) −1 ≤ x ≤ 2; x − 1 ≤ y ≤ x2 
c) −2 ≤ y ≤ 2; y2 ≤ x ≤ 4 d) 0 ≤ y ≤ 1; y ≤ x ≤ 2y 
5 
 
22. Integre f sobre a região dada: 
a) Quadrilátero f(x, y) =
x
y
 sobre a região no primeiro quadrante limitado pelas retas y = x, y = 2x, 
x = 1 e x = 2. 
b) Triângulo f(x, y) = x2 + y2 sobre a região triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). 
c) Triângulo f(u, v) = v − √u sobre a região triangular cortada do primeiro quadrante do plano uv 
pela reta u + v = 1. 
d) Região curvada f(s, t) = es ln t sobre a região no primeiro quadrante do plano st que está acima 
da curva s = ln t de t = 1 a t = 2. 
 
23. Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados, pelo 
plano x = 3 e pelo cilindro parabólico z = 4 − y2. 
 
24. Esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região 
como uma integral dupla iterada e calcule a integral. 
a) Os eixos coordenados e a reta x + y = 2 
b) As retas x = 0, y = 2x e y = 4 
c) A curva y = ex e as retas y = 0, x = 0 e x = ln 2 
d) As curvas y = ln x e y = 2 ln x e a reta x = e, no primeiro quadrante 
 
25. Descreva a região dada em coordenadas polares: 
a) b) 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
26. Substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral 
polar: 
6 
a) ∫ ∫ dy dx
√1−x2
0
1
−1
 b) ∫ ∫ (x2 + y2) dx dy
√1−y2
0
1
0
 
c) ∫ ∫
2
1 + √x2 + y2
 dy dx
0
−√1−x2
0
−1
 d) ∫ ∫ e√x
2+y2 dx dy
√(ln 2)2−y2
0
ln 2
0
 
 
27. Esboce a região de integração e converta cada uma das integrais polares ou soma de integrais 
a uma integral cartesiana ou soma de integrais. Não calcule as integrais! 
a) ∫ ∫ r3 sen θ cos θ dr dθ
1
0
π
2
0
 b) ∫ ∫ r2 cos θ dr dθ
cossec θ
1
π
2
π
6
 
c) ∫ ∫ r5 sen2 θ dr dθ
2 sec θ
0
π
4
0
 d) ∫ ∫ r7dr dθ
3 sec θ
0
tg−1
4
3
0
+ ∫ ∫ r7dr dθ
4 cossec θ
0
π
2
tg−1
4
3
 
 
28. Encontre a área da região que está dentro da cardioide r = 1 + cos θ e fora da circunferência 
r = 1. 
 
29. Encontre a área delimitada por uma pétala da rosa r = 12 cos 3θ. 
 
30. Encontre a área da região delimitada pelo eixo x positivo e a espiral r =
4θ
3
, 0 ≤ θ ≤ 2π. A 
região se assemelha a uma concha de caracol. 
 
31. Aqui está a região de integração da integral. 
∫ ∫ ∫ dz dy dx
1−y
1
1
x2
1
−1
 
 
 
 
 
Reescreva a integral como uma integral iterada equivalente na ordem: 
a) dy dz dx b) dy dx dz c) dx dy dz 
d) dx dz dy e) dz dx dy 
 
32. Encontre o volume da região entre o cilindro z = y2 e o plano xy que é delimitada pelos planos 
x = 0, x = 1, y= −1, y = 1: 
7 
 
 
33. Encontre o volume da região cortada do cilindro x2 + y2 = 4, pelo plano z = 0 e o plano x +
z = 3. 
 
34. Encontre o centro de massa de uma placa fina de densidade δ = 3 delimitada pelas retas x =
0, y = x e a parábola y = 2 − x2 no primeiro quadrante. 
 
35. Encontre os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados de uma placa fina 
retangular de densidade constante δ delimitada pelas retas x = 3 e y = 3 no primeiro quadrante. 
 
36. Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas. 
a) ∫ ∫ ∫ dz r dr dθ
√2−r2
r
1
0
2π
0
 b) ∫ ∫ ∫ dz r dr dθ
√2−r2
r2
3
3
0
2π
0
 
c) ∫ ∫ ∫ dz r dr dθ
3+24r2
0
θ
2π
0
2π
0
 d) ∫ ∫ ∫ z dz r dr dθ
3√4−r2
−√4−r2
θ
π
0
π
0
 
 
37. Calcule as integrais em coordenadas esféricas: 
a) ∫ ∫ ∫ ρ2 sen ϕ dρ dϕ dθ
2 sen ϕ
0
π
0
π
0
 b) ∫ ∫ ∫ (ρ cos ϕ) ρ2 sen ϕ dρ dϕ dθ
2
0
π
4
0
2π
0
 
c) ∫ ∫ ∫ ρ2 sen ϕ dρ dϕ dθ
1−cos ϕ
2
0
π
0
2π
0
 d) ∫ ∫ ∫ 3ρ2 sen ϕ dρ dϕ dθ
2
sec ϕ
π
3
0
2π
0
 
 
 
 
8 
INTEGRAL DE LINHA E TEOREMA DE GREEN 
38. Encontre o Jacobiano e a região transformada no plano. 
a) Resolva o sistema u = x − y, v = 2x + y para x e y em termos de u e v. Em seguida, encontre o 
valor do jacobiano 
∂(x,y)
∂(u,v)
. 
b) Encontre a imagem pela transformação u = x − y , v = 2x + y da região triangular com vértices 
(0, 0), (1, 1) e (1, −2) no plano xy. Esboce a região transformada no plano uv. 
 
39. A região entre os planos x + y + 2z = 2 e 2x + 2y + z = 4 no primeiro octante. 
 
40. A região finita delimitada pelos planos z = x, x + z = 8, z = y, y = 8 e z = 0. 
 
41. Calcule ∫ (x + y)ds
 
C
, em que C é o segmento de reta x = t, y = (1 − t), z = 0, de (0, 1, 0) a 
(1, 0, 0). 
 
42. Calcule ∫ (x − y + z − 2)ds
 
C
, em que C é o segmento de reta x = t, y = (1 − t), z = 1, de 
(0, 1, 1) a (1, 0, 1). 
 
43. Calcule ∫ (xy + y + z)ds
 
C
 ao longo da curva r(t) = 2ti + tj + (2 − 2t)k, 0 ≤ t ≤ 1. 
 
44. Calcule ∫ √x2 + y2ds
 
C
 ao longo da curva r(t) = (4 cos t)i + (4 sen t)j + 3tk, −2π ≤ t ≤ 2π. 
 
45. Integre f(x, y, z) = x + √y − z2 sobre o caminho entre (0, 0, 0) e (1, 1, 1). Veja a figura dado 
por: 
C1: r(t) = tk, 0 ≤ t ≤ 1 
C2: r(t) = tj + k, 0 ≤ t ≤ 1 
C3: r(t) = ti + j + k, 0 ≤ t ≤ 1 
 
 
 
46. Calcule ∫
1
x2+y2+1
ds
 
C
, em que C é dado pela figura a seguir: 
 
 
 
 
9 
47. Encontre os campos gradientes das funções. 
a) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1/2 b) f(x, y, z) = ln √x2 + y2 + z2 
c) f(x, y, z) = ez − ln(x2 + y2) d) f(x, y, z) = xy + yz + xz 
 
48. Quais os campos são conservativos e quais não são? 
a) F = yzi + xzj + xyk d) F = (y sen z)i + (x sen z)j + (xy cos z)k 
b) F = yi + (x + z)j − yk e) F = −yi + xj 
c) F = (z + y)i + zj + (y + x)k f) F = (ex cos y)i − (ex sen y)j + zk 
 
49. Verifique a conclusão do Teorema de Green calculando ambos os lados das equações 3 e 4 
para o campo F = Mi + Nj. Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco 
R: x2 + y2 ≤ a2 e sua circunferência de fronteira C: r = (a cos t)i + (a sen t)j, 0 ≤ t ≤ 2π. 
a) F = −yi + xj b) F = yi c) F = 2xi − 3yj d) F = −x2yi + xy2j 
 
50. Utilize o Teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior 
para o campo F e a curva C. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) d)