Resolução - Lista 7

Prévia do material em texto

Resoluções da Lista 7 
 
1 - Equações de Bernoulli são da forma: nyxQyxP
x
y
)()( 


, com 0n e 1n . 
a) xyy
x
y
x 

 22 
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação de Bernoulli, por isso devemos multiplicar tudo 
por 2x . 
 )( 222 


xxyy
x
y
x 
x
y
yx
dx
dy
  22  22 yx
x
y
dx
dy  
A equação obtida é uma equação de Bernoulli, com 
2)(
1
)(


xxQ
x
xP
 
Terceiro Passo: 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
)( 222   yyx
x
y
dx
dy
 
2
1
2 

  x
x
y
dx
dy
y 
 
Quarto Passo: 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
1 yt  
x
y
y
x
t




 2 . 
 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no terceiro passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por – 1. 
 

2
1
2 

  x
x
y
dx
dy
y  1 
2
1
2 

  x
x
y
dx
dy
y . 
 
Quinto passo: 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na quarta etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
2
1
2 

  x
x
y
dx
dy
y  2


x
x
t
x
t
 
 
Sexto Passo: 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
2





x
x
uv
x
u
v
x
v
u 
 
Sétimo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
2





x
x
uv
x
u
v
x
v
u  
2











x
x
u
v
x
v
x
v
u . 
 
1º) 0


x
v
x
v
 
x
v
x
v



 



x
x
v
v
 xLnvLn   1 xLnvLn  1 xv . 
 
2º) 2


x
x
u
v  21  


x
x
u
x )(x  


x
x
u  CxLnu  
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 
)(1 CxLnxt    
x
CxLn
t

 . 
Oitavo Passo: 
 
Nosso Objetivo era encontrar o valor de y, por isso, voltamos na substituição 
1 yt e substituímos 
t pelo valor encontrado acima. 
 
x
CxLn
y

1 , logo o valor de y é o inverso do valor de t. 
CLnx
x
y

 
 
Resposta final: 
CLnx
x
y

 
 
b) 
2
1
y
y
x
y
x 


 
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação de Bernoulli, por isso devemos multiplicar tudo 
por 1x . 
 )(
1 1
2



x
y
y
x
y
x  21 


yx
x
y
x
y
 
A equação obtida é uma equação de Bernoulli, com 
1)(
1
)(


xxQ
x
xP
 
Terceiro Passo: 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
)( 221 yyx
x
y
dx
dy
   
1
3
2  x
x
y
dx
dy
y 
 
Quarto Passo: 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
3yt   
x
y
y
x
t




 23 . 
 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no terceiro passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por 3, que é o valor da constante 
encontrada na derivada. 
 
 )3(
1
3
2  x
x
y
dx
dy
y  
xx
y
dx
dy
y
33
3
3
2  . 
 
Quinto passo: 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na terceira etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
xx
y
dx
dy
y
33
3
3
2   
xx
t
dx
dt 33
 
 
Sexto Passo: 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
xx
uv
x
u
v
x
v
u
33






 
 
Sétimo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
xx
uv
x
u
v
x
v
u
33






 
xx
u
v
x
v
x
v
u
33












. 
 
1º) 0
3



x
v
x
v
 
x
v
x
v 3



 



x
x
v
v
3  xLnvLn 3  
3 xLnvLn  3 xv . 
 
2º) 
xx
u
v
3



 
xx
u
x
33 

 )( 3x    xxu
23  Cxu  3 
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 
)( 33 Cxxt    31  Cxt . 
 
Oitavo Passo: 
 
Nosso Objetivo era encontrar o valor de y, por isso, voltamos na substituição 
3yt  e substituímos t 
pelo valor encontrado acima. 
 
33 1  Cxy 
 
Resposta final: 
33 1  Cxy 
 
c) x
xyxy
y
3
2
2



 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação de Bernoulli, por isso devemos multiplicar tudo 
por 1x . 
 x
xyxy
y
3
2
2



)( 2y  23
2
xy
x
y
x
y



 
A equação obtida é uma equação de Bernoulli, com 
xxQ
x
xP
3)(
2
)(


 
Terceiro Passo: 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
 2232 


yxy
x
y
x
y
 x
x
y
dx
dy
y 3
2 12 


 
 
Quarto Passo: 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
1 yt  
x
y
y
x
t




 2 . 
 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no terceiro passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por – 1, que é o valor da constante 
encontrada na derivada. 
 
  13
2 12 

 x
x
y
dx
dy
y  x
x
y
dx
dy
y 3
2 12 


. 
 
Quinto passo: 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na terceira etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
x
x
y
dx
dy
y 3
2 12 


  x
x
t
dx
dt
3
2
 
 
Sexto Passo: 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
x
x
uv
x
u
v
x
v
u 3
2






 
 
Sétimo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
x
x
uv
x
u
v
x
v
u 3
2






 x
x
u
v
x
v
x
v
u 3
2












. 
 
1º) 0
2



x
v
x
v
 
x
v
x
v 2



 



x
x
v
v
2  xLnvLn 2  
2 xLnvLn  2 xv . 
 
2º) x
x
u
v 3


 x
x
u
x 32 

 )( 2x    xxu
33  C
x
u 


4
3 4
 
4
3 4xK
u

 
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 





 
 
4
3 42 xKxt  




 

4
31 4
2
xK
x
t  
2
4
4
3
x
xK
t

 
 
Oitavo Passo: 
 
Nosso Objetivo era encontrar o valor de y, por isso, voltamos na substituição 
1 yt e substituímos 
t pelo valor encontrado acima. 
 
1 yt  2
4
1
4
3
x
xK
y

  
4
2
3
4
xK
x
y

 
 
Resposta final: 4
2
3
4
xK
x
y

 
 
d) 3612 yxyx
x
y


  
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação de Bernoulli. 
A equação já se encontra dessa forma com 
6)(
2
)(
xxQ
x
xP


 
 
Terceiro Passo: 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
)(2 3361  


yyxyxx
y
 6213 2 xyx
x
y
y 

  
 
Quarto Passo: 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
2 yt  
x
y
y
x
t




 32 . 
 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no terceiro passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por 2 . 
 
  22 6213 

  xyx
x
y
y  6213 242 xyx
x
y
y 


  . 
 
Quinto passo: 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na terceira etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
6213 242 xyx
x
y
y 


   
6
2
24 x
x
y
x
t


 
 
 
Sexto Passo: 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
624 x
x
uv
x
u
v
x
v
u 





 
 
Sétimo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
 
624 x
x
uv
x
u
v
x
v
u 





 
624 x
x
u
v
x
v
x
v
u 











. 
 
1º) 04 


x
v
x
v
 
x
v
x
v 4



 



x
x
v
v
4  xLnvLn 4  
4xLnvLn   4xv  . 
 
2º) 62x
x
u
v 


 64 2x
x
u
x 

 )( 4 x    xxu
22  C
x
u 


3
2 3
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 








 C
x
xt
3
2 34
 





 

3
2 34 xKxt  




 

3
2 74 xKx
t 
Oitavo Passo: 
 
Nosso Objetivo era encontrar o valor de y, por isso, voltamos na substituição 
2 yt e substituímos 
t pelo valor encontrado acima. 
3
2 742 xKxy

 , logo o valor de y é o inverso do valor de t. 
74
2
2
3
xKx
y

 
 
Resposta final: 
74
2
2
3
xKx
y

 
 
e) 3
2
xyy
xx
y



 
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação de Bernoulli. 
A equação já se encontra dessa forma com 
3)(
2
)(
xyxQ
x
xP


 
 
Terceiro Passo: 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
32 xyy
xx
y




332 


yxyy
xx
y
 xy
xdx
dy
y   23
2
 
 
Quarto Passo: 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
2 yt  
x
y
y
x
t




 32 . 
 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no terceiro passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por 2 
 
  2
2 23   xy
xdx
dy
y  xy
xdx
dy
y 2
4
2 23   . 
 
Quinto passo: 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na terceira etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
xy
xdx
dy
y 2
4
2 23    x
x
t
x
t
2
4



 
 
Sexto Passo: 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
x
x
uv
x
u
v
x
v
u 2
4






 
 
Sétimo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
 
x
x
uv
x
u
v
x
v
u 2
4






 x
x
u
v
x
v
x
v
u 2
4












. 
 
1º) 0
4



x
v
x
v
 
x
v
x
v 4



 



x
x
v
v
4  xLnvLn 4  
4xLnvLn   4xv  . 
 
2º) x
x
u
v 2


 x
x
u
x 24 

 )( 4 x   
 xxu 32  C
x
u 
2
1
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 






 C
x
xt
2
4 1
  42 Cxxt  
Oitavo Passo: 
 
Nosso Objetivo era encontrar o valor de y, por isso, voltamos na substituição 
2 yt e substituímos 
t pelo valor encontrado acima. 
 
422 Cxxy  , logo o valor de y é o inverso do valor de t. 
42
2 1
Cxx
y

 , substituindo na solução geral as condições dadas 1)1( y , encontramos: 
Resposta Final: 
42
2 1
Cxx
y

 
 
f) 12
1 


yxy
xx
y
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação de Bernoulli. 
A equação já se encontra dessa forma com 
2)(
1
)(
xxQ
x
xP


 
 
Terceiro Passo: 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
)(
1 12 yyxy
xx
y


 
 22
1
xy
xx
y
y 


 
 
Quarto Passo: 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
2yt   
x
y
y
x
t





2 . 
 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no terceiro passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por 2 . 
 
  2
1 22 


xy
xx
y
y  22 2
2
2 xy
xx
y
y 


 
 
Quinto passo: 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na terceira etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
22 2
2
2 xy
xx
y
y 


  222 x
x
t
x
t



 
 
Sexto Passo: 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
222 x
x
uv
x
u
v
x
v
u 





 
 
Sétimo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
 
222 x
x
uv
x
u
v
x
v
u 





 
222 x
x
u
v
x
v
x
v
u 











. 
 
1º) 02 


x
v
x
v
 
x
v
x
v 2



 



x
x
v
v
2  xLnvLn 2  
2 xLnvLn  2 xv . 
 
2º) 22x
x
u
v 


 22 2x
x
u
x 

 )( 2x    xxu
52  C
x
u 
5
2 5
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 






  C
x
xt
5
2 52
 





 
 
5
2 52 xKxt  




 

5
21 5
2
xK
x
t  




 

2
5
5
2
x
xK
t 
Oitavo Passo: 
 
Nosso Objetivo era encontrar o valor de y, por isso, voltamos na substituição 
2yt  e substituímos t 
pelo valor encontrado acima. 
 
2
5
2
5
2
x
xK
y

 
Resposta final: 
2
5
2
5
2
x
xK
y

 
 
g) 0
2 3 


 xyy
xx
y
1)1( y 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação de Bernoulli, por isso devemos multiplicar tudo 
por 1 e mudar 
3xy de lado. 
 0
2 3 


 xyy
xx
y
 )1(
2 3 


 xyy
xx
y

32 xyy
xx
y



 
A equação obtida é uma equação de Bernoulli, com 
3)(
2
)(
xyxQ
x
xP


 
Terceiro Passo: 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
32 xyy
xx
y




332 


yxyy
xx
y
 xy
xdx
dy
y   23
2
 
 
Quarto Passo: 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
2 yt  
x
y
y
x
t




 32 . 
 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no terceiro passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por 2 
 
  2
2 23   xy
xdx
dy
y  xy
xdx
dy
y 2
4
2 23   . 
 
Quintopasso: 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na terceira etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
xy
xdx
dy
y 2
4
2 23    x
x
t
x
t
2
4



 
 
Sexto Passo: 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
x
x
uv
x
u
v
x
v
u 2
4






 
 
Sétimo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
 
x
x
uv
x
u
v
x
v
u 2
4






 x
x
u
v
x
v
x
v
u 2
4












. 
 
1º) 0
4



x
v
x
v
 
x
v
x
v 4



 



x
x
v
v
4  xLnvLn 4  
4xLnvLn   4xv  . 
 
2º) x
x
u
v 2


 x
x
u
x 24 

 )( 4 x   
 xxu 32  C
x
u 
2
1
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 






 C
x
xt
2
4 1
  42 Cxxt  
Oitavo Passo: 
 
Nosso Objetivo era encontrar o valor de y, por isso, voltamos na substituição 
2 yt e substituímos 
t pelo valor encontrado acima. 
 
422 Cxxy  , logo o valor de y é o inverso do valor de t. 
42
2 1
Cxx
y

 , substituindo na solução geral as condições dadas 1)1( y , encontramos: 
 
42
2 1
Cxx
y

  42
2
)1()1(
1
)1(
C
  
C

1
1
1  11 C  0C , logo: 
Resposta final: 
2
2 1
x
y  
 
h) 
2
2
y
x
x
y
x
y



 
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação de Bernoulli, para isso, vamos multiplicar a 
equação por 
2
1
, no intuito de eliminar o número 2 do lado da derivada. 
2
2
y
x
x
y
x
y










2
1
 
222 y
x
x
y
x
y



 
222 y
x
x
y
x
y



 
A equação já se encontra dessa forma com 
2
)(
2
1
)(
x
xQ
x
xP


 
 
Terceiro Passo: 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
222 y
x
x
y
x
y


 2y  
22
3
2 x
x
y
x
y
y 


 
 
Quarto Passo: 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
3yt   
x
y
y
x
t




 23 . 
 Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no terceiro passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por 3 . 
 
  3
22
3
2 

 x
x
y
x
y
y  
2
3
2
3
3
3
2 x
x
y
x
y
y 


. 
 
Quinto passo: 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na terceira etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
2
3
2
3
3
3
2 x
x
y
x
y
y 


  
2
3
2
3 x
x
t
x
t



 
 
Sexto Passo: 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
2
3
2
3 x
x
uv
x
u
v
x
v
u 





 
 
Sétimo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
 
2
3
2
3 x
x
uv
x
u
v
x
v
u 





 
2
3
2
3 x
x
u
v
x
v
x
v
u 











. 
 
1º) 0
2
3



x
v
x
v
 
x
v
x
v
2
3



 



x
x
v
v
2
3
 xLnvLn
2
3
  
2
3
xLnvLn   2
3
xv  . 
 
2º) 
2
3x
x
u
v 


 
2
3
2
3
x
x
u
x 












2
3
x   

xxu 2
1
2
3
 Cxu  2
1
3 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 








 Cxxt 2
1
2
3
3  2
3
23 Cxxt  
Oitavo Passo: 
 
Nosso Objetivo era encontrar o valor de y, por isso, voltamos na substituição 
3yt  e substituímos t 
pelo valor encontrado acima. 
 
2
3
23 3 Cxxy   323 3 xCxy  
Resposta final: 323 3 xCxy  
 
i) 
3
32
'
x
y
y
x
y   
3
32
x
y
y
xx
y


 3 y  
3
23 12
x
y
xx
y
y 

  
2 yt  
x
y
y
x
t




 32 . 
 
3
23 12
x
y
xx
y
y 

  2  
3
23 242
x
y
xx
y
y 


   
3
24
xx
t
x
t



 
3
24
xx
uv
x
u
v
x
v
u 





 
3
24
xx
uv
x
u
v
x
v
u 





 
3
24
xx
u
v
x
v
x
v
u 











 
 
1º 0
4



x
v
x
v

x
v
x
v 4



 



x
x
v
v
4  xLnvLn 4  4xLnvLn   4xv  
2º 
3
2
xx
z
v 


  
3
2
xx
z
t 


 xxzx  34 2 4 x  xxz  7   
 xxz 7  C
x
z 
63
1
 
6
6
3
1
x
Kx
z

  uvt   




 

6
6
4
3
1
x
Kx
xt  
2
6
3
1
x
Kx
t

  
2 yt  
2
6
2
3
1
x
Kx
y

  
1
3
6
2
2


Kx
x
y 
 
j) 
32' xyxyy  
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
32 xyxy
x
y



 
Segundo Passo: 
A equação já se encontra na forma de Bernoulli. 
A equação obtida é uma equação de Bernoulli, com 
xxQ
xxP


)(
2)(
 
Terceiro Passo: 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
)(2 33 


yxyxy
x
y
 xxy
dx
dy
y   23 2 . 
 
Quarto Passo: 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
2 yt  
x
y
y
x
t




 32 . 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no terceiro passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por 2 . 
  22 23   xxy
dx
dy
y  xxy
dx
dy
y 242 23   . 
 
Quinto passo: 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na terceira etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
xxy
dx
dy
y 242 23    xxt
x
t
24 


 
 
Sexto Passo: 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
xxuv
x
u
v
x
v
u 24 





 
 
Sétimo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
 
xxuv
x
u
v
x
v
u 24 





 x
x
u
vxv
x
v
u 24 











. 
 
1º) 04 


xv
x
v
 xv
x
v
4


  

xx
v
v
4  
22xvLn   
22xev  . 
 
2º) x
x
u
v 2


 x
x
u
e x
2
1
22



 xxeu
x 
222    xxeu
x222  Ceu x 
22
2
1
 
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 






 Ce
e
t x
x
2
2
2
2 2
11
 






 

2
21
2
2
2
2
Ce
e
t
x
x
 






 

2
2
2
2
2 x
x
e
eK
t 
 
Oitavo Passo: 
 
Nosso Objetivo era encontrar o valor de y, por isso, voltamos na substituição 
2 yt e substituímos 
t pelo valor encontrado acima. 
 
2
2
2
2
2
2 x
x
e
eK
y

 , logo o valor de y2 é o inverso do valor de t. 
2
2
2
2
2
2 x
x
e
eK
y

  
2
2
2
2
2 2
x
x
eK
e
y

 (colocando o sinal de negativo em evidência) 
 
Resposta Final: 2
2
2
2
2 2
x
x
eK
e
y

 
 
k) Lnxyy
x
y
x 2


 
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação de Bernoulli, por isso devemos dividir tudo por 
x. 
 )(2 xLnxyy
x
y
x 



x
xLny
x
y
dx
dy
2
 
A equação obtida é uma equação de Bernoulli, com 
x
xLn
xQ
x
xP


)(
1
)(
 
Terceiro Passo: 
Devemos eliminaro acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
 2
2
 y
x
xLny
x
y
dx
dy
 
x
xLn
x
y
dx
dy
y 


1
2
. 
 
Quarto Passo: 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
1 yt  
x
y
y
x
t




 2 . 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no terceiro passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por – 1. 
 
  1
1
2 


x
xLn
x
y
dx
dy
y  
x
xLn
x
y
dx
dy
y 


1
2
 
 
Quinto passo: 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na terceira etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
x
xLn
x
y
dx
dy
y 


1
2
  
x
xLn
x
t
x
t



 
 
Sexto Passo: 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
x
xLn
x
uv
x
u
v
x
v
u 





 
Sétimo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
 
x
xLn
x
uv
x
u
v
x
v
u 





 
x
xLn
x
u
v
x
v
x
v
u 











. 
 
1º) 0


x
v
x
v
 
x
v
x
v



 



x
x
v
v
 xLnvLn   xv  . 
 
2º) 
x
xLn
x
u
v 


 
x
xLn
x
u
x 



2x
xxLn
u

   
 xxLnxu 2 
 
Obs:   
 xxLnx 2 
 
Para resolver essa integral, devemos seguir os passos sugerido pelo problema: 
C
n
u
Lnu
n
u
uduu
nn
n 





 2
11
)1(1
ln 
 
C
x
Lnx
x
xxLnx 






 2
1212
2
)12(12
 C
x
Lnx
x
xxLnx 






 2
11
2
)1(1
 
C
xx
Lnx
xxLnx 
 12 
 
 Levando o valor encontrado na expressão do 2º caso. 
 
 xxLnxu 2  C
xx
Lnx
u 






1
 C
xx
Lnx
u 
1
 
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 






 C
xx
Lnx
xt
1
 CxLnxt  1 . 
 
Oitavo Passo: 
 
Nosso Objetivo era encontrar o valor de y, por isso, voltamos na substituição 
1 yt e substituímos 
t pelo valor encontrado acima. 
 
CxLnxy  11 , logo o valor de y é o inverso do valor de t. 
CxLnx
y


1
1
 
Podemos substituir 1 por eLn , pois quando a base do logaritmo é igual ao logaritmando o resultado 
é 1. E aplicamos a propriedade do logaritmo. 
CxeLnLnx
y


1
 
CxxeLn
y


1
 
Resposta final: 
CxxeLn
y


1
 
l) 
254' yexy
x
y x  25
4
yexy
xx
y x

 2 y  xexy
xx
y
y 512
4


  
1 yt  
x
y
y
x
t




 2 . 

xexy
xx
y
y 512
4


  1  xexy
xx
y
y 512
4



   xex
x
t
x
t 54 


 xex
x
uv
x
u
v
x
v
u 5
4






 
xex
x
uv
x
u
v
x
v
u 5
4






 xex
x
u
v
x
v
x
v
u 5
4












 
 
1º 0
4



x
v
x
v

x
v
x
v 4



 



x
x
v
v
4  xLnvLn 4  4xLnvLn   4xv  
2º xex
x
z
v 5


  xexzx x 54 4 x  xxez x    xxez
x
 Cexez xx  
uvt    Cexext xx  4  445 Cxexext xx  
1 yt  4451 Cxexexy xx   
445
1
Cxexex
y
xx 
 
m) 2xyy
x
y



 
 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
2xyy
x
y


 )( 2 y  xy
x
y
y 

  12 
 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
1 yt  
x
y
y
x
t




 2 . 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no quarto passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por – 1. 
  112 

  xy
x
y
y  xy
x
y
y 


  12 . 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na quarta etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
xy
x
y
y 


  12  xt
x
t



 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
xuv
x
u
v
x
v
u 





 
 
Oitavo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
 
xuv
x
u
v
x
v
u 





 x
x
u
vv
x
v
u 











. 
 
1º) 0


v
x
v
 v
x
v



 x
v
v


  

x
v
v
 xvLn   xev  
2º) x
x
u
v 


 x
x
u
e x 

 xe    xxeu
x
 Cexeu xx  
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 
 Cexe
e
t xx
x

1






 

x
xx
e
Cexe
t 
 
Para encontrar o valor de t voltamos na substituição 1 yt e substituímos t pelo valor encontrado 
acima. 
x
xx
e
Cexe
y

1 , logo o valor de y é o inverso do valor de t . 
Resposta Final: 
Cxee
e
y
xx
x

 
 
n)    3223 10231 xxyyx
x
y
x 


  
   3
2
3
2
1
2
1
3
x
xy
x
yx
x
y






 Equação de Bernoulli 
 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
   3
2
3
2
1
2
1
3
x
xy
x
yx
x
y





 )( 2 y  
   33
12
2
1
2
1
3
x
x
x
yx
x
y
y





  
 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
1 yt  
x
y
y
x
t




 2 . 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no quarto passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por – 1. 
 
 
   
 1
1
2
1
3
33
12
2 





 
x
x
x
yx
x
y
y 
   33
12
2
1
2
1
3
x
x
x
yx
x
y
y








 . 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na quarta etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
   33
12
2
1
2
1
3
x
x
x
yx
x
y
y









 
   33
2
1
2
1
3
x
x
x
tx
x
t






 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
   33
2
1
2
1
3
x
x
x
uvx
x
u
v
x
v
u









 
 
Oitavo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
 
   33
2
1
2
1
3
x
x
x
uvx
x
u
v
x
v
u









 
 33
2
1
2
1
3
x
x
x
u
v
x
vx
x
v
u














. 
 
1º) 0
1
3
3
2





x
vx
x
v
 3
2
1
3
x
vx
x
v




 3
2
1
3
x
xx
v
v




  



3
2
1
3
x
xx
v
v
 
31 xLnvLn     131  xLnvLn    131  xv . 2
2
3
2
2
3
2
3
3
1
3
3
1
3
*
x
w
xx
x
w
xw
w
w
w
x
w
x
x
xx












 




 
 
2º) 
 31
2
x
x
x
u
v




 
   33 1
2
1
1
x
x
x
u
x 




   xxu 2  Cxu 
2 
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 








3
2
1
1
)(
x
Cxt  
13
2



x
Cx
t . 
 
Para encontrar o valor de t voltamos na substituição 1 yt e substituímos t pelo valor encontrado 
acima. 
13
2
1



x
Cx
y , logo o valor de y é o inverso do valor de t . 
Resposta Final: 
Cx
x
y



2
3 1
 
 
 
o) 2
2
y
x
y
x
y


 
 
Mudando 
x
y2
de lado e tornamos a expressão em uma equação de Bernoulli. 
22 y
x
y
x
y



 2
2
y
x
y
x
y



 Equação de Bernoulli 
 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
22 y
x
y
x
y


 )( 2 y  1
2 12 

 
x
y
x
y
y 
 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
1 yt  
x
y
y
x
t




 2 . 
 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no quarto passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por – 1. 
 
  11
2 12 

 
x
y
x
y
y  1
2 12 





x
y
x
y
y . 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na quarta etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
1
2 12 





x
y
x
y
y  1
2



x
t
x
t
 
 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
1
2






x
uv
x
u
v
x
v
u 
 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
1
2






x
uv
x
u
v
x
v
u  1
2












x
u
v
x
v
x
v
u . 
 
1º) 0
2



x
v
x
v
 
x
v
x
v 2




x
x
v
v 

 2
 



x
x
v
v 2
 xLnvLn 2  2 xLnvLn 

2 xv . 
 
2º) 
xx
u
v
1



 1
1
2



x
u
x
   xxu
2
 C
x
u 
3
3
 
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 






 C
x
x
t
3
1 3
2






 

3
31 3
2
Cx
x
t  




 

2
3
3x
xK
t 
 
Nono Passo: 
Para encontrar o valor de t voltamos na substituição 1 yt e substituímos t pelo valor encontrado 
acima. 
2
3
1
3x
xK
y

 , logo o valor de y é o inverso do valor de t . 
Resposta Final: 3
23
xK
x
y

 
 
P) 
x
y
x
y
x
y 22



 
 
Mudando 
x
y2
de lado e tornamos a expressão em uma equação de Bernoulli. 
x
y
x
y
x
z 22



 
x
y
x
y
x
y 22



 Equação de Bernoulli 
 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
x
y
x
y
x
y 22



)( 2 y  
xx
y
x
y
y
12 12 

 
 
 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
1 yt  
x
y
y
x
t




 2 . 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no quarto passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por – 1. 
 
  1
12 12 

 
xx
y
x
y
y 
xx
y
x
y
y
12 12 





. 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na quarta etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
xx
y
x
y
y
12 12 





 
xx
t
x
t 12



 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
xx
uv
x
u
v
x
v
u
12






 
 
Oitavo Passo: 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
 
xx
uv
x
u
v
x
v
u
12






 
xx
u
v
x
v
x
v
u
12












. 
 
1º) 0
2



x
v
x
v
 
x
v
x
v 2




x
x
v
v 

 2
 



x
x
v
v 2
 
xLnvLn 2  2 xLnvLn  2 xv . 
 
2º) 
xx
u
v
1



 
xx
u
x
11
2



   xxu  C
x
u 
2
2
 
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 






 C
x
x
t
2
1 2
2






 

2
21 2
2
Cx
x
t  




 

2
2
2x
xK
t 
 
Nono Passo: 
 
Para encontrar o valor de t voltamos na substituição 1 yt e substituímos t pelo valor encontrado 
acima. 
2
2
1
2x
xK
y

 , logo o valor de y é o inverso do valor de t . 
Resposta Final: 2
22
xK
x
y

 
 
q) 2yy
x
y



 
 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
2yy
x
y


 )( 2 y  112 

  y
x
y
y 
 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
1 yt  
x
y
y
x
t




 2 . 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no quarto passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por – 1. 
 
  1112 

  y
x
y
y  112 


  y
x
y
y . 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na quarta etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
 
112 


  y
x
y
y  1


t
x
t
 
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
1





uv
x
u
v
x
v
u 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
1





uv
x
u
v
x
v
u  1











x
u
vv
x
v
u . 
 
1º) 0


v
x
v
 v
x
v



 x
v
v


  

x
v
v
 xvLn   xev  
2º) 1


x
u
v  1


x
u
e x
xe   
 xeu x  Ceu x   
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 
)( Ceet xx   
xCet  1 
 
Para encontrar o valor de t voltamos na substituição 1 yt e substituímos t pelo valor encontrado 
acima. 
xCey  11 , logo o valor de y é o inverso do valor de t . 
Resposta Final: 
1
1


xCe
y 
 
r) 23 yy
x
y



 
 
Devemos eliminar o acompanhante de )(xQ , por isso multiplicamos pelo seu inverso. 
23 yy
x
y


 )( 2 y  13 12 

  y
x
y
y 
 
Fazemos uma mudança de variável, onde chamaremos o acompanhante de )(xP de t e o derivaremos 
em função de x . 
 
1 yt  
x
z
y
x
t




 2 . 
 
Podemos observar que a primeira parte da equação encontrada no quarto passo é semelhante do 
resultado encontrado na derivada de t, o que significa que estamos no caminho certo. Para que os 
resultados sejam iguais, devemos multiplicar toda a equação por – 1. 
 
  113 12 

  y
x
y
y  13 12 


  y
x
y
y . 
 
Devemos fazer as substituições encontradas, no valor representado na quarta etapa. De modo que 
ela fique na forma de uma equação linear. 
13 12 


  y
x
y
y  13 


t
x
t
 
Como a equação acima é uma equação linear, fazemos a substituição da variável t por uv e derivá-lo 
em relação a x. 

x
u
v
x
v
u
x
t
uvt









 
 
13 





uv
x
u
v
x
v
u 
 
Seguiremos os passos para resolução de uma equação linear pelo método de Lagrange. 
13 





uv
x
u
v
x
v
u  13 











x
u
vv
x
v
u . 
 
1º) 03 


v
x
v
 v
x
v
3


 x
v
v


3   

x
v
v
3  xvLn 3  xev 3 
2º) 1


x
u
v  13 


x
u
e x
xe3    xeu
x3
 C
e
u
x

3
3
 
3
3xeK
u

 
 
Como uvt  , fazemos agora a substituição de u e v pelos valores encontrados. 
 





 
 
3
3
3
x
x eKet  




 

3
1 3
3
x
x
eK
e
t  
x
x
e
eK
t
3
3
3

 
 
Para encontrar o valor de t voltamos na substituição 1 yt e substituímost pelo valor encontrado 
acima. 
x
x
e
eK
y
3
3
1
3

 , logo o valor de y é o inverso do valor de t . 
Resposta Final: 
x
x
eK
e
y
3
33

