FENOMENOS_DE_TRANSPORTE_4

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FENOMENOS DE TRANSPORTE 4 - UFSCar 
Prof. Roger Valeri Daleffe - Período: 2º Sem. 2007. Alunos: 41. Turma: 102040 A. Quarta (14h) 
 
AULA VIII 
 
8. CAMADA LIMITE (Escoamentos Externos) 
8.1 O Conceito da Camada Limite 
O conceito de camada-limite foi introduzido originariamente em 1904, por Ludwig Prandtl, 
um alemão estudioso da aerodinâmica. Prandtl mostrou que muitos escoamentos viscosos podem 
ser analisados dividindo o escoamento em duas regiões, uma perto das fronteiras sólidas e a outra 
cobrindo o resto do escoamento. Apenas na delgada região adjacente a uma fronteira sólida (a 
camada-limite) o efeito da viscosidade é importante. Na região fora da camada-limite o efeito da 
viscosidade é desprezível, e o fluido pode ser tratado como não-viscoso. 
O conceito de camada-limite forneceu o elo que faltava entre a teoria e a prática 
(principalmente, ele introduziu a possibilidade teórica do arrasto*). Além disso, o conceito de 
camada-limite permitiu a solução de problemas de escoamentos viscosos, o que seria impossível pela 
aplicação das equações de Navier-Stokes ao campo completo do escoamento. Desse modo, a 
introdução do conceito de camada-limite marcou o começo da era moderna da mecânica dos fluidos. 
 
*Na dinâmica dos fluidos, arrasto é a força (FA) que faz 
resistência ao movimento de um objeto sólido através de um 
fluido (um líquido ou gás). O arrasto é composto de forças de 
fricção (atrito), que agem em direção paralela à superfície do 
objeto (primariamente pelos seus lados, já que as forças de fricção 
da frente e de trás se anulam), e de forças de pressão, que atuam 
em uma direção perpendicular à superfície do objeto 
(primariamente na frente e atrás, já que as forças de pressão se 
cancelam nas laterais do objeto). 
 
21
2
A AF C Vρ= A 
 
“F A nada mais é que a força que o escoamento exerce sobre o 
corpo em sua própria direção.” 
 
 
O coeficiente de arrasto CA (também chamado de coeficiente de 
resistência aerodinâmica, Cx) e por vezes apelidado simplesmente 
coeficiente aerodinâmico ou ainda de coeficiente de atrito 
superficial (Cf) permite quantificar a força de resistência ao ar por 
parte de uma dada superfície. 
 Um objeto caindo em um gás ou 
líquido é sujeito a uma força em 
sentido oposto ao seu movimento. 
A velocidade terminal é alcançada 
quando a força de arrasto é igual 
em módulo à força da gravidade 
que empurra o objeto para baixo. 
 
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Terminal_Velocity.png�
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Na camada-limite, tanto as forças viscosas quanto as forças de inércia são importantes. Por 
conseguinte, não é surpreendente que o número de Reynolds (que representa a razão entre as forças de 
inércia e as forças viscosas) seja significativo na caracterização dos escoamentos em camada limite. O 
comprimento característico usado no número de Reynolds ou é o comprimento na direção do escoamento 
no qual a camada-limite se desenvolveu ou é alguma medida da espessura da camada-limite. 
Como acontece nos escoamentos em dutos, o escoamento de camada-limite pode ser 
laminar ou turbulento. Não há valor único do número de Reynolds para o qual ocorre a transição de 
escoamento laminar para turbulento em uma camada-limite. Entre os fatores que afetam a transição 
de camada-limite estão o gradiente de pressão, a rugosidade superficial, a transferência de calor, as 
forças de campo e as perturbações da corrente livre. Considerações detalhadas desses efeitos estão 
além dos nossos objetivos aqui. 
Em muitas situações de escoamento real, uma camada-limite se desenvolve sobre uma 
superfície longa, essencialmente plana. A borda da camada-limite, com espessura indicada por 
δ(x), não pode ser observada em um escoamento real; ela será definida arbitrariamente como o 
conjunto de pontos nos quais a velocidade é igual a 99% da velocidade da corrente livre (a 
velocidade da corrente livre é a velocidade do escoamento não-viscoso, U∞), como mostrado na 
Figura 1. Assim, a camada limite é definida como a região próxima ao sólido em que o fluido 
“sente” a presença do sólido, ou 
( )
( ) 0,99
U x
x
U
δ
∞
= = (109) 
 
Figura 1: Definição de espessura de uma camada-limite. 
 
 69
A camada limite começa com um escoamento laminar de espessura zero na borda frontal de 
uma placa plana, como mostrada na Figura 2, ou com uma espessura finita no ponto de estagnação 
de um objeto rombudo ou aerofólio (Figura 3). 
 
Figura 2: Camada-limite com transição 
 
 
Figura 3: Escoamento ao redor de um corpo rombudo e um corpo carenado. 
 
 70
Após uma distância xT que depende da velocidade da corrente livre, da viscosidade, do 
gradiente de pressão, da rugosidade da parede, do nível de flutuação na corrente livre e da rigidez 
da parede, o escoamento laminar passa por um processo de transição que resulta, após uma pequena 
distância, em escoamento turbulento, como representado. 
Para o escoamento sobre placas rígidas lisas com baixa intensidade de flutuação na corrente 
livre com gradiente de pressão zero, 
5
,Re 5 10
T
x c
U xρ
μ∞= = × (110) 
 
Para o escoamento sobre placas rígidas rugosas ou com alta intensidade de flutuação na 
corrente livre com gradiente de pressão zero, 
5
,Re 3 10
T
x c
U xρ
μ∞= = × (111) 
 
A grandeza 
U xρ
μ∞ é o número de Reynolds local e T
U xρ
μ∞ é o número de Reynolds crítico. 
O escoamento até xT é considerado laminar e, após xT turbulento, pois a região de transição 
normalmente é curta e por isso, ignorada nos cálculos. 
 
8.2 Equações para o perfil de velocidades na camada-limite laminar sobre uma placa plana 
Considerações: 
- camada limite bidimensional (x e y); 
- fluido incompressível; 
- escoamento em regime permanente; 
- forças de campo desprezíveis. 
 Simplificando as equações do Balanço Diferencial de Massa e do Balanço Diferencial de 
Quantidade de Movimento (Equação de Navier-Stokes na direção x), e aplicando a Resolução de 
Blasius, obtemos as equações para os perfis de velocidade em x e em y: 
 
x
df
U U
dη∞= 
1
2
y
U df
U f
x d
ν η η∞
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
U
y
x
η ν ∞= ⋅ 
2
2s
U d f
U
x d
τ μ ν η∞∞= ⋅ (112) 
Na parede 0,332s
U
U
x
ρμτ ∞∞= (113) 
sendo que as variáveis η, f , df
dη e 
2
2
d f
dη são obtidas da Tabela 1, a seguir: 
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Tabela 1: Funções da camada limite para uma placa plana 
 
Nomenclatura para as Equações (112): U = u e U∞ = u∞. 
Equações adicionais: 
1/2
, 1/2
, 2
0,664 0,664Re
2
s x
f x x
U x
C
U
τ ρ
ρ μ
−
−∞
∞
⎛ ⎞≡ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ (coeficiente de atrito superficial local, laminar) 
1/2
, 1/2
, 2
1,328 1,328Re
2
s x
f x x
U x
C
U
τ ρ
ρ μ
−
−∞
∞
⎛ ⎞≡ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ (coeficiente de atrito superficial médio, laminar) 
5 5
/ Rex
x
U x
δ ν∞= =⋅ (espessura da camada limite, laminar) 
1/5
1/5
, 0,0592 0,0592Ref x x
U x
C
ρ
μ
−
−∞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ (coeficiente de atrito superficial local, turbulento, Rex < 10
8
) 
1/5 1
, 0,074 Re 1742 Ref L LC
−= − L− (coef. de atrito superficial médio, mixto (lam+turb), Rex,c = 5×105, ReL < 108) 
1/5
, 0,074 Ref L LC
−= (coef. de atrito superficial médio, mixto (lam+turb), Rex,c = 5×105, ReL < 108)* 
1/50,38 Rexxδ −= ⋅ (espessura da camada limite, mixto (laminar+turbulento))* 
*Consideração quando L >> xT (camada laminar muito curta) 
A força de arraste é dada por: 2,
1
2
A f xF C U Aρ ∞= 
 72
Exemplo 30: Estime a espessura da camada-limite na extremidade de uma superfície plana de 4 m 
de comprimento, caso a velocidade do escoamento livre seja U∞ = 5 m/s. Utilize ar atmosférico a 
30ºC. Calcule também a força de arrasto, caso a superfície tenha 5 m de largura. (a) Despreze a 
porção laminar do escoamento e (b) leve em conta a porção laminar usando Recrít = 5 X 10
5
. 
 
 
 
 
Exemplo 31: O ar atmosférico a 30 ºC escoa sobre uma placa plana de 8 m de comprimento e 2 m 
de largura, a 2 m/s. Suponhaque exista escoamento laminar na camada-limite em todo o 
comprimento. Em x = 8 m, calcule (a) o valor máximo de Ux, (b) o cisalhamento na parede e (c) a 
vazão na camada. (d) Além disso, calcule a força de arrasto sobre a placa.