ET77J_Aula08_Sistema_PU_R02 (1)

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ET77J – Sistemas de Potência 1
Sistema Por Unidade (p.u.)
Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto 
ET77J – Sistemas de Potência 1
Objetivo da Aula
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 Apresentar a representação dos parâmetros
elétricos do Sistema Elétrico de Potência (SEP)
utilizando o sistema em por unidade (p.u.).
ET77J – Sistemas de Potência 1
Conteúdo Programático
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 Definição de p.u.;
 Vantagens da utilização do sistema p.u.;
 Grandezas utilizadas pela representação em 
p.u.;
 Equacionamento básico.
ET77J – Sistemas de Potência 1
Construção de Conhecimento 
Esperado
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 Desenvolver proficiência na representação de
parâmetros elétricos do SEP a partir da
representação em por unidade (p.u.).
ET77J – Sistemas de Potência 1
Idéia Geral
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SE
P
Múltiplos 
Equipamentos
Vários níveis de 
tensão
Dados possuem 
vários referenciais 
Referencial 
Comum
Facilidade na 
representação e análise 
do SEP
Pré-Processamento 
da informação
ET77J – Sistemas de Potência 1
Premissa
 Considere o sistema radial exemplo:
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“Região I”
Nível de 
tensão I
“Região II”
Nível de 
tensão II
“Região III”
Nível de 
tensão III
ET77J – Sistemas de Potência 1
Premissa
 Para o sistema radial exemplo:
– SEP formado pela interconexão de vários
equipamentos;
– Valores distintos de tensão e potência ao longo do
SEP;
• Análise trabalhosa, considerando os valores “reais” das
grandezas.
– Necessário, para cada barra de interesse, referenciar as
impedâncias de todos os equipamentos àquele nível de tensão
(multiplicar a impedância pela relação de espiras ao quadrado).
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ET77J – Sistemas de Potência 1
Definição de p.u.
 Valor em por unidade (p.u.):
– É a relação entre o valor de um grandeza de
interesse e o valor base da mesma grandeza,
escolhido como referência*.
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𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑝𝑝 =
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑟𝑟𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑑𝑑𝑟𝑟𝑔𝑔𝑉𝑉
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑏𝑏𝑉𝑉𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑑𝑑𝑟𝑟𝑔𝑔𝑉𝑉
*arbitrário
ET77J – Sistemas de Potência 1
Sistema p.u.
 As principais vantagens no uso de p.u. são:
– Simplificação dos cálculos – todas as grandezas
estão na mesma base;
– Não é necessário referir todas as impedâncias a um
mesmo nível de tensão;
– Valores das impedâncias de equipamentos em p.u.
são dados de placa;
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ET77J – Sistemas de Potência 1
Sistema p.u.
 As principais vantagens no uso de p.u. são:
– Necessita apenas do valor em p.u. da impedância do
transformador sem referir a qualquer enrolamento;
– Útil para simular computacionalmente o
comportamento do SEP em regime permanente e em
condição de transitório;
– O resultado dos cálculos em p.u. é expresso em p.u.
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ET77J – Sistemas de Potência 1
Sistema p.u.
 As principais vantagens no uso de p.u. são:
– A representação em p.u. resulta em dados mais
significativos e facilmente correlacionáveis;
– Menos chance de confundir grandezas trifásicas
com monofásicas.
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ET77J – Sistemas de Potência 1
Sistema p.u.
 Valores base das grandezas elétricas do SEP:
– Tensão (V)
– Corrente (I)
– Potência aparente (S)
– Impedância (Z)
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É necessário escolher
apenas duas grandezas
para que as demais fiquem
definidas
Usualmente (V) e (S)
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Sistema p.u.
 Relação entre as grandezas – sistema
monofásico
– Definidos 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅ e 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅:
• Corrente
• Impedância
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𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅ =
𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅
𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅ =
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅
𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅
=
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅
𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅
=
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅
2
𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅
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Sistema p.u.
 Relação entre as grandezas – sistema trifásico
equilibrado
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Vbf
Ibf
Vbff
𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏3∅ = 3 � 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏3∅ = 3 � 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏3∅ = 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1∅ = 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏
𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 =
𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏3∅
3𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏3∅
𝐼𝐼𝑏𝑏 = 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏
ET77J – Sistemas de Potência 1
Sistema p.u.
 Relação entre as grandezas – sistema trifásico
equilibrado
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Vbf
Ibf
Vbff
𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 =
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏3∅
3𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
=
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏3∅
3
𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏3∅
3𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏3∅
=
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏3∅
2
𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏3∅
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Sistema p.u.
 A potência aparente é utilizada como base,
dessa forma:
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Sistema p.u.
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 Mudança base – método de conversão dos dados de
placa dos equipamentos em p.u. para uma base
comum, geralmente, a do sistema em estudo.
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 Mudança base – necessária para adequar os
dados de placa de um equipamento a base
escolhida.
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Sistema p.u.
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 Para transformador com dois enrolamentos
𝑍𝑍𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑝𝑝𝑝𝑝) =
𝑍𝑍𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑍𝑍𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴
=
𝑍𝑍𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑉𝑉2𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑍𝑍𝐵𝐵𝐴𝐴(𝑝𝑝𝑝𝑝) =
𝑍𝑍𝐵𝐵𝐴𝐴
𝑍𝑍𝑏𝑏𝐵𝐵𝐴𝐴
=
𝑍𝑍𝐵𝐵𝐴𝐴
𝑉𝑉2𝑏𝑏𝐵𝐵𝐴𝐴
𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑍𝑍𝐵𝐵𝐴𝐴(𝑝𝑝𝑝𝑝) =
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
2
× 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑉𝑉2𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
= 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑉𝑉2𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
=𝑍𝑍𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑝𝑝𝑝𝑝)
𝑍𝑍𝐴𝐴(𝑝𝑝𝑝𝑝) = 𝑍𝑍𝐵𝐵𝐴𝐴(𝑝𝑝𝑝𝑝)=𝑍𝑍𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑝𝑝𝑝𝑝)
(2)
Referenciando 𝑍𝑍𝐴𝐴𝐴𝐴 ao secundário: 
(1)
(3)
Substituindo (3) em (2):
𝑍𝑍𝐵𝐵𝐴𝐴 =
𝑉𝑉𝑏𝑏𝐵𝐵𝐴𝐴
𝑉𝑉𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴
2
× 𝑍𝑍𝐴𝐴𝐴𝐴
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 Banco de transformadores monofásicos
– Ligação Delta-Delta
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 Banco de transformadores monofásicos
– Ligação Estrela-Estrela
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Sistema p.u.
22
 Banco de transformadores monofásicos
– Ligação Delta-Estrela
ET77J – Sistemas de Potência 1
Sistema p.u.
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 Banco de transformadores monofásicos
– Ligação Estrela-Delta
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Sistema p.u.
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 Banco de transformadores monofásicos
– Exemplo banco 150 MW 230/69/13.8KV conectado
em estrela. Reserva=1/3 da 
potência total 
do banco
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 Banco de transformadores monofásicos
– Banco ligado em Y-Y
𝑆𝑆𝑏𝑏 3∅ = 3 × 𝑆𝑆𝑏𝑏 1∅
𝑉𝑉𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴 3∅ = 3 × 𝑉𝑉𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴 1∅
𝑉𝑉𝑏𝑏𝐵𝐵𝐴𝐴 3∅ = 3 × 𝑉𝑉𝐵𝐵𝐴𝐴 1∅
𝑋𝑋𝐴𝐴(3∅)𝑝𝑝𝑝𝑝 =
𝑋𝑋𝐴𝐴Ω/𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑋𝑋𝑏𝑏(3𝜙𝜙)
=
𝑋𝑋𝐴𝐴Ω/𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑉𝑉2𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴(3𝜙𝜙)
𝑆𝑆𝑏𝑏(3𝜙𝜙)
𝑋𝑋𝐴𝐴(3𝜙𝜙)𝑝𝑝𝑝𝑝 =
𝑋𝑋𝐴𝐴(1𝜙𝜙)
𝑉𝑉2𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴(1𝜙𝜙)
𝑆𝑆𝑏𝑏(1𝜙𝜙)
= 𝑋𝑋𝐴𝐴(1𝜙𝜙)𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑋𝑋𝐴𝐴 3𝜙𝜙 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑋𝑋𝐴𝐴(1𝜙𝜙)𝑝𝑝𝑝𝑝
(2)
(3)
Substituindo (1) e (2) em (3):
(1)
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 Banco de transformadores monofásicos
– Banco ligado em Delta-Delta
𝑆𝑆𝑏𝑏 3∅ = 3 × 𝑆𝑆𝑏𝑏 1∅
𝑉𝑉𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴 3∅ = 𝑉𝑉𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴 1∅
𝑉𝑉𝑏𝑏𝐵𝐵𝐴𝐴 3∅ = 𝑉𝑉𝐵𝐵𝐴𝐴 1∅
𝑍𝑍𝑌𝑌 =
𝑍𝑍Δ
3
𝑋𝑋𝐴𝐴(3∅)𝑝𝑝𝑝𝑝 =
𝑋𝑋𝐴𝐴Δ(3𝜙𝜙)
3𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴
=
𝑋𝑋𝐴𝐴Δ(3𝜙𝜙)
3
𝑉𝑉2𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴(3𝜙𝜙)
𝑆𝑆𝑏𝑏(3𝜙𝜙)
𝑋𝑋𝐴𝐴(3𝜙𝜙)𝑝𝑝𝑝𝑝 =
𝑋𝑋𝐴𝐴(1𝜙𝜙)
3𝑉𝑉2𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴(1𝜙𝜙)
3𝑆𝑆𝑏𝑏(1𝜙𝜙)
=
𝑋𝑋𝐴𝐴(1𝜙𝜙)
𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(1𝜙𝜙)
= 𝑋𝑋𝐴𝐴(1𝜙𝜙)𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑋𝑋𝐴𝐴 3𝜙𝜙 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑋𝑋𝐴𝐴(1𝜙𝜙)𝑝𝑝𝑝𝑝
Substituindo pelos valores 
monofásicos:
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Sistema p.u.
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 Banco de transformadores monofásicos
– Banco ligado em Estrela-Delta
𝑆𝑆𝑏𝑏 3∅ = 3 × 𝑆𝑆𝑏𝑏 1∅
𝑉𝑉𝑏𝑏𝑌𝑌 = 3 × 𝑉𝑉𝐵𝐵𝐴𝐴 1∅
𝑉𝑉𝑏𝑏∆ = 𝑉𝑉𝑏𝑏𝐴𝐴𝐴𝐴 1∅
Analisando pelo lado Y, recai-se no mesmo caso da ligação em Y-Y.
Analisando pelo lado do Delta, recai-se no mesmo caso da ligação em
Delta-Delta.
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 Transformação Delta↔Estrela
Delta→Estrela Estrela→Delta
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 Transformador com três enrolamentosP S
T
P
S
T
ZP
ZS
ZTNeutro
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 Por fim,
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Referências bibliográficas
 STEVENSON, William D.. Elementos de análise de sistemas de potencia. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil,
1978. 347 p.
 MONTICELLI, Alcir Jose; GARCIA, Ariovaldo. Introdução a sistemas de energia elétrica. Campinas, SP:
UNICAMP, c2003. 251 p.
 KAGAN, Nelson; Oliveira, Carlos C. B.; Robba, Ernesto J.. Introdução aos Sistemas de Distribuição de Energia
Elétrica. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 2005. 328 p.
 ALMEIDA, Antônio T. L.; COGO, João R.; ABREU, José P. G.. Transformadores – Testes e Ensaios. Itajubá: FUPAI.
 _. Tour Por La Subestacion Los Brillantes, 2012. Disponível em
http://losbrillantes400kvetceeinde.blogspot.com.br/. Acesso em 21 de Set. 2016.
 BENEDITO, R. A. S. ET77J – Sistemas de Potência 1. Notas de aula. UTFPR, 2015, Curitiba.
 CASTRO, C. A. IT 720 - Sistemas de Energia Elétrica I. Notas de aula. Unicamp, 2019, Campinas.
 BARBOSA, Daniel. Notas de Aula – Sistemas Elétricos de Potência. UFBA, 2017, Salvador.
 ALMEIDA, Alvaro A. W.; Notas de Aula em Sistemas Elétricos de Potência. UTFPR, 2017, Curitiba.
31
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Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto – ucnetto@utfpr.edu.br
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	Sistema Por Unidade (p.u.)
	Objetivo da Aula
	Conteúdo Programático
	Construção de Conhecimento Esperado
	Idéia Geral
	Premissa
	Premissa
	Definição de p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Sistema p.u.
	Referências bibliográficas
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