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1 Profa. Me. Alessandra Azzolini CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS Aula 5 DERIVADAS PARCIAIS e REGRA DA CADEIRA PARA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Profa. Me. Alessandra Azzolini 2 Profa. Me. Alessandra Azzolini DERIVADAS PARCIAIS Este símbolo d curvado, ∂, chamado "del", é usado para distinguir derivadas parciais das derivadas ordinárias de uma variável. A razão para um novo tipo de derivada é que quando a entrada de uma função é composta de múltiplas variáveis, queremos ver como a função muda quando deixamos apenas uma dessas variáveis mudar enquanto mantemos todas as outras constantes. Exemplo 1: Para uma função multivariável, como 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦. 3 Profa. Me. Alessandra Azzolini Exemplo 2: 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 + 𝒚² A notação que usamos é a seguinte: Derivada parcial de 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒙: 𝝏𝒇(𝒙,𝒚) 𝝏𝒙 = 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) = 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 Derivada parcial de 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒚: 𝝏𝒇(𝒙,𝒚) 𝝏𝒙 = 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚) = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 Exemplo 3: 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝒆𝒙𝒚 A notação que usamos é a seguinte: Derivada parcial de 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒙: 𝝏𝒇(𝒙,𝒚) 𝝏𝒙 = 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) = 𝒚𝟑 + 𝟔𝒙𝒚 + 𝒚𝒆𝒙𝒚 Derivada parcial de 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒚: 𝝏𝒇(𝒙,𝒚) 𝝏𝒙 = 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝒆𝒙𝒚 4 Profa. Me. Alessandra Azzolini 1) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função: 𝒂) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑: 𝝏𝒇 𝝏𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝒚 𝝏𝒇 𝝏𝒚 = 𝒙 + 𝟐𝒚 𝒃) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝒙𝟑 + 𝟓𝒚𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑: 𝝏𝒇 𝝏𝒙 = 𝟗𝒙² 𝝏𝒇 𝝏𝒚 = 𝟐𝟎𝒚³ 𝒄)𝒛 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) 𝟏 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑: 𝝏𝒛 𝝏𝒙 = 𝟐𝒙. 𝟏 𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) 𝟏 𝟐 −𝟏 𝝏𝒛 𝝏𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)− 𝟏 𝟐 𝝏𝒛 𝝏𝒙 = 𝒙 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) 𝟏 𝟐 𝝏𝒛 𝝏𝒙 = 𝒙 √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝝏𝒛 𝝏𝒚 = 𝒚 √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 5 Profa. Me. Alessandra Azzolini 𝒅) 𝒇(𝒙, 𝒚) = (𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑: 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = (𝟐𝒙 − 𝒚). 𝟒(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)𝟑 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = (𝟖𝒙 − 𝟒𝒚)(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)𝟑 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = (−𝒙 + 𝟐𝒚)𝟒(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)𝟑 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = (−𝟒𝒙 + 𝟖𝒚)(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)𝟑 𝒆) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟑+𝒚𝟐 𝒙𝟐+𝒚𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑: 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐) ′ . (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐). (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)′ (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)² 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = (𝟑𝒙² + 𝟎) . (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐). (𝟐𝒙 + 𝟎) (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)² 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = 𝟑𝒙𝟐. (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐). 𝟐𝒙 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) 𝟐 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝒚² (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) 𝟐 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚² (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) 𝟐 6 Profa. Me. Alessandra Azzolini 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐) ′ . (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐). (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)′ (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)² 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = 𝟐𝒚. (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟐). 𝟐𝒚 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)² 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = (𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟐𝒚𝟑 ) − (𝟐𝒙𝟑𝒚 + 𝟐𝒚𝟑 ) (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)² 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = 𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟐𝒚𝟑 − 𝟐𝒙𝟑𝒚 − 𝟐𝒚𝟑 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)² 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = 𝟐𝒙𝟐𝒚 − 𝟐𝒙𝟑𝒚 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)² 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = 𝟐𝒙²𝒚(𝟏 − 𝒙) (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) 𝟐 𝒇) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) 𝑹𝒆𝒔𝒑: 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = 𝟐𝒙. 𝟏 𝟏 + (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)² 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = 𝟐𝒙 𝟏 + (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)² 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = 𝟐𝒚. 𝟏 𝟏 + (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)² 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = 𝟐𝒚 𝟏 + (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)² 𝑶𝒃𝒔: (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝒖))′ = 𝟏 𝟏 + 𝒖² 7 Profa. Me. Alessandra Azzolini 𝒈) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟓𝒙𝟒𝒚𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 + 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑: 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = 𝟐𝟎𝒙𝟑𝒚𝟐 + 𝒚³ 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = 𝟏𝟎𝒙𝟒𝒚 + 𝟑𝒚²𝒙 𝒉) 𝒛 = 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒙 . 𝒚 ) 𝑹𝒆𝒔𝒑: 𝝏𝒛 𝝏𝒙 = −𝒚. 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝒚) 𝝏𝒛 𝝏𝒚 = −𝒙. 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝒚) 𝒊) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒆−𝒙𝟐−𝒚𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑: 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = −𝟐𝒙𝒆−𝒙𝟐−𝒚𝟐 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = −𝟐𝒚𝒆−𝒙𝟐−𝒚𝟐 𝒋) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚 𝑹𝒆𝒔𝒑: 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = 𝒚𝒙𝒚−𝟏 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = 𝒙𝒚𝒍𝒏(𝒙) 𝒌)𝒇(𝒙, 𝒚) = √𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 + 𝟑 𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑: 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = 𝟑𝒙² 𝟑√(𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 + 𝟑)𝟐𝟑 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 = 𝒙² √(𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 + 𝟑)𝟐𝟑 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 = 𝟐𝒚 𝟑√(𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 + 𝟑)𝟐𝟑 8 Profa. Me. Alessandra Azzolini Exemplo 4: 𝒇𝒚(𝟐, 𝟏) =8 2) Suponhamos que a quantidade de batata demandada por semana (em kg) num supermercado seja função do seu preço unitário x (por kg) e do preço unitário y (por kg) de arroz, de acordo com a relação 𝑞 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1000 − 2𝑥2 + 15𝑦. 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = −4𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (3, 4) = −12 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 15 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (3, 4) = 15 3) Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑦2. Determine a derivada parcial, calcule 𝑓𝑥(3, 2) 𝑒 𝑓𝑦(3, 2). 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 2𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (3, 2) = 6 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 6𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (3, 2) = 12 4) Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦2. Determine a derivada parcial, calcule 𝑓𝑥(−1, 2) 𝑒 𝑓𝑦(−1, 2). 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 4𝑦² 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (−1,2) = 16 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 8𝑥𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (−1,2) = −16 9 Profa. Me. Alessandra Azzolini 5) Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦. a) Calcule 𝑓𝑥(10, 15). 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 6𝑥𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (10, 15) = 900 b) Calcule 𝑓𝑦(10, 15). 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 3𝑥² 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (10, 15) = 300 Funções de Mais de Duas Variáveis As derivadas parciais também podem ser definidas para funções de três ou mais variáveis. Por exemplo, se f é uma função de três variáveis x, y e z, então sua derivada parcial em relação a x é definida como e é determinada pela relação de y e z como constantes e derivando f (x, y, z) em relação a x. 10 Profa. Me. Alessandra Azzolini 6) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função: 𝒂) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝟐𝒚 − 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒚𝒛 𝝏𝒇 𝝏𝒙 = 𝟐𝒙𝒚 − 𝟑𝒚² 𝝏𝒇 𝝏𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙𝒚 + 𝟐𝒛 𝝏𝒇 𝝏𝒛 = 𝟐𝒚 7) Calcule as derivadas parciais 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 𝑒 𝑓𝑧 para as seguintes funções: 𝒂) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟔𝒛 𝝏𝒇 𝝏𝒙 = 𝟑 𝝏𝒇 𝝏𝒚 = 𝟓 𝝏𝒇 𝝏𝒛 = −𝟔 𝒃) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒆𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐 𝝏𝒇 𝝏𝒙 = 𝟐𝒙𝒆𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐 𝝏𝒇 𝝏𝒚 = 𝟐𝒚𝒆𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐 𝝏𝒇 𝝏𝒛 = 𝟐𝒛𝒆𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐 11 Profa. Me. Alessandra Azzolini Derivadas de Ordem Mais Alta Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais fx e fy são funções de duas variáveis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais (fx)x, (fx)y, (fy)x e (fy)y, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f. Se z = f (x, y), usamos a seguinte notação: Portanto, a notação fxy (ou ∂2f / ∂y ∂x) significa que primeiro derivamos com relação a x e, depois em relação a y, ao passo que no cálculo de fyx a ordem é invertida. 8) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem para as funções: 𝒂) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒇𝒙 = 𝟒𝒙 𝒇𝒚 = 𝟐𝒚 𝒇𝒙𝒙 = 𝟒 𝒇𝒚𝒙 = 𝟎 𝒇𝒙𝒚 = 𝟎 𝒇𝒚𝒚 = 𝟐 12 Profa. Me. Alessandra Azzolini 𝒃) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝒚 => 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙. 𝒚−𝟏 𝒇𝒙 = 𝟏 𝒚 = 𝒚−𝟏 𝒇𝒚 = − 𝒙 𝒚𝟐 = −𝒙𝒚−𝟐𝒇𝒙𝒙 = 𝟎 𝒇𝒚𝒙 = − 𝟏 𝒚𝟐 𝒇𝒙𝒚 = − 𝟏 𝒚² = −𝒚−𝟐 𝒇𝒚𝒚 = 𝟐𝒙𝒚−𝟑 = 𝟐𝒙 𝒚³ 𝒄) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒚) 𝒇𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝒇𝒚 = −𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒚) 𝒇𝒙𝒙 = −𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒇𝒚𝒙 = 𝟎 𝒇𝒙𝒚 = 𝟎 𝒇𝒚𝒚 = −𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒚) Interpretações das Parciais Derivadas 13 Profa. Me. Alessandra Azzolini Equações Diferenciais Parciais As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. A equação de onda descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, uma onda sonora, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Por exemplo, se u(x, t) representa o deslocamento da corda vibrante de violino no instante t e à distância x de uma extremidade da corda (como na Figura 8), então u(x, t) satisfaz a equação de onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada nela. As equações diferenciais parciais que envolvem as funções de três variáveis também são muito importantes na ciência e na engenharia. A equação tridimensional de Laplace é E um lugar em que ocorre é na geofísica. Se u(x, y, z) representa a força do campo magnético na posição (x, y, z), então ela satisfaz a Equação 5. A força do campo magnético indica a distribuição de minérios ricos em ferro e reflete diferentes tipos de rochas e a localização de falhas. 14 Profa. Me. Alessandra Azzolini A Regra da Cadeia Função Composta A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta. Para funções de uma única variável, se y = f(x) e x = g(t), tem-se 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒕 se ambas f e g forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem-se: Exemplo 1 𝒚 = 𝒙𝟑 𝒆𝒎 𝒒𝒖𝒆 𝒙 = 𝟐𝒕𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝒚 = 𝒙𝟑 𝒆𝒎 𝒒𝒖𝒆 𝒙 = 𝟐𝒕𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝟑𝒙𝟐. 𝟒𝒕 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝟑(𝟐𝒕²)𝟐. 𝟒𝒕 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝟑. 𝟒𝒕𝟒. 𝟒𝒕 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝟒𝟖𝒕𝟓 𝒚 = 𝒙𝟑 𝒆𝒎 𝒒𝒖𝒆 𝒙 = 𝟐𝒕𝟐 𝒚 = (𝟐𝒕𝟐)𝟑 𝒚 = 𝟖𝒕𝟔 𝒚′ = 𝟒𝟖𝒕𝟓 Exercício 1) O raio r de uma esfera está variando com o tempo, a uma taxa constante de 4 cm/s. Com que taxa está variando o volume da esfera no instante que r=3 cm? Volume da esfera 𝑉 = 4π𝑟3 3 . 𝑉 = 4π𝑟3 3 𝑡𝑎𝑥𝑎 = 4 𝑐𝑚 𝑠 => 4𝑡 𝒅𝑽 𝒅𝒕 = 𝒅𝑽 𝒅𝒓 . 𝒅𝒓 𝒅𝒕 15 Profa. Me. Alessandra Azzolini 𝒅𝑽 𝒅𝒕 = 4π3𝑟2 3 . 4 𝒅𝑽 𝒅𝒕 = 4π𝑟2. 4 𝒅𝑽 𝒅𝒕 = 16π𝑟2 𝒅𝑽 𝒅𝒕 = 16π. 32 𝒅𝑽 𝒅𝒕 = 144π Regra da Cadeia - Caso I Suponha que z = f(x, y) seja uma função diferenciável de x e y, em que x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de t e 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝝏𝒇 𝝏𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝏𝒇 𝝏𝒚 . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 O primeiro caso de regra de cadeia para funções de várias variáveis, quando temos a função “de fora” de duas variáveis x e y, e cada uma dessas variáveis é função de uma única variável t, o parâmetro. 16 Profa. Me. Alessandra Azzolini Exemplo 2 𝒛 = 𝒙𝟐𝒚 + 𝟐𝒙𝒚𝟐 { 𝒙 = 𝒙(𝒕) = 𝟐𝒕 𝒚 = 𝒚(𝒕) = 𝒕² produto { 𝝏𝒛 𝝏𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝝏𝒛 𝝏𝒚 . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝝏𝒛 𝝏𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝏𝒛 𝝏𝒚 . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = (𝟐𝒙𝒚 + 𝟐𝒚𝟐). 𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒚). 𝟐𝒕 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = (𝟐. 𝟐𝒕. 𝒕² + 𝟐(𝒕𝟐)𝟐). 𝟐 + ((𝟐𝒕)𝟐 + 𝟒. (𝟐𝒕). 𝒕²). 𝟐𝒕 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = (𝟒𝒕³ + 𝟐𝒕𝟒). 𝟐 + (𝟒𝒕² + 𝟖𝒕³). 𝟐𝒕 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝟖𝒕³ + 𝟒𝒕𝟒 + 𝟖𝒕³ + 𝟏𝟔𝒕𝟒 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝟐𝟎𝒕𝟒 + 𝟏𝟔𝒕³ 17 Profa. Me. Alessandra Azzolini 2) 𝑺𝒆 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟓𝒚𝟐 + 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟏𝟎 { 𝒙 = 𝒙(𝒕) = 𝟐𝒆𝒕 => 𝒙′(𝒕) = 𝟐𝒆𝒕 𝒚 = 𝒚(𝒕) = 𝟑𝒍𝒏(𝒕) => 𝒚′(𝒕) = 𝟑 𝒕 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒅𝒇 𝒅𝒕 𝒆𝒎 𝒕𝟎 = 𝟏. { 𝒙 = 𝒙(𝟏) = 𝟐𝒆 𝒚 = 𝒚(𝟏) = 𝟑. 𝒍𝒏(𝟏) = 𝟎 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝝏𝒛 𝝏𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝏𝒛 𝝏𝒚 . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = (𝟓𝒙𝟒𝒚𝟐 + 𝟔𝒙𝒚). 𝟐𝒆𝒕 + (𝟐𝒙𝟓𝒚 + 𝟑𝒙𝟐). 𝟑 𝒕 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = (𝟓(𝟐𝒆𝒕)𝟒(𝟑𝒍𝒏(𝒕))𝟐 + 𝟔(𝟐𝒆𝒕)(𝟑𝒍𝒏(𝒕))). 𝟐𝒆𝒕 + (𝟐(𝟐𝒆𝒕)𝟓(𝟑𝒍𝒏(𝒕)) + 𝟑(𝟐𝒆𝒕)𝟐). 𝟑 𝒕 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = (𝟓(𝟐𝒆)𝟒(𝟑𝒍𝒏(𝟏))𝟐 + 𝟔(𝟐𝒆)(𝟑𝒍𝒏(𝟏))). 𝟐𝒆 + (𝟐(𝟐𝒆)𝟓(𝟑𝒍𝒏(𝟏)) + 𝟑(𝟐𝒆)𝟐). 𝟑 𝟏 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = (𝟓(𝟐𝒆)𝟒(𝟑𝒍𝒏(𝟏))𝟐 + 𝟔(𝟐𝒆)(𝟑𝒍𝒏(𝟏))). 𝟐𝒆 + (𝟐(𝟐𝒆)𝟓(𝟑𝒍𝒏(𝟏)) + 𝟑(𝟐𝒆)𝟐). 𝟑 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝟑. 𝟒𝒆𝟐. 𝟑 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝟑𝟔𝒆𝟐 3) Se 𝐳=𝐱𝟐𝐲 + 𝟑𝐱𝐲𝟒, onde x = sen (2t) e y = cos t, determine 𝑑𝑧 𝑑𝑡 quando t=0. 𝑆𝑒 𝑧 = 𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦4 { 𝑥 = 𝑥(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) => { 𝑥 (0) = 𝑠𝑒𝑛(2.0) = 0 𝑦(0) = cos(0) = 1 { 𝑥′(𝑡) = 2cos (2𝑡) 𝑦′(𝑡) = −𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 . 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = (2𝑥𝑦 + 3𝑦4). 2 cos(2𝑡) + (𝑥2 + 12𝑥𝑦³). (−𝑠𝑒𝑛(𝑡)) 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = (2.0.1 + 3. 14). 2 cos(2.0) + (02 + 12.0.1³). (−𝑠𝑒𝑛(0)) 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = (0 + 3). 2.1 + (0). (0) 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 6 18 Profa. Me. Alessandra Azzolini 4) A areia é derramada num monte cônico na velocidade de 11 m3 por minuto. Num dado instante, o monte tem 3 m de raio e 5 m de altura. Qual a taxa de aumento da altura nesse instante, se o raio aumenta na velocidade de 0,01 metros por minuto? Volume do cone 𝑉 = π𝑟2ℎ 3 . 0,01 m/s = 0,01 t r = 3m e h = 5m 𝑉 = π𝑟2ℎ 3 ; 𝑟 = 0,01𝑚/𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜕𝑉 𝜕𝑟 . 𝑑𝑟 𝑑𝑡 + 𝜕𝑉 𝜕ℎ . 𝑑ℎ 𝑑𝑡 11 = 2πrℎ 3 . 0,01 + π𝑟2 3 . 𝑑ℎ 𝑑𝑡 11 = 2π. 3.5 3 . 0,01 + π. 32 3 . 𝑑ℎ 𝑑𝑡 11 = 10π. 0,01 + 3π. 𝑑ℎ 𝑑𝑡 11 − 10π. 0,01 = 3π. 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 11 − 10π. 0,01 3π 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 1,13𝑚/𝑚𝑖𝑛 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 11 − 10π. 0,01 3π 19 Profa. Me. Alessandra Azzolini Regra da Cadeia - Caso II Suponha que 𝑧 = 𝒇(𝒙, 𝒚) seja uma função diferenciável de 𝑥 𝑒 𝑦, em que 𝒙 = 𝒈(𝒔, 𝒕) 𝑒 𝑦 = 𝒉(𝒔, 𝒕) são funções diferenciáveis de 𝑠 𝑒 𝑡. Então, 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝝏𝒛 𝝏𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝏𝒛 𝝏𝒚 . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒛 𝒅𝒔 = 𝝏𝒛 𝝏𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒔 + 𝝏𝒛 𝝏𝒚 . 𝒅𝒚 𝒅𝒔 São as derivadas parciais de z com respeito a t e s, respectivamente. Exemplo 3 Se 𝑧 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 (𝑦) , em que 𝑥 = 𝑠𝑡2𝑒 𝑦 = 𝑠2𝑡, determine 𝜕𝑧 𝜕𝑡 𝑒 𝜕𝑧 𝜕𝑠 . 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝝏𝒛 𝝏𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝏𝒛 𝝏𝒚 . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 (𝑦).2𝑠𝑡 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 (𝑦 ). 𝑠² 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝑒𝑠𝑡²𝑠𝑒𝑛 (𝑠2𝑡).2𝑠𝑡 + 𝑒𝑠𝑡2 𝑐𝑜𝑠 (𝑠2𝑡) . 𝑠² 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 2𝑠𝑡𝑒𝑠𝑡²𝑠𝑒𝑛 (𝑠2𝑡) + 𝑠²𝑒𝑠𝑡2 𝑐𝑜𝑠 (𝑠2𝑡) 𝒅𝒛 𝒅𝒔 = 𝝏𝒛 𝝏𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒔 + 𝝏𝒛 𝝏𝒚 . 𝒅𝒚 𝒅𝒔 𝒅𝒛 𝒅𝒔 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 (𝑦). 𝑡2 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 (𝑦 ).2𝑠𝑡 𝒅𝒛 𝒅𝒔 = 𝑒𝑠𝑡²𝑠𝑒𝑛 (𝑠²𝑡). 𝑡2 + 𝑒𝑠𝑡²𝑐𝑜𝑠 (𝑠²𝑡).2𝑠𝑡 𝒅𝒛 𝒅𝒔 = 𝑒𝑠𝑡²𝑠𝑒𝑛 (𝑠²𝑡). 𝑡2 + 2𝑠𝑡𝑒𝑠𝑡²𝑐𝑜𝑠 (𝑠²𝑡) 20 Profa. Me. Alessandra Azzolini Regra da Cadeia - Caso Geral No caso mais geral, a variável dependente u é dada por em que cada variável intermediária xj é uma função de m variáveis independentes t1, . . . , tm. Se u e cada xj , j = 1, . . . , n, são funções diferenciáveis, então a derivada parcial de u com respeito à uma variável independente ti , para i ∈ {1, . . . , m}, Exemplo 3 Escreva a regra da cadeia para o caso em que 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑐𝑜𝑚 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)𝑒 𝑡 = 𝑡(𝑢, 𝑣). Exercício 5) Se 𝑢 = 𝑥4𝑦 + 𝑦2𝑧3, 𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑡 , 𝑦 = 𝑟𝑠2𝑒−𝑡 𝑒𝑧 = 𝑟2𝑠. 𝑠𝑒𝑛 𝑡, determine o valor de 𝜕𝑢 𝜕𝑠 quando 𝑟 = 2, 𝑠 = 1 𝑒 𝑡 = 0. 𝑥 = 2.1𝑒0 = 2.1.1 = 2 𝑦 = 2. (1)2𝑒−0 = 2.1.1 = 2 𝑧 = 221. 𝑠𝑒𝑛 (0) = 4.1.0 = 0 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝝏𝒖 𝝏𝒙 . 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝏𝒖 𝝏𝒚 . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝝏𝒖 𝝏𝒛 . 𝒅𝒛 𝒅𝒕 𝜕𝑢 𝜕𝑠 = 4𝑥3𝑦. 𝑟𝑒𝑡 + (𝑥4 + 2𝑦𝑧3). 𝟐𝑟𝑠𝑒−𝑡+3𝑦2𝑧2. 𝑟2. 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 𝜕𝑢 𝜕𝑠 = 4. 23. 2. 𝑟𝑒𝑡 + (24 + 2.2. 03). 𝟐𝑟𝑠𝑒−𝑡+3.2202. 𝑟2. 𝑠𝑒𝑛( 𝑡) 𝜕𝑢 𝜕𝑠 = 4. 23. 2. .2𝑒0 + (24 + 2.2. 03). 𝟐. 2. .1𝑒−0+3.2202. 22. 𝑠𝑒𝑛 (0) 𝜕𝑢 𝜕𝑠 = 4. 23. 2.2.1 + (64 + 0)𝟐. 2.1.1+3.2202. 22. 𝑠𝑒𝑛 (0) 𝜕𝑢 𝜕𝑠 = 128 + 64 + 0 = 192 21 Profa. Me. Alessandra Azzolini 6) O raio de cone circular reto aumenta a uma taxa de 4,6 cm/s enquanto sua altura decresce à taxa 6,5 cm/s. Qual a taxa de variação do volume do cone quando seu raio é de 300 cm e a altura 350 cm? Volume do cone 𝑉 = π𝑟2ℎ 3 . 𝑉 = π𝑟2ℎ 3 𝑟 = 4,6 𝑐𝑚 𝑠 ℎ = −6,5𝑐𝑚/𝑠 𝜕𝑉 𝜕𝑡 = 𝝏𝑽 𝝏𝒓 . 𝒅𝒓 𝒅𝒕 + 𝝏𝑽 𝝏𝒉 . 𝒅𝒉 𝒅𝒕 𝜕𝑉 𝜕𝑡 = 2πrℎ 3 . 𝒅𝒓 𝒅𝒕 + π𝑟2. 1 3 . 𝒅𝒉 𝒅𝒕 𝜕𝑉 𝜕𝑡 = 2πrℎ 3 . 𝟒, 𝟔 + π𝑟2. 1 3 . (−𝟔, 𝟓) 𝜕𝑉 𝜕𝑡 = 2π. 300.350 3 . 𝟒, 𝟔 − π. 3002 3 . 𝟔, 𝟓 𝜕𝑉 𝜕𝑡 = 2π. 100.350. 𝟒, 𝟔 − 𝟑𝟎𝟎π. 𝟔, 𝟓 𝜕𝑉 𝜕𝑡 = 398,78 cm3/s REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS STEWART, James. Cálculo, volume I. 5ª edição. São Paulo - SP: Pioneira Thomson Learning, 2006. GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001. Disponível em http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/CalDifIntII/teoria/3_3- VolSolRevo.pdf acesso em 20 de março de 2020. http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/CalDifIntII/teoria/3_3-VolSolRevo.pdf http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/CalDifIntII/teoria/3_3-VolSolRevo.pdf
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