Cálculo I_Teste derivada 2a ordem

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Cálculo I: Teste derivada de 2ª 
ordem
ACH 4532 Cálculo I - Marketing
Prof. Andrea Lucchesi
Agenda
1. Teste da derivada de 2ª ordem
2. Exemplos
3. Exercícios aplicados
Referência: 
Cap 6: seção 6.4
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
Agenda
1. Teste da derivada de 2ª ordem
2. Exemplos
3. Exercícios aplicados
Referência: 
Cap 6: seção 6.4
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
• Quando um ponto c 𝜖 𝐷𝑓 é de máximo ou mínimo relativo, a tangente do gráfico da função f(x) é horizontal e, 
consequentemente, f’(c) = 0 (desde que a função seja derivável no ponto).
• Se soubermos que f’(c) = 0, como saber se c é ponto de máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois?
=> Teste derivada de 2ª ordem
1. Teste da derivada de 2ª ordem
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
• Sendo c um ponto de máximo, então nas vizinhanças de “c”, a função é côncava para baixo e, portanto, f’’(c) < 0 (e 
f’(c) = 0).
1. Teste da derivada de 2ª ordem (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
• Analogamente, sendo c um ponto de mínimo, então nas vizinhanças de “c” a função é convexa e, portanto, f’’(c) > 0 
(e f’(c) = 0).
1. Teste da derivada de 2ª ordem (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
• Dessa forma, um ponto “c” genérico tal que f’(c) = 0 pode ser classificado como ponto de máximo ou mínimo 
relativo de acordo com f’’(c) < 0 ou f’’(c) > 0.
=> Vale somente para pontos interiores do domínio (ou seja, não vale para extremos do domínio).
Por ex, se Df = [a, b], a derivada = zero não vale para x = a ou x = b.
1. Teste da derivada de 2ª ordem (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Agenda
1. Teste da derivada de 2ª ordem
2. Exemplos
3. Exercícios aplicados
Referência: 
Cap 6: seção 6.4
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
• Exemplo 1: Encontre os pontos de máximo e mínimo da função a seguir, se existirem:
f(x) = x2 + 
16
𝑥
Ponto crítico:
f’(x) = 2x – 16 x-2
f’(x) = 0 => 2x – 16 x-2 = 0 
2x3 – 16 = 0
2(x3 – 8) = 0
x = 2
2. Exemplos
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Teste derivada de 2ª ordem:
f’’(x) = 2 + 32 x-3
Calculando a derivada de 2ª ordem no ponto crítico:
f’’(2) = 2 + 32 (2)-3 
f’’(2) = 6
Portanto, f’’(2) > 0 , o que significa que x = 2 é ponto 
de mínimo relativo
• Exemplo 2: Encontre os pontos de máximo e mínimo da função a seguir, se existirem:
f(x) = x2 – 4x + 5
Ponto crítico:
f’(x) = 2x – 4
f’(x) = 0 => 2x – 4 = 0 
x = 2
2. Exemplos
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Teste derivada de 2ª ordem:
f’’(x) = 2 como o resultado é uma constante 
significa que para qualquer x, f’’(x) será > 0
Ou seja, no ponto crítico:
f’’(2) = 2 
Ou seja, x = 2 é ponto de mínimo relativo
• Exemplo 3: Encontre os pontos de máximo e mínimo da função a seguir, se existirem:
f(x) = 6x - x2
Ponto crítico:
f’(x) = 6 – 2x
f’(x) = 0 => 6 – 2x = 0 
x = 3
2. Exemplos
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Teste derivada de 2ª ordem:
f’’(x) = -2 como o resultado é uma constante 
significa que para qualquer x, f’’(x) será < 0
Ou seja, no ponto crítico:
f’’(3) = -2 
Ou seja, x = 3 é ponto de máximo relativo
• Exemplo 4: Use o teste da derivada de 2ª ordem para calcular o máximo e mínimo relativo da função
f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x -7
Ponto crítico:
f’(x) = 6x2 + 6x - 12
f’(x) = 0 => 6x2 + 6x - 12 = 0 
x = 1 ou x = -2
2. Exemplos
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Teste derivada de 2ª ordem:
f’’(x) = 12x + 6
=> Calculando a derivada de 2ª ordem no ponto crítico x =1:
f’’(1) = 12(1) + 6
f’’(1) = 18
Portanto, como f’’(1) > 0 , x = 1 é ponto de mínimo relativo
=> Calculando a derivada de 2ª ordem no ponto crítico x =-2:
f’’(-2) = 12(-2) + 6
f’’(-2) = -18
Portanto, como f’’(-2) < 0 , x = -2 é ponto de máximo relativo
• Exemplo 4: Use o teste da derivada de 2ª ordem para calcular o máximo e mínimo relativo da função
f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x -7
2. Exemplos
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Agenda
1. Teste da derivada de 2ª ordem
2. Exemplos
3. Exercícios aplicados
Referência: 
Cap 6: seção 6.4
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
• Exercício 1: Suponha que o custo médio de se produzir q unidades seja de Cme(q) = 3q + 5 + 
75
𝑞
reais. Em que nível 
de produção o custo médio por unidade será o menor possível?
Ponto crítico:
CMe’(q) = 3 -
75
𝑞2
f’(x) = 0 => 3 -
75
𝑞2
= 0 
3 𝑞2 - 75 = 0
3 𝑞2 = 75 
q = 5
(q = -5 não faz sentido nesse caso)
3. Exercícios Aplicados
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Teste derivada de 2ª ordem:
CMe’’(q) = 
150
𝑞3
Calculando a derivada de 2ª ordem no ponto crítico:
CMe’’(5) = 
150
(5)3
CMe’’(5) = 2
Portanto, CMe’’(5) > 0 , significa que q = 5 é ponto 
de mínimo
• Exercício 2: Um fabricante produz certo tipo de produto ao custo unitário de R$ 5,00 e estima que, se vendê-los por 
x reais por unidade, os clientes comprarão 20 – x unidades por dia. A que preço o fabricante deve vender seu 
produto para que seja obtido o lucro máximo?
Função Lucro:
Lucro = RT – CT 
LT = p.q – (custo unitário. q)
LT(x) = x(20 – x) – (5 .(20 –x))
LT(x) = 20x – x2 – 100 + 5x
LT(x) = – x2 + 25x - 100
Ponto crítico:
LT’(x) = -2x + 25 
LT’(x) = 0 => x = 12,5
3. Exercícios Aplicados
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Teste derivada de 2ª ordem:
LT’’(x) = -2 como o resultado é uma constante 
significa que para qualquer x, LT’’(x) será < 0
Ou seja, no ponto crítico:
LT’’(12,5) = -2 
Ou seja, x = 12,5 é ponto de máximo
• Exercício 3: Suponha que a receita total (em mil reais) decorrente da venda de q unidades de determinado produto 
seja dada por RT(q) = -2q2 + 68q – 128. Em que nível de venda a receita obtida é máxima? Qual é a receita máxima?
Ponto crítico:
RT’(q) = -4q + 68 
RT’(q) = 0 => -4q + 68 = 0
-4q = -68
q = 17
3. Exercícios Aplicados
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Teste derivada de 2ª ordem:
RT’’(q) = -4 como o resultado é uma constante 
significa que para qualquer x, LT’’(x) será < 0
Ou seja, no ponto crítico:
RT’’(17) = -4
Ou seja, q = 17 é ponto de máximo
Receita máxima:
RT(17) = -2(17)2 + 68(17) – 128
RT(17) = 450 mil reais