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ACH3553 - Estatística I
Gestão de Políticas Públicas
Aula 2: Medidas de tendência central
Alexandre Ribeiro Leichsenring
alexandre.leichsenring@usp.br
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 1 / 30
Índice
1 Introdução
2 Medidas de tendência central
Média
Mediana
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 2 / 30
Índice
1 Introdução
2 Medidas de tendência central
Média
Mediana
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 3 / 30
Medidas Resumo
Resumem em um único valor a informação de um conjunto de
dados
Tentam fornecer uma ideia geral da distribuição dos dados
São funções do conjunto de dados
Medidas de tendência central fundamentais
Média
Mediana
Medidas de dispersão fundamentais
Variância
Desvio Padrão
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 4 / 30
Índice
1 Introdução
2 Medidas de tendência central
Média
Mediana
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 5 / 30
Média
É a medida de tendência central mais conhecida.
Representa um valor “típico”
Conceito bastante popular.
Exercício
Considere a idade de 10 alunos:
18 17 24 21 20 22 26 21 25 24
Calcule a idade média desse grupo.
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 6 / 30
Média
Formalizando
Para um conjunto de dados com n observações x1, x2, . . . xn, a média
(X̄ ) é definida por
X̄ =
∑n
i=1 xi
n
.
Expandindo a fórmula:
X̄ =
x1 + x2 + x3 + . . . + xn
n
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 7 / 30
Entendendo a fórmula
i xi
1 18
2 17
3 24
4 21
5 20
6 22
7 26
8 21
9 25
10 24
X̄ =
x1 + x2 + x3 + . . . + x10
10
=
18 + 17 + 24 + . . . + 24
10
= 21, 8
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 8 / 30
Média
A média representa o centro de massa da distribuição
Histograma da idade dos alunos estatística
⇒ Idade média = 22,03
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 9 / 30
Média
A média representa o centro de massa da distribuição
Histograma da idade dos alunos estatística
⇒ Idade média = 22,03
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 9 / 30
Média
Voltando ao exemplo das idades dos alunos...
Observe que algumas idades se repetem:
18 17 24 21 20
22 26 21 25 24
Neste caso,
X̄ =
18 + 17 + 24 + 21 + 20 + 22 + 26 + 21 + 25 + 24
10
=
18 + 17 + 20 + 22 + 26 + 25 + (2× 24) + (2× 21)
10
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 10 / 30
Média para dados em tabelas de frequência
Suponha que temos um conjunto de valores com frequências
associadas:
Valor Frequência
x1 f1
x2 f2
x3 f3
...
...
xk fk
Então, podemos calcular a média ponderando os valores pelas
frequências, isto é:
X̄ =
x1 · f1 + x2 · f2 + . . . + xk · fk
f1 + f2 + . . . + fk
=
∑k
i=1 xi · fi∑k
i=1 fi
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 11 / 30
Exemplo
Vamos calcular a média das idades dos 10 alunos usando a tabela
de frequência:
Valor Freq.
17 1
18 1
20 1
21 2
22 1
24 2
25 1
26 1
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 12 / 30
Exercício
Calcule a média do número de filhos por empregado conforme a
distribuição apresentada na tabela abaixo:
Núm. filhos Freq.
0 4
1 5
2 7
3 3
5 1
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 13 / 30
Média para dados agrupados em tabelas de frequência
Agora vamos supor que não dispomos do conjunto de dados, mas tenhamos os numa
tabela de frequência de valores agrupados em intervalos:
Classe de salário Frequência
[04, 08] 10
(08, 12] 12
(12, 16] 8
(16, 20] 5
(20, 24] 1
Total 36
Como podemos estimar o valor da média?
⇒ Consideramos o ponto médio de cada intervalo como valor representativo dos
pontos do intervalo.
⇒ Calculamos a média ponderando os pontos médios pelas frequências
observadas em cada intervalo de classe.
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 14 / 30
Média
1 Determine os pontos médios de cada intervalo
Sejam:
I ls(i) = limite superior do intervalo i ;
I li(i) = limite inferior do intervalo i ;
Então, para cada intervalo i : o ponto médio x̂i é dado por:
x̂i =
ls(i) + li(i)
2
2 Calcule a média ponderada:
X̄ =
∑
i x̂i · fi∑
i fi
onde fi é a frequência de valores observados no intervalo i .
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 15 / 30
Exemplo
Vamos estimar o valor da média dos salários:
Classe de salário Frequência
(04, 08] 10
(08, 12] 12
(12, 16] 8
(16, 20] 5
(20, 24] 1
Total 36
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 16 / 30
Exercício
Estime a média de idade do conjunto de alunos conforme distribuição
apresentada abaixo:
Idade Frequência
18-19 20
20-21 31
22-23 25
24-25 17
26-27 14
28-29 4
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 17 / 30
Mediana
Exemplo
A tabela a seguir contém dados de 3 amostras sobre salário com pessoas num
mesmo ponto de ônibus em São Paulo.
Observação Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3
1 183 218 247
2 312 285 293
3 397 402 583
4 413 473 623
5 478 606 623
6 549 686 639
7 552 692 644
8 665 694 665
9 805 721 760
10 841 823 861
11 1049 878 5700
Média 567,63 588,91 1058,00
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 18 / 30
Mediana
A média é afetada por valores extremos
Quando da ocorrência de valores extremos a média fica
“contaminada”
Há outras medidas de tendência central que não são afetadas
pela ocorrência de valores extremos.
⇒ Mediana
A mediana (Md) divide a distribuição exatamente ao meio
Em outros termos:
I Metade dos valores são maiores do que Md
I Metade dos valores são menores do que Md
Em alguns casos, Md não é representada por apenas um valor,
mas por um intervalo de valores que satisfazem essa definição.
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 19 / 30
Mediana
Definição
A mediana Md de um conjunto de dados é um valor tal que o
número de observações maiores do que Md é igual ao número de
observações menores do que Md .
Cálculo: Quando o número de observações n é ímpar
I Nesse caso, há um único elemento central.
1 Ordena-se o conjunto de dados
2 Encontra-se a posição do valor que representa a mediana:
Posição(Md) =
n + 1
2
3 Encontra-se o elemento que está nessa posição.
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 20 / 30
Mediana
Exemplo
Vamos calcular as medianas das amostras de valores de salário.
Observação Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3
1 183 218 247
2 312 285 293
3 397 402 583
4 413 473 623
5 478 606 623
6 549 686 639
7 552 692 644
8 665 694 665
9 805 721 760
10 841 823 861
11 1049 878 5700
Média 567,63 588,91 1058,00
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 21 / 30
Mediana
1 Ordenação: Ok!
2 Posição:
Posição(Md) =
n + 1
2
=
11 + 1
2
= 6
3 Valor do 6o elemento ordenado:
Amostra 1 : Md = 549
Amostra 2 : Md = 686
Amostra 3 : Md = 639
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 22 / 30
Mediana
Cálculo: Quando o número de observações n é par
I Nesse caso, há dois elementos centrais.
1 Ordena-se o conjunto de dados
2 Encontra-se a posição dos dois valores centrais:
Posição(Md1) =
n
2
Posição(Md2) =
n
2
+ 1
3 Encontra-se o elemento que está na Posição (Md1) e o
elemento que está na posição Posição (Md2);
4 Calcula-se a média desses dois elementos, isto é:
Md =
Md1 + Md2
2
.
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 23 / 30
Exemplo
Vamos supor que houvesse apenas 10 observações numa amostra
de valores de salário, como na tabela a seguir:
Observação Amostra
1 183
2 312
3 397
4 413
5 478
6 549
7 552
8 665
9 805
10 841
Calcule a mediana nesse caso.
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 24 / 30
Exemplo
Como podemos calcular a mediana de um grupo de dados sistematizados numa
tabela de frequência?
Valor fi
17 1
18 2
20 4
21 5
22 7
24 3
25 1
26 2
Total 25
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 25 / 30
Calculando a mediana de um grupo de dados sistematizados numa tabela de
frequência
1 Calcular a frequência acumulada (Fi )
2 Encontrar a Posição(Md ) do valor central
3 Md é o valor que contém o elemento Posição(Md ).
1
Valor fi Fi
17 1 1
18 2 3
20 4 7
21 5 12
22 7 19
24 3 22
25 1 23
26 2 25
Total 25
2 n é ímpar: a
Posição(Md ) =
n + 1
2
=
25 + 1
2
= 13
3 Qual o valordo 13o elemento ordenado?
Md = 22
aObs. Quando n é par, então há dois elementos centrais;
encontra-se as suas respectivas posições e verifica-se
quais são os elementos correspondentes.
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 26 / 30
Calculando a mediana de um grupo de dados sistematizados numa tabela de
frequência
1 Calcular a frequência acumulada (Fi )
2 Encontrar a Posição(Md ) do valor central
3 Md é o valor que contém o elemento Posição(Md ).
1
Valor fi Fi
17 1 1
18 2 3
20 4 7
21 5 12
22 7 19
24 3 22
25 1 23
26 2 25
Total 25
2 n é ímpar: a
Posição(Md ) =
n + 1
2
=
25 + 1
2
= 13
3 Qual o valor do 13o elemento ordenado?
Md = 22
aObs. Quando n é par, então há dois elementos centrais;
encontra-se as suas respectivas posições e verifica-se
quais são os elementos correspondentes.
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 26 / 30
Exercício
Calcule a mediana das idades dos alunos conforme a tabela de frequência abaixo:
Idade Frequência
18 20
19 31
20 25
21 17
22 14
23 4
Total 111
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 27 / 30
Mediana
Como calcular a mediana de um conjunto de dados agrupados
em classes?
Exemplo
i Classe fi Fi
1 [0,2] 1 1
2 (2,4] 11 12
3 (4,6] 21 33
4 (6,8] 63 96
5 (8,10] 25 121
Total 121
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 28 / 30
Como calcular a mediana de um conjunto de dados agrupados
em classes?
Md = LIMd + h × PMd − Fant
fMd
onde:
LIMd = Limite inferior da classe mediana
h = Amplitude da classe mediana
PMd = Posição do elemento central
Fant = Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana
fMd = Frequência simples da classe mediana
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 29 / 30
Exercício
Calcule a mediana do seguinte conjunto de dados agrupados em
classes:
i Classe fi Fi
1 42 ` 52 6 6
2 52 ` 62 9 15
3 62 ` 72 9 24
4 72 ` 82 2 26
5 82 ` 92 4 30
6 92 ` 102 7 37
Total 37
Alexandre Leichsenring ACH3553 - Estatística I 30 / 30
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