Integrais Múltiplas (4)

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UNIVERSIDADE DE RIO VERDE (UNIRV) 
BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DANIEL TIRAPELI CALASSI DE OLIVEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
 
 
CÁLCULO II
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Rio Verde 
 
2023
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DANIEL TIRAPELI CALASSI DE OLIVEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado no curso de graduação de 
Engenharia Civil, na matéria de Cálculo II, na Universidade 
de Rio Verde (Unirv). 
 
Professor: Rosilei de Souza Novak 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio Verde
 
2023 
 
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SUMÁRIO 
 
1.0 O que são Integrais Múltiplas?............................................................4 
1.1 Integral dupla………………………………………………………………4 
1.2 Calculo de Integrais Duplas e Integrais Iterada………………………..6 
1.3 Centro de Massa e Momentos de Inercia……………………………..10 
1.4 A Integral Dupla em Coordenadas Polares………………………...…14 
1.5 Área de uma Superfície....................................................................15 
1.6 Integral Tripla....................................................................................15 
1.7 Integral Tripla em Coordenadas Cilíndricas…………………….…….17 
1.8 Mudanças de Variáveis em Integrais Múltiplas………………...…….19 
 
 
 
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1.0. O que são Integrais Múltiplas? 
 
Integrais múltiplas referem-se à extensão do conceito de integração para 
funções de duas ou mais variáveis. Elas podem ser duplas, triplas, ou envolver um 
número maior de variáveis. Essas integrais são úteis em cálculos relacionados a 
volumes, áreas, e uma variedade de aplicações em física, engenharia e outras 
disciplinas. 
 
1.1. Integral Dupla 
Integrais duplas são uma extensão do conceito de integrais definidas para 
funções de duas variáveis em uma região bidimensional do plano. Essas integrais são 
usadas para calcular a média ponderada de uma função sobre uma região retangular 
no plano xy. Ou seja, a integral dupla basicamente é uma integral dentro da outra, 
sendo o processo de cálculo bastante usado para se obter o volume de um sólido. 
No caso dessas integrais, elas operam acima de um plano Oxy do ℜ2 em uma 
função de duas variáveis f(x,y), será possível de depreender ao decorrer dessa 
pesquisa que esses tipos de operações possuem a capacidade de determinar volume 
de um sólido do ℜ3. 
Claudio Possani (2017) evidencia que para o cálculo de integrais duplas é 
imprescindível a identificação dos limites de integração corretos para as variáveis x e y 
envolvidas de modo a caracterizar corretamente a região de integração. 
Geralmente a fórmula geral da Integral Dupla pode ser denotada pela seguinte 
configuração: 
 
Fórmula de integral Dupla sobre regiões gerais 
Fonte: Khan Academy, 2023 
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Figura 1: Ilustração de como integrar a função não somente sobre retângulos, 
como também sobre uma região D de forma mais geral. 
Figura 2: Ilustração de uma situação hipotética que D seja uma região limitada, o 
que significa que D pode estar contida em uma região retangular R. 
 
Resolver integrais duplas envolve uma série de passos: 
• Entender os Limites de Integração: Identificar os limites de integração para 
\(x\) e \(y\). 
• Escrever a Função a Ser Integrada: Seja \(f(x, y)\) a função a ser integrada. 
• Determinar a Ordem de Integração: Escolher a ordem de integração (integral interna 
e externa) com base na simplicidade. Às vezes, é mais fácil integrar em relação a \(x\) 
primeiro e depois \(y\), e vice-versa. 
• Realizar a Integral Interna: Integrar a função em relação à variável interna, mantendo 
a variável externa constante. 
• Aplicar os Limites de Integração Internos: Substituir os limites internos na integral 
resultante. 
• Realizar a Integral Externa: Integrar a função resultante (que agora é uma função de 
uma variável) em relação à variável externa. 
• Aplicar os Limites de Integração Externos: Substituir os limites externos na integral 
resultante. 
 
Gráfico de integral Dupla sobre regiões gerais 
Fonte: GeoGebra, 2023 
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•Simplificar e Avaliar: Simplificar a expressão final, se possível, e avalie 
numericamente, se necessário. 
 
Observação: A ordem de integração e os limites podem variar dependendo do 
problema específico. 
 
1.2. Cálculo de Integrais Duplas 
 
 
 
 
 
Fonte: Blogspot, 2016 
Fonte: Blogspot, 2016 
Gráfico Correspondente a Resolução da questão 1 de Integrais duplas 
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Gráfico Correspondente a Resolução da questão 2 de Integrais duplas 
Fonte: Blogspot, 2016 
Fonte: Blogspot, 2016 
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Fonte: Blogspot, 2016 
Fonte: Blogspot, 2016 
Gráfico Correspondente a Resolução da questão 3 de Integrais duplas 
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Cálculo de Integrais Iteradas 
 As integrais iteradas são nada mais que um método para calcular as integrais 
duplas de f(x,y); Em outras palavras conseguimos transformar o calculo de uma 
integral dupla em duas integrais de uma variável. 
 
Passo a passo da resolução de integrais Iteradas: 
• A priori é possível integrar a função f(x,y) parcialmente em relação à uma variável 
enquanto a outra variável é considerada uma constante. 
• Depois que integrado a primeira parcialidade, integramos novamente o resultado 
obtido pela primeira integral. 
 Exemplo: 
(a) Olhando x como constante, obtemos: 
Portanto, a função A da discussão procedente é dada por 
Neste exemplo 
 
Integramos agora essa função de x de 0 até 3: 
(a) (b) 
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(b) Aqui é integrado primeiro em relação a x: 
 
 
É possível observar que nesse exemplo obtemos a mesma resposta se 
integramos primeiro em relação a y ou a x. Em geral, acontece de as duas integrais 
iteradas das equações (a) e (b) serem sempre iguais, ou seja, a ordem da integração 
não é importante. 
 
1.3 Centro de Massa 
O centro de massa pode ser interpretado como um ponto de equilíbrio do sistema, 
ou seja, se a massa toda da superfície se concentrasse em um ponto, este ponto seria 
o centro de massa. Ele é calculado pelas seguintes fórmulas: 
 
Fonte: Responde Aí, 2017 
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Quando a densidade é constante, ela pode ser retirada da integral. Nesse caso 
a gente tem o chamado centroide da superfície. 
 
Exemplo: 
Determinar as coordenadas do centro de massa do sistema de partículas a 
seguir. 
 
De posse desses dados, podemos encontrar as coordenadas do centro de massa 
desse sistema de partículas, utilizando as seguintes expressões: 
 
 
 é a densidade da superfície. Onde 
Fonte: Instituto Claro, 2023 
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Portanto, as coordenadas do centro de massa do sistema de partículas são: 
 Fonte: Instituto Claro, 2023 
Fonte: Instituto Claro, 2023 
 
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Momentos de Inércia 
Na física, precisa-de definir o momento de inércia de um corpo como sendo a 
medida da distribuição da massa de um corpo ao redor de um eixo fixo de rotação. 
Exemplo: 
Determinar os momentos de inércia e os raios de giração da superfície sombreada 
representada na figura abaixo, relativamente aos eixos x e y: 
 
 
 
Fonte: Instituto Claro, 2023 
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1.4 Integrais Duplas em Coordenadas polares 
A integral dupla em coordenadas polares é uma técnica usada para calcular a 
área de regiões no plano que não podem ser facilmente descritas por coordenadas 
retangulares (x, y). Em coordenadas polares, as variáveis são r e θ (raio e ângulo, 
respectivamente). A fórmula geral para a integral dupla em coordenadas polares é: 
 
 
Exemplo: 
Fonte: Slideplayer, 2018 Fonte: Slideplayer, 2018 
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1.5 Área de uma Superfície 
A área de superfície pode ser calculada usando integrais em cálculo. Para uma 
superfície parametrizada,a fórmula geral para a área de superfície \( S \) é: 
R(x,y) = xi + yj + g(x,y)k 
 
Exemplo: 
Sabendo que o centro de massa da casca de um hemisfério de raio A > 0 e densidade 
uniforme ρ(x, y, z) = c tem coordenadas (0, 0, z¯), Determine z¯. 
Dica: Lembre-se que a esfera de raio a é descrita por R(φ, θ) = a sen φ cos θi+a sen φ 
sen θj+a cos φk e krφ ×rθk = a^2 Sen φ. 
 
1.6 Integral Tripla 
As integrais triplas são como as integrais duplas, mas em três dimensões. Elas 
são escritas, de forma abstrata, como: 
 
Em que 
• R é alguma região no espaço Tridimensional. 
• F(a,y,y) é alguma função escalar que pega pontos do espaço tridimensional como 
entrada. 
• dV é uma pequena unidade de volume. Em coordenadas cartesianas, isto é expandido 
como dV = da dy dz. 
 
Fonte: Instituto Claro, 2023 
 
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Concretamente, estas são calculadas como três integrais unidas: 
 
 
Como as integrais duplas, os limites das integrais internas podem ser funções das 
variáveis externas. São essas funções de limite que codificam a forma de R. 
Use uma integral tridimensional sempre que você tiver a sensação de que precisa 
cortar uma região tridimensional em um número infinito de pequenos pedaços, associar 
cada pedaço a um valor, e então somar tudo. Isso é surpreendentemente útil quando 
queremos encontrar o volume de regiões tridimensionais somando diversos pequenos 
volumes dV. 
Como nas integrais duplas, a parte difícil é encontrar os limites certos para a sua 
região. Isso só requer um pouco de prática, e uma vontade de arregaçar as mangas e 
colocar a mão na massa. 
Exemplo 
Determine o volume do sólido limitado por z ✓y os Planos x +y = 1,x= 0 ey=0. 
 
A vista do plano yz do sólido é: A vista do plano xz do sólido é: 
 
Fonte: Blogspot, 2016 Fonte: Blogspot, 2016 
Fonte: Instituto Claro, 2023 
 
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1.7. Integral Tripla em Coordenadas Cilíndricas 
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no espaço 
tridimensional é representado pela triplo ordenada (r, ø, z) onde r e ø são 
as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e z é a distância 
orientada do plano xy a P. 
 
As coordenadas cilíndrica de um ponto P: 
Fonte: Matemática Simplificada, 2019 
Fonte: Blogspot, 2016 
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Para convertermos de coordenadas cilíndricas para retangulares, 
usamos as equações: 
 
Enquanto que para converter de coordenadas retangulares para 
cilíndricas, usamos 
Exemplo: 
Marque o ponto com coordenadas cilíndricas (2, 2π /3, 1) e encontre 
suas coordenadas retangulares. 
Resolução: 
O ponto com coordenadas cilíndricas (2, 2π /3, 1) está marcado na 
Figura: 
 
 
 
 
Fonte: Matemática Simplificada, 2019 
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Das Equações 1, suas coordenadas retangulares são: 
 
 
Logo, o ponto é (–1, , 1), 1) em coordenadas retangulares. 
 
1.8. Mudanças de Variáveis de Integrais Múltiplas 
Mudanças de variáveis em integrais múltiplas referem-se à técnica de substituir 
as variáveis de integração para simplificar o cálculo de uma integral múltipla. Isso pode 
facilitar a resolução de integrais mais complexas, especialmente quando se lida com 
coordenadas diferentes. A mudança de variáveis é comumente utilizada em integrais 
duplas e triplas, envolvendo substituições apropriadas para tornar a expressão da 
integral mais gerenciável. Isso é frequentemente feito para simplificar a região de 
integração ou para tornar a função integranda mais fácil de lidar. 
 
Exemplo: 
Uma transformação é definida pelas equações: 
Determine a imagem do quadrado: 
 
 
 
Fonte: Instituto Claro, 2023 
 
Fonte: Instituto Claro, 2023 
 
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Resolução: 
A transformação leva a fronteira de S na fronteira da Imagem. Assim, 
começamos por determinar a imagem dos lados de S. 
O primeiro lado, S1, é dado por v = 0 (0 ≤ u ≤ 1). 
 
 
Das equações dadas, temos x = u^2, y = 0 e, então, 0 ≤ x ≤ 1. Então, S1 é levado 
no segmento de reta de (0, 0) a (1, 0) no plano xy. O segundo lado, S2, é u = 1 (0 ≤ v ≤ 
1) e, colocando u = 1 nas equações dadas, temos: 
X = 1 – v^2. y = 2v 
Eliminando v, obtemos: 
Que é parte de uma parábola. 
Da mesma forma, S3 é dado por v = 1 (0 ≤ u ≤ 1) , cuja imagem é o arco parabólico: 
 
Fonte: Docentes UNIVASP, 2021 
Fonte: Docentes UNIVASP, 2021 
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Finalmente, S4 é dado por u = 0 (0 ≤ v ≤ 1), cuja imagem é X = –v^2, y = 0, ou 
seja, –1 ≤ x ≤ 0. 
 
Observação: quando nos movemos ao redor do quadrado no sentido anti-horário, 
também nos movemos ao redor da região parabólica no sentido anti-horário). 
 
A imagem de S é a região R mostrada na figura supracitada limitada pelo eixo x e as 
parábolas dadas pelas duas equações também evidenciados anteriormente. 
 
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Referências 
 
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos. 
Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. 
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. 
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. 
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron 
Books do Brásil SP, 1994. 
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,2003. 
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard 
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora 
McGraw-Hill do Brasil, 1971. 
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 
STEWART, J. Cálculo – Volume 2. 8. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015. 
ANTON, H.; RORRES, C. Cálculo com Geometria Analítica – Volume 2. 8. Ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2013. 
THOMAS, D.; HASS, J. G.; WEIR, M. D. Cálculo – Um Curso Moderno e suas Aplicações. 
10. Ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
KHAN ACADEMY. Khan Academy. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/. Acesso 
em: 8 set. 2023. 
LAMAR, P. Paul’s Online Math Notes. Disponível em: http://tutorial.math.lamar.edu/. 
Acesso em: 8 set. 2023. 
MIT OPENCOURSEWARE. MIT OpenCourseWare. Disponível em: 
https://ocw.mit.edu/index.htm. Acesso em: 8 set. 2023. 
 
https://pt.khanacademy.org/
http://tutorial.math.lamar.edu/
https://ocw.mit.edu/index.htm