Lista 05 - Estimadores

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Estimadores
Valdinei Freire
30 de Maio de 2023
1. Suponha que X1, . . . , Xn são i.i.d. com p.d.f.:
f(x|θ) =
{
1
θ para θ ≤ x ≤ 2θ,
0 caso contrário
Assuma que o valor de θ é desconhecido (θ > 0), determine o estimador
de máxima verosimilhança (M.L.E.) de θ.
2. Suponha que X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes, e que Xi
possui distribuição normal com média biµ e variância σ2
i para i = 1, 2.
Suponha também que bi e σi são constantes positivas conhecidas, e que µ
é um parâmetro desconhecido. Determine o M.L.E. de µ baseado em X1
e X2.
3. Suponha que uma lâmpada regular, uma lâmpada de vida longa e uma
lâmpada de vida extra-longa serão testadas. O tempo de vida de cada
lâmpada é respectivamente X1, X2 e X3 e possuem distribuição expo-
nencial com média θ, 2θ e 3θ respectivamente. Determine o M.L.E. de θ
baseado nas observações X1, X2 e X3.
4. Suponha que uma variável aleatória X possui distribuição binomial com
um valor desconhecido de n e um valor conhecido de p (0 < p < 1).
Determine o M.L.E. de n baseado na observação de X. Dica: considere a
razão
f(x|n+ 1, p)
f(x|n, p)
.
5. Suponha que X1, . . . , Xn formem uma amostra aleatória de uma distri-
buição de Poisson com média θ > 0 desconhecida. Determine o M.L.E.
de θ, assumindo que ao menos um dos valores observados é diferente de 0.
Mostre que o M.L.E. de θ não existe se todos os valores observados forem
0.
6. Suponha que X1, . . . , Xn formem uma amostra aleatória de uma distri-
buição normal para a qual a média µ é conhecida, mas a variância σ2 é
desconhecida. Encontre o M.L.E. de σ2.
1
7. Suponha que X1, . . . , Xn formem uma amostra aleatória de uma distri-
buição com p.d.f.
f(x|θ) =
{
θxθ−1 para 0 < x < 1,
0 caso contrário
Também, suponha que o valor de θ > 0 é desconhecido. Encontre um
M.L.E. de θ.
8. Suponha que X1, . . . , Xn formem uma amostra aleatória de uma distri-
buição com p.d.f.
f(x|θ) =
1
2
e−|x−θ|
Também, suponha que o valor de −∞ < θ <∞ é desconhecido. Encontre
um M.L.E. de θ.
9. Suponha que vetores de duas dimensões (X1, Y1), . . . , (Xn, Yn) formem
uma amostra aleatória de uma distribuição normal bivariada, para qual
as médias de X e Y são desconhecidas, mas as variâncias de X e Y e a
correlação entre X e Y são conhecidas. Encontre um M.L.E. das médias
de X e Y .
10. Suponha que o tempo de vida de um certo tipo de lâmpada possui uma
distribuição exponencial com parâmetro λ desconhecido. Uma amostra
aleatória de n lâmpadas desse tipo foram testadas por um peŕıodo de T
horas e o número de X lâmpadas que falharam durante este peŕıodo foi
observado. Determine o M.L.E. de λ baseado no valor observado de X.
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