matematica faculdade estacio-60

Prévia do material em texto

160. Qual é a solução para a equação \( \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) para \( \frac{\pi}{6} \leq 
x < \frac{\pi}{3} \)? 
 - Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} \). 
 
161. Se \( f(x) = \ln(\sec(x)) \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada é \( f'(x) = \frac{\tan(x)}{\sec(x)} \). 
 
162. Calcule a integral definida \( \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sec(x) \, dx \). 
 - Resposta: \( \left[ \ln|\sec(x) + \tan(x)| \right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \ln|\sec(\pi/2) + \tan(\pi/2)| 
- \ln|\sec(\pi/4) + \tan(\pi/4)| = \ln|+\infty| - \ln|2 + 1| = \ln|+\infty| - \ln|3| = +\infty - \ln(3) = 
+\infty \). 
 
163. Se \( f(x) = e^{\cot(x)} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada é \( f'(x) = -\csc^2(x) e^{\cot(x)} \). 
 
164. Encontre a solução para a equação \( \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) para \( \frac{\pi}{4} 
\leq x < \frac{\pi}{3} \). 
 - Resposta: \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 
165. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x^3} \)? 
 - Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^3 \cos(x)} = 
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \) que é 
 
 indefinido. 
 
166. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin(x)} \). 
 - Resposta: Integrando ambos os lados, obtemos \( y = \ln|\csc(x) - \cot(x)| + C \), onde \( 
C \) é a constante de integração. 
 
167. Se \( f(x) = e^{\tan(x)} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada é \( f'(x) = \sec^2(x) e^{\tan(x)} \). 
 
168. Calcule a integral definida \( \int_{\pi/6}^{\pi/4} \csc^2(x) \, dx \).