Calculo 1-13

Prévia do material em texto

- Resposta: A solução é \( y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x) \). 
 - Explicação: Resolva a equação homogênea associada e utilize o método dos 
coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
118. Calcule a derivada de \( f(x) = \int_{0}^{x^2} e^{-t^2} \, dt \). 
 - Resposta: A derivada é \( f'(x) = 2xe^{-x^4} \). 
 - Explicação: Utilize o teorema fundamental do cálculo para derivar a integral definida. 
 
119. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 - Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-2x} \). 
 - Explicação: Resolva a equação característica associada. 
 
120. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \). 
 - Resposta: O limite é 0. 
 - Explicação: Utilize a regra de L'Hôpital ou compare os crescimentos das funções. 
 
121. Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \cos(x) \) e \( y = \sin(x) \) entre 
\( x = 0 \) e \( x = \pi \). 
 - Resposta: A área é \( 2 \). 
 - Explicação: Calcule a integral definida da função entre os limites dados. 
 
122. Encontre a derivada de \( f(x) = \int_{0}^{x^3} e^{-t^2} \, dt \). 
 - Resposta: A derivada é \( f'(x) = 3x^2e^{-x^9} \). 
 - Explicação: Utilize o teorema fundamental do cálculo para derivar a integral definida. 
 
123. Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \). 
 - Resposta: A solução é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} \). 
 - Explicação: Resolva a equação homogênea associada e utilize o método dos 
coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
124. Calcule a integral de linha \( \int_C (x^2 + y^2) \, ds \), onde \( C \) é o segmento de 
linha que vai de \( (0, 0) \) a \( (1, 1) \).