Aula 6 - Funcao polinomial do 2 grau ou Funcao quadratica

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Curso Matemática do Zero 
Professor Rodrigo Sacramento 
Matemática 
Função polinomial do 2° grau ou Função quadrática 
 Definição 
Uma função f: IR → IR chama-se quadrática quando existem números reais 
a, b, c, com a ≠ 0, tal que 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 para todo x 
Є IR. 
𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 
𝑥 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Ex.: 
a) y = x2 + 3x − 5, a = 1, b = 3 e c = −5 
b) y = −2x2 +
3
2
x − 7, a = −2, b =
3
2
 e c = −7 
c) y = −x2 + x , a = −1, b = 1 e c = 0 
d) y = 3x2, a = 3, b = 0 e c = 0 
 
 Gráfico 
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. 
 
A curva que está em azul é a parábola. Todas as parábolas têm elementos que 
geralmente não aparecem quando ela está no gráfico. Por exemplo: 
 A reta verde é chamada de diretriz. 
 A linha tracejada chamada de eixo de simetria. 
 O ponto vermelho no interior da parábola é chamado de foco. 
 O outro ponto vermelho na parábola é chamado de vértice e é 
importantíssimo para o Enem. 
Na função 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, o sinal do “a” implica no posicionamento, observe: 
 
Quando o a > 0 a concavidade fica voltada para cima e quando a < 0 a concavidade 
fica voltada para baixo. 
 
 Raízes de uma função quadrática 
Para achar a raiz ou as raízes é só igualar 𝑓(𝑥) = 0 e depois disso achar o valor 
ou os valores de x que fazem o y ser igual à zero, pois esses valores são as raízes. Com 
isso temos: 
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, temos, 
y = 0 ⟺ ax2 + bx + c = 0 ⟺ x =
−b ± √∆
2a
 
Quando isolamos o x em ax2 + bx + c = 0 é que chegamos na conhecida: 
Fórmula de Bháskara 
x =
−b ± √∆
2a
 
Discriminante ou Delta 
∆= b2 − 4ac 
Quando um problema perguntar “Qual é a raiz dessa função?” devemos fazer o 
seguinte procedimento: 
a) y = x2 − 3x + 2 
 Resolução: 
1º) Passo: (O valor de a, b e c) 
a = 1, b = −3 e c = 2 
2º) Passo: (O valor de delta) 
∆= b2 − 4ac 
∆= (−3)2 − 4. (1). (2) ⟺ ∆= 9 − 8 = 1 
 
3º) Passo: (Bháskara) 
x =
−b ± √∆
2a
 
x =
−(−3) ± √1
2. (1)
⟺ 𝑥 =
3 ± 1
2
 
x1 =
3 + 1
2
=
4
2
= 2 
𝑥2 =
3 − 1
2
=
2
2
= 1 
Resposta: São dois valores de x que são as raízes, são esses valores que quando 
colocados na equação, fazem o y =0. Por exemplo: 
y = x2 − 3x + 2 
y = (2)2 − 3.2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0 
y = (1)2 − 3.1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0 
Então realmente o conjunto Solução dessa função é: 
𝑆 = {1,2} 
Comentário: 
Quando achamos o valor de ∆ , já podemos dizer se teremos duas raízes reais 
ou uma raiz real ou nenhuma raiz real.Da seguinte análise: 
∆>0 : Duas raízes reais e distintas. 
∆=0 : Duas raízes reais e iguais. 
∆<0 : não tem raízes reais. 
b) y = x2 − 6x + 9 
1º) Passo: 
a = 1, b = −6 e c = 9 
2º) Passo: 
∆= b2 − 4ac 
∆= (−6)2 − 4. (1). (9) ⟺ ∆= 36 − 36 = 0 
 
3º) Passo: 
x =
−b ± √∆
2a
 
x =
−(−6) ± √0
2. (1)
⟺ 𝑥 =
6 ± 0
2
 
x1 =
6 + 0
2
=
6
2
= 3 
𝑥2 =
6 − 0
2
=
6
2
= 3 
Por isso são duas raízes reais e iguais, mas no conjunto solução só aparece um 
só , pois é “conjunto” e na teoria de conjunto , você só coloca um , mesmo tendo 
vários desse elemento. 
Resposta: 𝑆 = {3} 
c) y = x2 − x + 4 
1º) Passo: 
a = 1, b = −1 e c = 4 
2º) Passo: 
∆= b2 − 4ac 
∆= (−1)2 − 4. (1). (4) ⟺ ∆= 1 − 16 = −15 
Não precisamos ir para o terceiro passo, pois quando o delta é negativo, não 
tem raízes reais. 
Resposta: 𝑆 = { } 
 
Comentário: 
 
Quando por exemplo a parábola toca em dois pontos no eixo x, quer dizer que 
essa função tem duas raízes reais e distintas, ou seja, um valor é o 𝑥1 e o outro é o 
𝑥2. 
Curiosidades: 
O desenvolvimento que será feito a seguir, não foi o desenvolvimento original 
para chegar na fórmula de Bhákara, mas creio que de forma didática, poderá dar um 
entendimento que realmente com ax2 + bx + c = 0 podemos chegar em 
 
x=
−b±√∆
2a
 . Observe abaixo: 
ax2 + bx + c = 0 ⟺ ax2 + bx = −c , devemos multiplicar(4a) nos dois lados. 
4𝑎2𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 = −4𝑎𝑐 , devemos somar (𝑏2) nos dois lados. 
4𝑎2𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ⇔ 22𝑎2𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 = ∆ 
(2𝑎𝑥)2 + 2.2𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 = ∆, observe que o lado esquedo da igualdade é um produto 
notável do tipo 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 e podemos fatorar ele, fazendo com que 
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2, com isso (2𝑎𝑥)2 + 2.2𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 = (2𝑎𝑥 + 𝑏)2. 
(2𝑎𝑥 + 𝑏)2 = ∆ ⟺ 2𝑎𝑥 + 𝑏 = ±√∆ ⟺ 2𝑎𝑥 = −𝑏 ± √∆ ⇔ x =
−b±√∆
2a
 
 Coordenadas do vértice da parábola 
 
 
 
 
 
 
 
Detalhes importantes: 
x =
−b ± √∆
2a
 
Quem são as raízes quando colocamos tudo em função das letras. 
x1 =
−b + √∆
2a
 𝑒 x2 =
−b − √∆
2a
 
 
Soma das raízes (S) 
𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 =
−b + √∆
2a
+
−b − √∆
2a
=
−b + √∆ − b − √∆
2a
=
−2𝑏
2𝑎
= −
𝑏
𝑎
 
𝑆 = −
𝑏
𝑎
 
 
Produto das raízes (P) 
𝑃 = 𝑥1. 𝑥2 = (
−b + √∆
2a
) . (
−b − √∆
2a
) =
(−b + √∆)(−b − √∆)
4a2
= 
=
(−b + √∆)(−b − √∆)
4a2
=
𝑏2 + 𝑏√∆ − 𝑏√∆ − ∆
4𝑎2
=
𝑏2 − ∆
4𝑎2
=
𝑏2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎2
= 
=
4ac
4a2
=
c
a
 
𝑃 =
𝑐
𝑎
 
Ex.: 
Quais são os valores da soma e do produto das raízes da função y = x2 − 3x + 2? 
 Resolução: 
Não precisamos mais fazer Bháskara para obter essas repostas, pois temos as 
fórmulas para a Soma e o produto: 
𝑆 = −
𝑏
𝑎
 𝑒 𝑃 =
𝑐
𝑎
 
Sabendo que a=1, b=-3 e c=2, então: 
S = −
−3
1
= 3 
P =
2
1
= 2 
 
X do vértice (𝑋𝑣) 
Um fato importantíssimo é que as raízes são equidistantes (Igualmente 
distantes) em relação ao 𝑋𝑣, ou seja, a distância de 
𝑋1𝑎𝑡é 𝑋𝑣 é 𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑋𝑣 𝑎𝑡é 𝑋2. Por isso que para achar o 𝑋𝑣, basta 
só: 
𝑋𝑣 =
𝑋1 + 𝑋2
2
 
Porém para chegarmos na fórmula mais conhecida do x do vértice, basta 
substituirmos 𝑋1 + 𝑋2 por −
𝑏
𝑎
, pois 𝑋1 + 𝑋2 é a soma das raízes 𝑆 = −
𝑏
𝑎
.Com isso: 
Xv =
X1 + X2
2
=
−
b
a
2
= −
b
2a
 
𝑋𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
 
Y do vértice (𝑌𝑣) 
Para acharmos o valor de 𝑌𝑣, basta só pegarmos 𝑋𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 e substituirmos em 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Da seguinte forma: 
𝑦𝑣 = 𝑎𝑥𝑣
2 + 𝑏𝑥𝑣 + 𝑐 ⇔ 𝑦𝑣 = 𝑎 (−
𝑏
2𝑎
)
2
+ 𝑏 (−
𝑏
2𝑎
) + 𝑐 ⇔ 
𝑦𝑣 = 𝑎
b2
4a2
−
𝑏2
2𝑎
+ 𝑐 ⇔ 𝑦𝑣 =
𝑏2
4𝑎
−
𝑏2
2𝑎
+ 𝑐 ⟺ 𝑦𝑣 =
𝑏2 − 2𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎
 
yv =
−b2 + 4ac
4a
⟺ yv =
−(b2 − 4ac)
4a
⇔ yv =
−∆
4a
 
𝑦𝑣 = −
∆
4a
 
 
Resumo das fórmulas: 
 
 
 
Ex.: 
Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, 
conforme representado no sistema de eixos ortogonais. Durante sua trajetória, a bola descreve duas 
parábolas com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é 
5
x2
75
x
y
2
 . Se a abscissa de D é 
35m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a: 
(Dica: Abscissa é o valor de x e ordenada é o valor de y) 
 
 
 
 
 
a) 38 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55 
 
 Resolução: 
Onde a parábola toca o eixo y é o valor do c na função 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Por 
isso a função 
5
x2
75
x
y
2
 é da primeira parábola, pois a parábola está tocando no 
zero, no eixo y, com isso c =0. 
Sabendo que o ponto C marcado no gráfico é o vértice da primeira parábola, 
vamos achar o 𝑋𝑣. 
𝑋𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
5
x2
75
x
y
2
 
𝑎 = −
1
75
 , 𝑏 =
2
5
 𝑒 𝑐 = 0 
𝑋𝑣 = −
2
5
2 (−
1
75
)
= −
2
5
. (−
75
2
) = 15 
 
Depois de achar 𝑥𝑣 = 15, devemos lembrar que a distância de 𝑥1até 𝑥𝑣 é a 
mesma do 𝑥𝑣 até 𝑥2. Com isso as raízes da primeira parábola são os pontos onde a 
parábola toca o eixo x,atentando a esse fato, então uma das raízes nós temos , que é 
𝑥1 = 0, com isso acabou a questão , pois a distância do 𝑥1 = 0 até 𝑥𝑣 = 15 é 15 , 
então do 𝑥𝑣 = 15 até a outra raiz também é 15, então 15 +15=30, logo a outra raiz 
que faltava é 30.Esse 30 é raiz tanto da primeira parábola , quanto da segunda, pois 
as duas tocam no 30.Agora olhando para segunda parábola, a distância de 30 até 35 
é 5, com isso a distância de 35 até a outra raiz , também é 5 , com isso 35+5=40. A 
distância pedidano problema é de 40 metros. 
Resposta: B) 40 
 
 Forma Fatorada 
y = ax2 + bx + c ⟺ y = a(x − x1)(x − x2) 
Lembrando: 
𝑥1 𝑒 𝑥2 são as raízes. 
 
y = ax2 + bx + c, dividir os dois lados por (a) 
𝑦
𝑎
= 𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
 
Lembrando que: 
𝑆 = −
𝑏
𝑎
 𝑒 𝑃 =
𝑐
𝑎
 
Porém a 𝑆 = −
𝑏
𝑎
 é a mesma coisa que −𝑆 =
𝑏
𝑎
. Substituindo na função: 
𝑦
𝑎
= 𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
⇔ 
𝑦
𝑎
= 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 ⟺
𝑦
𝑎
= 𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1. 𝑥2 
𝑦
𝑎
= 𝑥2 − 𝑥1𝑥 − 𝑥2𝑥 + 𝑥1𝑥2 ⟺
𝑦
𝑎
= 𝑥. (𝑥 − 𝑥1) − 𝑥2(𝑥 − 𝑥1) 
𝑦
𝑎
= (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) ⟺ 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
Ex.1: 
Qual é a função quadrática que possui a=1, 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = 3? 
 Resolução: 
y = a(x − x1)(x − x2) 
𝑦 = 1. (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ⟺ 𝑦 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ⟺ 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 − 2𝑥 + 6 
𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
Com essa forma fatorada, você consegue montar funções, mas a sua aplicação 
muito utilizada é a do exemplo dois. 
Ex.2: 
Qual é a função dessa parábola abaixo? 
 
 Resolução: 
1ª) Solução: 
y = a(x − x1)(x − x2) 
Sabemos que x1 = 0, pois a parábola toca no 0 , no eixo x.Lembrando que a distância 
de 𝑥1até 𝑥𝑣 e a mesma de 𝑥𝑣 até 𝑥2, com isso temos o valor de 𝑥2, pois de 0 até 5 , a 
distância é 5 , logo 5+5=10, 𝑥2 = 10.Substituindo na função: 
y = a(x − 0)(x − 10) ⇔ y = a. x. (x − 10) ⇔ y = ax2 − 10ax 
O procedimento final é sempre pegar um par ordenado é substituir, só não faça com 
o par ordenado das raízes, com isso utilizaremos o par ordenado do vértice (5, -5). 
−5 = a(5)2 − 10a. (5) ⇔ −5 = 25a − 50a ⇔ −5 = −25a ⇔ 5 = 25a ⇔
5
25
= a 
1
5
= 𝑎 ⟺ 𝑎 =
1
5
 
Vamos substituir esse valor de a, na função original: 
y = ax2 − 10ax 
y =
1
5
x2 − 10.
1
5
. x ⇔ 𝑦 =
𝑥2
5
− 2𝑥 
2ª) Solução: 
y = ax2 + bx + c 
O valor de c é onde a parábola toca o eixo y, logo c=0. 
y = ax2 + bx 
Lembrando que: 
𝑋𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
5 = −
𝑏
2𝑎
⇔ 10𝑎 = −𝑏 ⇔ −10𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 = −10𝑎 
y = ax2 − 10ax 
Agora vamos utilizar o par ordenado do vértice (5,-5) para substituirmos na função: 
−5 = a(5)2 − 10a. (5) ⇔ −5 = 25a − 50a ⇔ −5 = −25a ⇔ 5 = 25a ⇔
5
25
= a 
1
5
= 𝑎 ⟺ 𝑎 =
1
5
 
Com isso: 
b = −10a 
b = −10.
1
5
⟺ b = −2 
y =
1
5
x2 − 2x ⇔ 𝑦 =
𝑥2
5
− 2𝑥 
 
 
 
 Valor máximo e mínimo de uma função quadrática 
 
 
 
Quando o a < 0, a função possui um valor máximo, pois as “pontinhas da 
parábola” mesmo não desenhadas crescem de forma infinita. As pontinhas estão 
marcadas abaixo. 
 
 
Quando o a > 0, a função possui um valor mínimo. 
Papazinho: Quem dá o valor de uma função é o y, ou seja, quando for perguntado 
qual é o valor máximo ou qual é o valor mínimo de uma função quadrática, ele está 
perguntando qual é o valor do y do vértice. 
Ex.1: 
 A função real f, de variável real, dada por f(x)=-x2+12x+20, tem um valor: 
a) Valor mínimo, igual a -16, para x = 6. 
b) Valor mínimo, igual a 16, para x = -12. 
c) Valor máximo, igual a 56, para x = 6. 
d) Valor máximo, igual a 72, para x = 12. 
e) Valor máximo, igual a 240, para x = 20. 
 Resolução: 
Quando a questão fala que a função tem um valor mínimo ou valor máximo 
está se referindo ao y do vértice. E o valor de x que acompanha o y do vértice é o x 
do vértice.Então: 
𝑋𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 𝑒 𝑦𝑣 = −
∆
4a
 
 
𝑋𝑣 = −
12
2. (−1)
= 6 
𝑦𝑣 = −
(12)2 − 4. (−1). 20
4. (−1)
= −
144 + 80
−4
= 56 
Gabarito: C 
Porque 56 é valor máximo? 
Pois o a < 0, logo essa parábola também não tem valor mínimo. 
Ex.2: 
Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita 
em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t - 3t2, onde h é a altura 
atingida em metros. 
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? 
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo? 
 
 Resolução: 
h(t) = 3t - 3t2 
A primeira coisa que observamos nessa função, é o formato de uma função 
quadrática, só que com letras diferentes. 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
h(t) = 3t − 3t2 = −3t2 + 3t ⟺ h(t) = −3t2 + 3t 
Observe que o h está no lugar do y e t está no lugar de x. Numa questão de 
função é essencial você saber o que é cada letra, por exemplo, no enunciado está 
dizendo que h é a altura atingida pelo grilo, em metros, e t é o tempo em segundos. 
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? 
h(t) = −3t2 + 3t 
𝑎 = −3, 𝑏 = 3 𝑒 𝑐 = 0 
Vamos achar as raízes dessa função. 
h(t) = −3t2 + 3t ⟹ 0 = −3t2 + 3t ⟺ −3t2 + 3t = 0 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 32 − 4. (−3). 0 = 9 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
𝑥 =
−3 ± √9
2. (−3)
=
−3 ± 3
−6
 
𝑥1 =
−3 + 3
−6
= 0 
𝑥2 =
−3 − 3
−6
= 1 
Tendo os valores das raízes, o sinal do a, nós conseguimos esboçar um gráfico: 
 
Estou sendo detalhista nessa questão, para abrir o seu entendimento, observe 
o gráfico acima, entenda o que está acontecendo. O grilo saltou do ponto 0 segundo 
e retornou ao solo no ponto 1 segundo, logo, ele demorou 1 segundo nesse salto. 
Resposta: 1 segundo 
Comentário: 
Quando temos uma equação incompleta, ou seja, sem o valor de b ou de c, 
podemos resolver por outro recurso sem ser Bháskara. Por exemplo: 
−3t2 + 3t = 0 
Quando não temos o c, ou seja, c=0, podemos resolver colocando o “x” em 
evidência, na nossa questão acima quem está fazendo o papel de x é o t. 
−3t2 + 3t = 0 ⇔ 𝑡. (−3𝑡 + 3) = 0 
Observe essa equação abaixo. É uma multiplicação que dá como resultado 
zero, você lembra que a raiz é justamente o valor de “x” que faz o “y” dar zero, logo 
sabemos que para uma multiplicação dar zero quer dizer que um dos dois fatores é 
zero. Com isso vamos fazer: 
A.B=0 
A=0 ou B=0 
Aplicando esse raciocínio abaixo: 
𝑡. (−3𝑡 + 3) = 0 
𝑡 = 0 𝑜𝑢 − 3𝑡 + 3 = 0 ⟺ −3𝑡 = −3 ⟺ 3𝑡 = 3 ⟺ 𝑡 = 1 
Achamos as duas raízes. 
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo? 
 
h(t) = −3t2 + 3t 
𝑦𝑣 = −
∆
4a
 
𝑦𝑣 = −
(3)2 − 4. (−3). 0
4. (−3)
= −
9
−12
=
9
12
=
3
4
= 0,75 𝑚 
Ex.3: 
O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$9,00 em média 
300 pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$1,00 no preço 
dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço para 
que a receita seja máxima? 
 Resolução: 
Como é uma questão discursiva não podemos chutar valores, temos que 
montar uma função. Na prova do Enem 2009, foi pedido para montar uma função 
numa determinada questão, com isso inúmeros candidatos erraram, pois geralmente 
não sabem montar função. 
Receita inicial=(9,00).(300) 
1ª redução: R(1) = (9,00 - 1,00).(300 + 100) 
2ª redução: R(2) = (9,00 - 1,00.2).(300 + 100.2) 
3ª redução: R(3) = (9,00 – 1,00.3).(300 + 100.3) 
xª redução: R(x) = (9,00 - 1,00.x).(300 + 100.x) = (9,00 - x).(300 + 100x) 
𝑅(𝑥) = (9 − 𝑥). (300 + 100𝑥) ⟺ 𝑅(𝑥) = 2700 + 900𝑥 − 300𝑥 − 100𝑥2 
𝑅(𝑥) = −100𝑥2 + 600𝑥 + 2700 
“Qual deve ser o preço para que a receita seja máxima?” 
𝑥𝑣 = −
600
2. (−100)
= 3,00 
9,00 –x 
9,00 – 3,00 = 6,00 
Resposta: 6,00 
 
 Exercícios Extras: 
 
1) Dada a função definida por f (x) = x2 - x, determine: 
a) f (-2) 
b) f (0) 
2) Dada a função f : IR IR, definida por f (x) = x2 + 5x + 6 determine o valor de x de 
modo que: 
a) f (x) = 0 
b) f (x) = 6 
3) O gráfico de y = x2 - 8x corta o eixo x nos pontos de abscissa: 
(Dica: Quais são as raízes?) 
a) -2 e 6. b) -1 e -7. c) 0 e -8. d) 0 e 8. e) 1 e 7. 
4) 
 
Considere o gráfico anterior, que representa a função definida por y = 2x2 - 5x + 
c. As coordenadas do vértice V da parábola são: 
(Dica: X do vértice e y do vértice) 
a) (5/4,-9/8) b) (5/4,-3/5) c) (-5/4,-2) d) (1/2,-2/3) e) (2,-1) 
 
5) A função f, de IR em IR, dada por f(x)=ax2-4x+a tem um valor máximo e admite 
duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a: 
(Dica: Se tem valor máximo é porque a < 0 e quando tem duas raízes reais e iguais o 
∆=0) 
a) 4 b) 2 c) 0 d) - ½ e) – 2 
6) O gráfico de f(x)=x2+bx+c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e(1,2). Então f(-2/3) vale: 
(Dica: Quando temos os pontos do gráfico geralmente substituímos na função dada) 
a) - 2/9 b) 2/9 c) – 1/4 d) 1/4 e) 4 
7) A água que está esguichando de um bocal mantido horizontalmente a 4 metros 
acima do solo descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal. Sabendo-se 
que a corrente de água desce 1 metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de 
movimento horizontal, conforme a figura a seguir: 
 
Podemos expressar y como função de x: 
a) y = -x2 + 4x + 10 
b) y = x2 - 10x + 4 
c) y = (-x2/10) + 10 
d) y = (-x2/100) + 10x + 4 
e) y = (-x2/100) + 4 
8) Um certo reservatório, contendo 72 m3 de água, deve ser drenado para limpeza. 
Decorridas t horas após o início da drenagem, o volume de água que saiu do 
reservatório, em m3, é dado por V(t) = 24t - 2t2. Sabendo-se que a drenagem teve 
início às 10 horas, o reservatório estará completamente vazio às: 
a) 14 horas. b) 16 horas. c) 19 horas. d) 22 horas. e)23 horas 
9) A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada por f(t) = 
t2 - 7t + A, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante t = 0 , a 
temperatura é de 10°C, o tempo gasto para que a temperatura seja mínima, em 
minutos, é: 
a) 3,5 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 7,5 
10) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma 
unidade de certo produto é x-10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A 
quantidade vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, 
igual a 70-x. 
Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, 
aproximadamente, uma função quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade 
monetária usada, é: 
a) 1200 b) 1000 c) 900 d) 800 e) 600 
 
Gabarito: 
1) a) 6 b) 0 2) a) S = { -3,-2 } b) S = { -5,0 } 3) D 4) A 5) E 6) A 7) E 8) B 9) A 10)C 
 
 Na prática para o Enem: 
1)(Enem 2010) Nos processos industriais, como na industria de cerâmica,é necessário 
o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o 
tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade 
do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é 
programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função 
 
em que T e o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o 
tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. 
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48°C e retirada 
quando a temperatura for 200°C. 
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a: 
a) 100. b) 108. c) 128. d) 130. e) 150. 
2) (Enem 2012) Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que 
representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é 
dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica 
(i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente 
proporcional a potência do aparelho. 
Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir 
representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a 
corrente elétrica (i) que circula por ele? 
 
 
3)(Enem 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 
1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que 
concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em 
que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. 
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o 
valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que 
relaciona V e x é: 
 
a) V = 10.000 + 50x − x2 
𝑏) 𝑉 = 10.000 + 50𝑥 + 𝑥2 
𝑐) 𝑉 = 15.000 − 50𝑥 − 𝑥2 
𝑑) 𝑉 = 15.000 + 50𝑥 − 𝑥2 
𝑒) 𝑉 = 15.000 − 50𝑥 + 𝑥2 
Gabarito: 
1)D 2)D 3) D 
No dia a dia... 
As antenas parabólicas geralmente têm um grande diâmetro para captar uma 
quantidade maior de sinais do satélite. Lembrando que a antena parabólica é fruto 
de uma rotação de 360 graus de uma parábola.