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Determinação de Volume e Área de um Béquer Resumo. A obtenção de medidas indiretas gera a propagação de um erro associado ao valor calculado. Este trabalho teve como objetivo avaliar a propagação de erro em medidas de área e volume de um béquer. Para isso o diâmetro e a altura de um béquer foram medidos por uma régua milimétrica e o volume e área foram calculados com seus respectivos erros. Verificou-se que o erro associado a medidas indiretas tende aumentar em relação ao erro das medidas de entrada. Palavras-chave: medidas, béquer, erro. Objetivos Calcular a área e o volume de um béquer, com as medidas realizadas por uma régua de escala milimétrica, efetuando a propagação do erro do instrumento e do erro do operador. Introdução Ao efetuar uma medição, deve-se ter ciência da necessidade de seleção de uma grandeza a ser medida (1), ou seja, não é recomendável medir algo pequeno utilizando instrumentos de grande escala. No campo das medidas, consideram-se as grandezas e as respectivas unidades divididas em duas categorias: fundamentais e derivadas. Das fundamentais, existe o comprimento, massa, tempo e carga elétrica e outras três (1). No processo de medida, envolve geralmente a leitura de números em algum instrumento e os dígitos obtidos como resultado de uma medida chamam-se algarismos significativos. Por consequência, tem-se quase sempre alguma limitação no numero de dígitos que expressam um determinado valor experimentalmente (2). Basicamente, ao efetuar uma medida, estará sujeito à estimativa, pois sempre existe uma incerteza quanto ao ultimo algarismo obtido numa medida (2). Portanto, por mais rigorosos que se procura ser, nunca pode esperar que os resultados obtidos fossem exatos (3). Alguns desses erros podem ser classificados como grosseiros (são devidos à falta de atenção, pouco treino ou falta de pericia do operador), sistemáticos (são os que afetam os resultados sempre no mesmo sentido) e aleatórios (associados a natural variabilidade dos processos físicos, levando flutuações nos valores medidos) (3). Define-se um valor ‘’verdadeiro’’, no intuito de ter por onde se guiar, o tal valor ‘’verdadeiro’’ seria o resultado de uma medição ideal, feita em condições perfeitas, com instrumentos perfeitos e operadores perfeitos. Com esse valor perfeito, pode seguir o conceito de erro absoluto e erro relativo (3). Aos erros absolutos, é correto dizer que uma medição tem um erro positivo se o seu valor for superior ao valor que obter-se na tal medição ideal. Do contrário, caso seja encontrado um valor inferior ao ideal, diremos que o erro é negativo. Quando se apresenta erros em medições, usa o erro relativo, onde a forma mais usual de apresentação é em porcentagem (%) (3). A partir das grandezas fundamentais, utiliza-se a equação que define a quantidade, substituindo a unidades básicas apropriadas, assim há a existência das grandezas derivadas, conhecidas como força, pressão, energia, volume, entre outras (4). A unidade básica SI (Sistema Internacional de Unidades) de volume é o metro cúbico, ou m3, onde o volume um cubo é dado por seu comprimento cúbico. Na química, unidades menores, como centímetro cubico (cm3) é bastante utilizado. Outra unidade é o litro (L), que é igual a um decímetro cubico (dm3). Existem 1.000 mililitros (mL) em um litro, cada mililitro tem o mesmo volume de um centímetro cubico (1 mL = 1cm3). Os melhores dispositivos para medir volume, são seringas, pipetas e buretas, onde permitem verter líquidos com mais precisão e exatidão do que provetas(4). Procedimento Experimental Medir três vezes com a régua milimétrica a atura e o diâmetro superior de um béquer cujo volume aparenta ser de 100 mL. Não foi possível identificar o fabricante e a escala volumétrica do objeto medido. Anotar os valores das medidas, incluindo o erro do instrumento. Com todas as medidas organizadas em: Altura (1, 2 e 3) e Diâmetro Superior (1, 2 e 3) é possível realizar o cálculo do desvio das medidas, tendo em vista a comparação do erro operacional com o erro instrumental e verificar a precisão das medidas obtidas. Efetuar o cálculo da área lateral e da área do diâmetro superior do béquer, obtendo a área total do objeto medido, realizar, também, o cálculo do volume no intuito de verificar com maior exatidão a capacidade volumétrica do objeto. Para finalizar, os resultados foram representados nas escalas em metro, centímetro e decímetro. Béquer utilizado no experimento Resultados e Discussão Com os valores medidos organizados em tabelas, pode realizar todos os cálculos necessários para encontrar o volume do béquer, tendo em vista a utilização desses valores para comparar com o valor referencial dado pelo fabricante do objeto. A maior limitação na interpretação dos resultad4os desta prática experimental é não ter o valor indicado pelo fabricante, provavelmente pelo desgaste devido a grande quantidade de utilização do béquer, os valores da escala do mesmo apagaram-se ao decorrer do tempo. Mensurar em gramas, com o auxilio de uma balança analítica, o béquer vazio e após cheio d’agua seria uma maneira correta de saber em gramas a capacidade do objeto, com esse valor poderia realizar a conversão em volume a partir da densidade da água, com o valor convertido efetuar a comparação do resultado do valor calculado, que foi encontrado nesse experimento. Outra maneira de encontrar o volume deste objeto é utilizando uma pipeta ou bureta, já que estas tem capacidade maior em verter líquidos com maior exatidão. Abaixo, os valores adquiridos com uma régua milimétrica: Tabela com as medidas adquiridas em escala milimétrica da altura do béquer Béquer Milímetro Erro Altura 1 61,0 mm ± 0,5 mm Altura 2 60,0 mm ± 0,5 mm Altura 3 60,0 mm ± 0,5 mm Média 60,3 mm ± 0,5 mm Cálculo da média da altura do béquer: Altura representada por H H1: 61,0 mm ± 0,5 mm H2: 60,0 mm ± 0,5 mm H3: 60,0 mm ± 0,5 mm (M1 + M2 + M3) ÷ 3 = 60,3 mm A média das medidas analisadas foi de 60,3 mm , é necessário realizar o desvio para verificar o nível do erro da medida, caso esse desvio seja menor que o erro do instrumento, utilizar o erro do instrumento. 60,3 mm – 61,0 mm = ǀ-0,7ǀ mm 60,3 mm – 60,0 mm = 0,3 mm 60,3 mm – 60,0 mm = 0,3 mm (ǀ-0,7 ǀ + 0,3 + 0,3) ÷ 3 = 0,4 Efetuando o desvio dos valores da média em relação as medidas encontradas, chegou ao resultado de 0,4. O desvio é menor que o erro do instrumento, então permanece o erro do instrumento de 0,5. Valor final de 60,3mm ± 0,5 mm Tabela com as medidas adquiridas em escala milimétrica do diâmetro superior (DS) do béquer Béquer Milímetro Erro DS 1 49,0 mm ± 0,5 mm DS 2 48,0 mm ± 0,5 mm DS 3 48,0 mm ± 0,5 mm Média 48,3 mm ± 0,5 mm Cálculo da média do diâmetro superior do béquer: DS1: 49,0 mm± 0,5 mm DS2: 48,0 mm± 0,5 mm DS3: 48,0 mm± 0,5 mm (DS1 + DS2 + DS3) ÷ 3 = 48,3 mm A média das medidas analisadas foi de 48,3mm, é necessário realizar o desvio para verificar o nível do erro da medida, caso esse desvio seja menor que o erro do instrumento, utilizar o erro do instrumento. 48,3mm – 49,0 mm = ǀ-0,7ǀ mm 48,3mm – 48,0 mm = 0,3 mm 48,3mm – 48,0 mm = 0,3 mm (ǀ-0,7 ǀ + 0,3 + 0,3) ÷ 3 = 0,4 Efetuando o desvio dos valores da média em relação as medidas encontradas, chegou ao resultado de 0,4. O desvio é menor que o erro do instrumento, então permanece o erro do instrumento de 0,5. Valor final de 48,3mm ± 0,5 mm Com a média das medidas adquiridas, é possível calcular a área do diâmetro superior e a área da lateral do béquer. - Para a área do diâmetro superior do béquer (A1): É necessário encontrar o raio do diâmetro dividindo o valor da média do diâmetro superior por dois r: 48,3 mm ± 0,5 mm ÷ 2 = 24,2 mm ± 0,5 mm Após utilizar a fórmula: πr2 A1± ΔA1 = π[(24,2)2 ± (24,2)2(0,5/24,2+ 0,5/24,2)] A1± ΔA1 = π[(585,64) ± (23,4)] A1± ΔA1 = 1838,9 ± 23,4 mm2 Obtêm-se o valor da área superior do béquer de: 1838,9 ± 23,4 mm2 - Para a área da lateral do béquer (A2): Já com o raio (r) de 24,2 mm ± 0,5 mm é possível calcular a área da lateral do béquer, utilizando a fórmula:2πr.h H: 60,3mm ± 0,5 mm R: 24,2 mm ± 0,5 mm A2=2π[(24,2x60,3)±(24,2x60,3)(0,5/24,5+0,5/60,3)] A2 ± ΔA2 = 2π[(1459,3) ± (43,8)] A2 ± ΔA2 = 9164,1± 43,8 mm2 Valor final da área lateral do béquer é de: 9164,1± 43,8 mm2 Com os valores das áreas superior e lateral do béquer, é possível calcular a área total do mesmo, efetuando a soma das áreas e seus respectivos erros. Fórmula: A1± ΔA1 + A2 ± ΔA2 = AT ± ΔAT - Para a área total do béquer (AT): AT = 1838,9 ± 73,5 mm2 + 9164,1± 275,1 mm2 AT = 11003 ± 67,2 mm2 - Para calcular o volume do béquer a fórmula utilizada é: πr2.h O valor de r2 já foi encontrado no cálculo da área do diâmetro superior. Sendo assim r2 é igual a: 585,64 mm ± 23,4 mm Então: V = π[(585,64 ± 23,4) (60,3 ± 0,5)] V = π[(35314,1) ± (35314,1)(0,05)] V = π[(35314,1) ± (1765,7)] V = 110886,3 ± 1765,7 O valor do volume do béquer é de: 110886,3 ± 1765,7 mm3 Lembrando que para todos os cálculos, o valor de π é uma constante, sendo assim, só pode multiplicar pelo resultado da medida. Tabela com os resultados dos cálculos das áreas e volume Béquer Milímetro Erro Área 1 1838,9 mm2 ± 23,4 mm2 Área 2 9164,1 mm2 ± 43,8 mm2 Área Total 11003 mm2 ± 67,2 mm2 Volume 110886,3 mm3 ± 1765,7 mm3 Seguindo as regras de arredondamento, só é possível ter três algarismos significativos, pois os valores de altura e diâmetro dados pela régua milimétrica apresentavam três algarismos significativos. Transformando os valores da tabela acima em notação cientifica, terá os resultados tabela abaixo: Béquer Milímetro Área 1 (1,84 ± 0,02) x 103 mm2 Área 2 (9,16 ± 0,04) x 103mm2 Área Total (1,10 ± 0,01) x 104 mm2 Volume (1,11 ± 0,02) x 105 mm3 Passando para notação cientifica é possível obter os resultados com três algarismos significativos, isso é essencial, pois o calculo foi realizado com as medidas tendo três algarismos significativos com seus respectivos erros. Os valores expressados em notação podem ser de difícil entendimento ao efetuar a analise do erro, para melhor analise, efetuou-se o calculo do erro percentual, encontrado na tabela abaixo: Erro percentual Área total 0.9% Volume 2% Cálculo do erro percentual: - Área total: 0,01 ÷ 1,10 x 100 = 0,9% - Volume: 0,02 ÷ 1,11 x 100 = 2% - Diâmetro superior: 0,5 ÷ 48,3 x 100 = 1% - Altura: 0,5 ÷ 60,3 x 100 = 0,8% Comparando o erro percentual associado ao volume com os erros das medidas diretas de altura e diâmetro, percebe-se que ocorre a propagação do erro. Ainda assim o erro de 2% é pequeno para a variação de uma medida, que mostra uma confiabilidade nas medidas do resultado. Tendo os valores em milímetros, do volume e da área total do béquer, devem-se expressar os valores em metro, decímetro e centímetro. Resultados na tabela abaixo: Tabela com as medidas de área convertidas em diferentes unidades Unidades de medida Área Total Milímetro (1,10 ± 0,01) x 104mm2 Centímetro (1,10 ± 0,01) x 102 cm2 Decímetro (1,10 ± 0,01) x 101 dm2 Metro (1,10 ± 0,01) x 10-2m2 Tabela com as medidas de volume convertidas em diferentes unidades Unidades de medida Volume Milímetro (1,11 ± 0,02) x 105mm3 Centímetro (1,11 ± 0,02) x 102 cm3 Decímetro (1,11 ± 0,02) x 10-1 dm3 Metro (1,11 ± 0,02) x 10-4 m3 É notável que a mudança de unidade de medida não altera os valores dos resultados de volume e área do béquer. Conclusão Já que o béquer medido não apresenta a marcação em nenhum tipo de escala, não foi possível realizar a comparação dos resultados com os valores fornecidos pelo fabricante. Sendo assim, antes de realizar qualquer tipo de experimento, é importante verificar se os instrumentos estão em boas condições, descartando uma possibilidade erro. Referências (1) M. Alonso, E. J. Finn, “Física um curso universitário” volume 1, 2º edição, p. 14-15. (2) J. E. Brady, G. E. Humiston, “Química Geral” volume 1, 2º edição, p. 4-5. (3) Acesso em 05/05/2019.. http://www.peb.ufrj.br/cursos/ErrosIncertez as.pdf (4) T. L. Brown, H. E. LeMay jr, B. E. Bursten, J. R. Burdge, “Quimica A Ciencia Central” 9º edição, p. 14-15.
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