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Determinação de Volume e Área de um Béquer
Resumo. A obtenção de medidas indiretas gera a propagação de um erro associado ao valor calculado. Este
trabalho teve como objetivo avaliar a propagação de erro em medidas de área e volume de um béquer. Para isso o
diâmetro e a altura de um béquer foram medidos por uma régua milimétrica e o volume e área foram calculados
com seus respectivos erros. Verificou-se que o erro associado a medidas indiretas tende aumentar em relação ao
erro das medidas de entrada.
Palavras-chave: medidas, béquer, erro.
Objetivos
Calcular a área e o volume de um béquer, com
as medidas realizadas por uma régua de escala
milimétrica, efetuando a propagação do erro do
instrumento e do erro do operador.
Introdução
Ao efetuar uma medição, deve-se ter ciência da
necessidade de seleção de uma grandeza a ser
medida (1), ou seja, não é recomendável medir algo
pequeno utilizando instrumentos de grande escala.
No campo das medidas, consideram-se as grandezas
e as respectivas unidades divididas em duas
categorias: fundamentais e derivadas. Das
fundamentais, existe o comprimento, massa, tempo
e carga elétrica e outras três (1).
No processo de medida, envolve geralmente a
leitura de números em algum instrumento e os
dígitos obtidos como resultado de uma medida
chamam-se algarismos significativos. Por
consequência, tem-se quase sempre alguma
limitação no numero de dígitos que expressam um
determinado valor experimentalmente (2).
Basicamente, ao efetuar uma medida, estará sujeito
à estimativa, pois sempre existe uma incerteza
quanto ao ultimo algarismo obtido numa medida (2).
Portanto, por mais rigorosos que se procura ser,
nunca pode esperar que os resultados obtidos
fossem exatos (3).
Alguns desses erros podem ser classificados
como grosseiros (são devidos à falta de atenção,
pouco treino ou falta de pericia do operador),
sistemáticos (são os que afetam os resultados
sempre no mesmo sentido) e aleatórios (associados
a natural variabilidade dos processos físicos,
levando flutuações nos valores medidos) (3).
Define-se um valor ‘’verdadeiro’’, no intuito de
ter por onde se guiar, o tal valor ‘’verdadeiro’’ seria
o resultado de uma medição ideal, feita em
condições perfeitas, com instrumentos perfeitos e
operadores perfeitos. Com esse valor perfeito, pode
seguir o conceito de erro absoluto e erro relativo (3).
Aos erros absolutos, é correto dizer que uma
medição tem um erro positivo se o seu valor for
superior ao valor que obter-se na tal medição ideal.
Do contrário, caso seja encontrado um valor
inferior ao ideal, diremos que o erro é negativo.
Quando se apresenta erros em medições, usa o erro
relativo, onde a forma mais usual de apresentação é
em porcentagem (%) (3).
A partir das grandezas fundamentais, utiliza-se a
equação que define a quantidade, substituindo a
unidades básicas apropriadas, assim há a existência
das grandezas derivadas, conhecidas como força,
pressão, energia, volume, entre outras (4).
A unidade básica SI (Sistema Internacional de
Unidades) de volume é o metro cúbico, ou m3, onde
o volume um cubo é dado por seu comprimento
cúbico. Na química, unidades menores, como
centímetro cubico (cm3) é bastante utilizado. Outra
unidade é o litro (L), que é igual a um decímetro
cubico (dm3). Existem 1.000 mililitros (mL) em um
litro, cada mililitro tem o mesmo volume de um
centímetro cubico (1 mL = 1cm3). Os melhores
dispositivos para medir volume, são seringas,
pipetas e buretas, onde permitem verter líquidos
com mais precisão e exatidão do que provetas(4).
Procedimento Experimental
Medir três vezes com a régua milimétrica a
atura e o diâmetro superior de um béquer cujo
volume aparenta ser de 100 mL. Não foi possível
identificar o fabricante e a escala volumétrica do
objeto medido. Anotar os valores das medidas,
incluindo o erro do instrumento. Com todas as
medidas organizadas em: Altura (1, 2 e 3) e
Diâmetro Superior (1, 2 e 3) é possível realizar o
cálculo do desvio das medidas, tendo em vista a
comparação do erro operacional com o erro
instrumental e verificar a precisão das medidas
obtidas. Efetuar o cálculo da área lateral e da área
do diâmetro superior do béquer, obtendo a área total
do objeto medido, realizar, também, o cálculo do
volume no intuito de verificar com maior exatidão a
capacidade volumétrica do objeto. Para finalizar, os
resultados foram representados nas escalas em
metro, centímetro e decímetro.
Béquer utilizado no experimento
Resultados e Discussão
Com os valores medidos organizados em
tabelas, pode realizar todos os cálculos necessários
para encontrar o volume do béquer, tendo em vista
a utilização desses valores para comparar com o
valor referencial dado pelo fabricante do objeto.
A maior limitação na interpretação dos
resultad4os desta prática experimental é não ter o
valor indicado pelo fabricante, provavelmente pelo
desgaste devido a grande quantidade de utilização
do béquer, os valores da escala do mesmo
apagaram-se ao decorrer do tempo.
Mensurar em gramas, com o auxilio de uma
balança analítica, o béquer vazio e após cheio
d’agua seria uma maneira correta de saber em
gramas a capacidade do objeto, com esse valor
poderia realizar a conversão em volume a partir da
densidade da água, com o valor convertido efetuar
a comparação do resultado do valor calculado, que
foi encontrado nesse experimento.
Outra maneira de encontrar o volume deste
objeto é utilizando uma pipeta ou bureta, já que
estas tem capacidade maior em verter líquidos com
maior exatidão.
Abaixo, os valores adquiridos com uma régua
milimétrica:
Tabela com as medidas adquiridas em escala
milimétrica da altura do béquer
Béquer Milímetro Erro
Altura 1 61,0 mm ± 0,5 mm
Altura 2 60,0 mm ± 0,5 mm
Altura 3 60,0 mm ± 0,5 mm
Média 60,3 mm ± 0,5 mm
Cálculo da média da altura do béquer:
Altura representada por H
H1: 61,0 mm ± 0,5 mm
H2: 60,0 mm ± 0,5 mm
H3: 60,0 mm ± 0,5 mm
(M1 + M2 + M3) ÷ 3 = 60,3 mm
A média das medidas analisadas foi de 60,3 mm ,
é necessário realizar o desvio para verificar o nível
do erro da medida, caso esse desvio seja menor que
o erro do instrumento, utilizar o erro do
instrumento.
60,3 mm – 61,0 mm = ǀ-0,7ǀ mm
60,3 mm – 60,0 mm = 0,3 mm
60,3 mm – 60,0 mm = 0,3 mm
(ǀ-0,7 ǀ + 0,3 + 0,3) ÷ 3 = 0,4
Efetuando o desvio dos valores da média em
relação as medidas encontradas, chegou ao
resultado de 0,4. O desvio é menor que o erro do
instrumento, então permanece o erro do instrumento
de 0,5.
Valor final de 60,3mm ± 0,5 mm
Tabela com as medidas adquiridas em escala
milimétrica do diâmetro superior (DS) do béquer
Béquer Milímetro Erro
DS 1 49,0 mm ± 0,5 mm
DS 2 48,0 mm ± 0,5 mm
DS 3 48,0 mm ± 0,5 mm
Média 48,3 mm ± 0,5 mm
Cálculo da média do diâmetro superior do béquer:
DS1: 49,0 mm± 0,5 mm
DS2: 48,0 mm± 0,5 mm
DS3: 48,0 mm± 0,5 mm
(DS1 + DS2 + DS3) ÷ 3 = 48,3 mm
A média das medidas analisadas foi de 48,3mm, é
necessário realizar o desvio para verificar o nível do
erro da medida, caso esse desvio seja menor que o
erro do instrumento, utilizar o erro do instrumento.
48,3mm – 49,0 mm = ǀ-0,7ǀ mm
48,3mm – 48,0 mm = 0,3 mm
48,3mm – 48,0 mm = 0,3 mm
(ǀ-0,7 ǀ + 0,3 + 0,3) ÷ 3 = 0,4
Efetuando o desvio dos valores da média em
relação as medidas encontradas, chegou ao
resultado de 0,4. O desvio é menor que o erro do
instrumento, então permanece o erro do instrumento
de 0,5.
Valor final de 48,3mm ± 0,5 mm
Com a média das medidas adquiridas, é possível
calcular a área do diâmetro superior e a área da
lateral do béquer.
- Para a área do diâmetro superior do béquer (A1):
É necessário encontrar o raio do diâmetro
dividindo o valor da média do diâmetro superior
por dois
r: 48,3 mm ± 0,5 mm ÷ 2 = 24,2 mm ± 0,5 mm
Após utilizar a fórmula: πr2
A1± ΔA1 = π[(24,2)2 ± (24,2)2(0,5/24,2+ 0,5/24,2)]
A1± ΔA1 = π[(585,64) ± (23,4)]
A1± ΔA1 = 1838,9 ± 23,4 mm2
Obtêm-se o valor da área superior do béquer de:
1838,9 ± 23,4 mm2
- Para a área da lateral do béquer (A2):
Já com o raio (r) de 24,2 mm ± 0,5 mm é possível
calcular a área da lateral do béquer, utilizando a
fórmula:2πr.h
H: 60,3mm ± 0,5 mm
R: 24,2 mm ± 0,5 mm
A2=2π[(24,2x60,3)±(24,2x60,3)(0,5/24,5+0,5/60,3)]
A2 ± ΔA2 = 2π[(1459,3) ± (43,8)]
A2 ± ΔA2 = 9164,1± 43,8 mm2
Valor final da área lateral do béquer é de:
9164,1± 43,8 mm2
Com os valores das áreas superior e lateral do
béquer, é possível calcular a área total do mesmo,
efetuando a soma das áreas e seus respectivos erros.
Fórmula: A1± ΔA1 + A2 ± ΔA2 = AT ± ΔAT
- Para a área total do béquer (AT):
AT = 1838,9 ± 73,5 mm2 + 9164,1± 275,1 mm2
AT = 11003 ± 67,2 mm2
- Para calcular o volume do béquer a fórmula
utilizada é: πr2.h
O valor de r2 já foi encontrado no cálculo da
área do diâmetro superior. Sendo assim r2 é igual a:
585,64 mm ± 23,4 mm
Então:
V = π[(585,64 ± 23,4) (60,3 ± 0,5)]
V = π[(35314,1) ± (35314,1)(0,05)]
V = π[(35314,1) ± (1765,7)]
V = 110886,3 ± 1765,7
O valor do volume do béquer é de:
110886,3 ± 1765,7 mm3
Lembrando que para todos os cálculos, o valor de π
é uma constante, sendo assim, só pode multiplicar
pelo resultado da medida.
Tabela com os resultados dos cálculos das áreas e
volume
Béquer Milímetro Erro
Área 1 1838,9 mm2 ± 23,4 mm2
Área 2 9164,1 mm2 ± 43,8 mm2
Área Total 11003 mm2 ± 67,2 mm2
Volume 110886,3 mm3 ± 1765,7 mm3
Seguindo as regras de arredondamento, só é
possível ter três algarismos significativos, pois os
valores de altura e diâmetro dados pela régua
milimétrica apresentavam três algarismos
significativos. Transformando os valores da tabela
acima em notação cientifica, terá os resultados
tabela abaixo:
Béquer Milímetro
Área 1 (1,84 ± 0,02) x 103 mm2
Área 2 (9,16 ± 0,04) x 103mm2
Área Total (1,10 ± 0,01) x 104 mm2
Volume (1,11 ± 0,02) x 105 mm3
Passando para notação cientifica é possível
obter os resultados com três algarismos
significativos, isso é essencial, pois o calculo foi
realizado com as medidas tendo três algarismos
significativos com seus respectivos erros.
Os valores expressados em notação podem ser
de difícil entendimento ao efetuar a analise do erro,
para melhor analise, efetuou-se o calculo do erro
percentual, encontrado na tabela abaixo:
Erro percentual
Área total 0.9%
Volume 2%
Cálculo do erro percentual:
- Área total:
0,01 ÷ 1,10 x 100 = 0,9%
- Volume:
0,02 ÷ 1,11 x 100 = 2%
- Diâmetro superior:
0,5 ÷ 48,3 x 100 = 1%
- Altura:
0,5 ÷ 60,3 x 100 = 0,8%
Comparando o erro percentual associado ao
volume com os erros das medidas diretas de altura e
diâmetro, percebe-se que ocorre a propagação do
erro. Ainda assim o erro de 2% é pequeno para a
variação de uma medida, que mostra uma
confiabilidade nas medidas do resultado.
Tendo os valores em milímetros, do volume e da
área total do béquer, devem-se expressar os valores
em metro, decímetro e centímetro. Resultados na
tabela abaixo:
Tabela com as medidas de área convertidas em
diferentes unidades
Unidades de medida Área Total
Milímetro (1,10 ± 0,01) x 104mm2
Centímetro (1,10 ± 0,01) x 102 cm2
Decímetro (1,10 ± 0,01) x 101 dm2
Metro (1,10 ± 0,01) x 10-2m2
Tabela com as medidas de volume convertidas em
diferentes unidades
Unidades de medida Volume
Milímetro (1,11 ± 0,02) x 105mm3
Centímetro (1,11 ± 0,02) x 102 cm3
Decímetro (1,11 ± 0,02) x 10-1 dm3
Metro (1,11 ± 0,02) x 10-4 m3
É notável que a mudança de unidade de medida não
altera os valores dos resultados de volume e área do
béquer.
Conclusão
Já que o béquer medido não apresenta a
marcação em nenhum tipo de escala, não foi
possível realizar a comparação dos resultados com
os valores fornecidos pelo fabricante. Sendo assim,
antes de realizar qualquer tipo de experimento, é
importante verificar se os instrumentos estão em
boas condições, descartando uma possibilidade
erro.
Referências
(1) M. Alonso, E. J. Finn, “Física um curso
universitário” volume 1, 2º edição, p.
14-15.
(2) J. E. Brady, G. E. Humiston, “Química
Geral” volume 1, 2º edição, p. 4-5.
(3) Acesso em 05/05/2019..
http://www.peb.ufrj.br/cursos/ErrosIncertez
as.pdf
(4) T. L. Brown, H. E. LeMay jr, B. E. Bursten,
J. R. Burdge, “Quimica A Ciencia Central”
9º edição, p. 14-15.

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