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360 Cálculo Numérico
E 5.1.7. y = mx + b com m ≈ −0.0459710 e b ≈ 0.479237 Uma metodologia possível para resolver este problema é dada a
seguir:
Sejam x1 e x2 as abscissas dos dois pontos em que a reta tangencia a curva. A equação da reta bitangente assume a seguinte
forma:
y = f(x1) +m(x− x1) (5.45)
onde o coeficiente angular m é dado por
m =
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
(5.46)
Da condição de tangência, temos que o coeficiente angular da reta, m, deve igual à derivada da função f(x) nos dois pontos
de tangência.
m = f
′(x1) = f
′(x2) (5.47)
E sabemos que:
f
′(x) =
cos(x)
1 + x
−
sen (x)
(1 + x)2
. (5.48)
Assim, podemos reescrever o problema como
cos(x1)
1 + x1
−
sen (x1)
(1 + x1)2
−
cos(x2)
1 + x2
+
sen (x2)
(1 + x2)2
= 0 (5.49)
cos(x1)
1 + x1
−
sen (x1)
(1 + x1)2
−
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
= 0 (5.50)
Este é um sistema não linear de duas incógnitas.
Os valores iniciais para o método podem ser obtidos do gráfico buscando valores próximos aos dois primeiros pontos de
máximos. Por exemplo: x(0)
1 = 1 e x(0)
2 = 8. Obtemos x1 ≈ 1,2464783 e x2 ≈ 8,1782997 e m pode ser obtido através desses
valores.
E 5.1.8. (0.1956550; 0.2441719), (0.3694093; 0.4590564), (0.9990712; 1.1865168) e (1.4773606; 1.5552232)
E 5.1.9. (0.0449310; 0.0648872; 0.0698750), (0.3981385; 0.5658310; 0.6069019),
(1.1862966; 1.4348545; 1.480127)
E 5.1.10. (−1,2085435,−1,0216674) e (2,7871115, 1,3807962)
E 5.1.11. A primeira curva trata-se de uma elipse de centro (3,1) e semi-eixos 4 e 6, portanto seus pontos estão contidos no
retângulo −1 ≤ x ≤ 7 e −5 ≤ y ≤ 7.
As soluções são (−0,5384844,−1,7978634) e (2,8441544, 6,9954443).
E 5.1.12. (x1,x2,x3) ≈ (453,62, 901,94, 144,43)
E 5.1.13. Inicialização do método: A(0) = 3,1 e b(0) =
√
6,7
3,1 A ≈ 3.0297384 e b ≈ 1.4835346.
E 5.1.14. f(−1,1579702,−1,2020694) ≈ 2.376985
E 5.1.15.
Este exercício está sem resposta sugerida. Proponha uma resposta. Veja como em:
https://github.com/livroscolaborativos/CalculoNumerico
E 5.1.16. x ≈ 0,2982646, y ≈ −0,2990796, z ≈ −1,6620333 e x ≈ −0,0691328, y ≈ 0,2923039, z ≈ −0,8235705.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 361
E 5.1.17.
F (x) =

x1 − x2
−x1 + 5(x2 + x3
2)− x3 − 10 exp(−2/3)
−x2 + 5(x3 + x3
3)− x4 − 10 exp(−3/3)
−x3 + 5(x4 + x3
4)− x5 − 10 exp(−4/3)
...
−x9 + 5(x10 + x3
10)− x11 − 10 exp(−10/3)
x11 − 1

(5.74)
JF (x) =

1 −1 0 0 0 . . . 0
−1 5(1 + 3x2
2) −1 0 0 . . . 0
0 −1 5(1 + 3x2
3) −1 0 . . . 0
0 0 −1 5(1 + 3x2
4) −1 . . . 0
...
...
...
...
. . .
...
0 0 0 0 0 · · · 1

(5.75)
Resposta final: 0,80447, 0,80447, 0,68686, 0,57124, 0,46535, 0,37061, 0,28883, 0,22433, 0,19443, 0,28667, 1
E 5.1.18. f(0,8108792, 1,6217584) ≈ 0,1950369 e f(0,5527864, 1,1055728) ≈ 0,1455298
E 6.1.1. p(x) = −3 + 2x + 5x3.
E 6.1.2. p(x) = 0,25 + x2.
E 6.4.1.∫ 1
0
P (x)dx = f(0)+f(1)
2 , 1
12 maxx∈[0,1] |f
′′(x)|
E 7.1.1. f(x) = −0,55− 0,01x.
E 7.1.2. f(x) = 0,19− 0,47x.
E 7.1.3. a) −0,6025387; b) −0,5651848; c) 0,2851848; d) 0,1488041.
E 7.2.1. a1 = −0,67112, a2 = −0,12123, a3 = 0,73907.
E 7.2.2. y = −0,0407898x2 + 2,6613293x + 1,9364598.
E 7.2.3. a) a = 25,638625, b = 9,8591874, c = 4,9751219; b)a = 31,475524, b = 65,691531, c = −272,84382, d = 208,23621.
E 8.1.1.
a) f ′(x) onde f(x) = sen (x) e x = 2 para h = 10−2 e h = 10−3, respectivamente.
Progressiva ordem 1: −0,42069 e −0,41660.
Regressiva ordem 1: −0,41159 e −0,41569.
Central ordem 2: −0,41614 e −0,41615.
Exata: cos(2) = −0,41615
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