Métodos Numéricos

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366 Cálculo Numérico
E 10.11.1.
y
(n) = y
(n) + hf
(
t
(n)
,u(t(n)
)
(10.342)
Este esquema é equivalente ao método de Euler Implícito.
E 10.11.2.
y
(n+1) = y
(n) +
h
2
[
f
(
t
(n+1)
,u(t(n+1))
)
+ f
(
t
(n)
,u(t(n))
)]
(10.343)
Este esquema é equivalente ao método trapezoidal.
E 10.11.3. 0,37517345 e 0,37512543.
E 10.13.1.
ũ
(n+1) = u
(n) +
h
24
[
−9f(t(n−3)
,u
(n−3)) + 37f(t(n−2)
,u
(n−2))− 59f(t(n−1)
,u
(n−1)) + 55f(t(n)
,u
(n))
]
,(10.367)
u
(n+1) = u
(n) +
h
24
[
f(t(n−2)
,u
(n−2))− 5f(t(n−1)
,u
(n−1)) + 19f(t(n)
,u
(n)) + 9f(t(n+1)
,ũ
(n+1))
]
. (10.368)
E 10.13.2. Adams-Bashforth: 34,99965176, Preditor-corretor: 34,99965949, Exato: 35
E 10.17.1.
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Analítico 0,3032653 0,3678794 0,3346952 0,2706706 0,2052125
Euler 0,3315955 0,3969266 0,3563684 0,2844209 0,2128243
Euler modificado 0,3025634 0,3671929 0,3342207 0,2704083 0,2051058
Runge-Kutta clássico 0,3032649 0,3678790 0,3346949 0,2706703 0,2052124
Adams-Bashforth ordem 4 0,3032421 0,3678319 0,3346486 0,2706329 0,2051848
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Euler 2,8e-2 2,9e-2 2,2e-2 1,4e-2 7,6e-3
Euler modificado 7,0e-4 6,9e-4 4,7e-4 2,6e-4 1,1e-4
Runge-Kutta clássico 4,6e-7 4,7e-7 3,5e-7 2,2e-7 1,2e-7
Adams-Bashforth ordem 4 2,3e-5 4,8e-5 4,7e-5 3,8e-5 2,8e-5
0,1 0,05 0,01 0,005 0,001
Euler 2,9e-2 5,6e-3 2,8e-3 5,5e-4 2,8e-4
Euler modificado 6,9e-4 2,5e-5 6,2e-6 2,5e-7 6,1e-8
Runge-Kutta clássico 4,7e-7 6,9e-10 4,3e-11 6,8e-14 4,4e-15
Adams-Bashforth ordem 4 4,8e-5 9,0e-8 5,7e-9 9,2e-12 5,8e-13
E 10.17.2.
a) 1,548280989603, 2,319693166841, 9,42825618574 e 9,995915675174.
b) 0,081093021622.
c) 0,179175946923.
Obs: A solução analitica do problema de valor inicial é dada por:
u(t) =
Au0
(A− u0)e−Aαat + u0
(10.394)
Os valores exatos para os itens b e c são: 1
10 ln
(
9
4
)
e 1
10 ln (6).
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 367
E 10.17.3. O valor exato é
√
g
α
[
1− e−200α
]
≈ 29,109644835142 em t = 1√
gα
tanh−1
(√
1− e−200α
)
≈ 2,3928380185497
E 11.1.1. 
1 0 0 0 0
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
0 0 0 0 1


u1
u2
u3
u4
u5
 =

5
2
2
2
10
 (11.39)
Solução: [5, 9.25, 11.5, 11.75, 10]
1 0 0 0 0 0 0 0 0
−1 2 −1 0 0 0 0 0 0
0 −1 2 −1 0 0 0 0 0
0 0 −1 2 −1 0 0 0 0
0 0 0 −1 2 −1 0 0 0
0 0 0 0 −1 2 −1 0 0
0 0 0 0 0 −1 2 −1 0
0 0 0 0 0 0 −1 2 −1
0 0 0 0 0 0 0 0 1


u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
u9

=

5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
10

(11.40)
Solução: [5, 7.375, 9.25, 10.625, 11.5, 11.875, 11.75, 1.125, 10]
E 11.1.2. 120. 133.56 146.22 157.83 168.22 177.21 184.65 190.38 194.28 196.26 196.26 194.26 190.28 184.38 176.65 167.21
156.22 143.83 130.22 115.56 100.
E 11.1.3. 391.13 391.13 390.24 388.29 385.12 380.56 374.44 366.61 356.95 345.38 331.82 316.27 298.73 279.27 257.99 234.99
210.45 184.5 157.34 129.11 100.
E 11.1.4. 0., 6.57, 12.14, 16.73, 20.4, 23.24, 25.38, 26.93 , 28, 28.7, 29.06, 29.15, 28.95, 28.46, 27.62 , 26.36, 24.59, 22.18,
19.02, 14.98, 10.
E 11.1.5. u(0) = 31.62, u(1) = 31,50, u(1,9) = 18,17.
E 11.1.6. u(1) = 1,900362, u(2,5) = 1.943681, u(4) = 1,456517.
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